konukonu

Bütün konular

Menü
10. sınıf, Geometrik ŞekillerMAT.10.1.1

Trigonometrik oranlar

Dik Üçgende Trigonometrik Oranlar ve Trigonometrik Özdeşlikler

Kazanım: Dik üçgende trigonometrik oranlara (sinüs, kosinüs, tanjant, kotanjant) ve trigonometrik özdeşliklere ilişkin çıkarım yapabilme.

Tahtada açYazılı hazırla

Sorular ve çözümleri

Her sorunun altında adım adım çözüm var. Çoktan seçmelide doğru şık, çözümü açınca işaretlenir.

Zorluk
Cevap biçimi
Soru türü
Şekil
72 soru gösteriliyor
Soru 1KavramÇoktan seçmeli5 puanOrta, zorluk 5 / 10
Şekildeki tabloda, dar açılarından birinin ölçüsü α{\alpha} olan üç dik üçgenin kenar uzunlukları birim cinsinden verilmiştir. Her satırda α{\alpha} açısının karşısındaki ve komşusundaki dik kenarlar ayrı sütunlarda yazılmıştır.Bir öğrenci bu tabloya bakarak üç iddia yazmıştır:I. Tablodaki üç üçgenin her birinde karşı dik kenar uzunluğunun hipotenüs uzunluğuna oranı 35{\dfrac{3}{5}}'tür.II. Dar açısının ölçüsü α{\alpha} olan her dik üçgende karşı dik kenar uzunluğunun hipotenüs uzunluğuna oranı aynıdır.III. Hipotenüs uzunluğu büyüdükçe karşı dik kenarın hipotenüse oranı da büyür.Bu iddialardan hangileri tablo tarafından destekleniyor, ancak kanıtlanmıyor?
Dar açısı eşit olan üç dik üçgenin kenar uzunlukları tablosu Dört sütunlu tablo. Üçgen, alfa açısının karşısındaki dik kenar, komşu dik kenar ve hipotenüs uzunlukları birim cinsinden: I için 3, 4, 5; II için 6, 8, 10; III için 9, 12, 15. Üçgen Karşı dik kenar Komşu dik kenar Hipotenüs I 3 4 5 II 6 8 10 III 9 12 15
  1. AYalnız I
  2. BYalnız II
  3. CYalnız III
  4. DI ve II
  5. EI, II ve III
Çözümü göster

BDoğru cevap

  1. 1
    Tablodaki her satırda karşı dik kenar uzunluğunun hipotenüs uzunluğuna oranını yazalım: 35{\dfrac{3}{5}}, 610{\dfrac{6}{10}} ve 915{\dfrac{9}{15}}.
  2. 2
    Üç oran da sadeleştirildiğinde 35{\dfrac{3}{5}} olur; tablo I numaralı iddiayı bu üç üçgen için hesaplayarak kanıtlar.
  3. 3
    III numaralı iddia tabloyla çelişir: hipotenüs 5{5}'ten 15{15}'e çıkarken oran değişmemiştir.
  4. 4
    II numaralı iddia ise 'her dik üçgen' diyor; üç örnek bunu kanıtlamaz, yalnız destekler.
  5. 5
    Destekleniyor ama kanıtlanmıyor: Yalnız II

Yanlış şıklar neden yanlış?

  • A)Tablo I'i desteklemekle kalmaz, üç satırın üçünde de hesaplayarak kanıtlar; 'destekler' ile 'kanıtlar' ayrımı yapılmamıştır.
  • C)Oranın kenar uzunluğuna bağlı olduğunu sanmak (kılavuz, 3. yanılgı); tablo III'ü desteklemez, yanlışlar.
  • D)Kanıtlanan iddiayı da desteklenenlerin arasına katar; soru kanıtlanmayanı istiyor.
  • E)Tablonun yanlışladığı III'ü de doğru sayar; üç iddiayı da aynı kefeye koyar.
Soru 2İşlemÇoktan seçmeli5 puanOrta, zorluk 6 / 10
Şekildeki ABC{ABC} dik üçgeninde [AB]⊥[BC]{[AB] \perp [BC]}, ∣AB∣=8{|AB| = 8} birim, ∣BC∣=6{|BC| = 6} birim ve ∣AC∣=10{|AC| = 10} birimdir.m(A^)=α{\text{m}(\widehat{A}) = \alpha} ve m(C^)=β{\text{m}(\widehat{C}) = \beta} olduğuna göre sin⁡α+cos⁡β{\sin\alpha + \cos\beta} toplamı kaçtır?
B köşesindeki açısı dik olan ABC üçgeni Dik kenarları 8 ve 6 birim, hipotenüsü 10 birim; A köşesindeki açı alfa, C köşesindeki açı beta ile adlandırılmıştır. α β 8 6 10 A B C
  1. A65\displaystyle \dfrac{6}{5}
  2. B75\displaystyle \dfrac{7}{5}
  3. C85\displaystyle \dfrac{8}{5}
  4. D1\displaystyle 1
  5. E925\displaystyle \dfrac{9}{25}
Çözümü göster

ADoğru cevap

  1. 1
    α{\alpha} açısının karşısındaki dik kenar [BC]{[BC]}, hipotenüs ise [AC]{[AC]}'dir: sin⁡α=∣BC∣∣AC∣=610{\sin\alpha = \dfrac{|BC|}{|AC|} = \dfrac{6}{10}}.
  2. 2
    β{\beta} açısının komşusundaki dik kenar da [BC]{[BC]}'dir, çünkü adlandırma açıya göre döner: cos⁡β=∣BC∣∣AC∣=610{\cos\beta = \dfrac{|BC|}{|AC|} = \dfrac{6}{10}}.
  3. 3
    sin⁡α+cos⁡β=610+610=1210=65\sin\alpha + \cos\beta = \dfrac{6}{10} + \dfrac{6}{10} = \dfrac{12}{10} = \dfrac{6}{5}

Yanlış şıklar neden yanlış?

  • B)Kosinüsü yazarken adlandırmanın β{\beta} açısına göre döndüğünü görmez, 810{\dfrac{8}{10}} alır (kılavuz, 1. yanılgı).
  • C)İki oranı da 810{\dfrac{8}{10}} alır; karşı ile komşu dik kenarı iki açıda da aynı sanır.
  • D)Toplamı sin⁡2α+cos⁡2α=1{\sin^{2}\alpha + \cos^{2}\alpha = 1} özdeşliğiyle karıştırır; karesiz toplamın 1{1} etmesi gerektiğini sanır.
  • E)İki oranı toplamak yerine çarpar.
Soru 3İşlemÇoktan seçmeli3 puanKolay, zorluk 3 / 10
Şekildeki ABC{ABC} dik üçgeninde [AB]⊥[BC]{[AB] \perp [BC]}, ∣AB∣=9{|AB| = 9} birim ve ∣BC∣=4{|BC| = 4} birimdir.m(A^)=α{\text{m}(\widehat{A}) = \alpha} olduğuna göre tan⁡α{\tan\alpha} kaçtır?
B köşesindeki açısı dik olan ABC üçgeni Dik kenarları 9 ve 4 birim; A köşesindeki açı alfa ile adlandırılmıştır. Hipotenüsün uzunluğu verilmemiştir. α 9 4 A B C
  1. A94\displaystyle \dfrac{9}{4}
  2. B49\displaystyle \dfrac{4}{9}
  3. C59\displaystyle \dfrac{5}{9}
  4. D95\displaystyle \dfrac{9}{5}
  5. E139\displaystyle \dfrac{13}{9}
Çözümü göster

BDoğru cevap

  1. 1
    Tanjant, karşı dik kenar uzunluğunun komşu dik kenar uzunluğuna oranıdır.
  2. 2
    α{\alpha} açısının karşısındaki dik kenar [BC]{[BC]}, komşusundaki dik kenar [AB]{[AB]}'dir: tan⁡α=∣BC∣∣AB∣=49{\tan\alpha = \dfrac{|BC|}{|AB|} = \dfrac{4}{9}}

Yanlış şıklar neden yanlış?

  • A)Oranı ters kurar: komşu dik kenarı karşı dik kenara böler.
  • C)Karşı dik kenar yerine iki dik kenarın farkını yazar.
  • D)Hem farkı kullanır hem oranı ters kurar.
  • E)Karşı dik kenar yerine iki dik kenarın toplamını yazar.
Soru 4KavramÇoktan seçmeli5 puanOrta, zorluk 4 / 10
Şekildeki ABC{ABC} dik üçgeninde [AB]⊥[BC]{[AB] \perp [BC]}, m(A^)=α{\text{m}(\widehat{A}) = \alpha} ve m(C^)=β{\text{m}(\widehat{C}) = \beta}'dır.Buna göre aşağıdaki eşitliklerden hangisi, üçgenin kenar uzunlukları ne olursa olsun doğrudur?
B köşesindeki açısı dik olan ABC üçgeni Kenar uzunlukları verilmemiştir; A köşesindeki açı alfa, C köşesindeki açı beta ile adlandırılmıştır. α β A B C
  1. Atan⁡α=tan⁡β\displaystyle \tan\alpha = \tan\beta
  2. Bsin⁡α=sin⁡β\displaystyle \sin\alpha = \sin\beta
  3. Csin⁡α=cos⁡β\displaystyle \sin\alpha = \cos\beta
  4. Dsin⁡α+sin⁡β=1\displaystyle \sin\alpha + \sin\beta = 1
  5. Ecos⁡α=cos⁡β\displaystyle \cos\alpha = \cos\beta
Çözümü göster

CDoğru cevap

  1. 1
    α{\alpha} açısının karşısındaki dik kenar [BC]{[BC]}, hipotenüs [AC]{[AC]}'dir: sin⁡α=∣BC∣∣AC∣{\sin\alpha = \dfrac{|BC|}{|AC|}}.
  2. 2
    β{\beta} açısının komşusundaki dik kenar da [BC]{[BC]}'dir: cos⁡β=∣BC∣∣AC∣{\cos\beta = \dfrac{|BC|}{|AC|}}.
  3. 3
    İki oran da aynı iki kenardan kurulduğu için kenar uzunlukları ne olursa olsun eşittir: sin⁡α=cos⁡β{\sin\alpha = \cos\beta}

Yanlış şıklar neden yanlış?

  • A)Aynı simetri yanılgısının tanjant hâli; doğrusu iki tanjantın çarpımının 1{1} etmesidir.
  • B)İki dar açının her bakımdan simetrik olduğunu sanmak; bu eşitlik yalnız α=β=45∘{\alpha = \beta = 45^{\circ}} iken doğrudur.
  • D)sin⁡2α+cos⁡2α=1{\sin^{2}\alpha + \cos^{2}\alpha = 1} özdeşliğiyle karıştırmak (kılavuz, 14. yanılgı).
  • E)Sinüslerin eşitliği yanılgısının kosinüs hâli; iki açının tümler olması eşit olmalarıyla karıştırılıyor.
Soru 5İşlemÇoktan seçmeli5 puanOrta, zorluk 6 / 10
Şekildeki ABC{ABC} dik üçgeninde [AB]⊥[BC]{[AB] \perp [BC]}, ∣AB∣=6{|AB| = 6} birim ve ∣AC∣=10{|AC| = 10} birimdir.m(A^)=α{\text{m}(\widehat{A}) = \alpha} olduğuna göre sin⁡α{\sin\alpha} kaçtır?
B köşesindeki açısı dik olan ABC üçgeni Bir dik kenarı 6 birim, hipotenüsü 10 birim; A köşesindeki açı alfa ile adlandırılmıştır. Öteki dik kenarın uzunluğu verilmemiştir. α 6 10 A B C
  1. A54\displaystyle \dfrac{5}{4}
  2. B35\displaystyle \dfrac{3}{5}
  3. C43\displaystyle \dfrac{4}{3}
  4. D45\displaystyle \dfrac{4}{5}
  5. E25\displaystyle \dfrac{2}{5}
Çözümü göster

DDoğru cevap

  1. 1
    Önce eksik dik kenarı bulalım: ∣BC∣2=∣AC∣2−∣AB∣2=100−36=64{|BC|^{2} = |AC|^{2} - |AB|^{2} = 100 - 36 = 64}, yani ∣BC∣=8{|BC| = 8} birim.
  2. 2
    α{\alpha} açısının karşısındaki dik kenar [BC]{[BC]}, hipotenüs [AC]{[AC]}'dir: sin⁡α=810=45{\sin\alpha = \dfrac{8}{10} = \dfrac{4}{5}}

Yanlış şıklar neden yanlış?

  • A)Oranı ters kurar; sonucun 1{1}'den büyük çıkması denetlenmemiştir (kılavuz, 12. yanılgı).
  • B)Sinüs yerine kosinüsü yazar: karşı dik kenar yerine komşu dik kenarı hipotenüse böler (kılavuz, 1. yanılgı).
  • C)Hipotenüs yerine öteki dik kenara böler: sinüs yerine tanjant.
  • E)Eksik dik kenarı Pisagor yerine çıkarma ile bulur: 10−6=4{10 - 6 = 4} diyerek [BC]{[BC]}'yi 4{4} birim sanır.
Soru 6İşlemÇoktan seçmeli5 puanOrta, zorluk 5 / 10
Şekildeki ABC{ABC} dik üçgeninde [AB]⊥[BC]{[AB] \perp [BC]} ve m(A^)=α{\text{m}(\widehat{A}) = \alpha}'dır. tan⁡α=34{\tan\alpha = \dfrac{3}{4}} ve iki dik kenarın uzunlukları toplamı 35{35} birimdir.Buna göre ∣BC∣{|BC|} kaç birimdir?
B köşesindeki açısı dik olan ABC üçgeni Kenar uzunlukları verilmemiştir; A köşesindeki açı alfa ile adlandırılmıştır. α A B C
  1. A25\displaystyle 25
  2. B20\displaystyle 20
  3. C5\displaystyle 5
  4. D10\displaystyle 10
  5. E15\displaystyle 15
Çözümü göster
Soru 7İşlemÇoktan seçmeli7 puanZor, zorluk 7 / 10
Şekilde ABC{ABC} ve DEF{DEF} dik üçgenleri verilmiştir. [AB]⊥[BC]{[AB] \perp [BC]}, [DE]⊥[EF]{[DE] \perp [EF]} ve m(A^)=m(D^){\text{m}(\widehat{A}) = \text{m}(\widehat{D})}'dir.∣AB∣=6{|AB| = 6} birim, ∣BC∣=8{|BC| = 8} birim ve ∣DE∣=12{|DE| = 12} birim olduğuna göre ∣EF∣{|EF|} kaç birimdir?
Dar açıları eş olan iki dik üçgen I numaralı ABC üçgeninde dik kenarlar 6 ve 8 birim; II numaralı DEF üçgeninde bir dik kenar 12 birim, öteki verilmemiştir. A ve D köşelerindeki açılar tek yayla eş işaretlenmiştir. 6 8 A B C I 12 D E F II
  1. A16\displaystyle 16
  2. B9\displaystyle 9
  3. C10\displaystyle 10
  4. D20\displaystyle 20
  5. E14\displaystyle 14
Çözümü göster
Soru 8SözelKısa cevap6 puanOrta, zorluk 5 / 10
Bir öğrenci şu önermeyi yazmıştır:"Bir dik üçgenin kenar uzunlukları değiştiğinde, dar açılarının sinüs değerleri değişmez."Bu önerme eksiktir: kenar uzunlukları değişirken korunması gereken koşul yazılmamıştır. Kenar uzunlukları 5{5}, 12{12} ve 13{13} birim olan bir dik üçgenin bütün kenar uzunlukları 3{3} ile çarpılarak yeni bir dik üçgen elde ediliyor.Buna göre yeni üçgenin iki dar açısının sinüs değerleri toplamı kaçtır?
Çözümü göster
Soru 9KavramÇoktan seçmeli5 puanOrta, zorluk 5 / 10
Şekildeki tabloda üç dik üçgen için bir dar açının sinüsü, kosinüsü ve bu iki değerin kareleri toplamı verilmiştir. III numaralı satırda üçgenin kenar uzunlukları harfle yazılmıştır.Bu tablo, sin⁡2α+cos⁡2α=1{\sin^{2}\alpha + \cos^{2}\alpha = 1} eşitliğinin hangi kapsamda doğru olduğunu desteklemektedir?
Üç dik üçgende sinüs, kosinüs ve karelerinin toplamı Dört sütunlu tablo. I için sinüs 3 bölü 5, kosinüs 4 bölü 5, kareler toplamı 1; II için 5 bölü 13, 12 bölü 13, 1; III için a bölü c, b bölü c, 1. Üçgen sin α cos α sin²α+cos²α I 3 5 4 5 1 II 5 13 12 13 1 III a c b c 1
  1. AYalnız tabloda verilen üç üçgen için
  2. BDar ac¸ı o¨lc¸u¨su¨ olan her α ic¸in\displaystyle \text{Dar açı ölçüsü olan her } \alpha \text{ için}
  3. CYalnız kenar uzunlukları tam sayı olan dik üçgenler için
  4. DYalnız hipotenu¨su¨ 1 birim olan dik u¨c¸genler ic¸in\displaystyle \text{Yalnız hipotenüsü } 1 \text{ birim olan dik üçgenler için}
  5. EYalnız α=45∘ ic¸in\displaystyle \text{Yalnız } \alpha = 45^{\circ} \text{ için}
Çözümü göster
Soru 10KavramAçık uçlu20 puanİleri, zorluk 10 / 10
Bir öğrenci şu varsayımı yazmıştır:"Ölçüsü 45∘{45^{\circ}}den küçük olan bir dar açıda tanjant ile kotanjantın çarpımı 1{1}'den büyüktür."Şekildeki tabloda üç dik üçgenin bir dar açısına ait karşı ve komşu dik kenar uzunlukları birim cinsinden verilmiştir.
Üç dik üçgende tanjant ve kotanjant tablosu Beş sütunlu tablo. Karşı ve komşu dik kenar uzunlukları birim cinsinden: I için 3 ve 4, II için 5 ve 12, III için 8 ve 15. Tanjant ve kotanjant sütunları boştur. Üçgen Karşı Komşu tan α cot α I 3 4 ? ? II 5 12 ? ? III 8 15 ? ?
  1. a)
    Üç üçgen için tan⁡α⋅cot⁡α{\tan\alpha \cdot \cot\alpha} çarpımını hesaplayınız. Üçünde de aynı sonucu buluyor musunuz?(7 puan)
  2. b)
    (a) şıkkında bulduklarınızı bir genellemeye çevirin ve bu genellemeye göre tan⁡72∘⋅cot⁡72∘{\tan 72^{\circ} \cdot \cot 72^{\circ}} çarpımının değerini yazınız.(7 puan)
  3. c)
    Başta verilen varsayım ile (b) şıkkındaki genelleme aynı şeyi söylemiyor. İkisini ayıran açı ölçülerinden özel açı tablosunda bulunanı yazınız.(6 puan)
Çözümü göster
Soru 11KavramÇoktan seçmeli5 puanOrta, zorluk 5 / 10
Şekildeki tabloda 30∘{30^{\circ}} ve 60∘{60^{\circ}} için dört trigonometrik oranın değerleri verilmiştir. Bu iki açının ölçüleri toplamı 90∘{90^{\circ}}dir.Tablodaki sayılar aşağıdaki bağıntılardan hangisini düşündürmektedir?
30 ve 60 derecelik açıların dört trigonometrik oranı Beş sütunlu tablo. 30 derece için sinüs 1 bölü 2, kosinüs karekök 3 bölü 2, tanjant karekök 3 bölü 3, kotanjant karekök 3. 60 derece için sinüs karekök 3 bölü 2, kosinüs 1 bölü 2, tanjant karekök 3, kotanjant karekök 3 bölü 3. α sin α cos α tan α cot α 30° 1 2 3 2 3 3 3 60° 3 2 1 2 3 3 3
  1. Asin⁡α=sin⁡(90∘−α)\displaystyle \sin\alpha = \sin(90^{\circ} - \alpha)
  2. Bsin⁡α=cos⁡(α−90∘)\displaystyle \sin\alpha = \cos(\alpha - 90^{\circ})
  3. Csin⁡α=cos⁡(90∘−α)\displaystyle \sin\alpha = \cos(90^{\circ} - \alpha)
  4. Dtan⁡α=tan⁡(90∘−α)\displaystyle \tan\alpha = \tan(90^{\circ} - \alpha)
  5. Ecos⁡α=cos⁡(90∘−α)\displaystyle \cos\alpha = \cos(90^{\circ} - \alpha)
Çözümü göster
Soru 12İşlemÇoktan seçmeli7 puanZor, zorluk 7 / 10
Şekildeki ABC{ABC} ikizkenar üçgeninde ∣AB∣=∣AC∣=13{|AB| = |AC| = 13} birimdir. A{A} köşesinden [BC]{[BC]} kenarına inilen dikmenin ayağı H{H} noktasıdır ([AH]⊥[BC]{[AH] \perp [BC]}) ve m(B^)=α{\text{m}(\widehat{B}) = \alpha}'dır.sin⁡(90∘−α)=513{\sin(90^{\circ} - \alpha) = \dfrac{5}{13}} olduğuna göre ∣AH∣{|AH|} kaç birimdir?
Tabanı BC olan ikizkenar ABC üçgeni AB ve AC kenarları 13 birim; A köşesinden BC kenarına inen dikmenin ayağı H noktasıdır. B köşesindeki açı alfa ile adlandırılmıştır. α 13 13 B C A H
  1. A13\displaystyle 13
  2. B5\displaystyle 5
  3. C10\displaystyle 10
  4. D12\displaystyle 12
  5. E1213\displaystyle \dfrac{12}{13}
Çözümü göster
Soru 13KavramÇoktan seçmeli5 puanOrta, zorluk 5 / 10
Şekildeki ABC{ABC} dik üçgeninde [AB]⊥[BC]{[AB] \perp [BC]}, hipotenüsün uzunluğu ∣AC∣=1{|AC| = 1} birimdir ve m(A^)=x{\text{m}(\widehat{A}) = x}'tir. Bu yüzden dik kenarların uzunlukları doğrudan ∣AB∣=cos⁡x{|AB| = \cos x} ve ∣BC∣=sin⁡x{|BC| = \sin x} olarak yazılabilmiştir.Buna göre tan⁡x{\tan x} aşağıdakilerden hangisine eşittir?
Hipotenüsü 1 birim olan dik üçgen B köşesindeki açı dik; hipotenüs 1 birim. A köşesindeki açının ölçüsü x; karşı dik kenar sinüs x, komşu dik kenar kosinüs x olarak etiketlenmiştir. x cos x sin x 1 A B C
  1. Asin⁡x⋅cos⁡x\displaystyle \sin x \cdot \cos x
  2. Bcos⁡xsin⁡x\displaystyle \dfrac{\cos x}{\sin x}
  3. Csin⁡xcos⁡x\displaystyle \dfrac{\sin x}{\cos x}
  4. Dsin⁡x+cos⁡x\displaystyle \sin x + \cos x
  5. E1sin⁡x\displaystyle \dfrac{1}{\sin x}
Çözümü göster
Soru 14KavramÇoktan seçmeli5 puanOrta, zorluk 6 / 10
Bir öğrenci tan⁡α=sin⁡αcos⁡α{\tan\alpha = \dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}} eşitliğini yazmış, ancak eşitliğin ne zaman geçerli olduğunu belirtmemiştir.Bu eşitliğin doğru olması için gereken en az koşulu veren önerme aşağıdakilerden hangisidir?
  1. AEşitlik her açı ölçüsü için doğrudur.
  2. Bcos⁡α≠0 olmalıdır.\displaystyle \cos\alpha \ne 0 \text{ olmalıdır.}
  3. Cα bir dar ac¸ı o¨lc¸u¨su¨ olmalıdır.\displaystyle \alpha \text{ bir dar açı ölçüsü olmalıdır.}
  4. Dsin⁡α≠0 olmalıdır.\displaystyle \sin\alpha \ne 0 \text{ olmalıdır.}
  5. Esin⁡α≠0 ve cos⁡α≠0 olmalıdır.\displaystyle \sin\alpha \ne 0 \text{ ve } \cos\alpha \ne 0 \text{ olmalıdır.}
Çözümü göster
Soru 15İşlemÇoktan seçmeli3 puanKolay, zorluk 2 / 10
α{\alpha} bir dar açı ölçüsü olmak üzere sin⁡α=35{\sin\alpha = \dfrac{3}{5}} ve cos⁡α=45{\cos\alpha = \dfrac{4}{5}}'tür.Buna göre tan⁡α{\tan\alpha} kaçtır?
  1. A43\displaystyle \dfrac{4}{3}
  2. B34\displaystyle \dfrac{3}{4}
  3. C1225\displaystyle \dfrac{12}{25}
  4. D75\displaystyle \dfrac{7}{5}
  5. E53\displaystyle \dfrac{5}{3}
Çözümü göster
Soru 16İşlemKısa cevap10 puanİleri, zorluk 9 / 10
x{x} bir dar açı ölçüsü olmak üzere, şekildeki dikdörtgenin kenar uzunlukları sin⁡x{\sin x} ve cos⁡x{\cos x} birimdir.cos⁡x−sin⁡x=12{\cos x - \sin x = \dfrac{1}{2}} olduğuna göre dikdörtgenin alanı kaç birimkaredir?
Kenarları sinüs x ve kosinüs x olan dikdörtgen Yatay kenarı sinüs x, dikey kenarı kosinüs x olan bir dikdörtgen. sin x cos x
Çözümü göster
Soru 17İşlemÇoktan seçmeli7 puanZor, zorluk 8 / 10
x{x} bir dar açı ölçüsü olmak üzere tan⁡2x+cot⁡2x=7{\tan^{2}x + \cot^{2}x = 7}'dir.Buna göre (tan⁡x−cot⁡x)2{(\tan x - \cot x)^{2}} ifadesinin değeri kaçtır?
  1. A7\displaystyle 7
  2. B9\displaystyle 9
  3. C5\displaystyle 5
  4. D6\displaystyle 6
  5. E3\displaystyle 3
Çözümü göster
Soru 18İşlemKısa cevap10 puanİleri, zorluk 9 / 10
Şekildeki ABC{ABC} dik üçgeninde [AB]⊥[BC]{[AB] \perp [BC]}, m(A^)=30∘{\text{m}(\widehat{A}) = 30^{\circ}} ve ∣AB∣=6{|AB| = 6} birimdir. B{B} köşesinden [AC]{[AC]} kenarına inilen dikmenin ayağı H{H} noktasıdır ([BH]⊥[AC]{[BH] \perp [AC]}).Buna göre ∣HC∣{|HC|} kaç birimdir? (3≈1,7{\sqrt{3} {\approx} 1{,}7} alınız.)
Hipotenüsüne yükseklik inilmiş dik üçgen B köşesindeki açı dik, A köşesindeki açı 30 derece, AB kenarı 6 birim. B köşesinden AC hipotenüsüne inen dikmenin ayağı H noktasıdır. 30° 6 A B C H
Çözümü göster
Soru 19KavramÇoktan seçmeli3 puanKolay, zorluk 2 / 10
α{\alpha} ve β{\beta} dar açı ölçüleri olmak üzere (sin⁡2α+cos⁡2α)⋅tan⁡β⋅cot⁡β{(\sin^{2}\alpha + \cos^{2}\alpha) \cdot \tan\beta \cdot \cot\beta} işleminin sonucu kaçtır?
  1. A4\displaystyle 4
  2. B2\displaystyle 2
  3. C0\displaystyle 0
  4. D1\displaystyle 1
  5. E−1\displaystyle -1
Çözümü göster
Soru 20KavramÇoktan seçmeli9 puanİleri, zorluk 9 / 10
Bir öğrenci, kenar uzunluğu 2{2} birim olan şekildeki ABC{ABC} eşkenar üçgeninde [AH]⊥[BC]{[AH] \perp [BC]} yüksekliğini çizerek 30∘{30^{\circ}}nin trigonometrik oranlarını türetmek için aşağıdaki adımları yazmıştır:I. Yükseklik tabanı iki eş parçaya böldüğü için ∣BH∣=1{|BH| = 1} birimdir.II. Pisagor bağıntısından ∣AH∣=22−12=3{|AH| = \sqrt{2^{2} - 1^{2}} = \sqrt{3}} birimdir.III. ABH{ABH} dik üçgeninde m(BAH^)=30∘{\text{m}(\widehat{BAH}) = 30^{\circ}} olduğundan sin⁡30∘=12{\sin 30^{\circ} = \dfrac{1}{2}}'dir.IV. Aynı üçgende tan⁡30∘=31=3{\tan 30^{\circ} = \dfrac{\sqrt{3}}{1} = \sqrt{3}}'tür.Buna göre ilk hatalı adım hangisidir?
Bir yüksekliği çizilmiş eşkenar üçgen Kenarları 2 birim olan eşkenar ABC üçgeni; A köşesinden BC kenarına inen dikmenin ayağı H noktasıdır. B köşesindeki açı 60 derecedir. 60° 2 2 B C A H
  1. AI\displaystyle \text{I}
  2. BII\displaystyle \text{II}
  3. CIII\displaystyle \text{III}
  4. DIV\displaystyle \text{IV}
  5. EAdımların hepsi doğrudur
Çözümü göster
Soru 21İşlemKısa cevap8 puanZor, zorluk 8 / 10
Şekildeki ABC{ABC} dik üçgeninde [AB]⊥[BC]{[AB] \perp [BC]} ve dik kenarların uzunlukları ∣AB∣=∣BC∣=n{|AB| = |BC| = n} birimdir.n=100{n = 100} olduğuna göre hipotenüs uzunluğunun bir dik kenarın uzunluğuna oranı kaçtır?
Dik kenarları eşit olan dik üçgen B köşesindeki açı dik; iki dik kenarın uzunluğu n birimdir ve eşitlik çentiğiyle işaretlenmiştir. C köşesindeki açı 45 derecedir. 45° n n A B C
Çözümü göster
Soru 22İşlemÇoktan seçmeli3 puanKolay, zorluk 3 / 10
Şekildeki tabloda özel açıların sinüs ve kosinüs değerleri verilmiştir; bir hücre boş bırakılmıştır.Buna göre boş hücreye hangi değer gelmelidir?
Özel açıların sinüs ve kosinüs değerleri tablosu Dört sütunlu tablo. Sinüs satırı 30 derece için 1 bölü 2, 45 derece için karekök 2 bölü 2, 60 derece için karekök 3 bölü 2. Kosinüs satırı 30 derece için karekök 3 bölü 2, 45 derece için karekök 2 bölü 2; 60 derece hücresi boştur. α 30° 45° 60° sin α 1 2 2 2 3 2 cos α 3 2 2 2 ?
  1. A1\displaystyle 1
  2. B32\displaystyle \dfrac{\sqrt{3}}{2}
  3. C22\displaystyle \dfrac{\sqrt{2}}{2}
  4. D33\displaystyle \dfrac{\sqrt{3}}{3}
  5. E12\displaystyle \dfrac{1}{2}
Çözümü göster
Soru 23SözelAçık uçlu15 puanZor, zorluk 7 / 10
Uzunluğu 8{8} metre olan bir merdiven bir duvara iki farklı biçimde dayanmaktadır. Şekilde merdivenin zeminle yaptığı açı I numaralı durumda 30∘{30^{\circ}}, II numaralı durumda 60∘{60^{\circ}}dir. İki durumda da [AB]⊥[BC]{[AB] \perp [BC]} ve ∣AC∣=8{|AC| = 8} m'dir.(3≈1,7{\sqrt{3} {\approx} 1{,}7} alınız.)
Aynı uzunluktaki merdivenin iki farklı açıyla dayanması Yan yana iki dik üçgen. İkisinde de eğik kenar 8 birim; zeminle yaptığı açı I numaralı durumda 30 derece, II numaralı durumda 60 derecedir. 30° 8 A B C I 60° 8 A B C II
  1. a)
    I numaralı durumda merdivenin duvarda ulaştığı yükseklik kaç metredir?(7 puan)
  2. b)
    Bir öğrenci "açı iki katına çıkarsa ulaşılan yükseklik de iki katına çıkar" varsayımını yazmıştır. II numaralı durumdaki gerçek yüksekliği bulup bu varsayımın öngördüğü değerle karşılaştırınız; aradaki fark kaç metredir?(8 puan)
Çözümü göster
Soru 24İşlemÇoktan seçmeli7 puanZor, zorluk 8 / 10
Şekildeki ABC{ABC} üçgeninde m(B^)=30∘{\text{m}(\widehat{B}) = 30^{\circ}}, m(C^)=45∘{\text{m}(\widehat{C}) = 45^{\circ}} ve A{A} köşesinden [BC]{[BC]} kenarına inilen yükseklik için [AH]⊥[BC]{[AH] \perp [BC]} ve ∣AH∣=6{|AH| = 6} birimdir.Buna göre ∣BC∣{|BC|} kaç birimdir?
Bir yüksekliği çizilmiş üçgen; taban açıları 30 ve 45 derece ABC üçgeninde B köşesindeki açı 30, C köşesindeki açı 45 derecedir. A köşesinden BC kenarına inen dikmenin ayağı H noktasıdır ve bu yükseklik 6 birimdir. 6 30° 45° B C A H
  1. A6+63\displaystyle 6 + 6\sqrt{3}
  2. B123\displaystyle 12\sqrt{3}
  3. C63\displaystyle 6\sqrt{3}
  4. D6+62\displaystyle 6 + 6\sqrt{2}
  5. E12\displaystyle 12
Çözümü göster
Soru 25SözelÇoktan seçmeli5 puanOrta, zorluk 6 / 10
Düz bir yol üzerinde K{K}, H{H} ve L{L} noktaları bu sırayla bulunmaktadır. Bir dron, H{H} noktasından düşey olarak kalkmış; dakikada 12{12} m yükselerek 5{5} dakika sonra şekildeki T{T} noktasına ulaşmıştır ([TH]⊥[KL]{[TH] \perp [KL]}).K{K} noktasının H{H} noktasına uzaklığı, dronun yerden yüksekliğine eşittir. L{L} noktasında duran bir gözlemcinin drona bakış doğrultusu ise yolla 60∘{60^{\circ}}lik açı yapmaktadır.Buna göre ∣KL∣{|KL|} kaç metredir?
Yol üzerindeki iki noktadan görülen bir dron K, H ve L noktaları düz bir yol üzerinde bu sırayla bulunur. H noktasının tam üstündeki T noktasında bir dron vardır; H köşesinde dik açı işareti vardır. L köşesindeki açı 60 derecedir. 60° K L T H
  1. A120\displaystyle 120
  2. B603+60\displaystyle 60\sqrt{3} + 60
  3. C203\displaystyle 20\sqrt{3}
  4. D403+60\displaystyle 40\sqrt{3} + 60
  5. E203+60\displaystyle 20\sqrt{3} + 60
Çözümü göster
Soru 26Yeni nesilAçık uçlu20 puanİleri, zorluk 9 / 10
Düz bir arazide dikilmiş bir rüzgâr türbininin tepesi A{A}, tabanı ise H{H} noktasındadır. Türbinin ölçümleri için zemine B{B} ve C{C} kazıkları çakılmıştır; H{H}, B{B} ve C{C} noktaları aynı doğru üzerindedir, [AH]⊥[HC]{[AH] \perp [HC]} ve ∣BC∣=24{|BC| = 24} m'dir.ABC{ABC} üçgeninde m(B^)=120∘{\text{m}(\widehat{B}) = 120^{\circ}} olup A{A} ve C{C} köşelerindeki açılar şekilde eş olarak işaretlenmiştir.
Türbinin tepesi ile zemindeki iki ölçüm kazığı B ve C noktaları düz zemin üzerindedir; aralarındaki uzaklık 24 metredir. A noktası türbinin tepesidir. A'dan zemine inen dikmenin ayağı H, B ile C arasında değil B'nin dışındadır. B köşesindeki açı 120 derecedir; A ve C köşelerindeki açılar çift yayla eş işaretlidir. 120° 24 m B C A H
  1. a)
    Şekilde çift yayla eş olarak işaretlenmiş iki açının ölçüsünü bulunuz.(6 puan)
  2. b)
    Türbinin yüksekliği ∣AH∣{|AH|} kaç metredir?(8 puan)
  3. c)
    Türbinin tepesinden C{C} kazığına bir çelik halat gerilecektir. Halat yalnız 5{5} metrelik paketler hâlinde satılmaktadır. (3≈1,7{\sqrt{3} {\approx} 1{,}7} alınız.) En az kaç paket halat alınmalıdır?(6 puan)
Çözümü göster
Soru 27Yeni nesilÇoktan seçmeli7 puanZor, zorluk 8 / 10
Bir açık maden ocağında kamyonların kullandığı rampaların girişine eğim yüzdesini gösteren bir levha asılır. Eğim yüzdesie=100⋅tan⁡α{e = 100 \cdot \tan\alpha}bağıntısıyla hesaplanır. (e{e}: eğim yüzdesi, α{\alpha}: rampanın yatayla yaptığı açının ölçüsü.) Ocak yönetmeliği, levhaya yazılan sayının gerçek eğim yüzdesinden küçük olmayan en küçük tam sayı olmasını şart koşar.Birinci rampanın kesiti şekildeki KLM{KLM} dik üçgenidir: [KL]⊥[LM]{[KL] \perp [LM]} ve m(KML^)=20∘{\text{m}(\widehat{KML}) = 20^{\circ}}dir. İkinci rampada ise araç yatayda 300{300} m ilerlerken 96{96} m yükselmektedir.Buna göre birinci rampanın levhasındaki sayı, ikinci rampanınkinden kaç fazladır? (sin⁡20∘≈0,342{\sin 20^{\circ} {\approx} 0{,}342}, cos⁡20∘≈0,940{\cos 20^{\circ} {\approx} 0{,}940}, tan⁡20∘≈0,364{\tan 20^{\circ} {\approx} 0{,}364} alınız.)
Birinci rampanın kesiti Dik üçgen biçiminde bir rampa kesiti. Sol alt köşede dik açı işareti vardır. Yatay kenarın sağ ucundaki açı 20 derecedir; rampa yüzeyi bu açının karşısındaki eğik kenardır. 20° K L M
  1. A3\displaystyle 3
  2. B4\displaystyle 4
  3. C5\displaystyle 5
  4. D62\displaystyle 62
  5. E37\displaystyle 37
Çözümü göster
Soru 28SözelKısa cevap6 puanOrta, zorluk 5 / 10
Bir seranın eğik çatı yüzeyine güneş panelleri yerleştirilecektir. Şekildeki ABC{ABC} kesitinde [AB]⊥[BC]{[AB] \perp [BC]} olup çatının yatay izdüşümü [BC]{[BC]} olup ∣BC∣=9{|BC| = 9} m, çatının yatayla yaptığı açının ölçüsü 30∘{30^{\circ}}dir.Paneller eğik yüzey [AC]{[AC]} boyunca uç uca dizilecek ve her panel bu yön boyunca 1,2{1{,}2} m yer kaplayacaktır. (3≈1,73{\sqrt{3} {\approx} 1{,}73} alınız.)Buna göre eğik yüzeye en fazla kaç panel yerleştirilebilir?
Eğik çatı yüzeyinin kesiti Dik üçgen biçiminde bir çatı kesiti. Yatay kenarın uzunluğu 9 metredir ve sol ucunda dik açı işareti vardır. Yatay kenarın sağ ucundaki açı 30 derecedir; paneller bu açının karşısındaki eğik kenar üzerine yerleştirilecektir. 30° 9 m A B C
Çözümü göster
Soru 29Yeni nesilAçık uçlu20 puanİleri, zorluk 10 / 10
Bir yamaç boyunca gerilen teleferik halatı, şekildeki gibi yatayla α{\alpha} açısı yapmaktadır ve bu açı için tan⁡α=815{\tan\alpha = \dfrac{8}{15}} ölçülmüştür. Şekilde [AB]⊥[BC]{[AB] \perp [BC]} olup halatın alt ucu ile üst ucu arasındaki uzunluk ∣AC∣=51{|AC| = 51} m'dir.
Yamaç boyunca gerilen taşıma halatı Dik üçgen biçiminde bir teleferik kesiti. Sol alt köşede dik açı vardır; düşey kenar yükselmeyi, yatay kenar yatay uzunluğu gösterir. Eğik kenar 51 metre uzunluğundaki halattır ve yatay kenarla yaptığı açı alfa ile gösterilmiştir. α 51 m A B C
  1. a)
    sin⁡α{\sin\alpha} değerini bulunuz.(8 puan)
  2. b)
    Halatın alt ucu ile üst ucu arasındaki yükselme kaç metredir?(5 puan)
  3. c)
    Halat boyunca, iki uç da dâhil olmak üzere eşit aralıklarla 18{18} taşıyıcı askı yerleştirilecektir. Ardışık iki askı arasındaki uzaklık kaç santimetredir?(7 puan)
Çözümü göster
Soru 30KavramÇoktan seçmeli3 puanKolay, zorluk 3 / 10
Şekilde merkezi orijin, yarıçapı 1{1} birim olan çember ile başlangıç kolu yatay eksenin pozitif yönü olan 60∘{60^{\circ}}lik bir açı verilmiştir. Açının bitiş kolu çemberi P{P} noktasında kesmektedir.Buna göre P{P} noktasının apsisi kaçtır?
Birim çember üzerinde 60 derecelik açının noktası Birim çember. Merkezden çıkan yarıçap, yatay eksenin pozitif yönüyle 60 derecelik açı yapar ve çemberi P noktasında keser; yayın ucunda yön oku vardır. P noktasından iki eksene kesikli izdüşümler inmiştir. Eksenlerde 1 ve eksi 1 değerleri yazılıdır. 1 -1 1 -1 P O
  1. A−12\displaystyle -\dfrac{1}{2}
  2. B32\displaystyle \dfrac{\sqrt{3}}{2}
  3. C22\displaystyle \dfrac{\sqrt{2}}{2}
  4. D12\displaystyle \dfrac{1}{2}
  5. E1\displaystyle 1
Çözümü göster
Soru 31KavramKısa cevap6 puanOrta, zorluk 5 / 10
Bir öğrenci şu varsayımı yazmıştır:"Bir açının kosinüs değeri her zaman pozitiftir."Şekilde birim çember üzerinde ölçüsü 150∘{150^{\circ}} olan bir açı ve bitiş kolunun çemberi kestiği P{P} noktası verilmiştir. Şekilden şu genellemeye varılıyor: bir açının kosinüs değeri, o açının birim çember üzerindeki noktasının apsisine eşittir.Bu genelleme ile yukarıdaki varsayım aynı şeyi söylememektedir. 45∘{45^{\circ}}, 60∘{60^{\circ}}, 120∘{120^{\circ}} ve 150∘{150^{\circ}} ölçülerinden ikisini ayıranların en küçüğü kaç derecedir?
Birim çember üzerinde 150 derecelik açının noktası Birim çember. Merkezden çıkan yarıçap, yatay eksenin pozitif yönüyle 150 derecelik açı yapar ve çemberi ikinci bölgedeki P noktasında keser. P noktasından iki eksene kesikli izdüşümler inmiştir. Eksenlerde 1 ve eksi 1 değerleri yazılıdır. 1 -1 1 -1 P O
Çözümü göster
Soru 32Yeni nesilAçık uçlu15 puanZor, zorluk 8 / 10
Yatay bir zeminde kaydırılan bir sandığa uygulanan sabit bir kuvvetin yaptığı işW=F⋅d⋅cos⁡α{W = F \cdot d \cdot \cos\alpha}bağıntısıyla hesaplanır. (W{W}: iş (joule), F{F}: kuvvetin büyüklüğü (newton), d{d}: yer değiştirme (metre), α{\alpha}: kuvvet ile yer değiştirme doğrultusu arasındaki açının ölçüsü.)Bir sandık, büyüklüğü 24{24} N olan bir kuvvetin etkisi altında 5{5} m yer değiştirmiştir. Kuvvet ile yer değiştirme doğrultusu arasındaki açının ölçüsü 120∘{120^{\circ}}dir.
  1. a)
    Kuvvetin yaptığı işi joule cinsinden hesaplayınız.(8 puan)
  2. b)
    Bulduğunuz değerin işareti bu durumda ne anlama gelmektedir? Gerekçesiyle birlikte yazınız.(7 puan)
Çözümü göster
Soru 33KavramÇoktan seçmeli5 puanOrta, zorluk 4 / 10
Şekilde birim çember üzerinde, başlangıç kolu yatay eksenin pozitif yönü olan bir yönlü açı verilmiştir. Yayın ucundaki ok dönme yönünü gösterir; bitiş kolu çemberi P{P} noktasında kesmektedir.Buna göre bu yönlü açının ölçüsü kaç derece olabilir?
Birim çemberde saat yönünde çizilmiş bir yönlü açı Birim çember. Başlangıç kolu yatay eksenin pozitif yönüdür. Yay bu koldan saat yönünde çizilmiştir, ucunda yön oku vardır ve üçüncü bölgedeki P noktasında biter. Eksenlerde 1 ve eksi 1 değerleri yazılıdır. 1 -1 1 -1 P
  1. A−60\displaystyle -60
  2. B120\displaystyle 120
  3. C−150\displaystyle -150
  4. D−240\displaystyle -240
  5. E−120\displaystyle -120
Çözümü göster
Soru 34SözelKısa cevap8 puanZor, zorluk 8 / 10
Bir dönme dolabın 12{12} kabini, merkezi orijinde olan bir çemberi eşit aralıklarla bölmektedir. 1{1} numaralı kabinin yönlü açı ölçüsü 0∘{0^{\circ}}dir ve kabinler pozitif yönde numaralanmıştır.Şekilde 5{5} numaralı kabinin bulunduğu K{K} konumu ile 2{2} numaralı kabinin bulunduğu L{L} konumu gösterilmiştir. Dolap, 5{5} numaralı kabini L{L} konumuna getirecek biçimde saat yönünde dönmektedir.Dolap bu dönüşü arka arkaya 30{30} kez yaparsa yaptığı toplam dönüşün yönlü açı ölçüsü kaç derecedir?
Dönme dolabın iki kabin konumu Birim çember. Merkezden çıkan iki yarıçap vardır; biri ikinci bölgedeki K, öteki birinci bölgedeki L noktasında çemberi keser. Her iki yarıçapın da yatay eksenin pozitif yönüyle yaptığı açı, ucunda yön oku bulunan bir yayla gösterilmiştir. 1 -1 1 -1 K L O
Çözümü göster
Soru 35SözelÇoktan seçmeli7 puanZor, zorluk 7 / 10
Bir deniz fenerinin tepesindeki gözlem noktası deniz seviyesinden 34{34} m yüksektedir; şekilde [AB]⊥[BC]{[AB] \perp [BC]} ve ∣AB∣=34{|AB| = 34} m'dir. Buradan denizdeki bir tekneye bakıldığında, bakış doğrultusunun fenerin düşey gövdesiyle yaptığı açının ölçüsü şekildeki gibi 65∘{65^{\circ}}dir.Buna göre teknenin fenerin dibine olan uzaklığı, en yakın tam sayıya yuvarlanmış olarak kaç metredir? (sin⁡25∘≈0,42{\sin 25^{\circ} {\approx} 0{,}42}, cos⁡25∘≈0,91{\cos 25^{\circ} {\approx} 0{,}91}, tan⁡25∘≈0,47{\tan 25^{\circ} {\approx} 0{,}47} alınız.)
Fenerin tepesinden tekneye bakış doğrultusu Dik üçgen. Düşey kenar deniz fenerinin gövdesidir ve uzunluğu 34 metredir; alt ucunda dik açı işareti vardır. Üst köşe gözlem noktasıdır ve buradaki açı 65 derecedir. Eğik kenar gözlem noktasından tekneye bakış doğrultusudur. 65° 34 m A B C
  1. A72\displaystyle 72
  2. B16\displaystyle 16
  3. C37\displaystyle 37
  4. D81\displaystyle 81
  5. E31\displaystyle 31
Çözümü göster
Soru 36Yeni nesilÇoktan seçmeli5 puanOrta, zorluk 6 / 10
Bir okulun koridoru şekildeki gibi eş kare karolarla kaplanmıştır. Zemin üzerinde işaretlenen A{A}, B{B} ve C{C} noktalarının üçü de birer karo köşesindedir ve ABC{ABC} üçgeninin B{B} köşesindeki açı diktir.Buna göre tan⁡A{\tan A} değeri kaçtır?
Kare karolarla kaplı zemin üzerinde üç nokta Eş kare karolarla kaplanmış bir zemin. A noktası soldan birinci, alttan birinci karo köşesinde; B noktası A ile aynı yatay çizgide, ondan dört karo sağda; C noktası B ile aynı düşey çizgide, ondan üç karo yukarıdadır. A B C
  1. A34\displaystyle \dfrac{3}{4}
  2. B43\displaystyle \dfrac{4}{3}
  3. C35\displaystyle \dfrac{3}{5}
  4. D45\displaystyle \dfrac{4}{5}
  5. E53\displaystyle \dfrac{5}{3}
Çözümü göster
Soru 37KavramÇoktan seçmeli5 puanOrta, zorluk 6 / 10
Şekilde üç dik üçgen aynı ölçekte çizilmiştir. Her üçgende dik açı işaretlenmiş, dar açılardan biri α{\alpha} ile gösterilmiştir. α{\alpha} açısının karşısındaki ve komşusundaki dik kenarların uzunlukları sırasıyla I. üçgende 10{10} ve 24{24}, II. üçgende 15{15} ve 36{36}, III. üçgende 20{20} ve 48{48} birimdir.Üç üçgende de karşı dik kenar uzunluğunun komşu dik kenar uzunluğuna oranı hesaplandığında aynı sayı bulunmaktadır.Bu oranın üçünde de aynı çıkmasının sebebi aşağıdakilerden hangisidir?
Aynı ölçekte çizilmiş üç dik üçgen Aynı ölçekte çizilmiş üç dik üçgen paneli. Her panelde dik açı sol alt köşede, alfa açısı sağdaki köşede işaretlidir. Alfanın karşısındaki ve komşusundaki dik kenarların uzunlukları I numaralı üçgende 10 ve 24, II numaralı üçgende 15 ve 36, III numaralı üçgende 20 ve 48 birimdir. α 10 24 I α 15 36 II α 20 48 III
  1. Aİşaretli açının ölçüsü üçünde de aynıdır.
  2. BÜç üçgenin kenarları da tam sayıdır.
  3. CÜç üçgenin çevreleri birbirinden farklıdır.
  4. DÜç üçgende de dik açı aynı köşededir.
  5. EÜçgenler büyüdükçe kenarlar da büyümüştür.
Çözümü göster
Soru 38İşlemKısa cevap8 puanZor, zorluk 8 / 10
Şekilde üç dik üçgen aynı ölçekte çizilmiştir. Her üçgende dik açı işaretlenmiş, dar açılardan biri α{\alpha} ile gösterilmiştir; α{\alpha} açısının karşısındaki dik kenarın ve hipotenüsün uzunlukları sırasıyla I. üçgende 16{16} ve 34{34}, II. üçgende 24{24} ve 51{51}, III. üçgende 32{32} ve 68{68} birimdir.Ölçüsü yine α{\alpha} olan bir dar açısı bulunan dördüncü bir dik üçgenin çevresi 200{200} birimdir.Buna göre dördüncü üçgende α{\alpha} açısının karşısındaki dik kenar kaç birimdir?
Üç dik üçgende karşı dik kenar ve hipotenüs Aynı ölçekte çizilmiş üç dik üçgen paneli. Her panelde dik açı sol alt köşede, alfa açısı sağdaki köşede işaretlidir. Her üçgende alfa açısının karşısındaki dik kenar ile hipotenüs yazılıdır: I için 16 ve 34, II için 24 ve 51, III için 32 ve 68 birim. Komşu dik kenarların uzunlukları yazılmamıştır. α 16 34 I α 24 51 II α 32 68 III
Çözümü göster
Soru 39KavramAçık uçlu20 puanİleri, zorluk 9 / 10
Şekilde biçimleri birbirinden farklı üç dik üçgen aynı ölçekte çizilmiştir. Her üçgende dik açı işaretlenmiş, dar açılardan biri α{\alpha} ile gösterilmiş ve kenar uzunlukları yazılmıştır: I. üçgende 6{6}, 8{8} ve 10{10}; II. üçgende 5{5}, 12{12} ve 13{13}; III. üçgende 8{8}, 15{15} ve 17{17} birim.Aşağıdaki soruları cevaplayınız.
Biçimleri farklı üç dik üçgen Aynı ölçekte çizilmiş, biçimleri birbirinden farklı üç dik üçgen paneli. Her panelde dik açı sol alt köşede, alfa açısı sağdaki köşede işaretlidir. Karşı dik kenar, komşu dik kenar ve hipotenüs sırasıyla I için 6, 8 ve 10; II için 5, 12 ve 13; III için 8, 15 ve 17 birimdir. α 6 8 10 I α 5 12 13 II α 8 15 17 III
  1. a)
    Üç üçgenin her birinde α{\alpha} açısının sinüs değerini hesaplayınız ve bu üç değerin en büyüğünü yazınız.(8 puan)
  2. b)
    Üç üçgende de sinüs değeri 1{1} sayısından küçük çıkmıştır. Bir dik üçgende bir dar açının sinüs değerinin her zaman 1{1} sayısından küçük olmasının sebebini, hangi kenarın daha uzun olduğunu ve bunun orana etkisini belirterek bir cümleyle yazınız.(12 puan)
Çözümü göster
Soru 40KavramAçık uçlu10 puanOrta, zorluk 5 / 10
Bir dik üçgenin dik kenarlarının uzunlukları 3{3} birim ve 4{4} birimdir; bu üçgende uzunluğu 4{4} birim olan dik kenarın karşısındaki dar açı ele alınacaktır.Üçgenin iki dik kenarı da 1{1}'er birim uzatılarak yeni bir dik üçgen elde ediliyor. Yeni üçgende de uzunluğu 5{5} birim olan dik kenarın karşısındaki dar açı ele alınacaktır.Aşağıdaki soruları sırayla cevaplayınız.
  1. a)
    Hesap yapmadan tahmin ediniz: yeni üçgende ele alınan dar açının tanjant değeri, eski üçgendekinden büyük mü olur, küçük mü olur, yoksa aynı mı kalır? Tahmininizi gerekçesiyle birlikte yazınız.(4 puan)
  2. b)
    Her iki üçgende de ele alınan dar açının tanjant değerini hesaplayınız. Yeni üçgendeki değeri yazınız.(3 puan)
  3. c)
    Bulduğunuz iki tanjant değerini karşılaştırınız ve tahmininizin doğru çıkıp çıkmadığını yazınız.(3 puan)
Çözümü göster
Soru 41KavramAçık uçlu10 puanOrta, zorluk 5 / 10
α{\alpha} bir dar açı ölçüsü olmak üzere sin⁡α+cos⁡α{\sin\alpha + \cos\alpha} toplamı incelenecektir.Aşağıdaki soruları sırayla cevaplayınız.
  1. a)
    Hesap yapmadan tahmin ediniz: bu toplam her dar açı için 1{1} sayısına eşit midir? Tahmininizi kısa bir gerekçesiyle birlikte yazınız.(3 puan)
  2. b)
    α=30∘{\alpha = 30^{\circ}} için sin⁡α+cos⁡α{\sin\alpha + \cos\alpha} toplamını hesaplayınız. (3≈1,7{\sqrt{3} {\approx} 1{,}7} alınız.)(4 puan)
  3. c)
    Tahmininiz ile (b) şıkkında bulduğunuz sonuç uyuşuyor mu? Bir dar açının sinüs ve kosinüs değerlerinin toplamının 1{1} sayısına eşit olduğu önermesi hakkındaki hükmünüzü gerekçesiyle yazınız.(3 puan)
Çözümü göster
Soru 42SözelKısa cevap6 puanOrta, zorluk 5 / 10
Bu soruda trigonometrik oranlar yalnız bir dik üçgenin açıları üzerinden ele alınacaktır. Bu tanıma göre sin⁡α=cos⁡(90∘−α){\sin\alpha = \cos(90^{\circ} - \alpha)} eşitliği her α{\alpha} ölçüsü için yazılamaz; eşitliğin geçerli olduğu bir koşul vardır.Bu koşulu, α{\alpha} ölçüsü için bir eşitsizlik biçiminde yazınız.
Çözümü göster
Soru 43KavramKısa cevap4 puanKolay, zorluk 2 / 10
Bir dik üçgende α{\alpha} ile gösterilen dar açının karşısındaki dik kenar 20{20} birim, komşusundaki dik kenar 21{21} birim, hipotenüs ise 29{29} birimdir.Hesap yapmadan, yalnız bu üç uzunluğa ve oranların tanımına bakarak belirleyiniz: α{\alpha} açısının sinüs değeri mi kosinüs değeri mi daha büyüktür? Cevabınızı yazınız.
Çözümü göster
Soru 44İşlemKısa cevap4 puanKolay, zorluk 3 / 10
Şekilde kareli kâğıt üzerine çizilmiş dört dik üçgen verilmiştir. Dördünde de dik açı B{B} köşesindedir ve üçgenlerin köşeleri karelerin köşelerine yerleştirilmiştir.Bu dört üçgenden hangisinde tan⁡A=34{\tan A = \dfrac{3}{4}} olur? Üçgenin numarasını yazınız.
Kareli kâğıt üzerinde dört dik üçgen Kareli kâğıt üzerine çizilmiş dört dik üçgen. Dördünde de A köşesi solda, B köşesi A ile aynı yatay çizgide, C köşesi B nin tam üstündedir. Yatay ve düşey kenardaki kare sayıları I numaralı üçgende 3 ve 4, II numaralı üçgende 4 ve 3, III numaralı üçgende 5 ve 3, IV numaralı üçgende 4 ve 2 dir. A B C I A B C II A B C III A B C IV
Çözümü göster
Soru 45Yeni nesilKısa cevap6 puanOrta, zorluk 5 / 10
Şekildeki çizelgede dört dar açının sinüs ve kosinüs değerleri, virgülden sonra iki basamağa yuvarlanmış olarak verilmiştir. Kosinüs satırındaki bir hücre soru işaretiyle boş bırakılmıştır.Çizelgedeki eşleşmelere bakarak soru işaretli hücreye gelen değeri yazınız.
Dört dar açı için sinüs ve kosinüs çizelgesi Beş sütunlu çizelge. Başlık satırında açı, 25 derece, 40 derece, 50 derece ve 65 derece yazılıdır. Sinüs satırı 0,42 · 0,64 · 0,77 · 0,91 değerlerini taşır. Kosinüs satırında 0,91 · 0,77 · soru işareti · 0,42 yazılıdır. Açı 25° 40° 50° 65° sin 0,42 0,64 0,77 0,91 cos 0,91 0,77 ? 0,42
Çözümü göster
Soru 46İşlemAçık uçlu6 puanKolay, zorluk 3 / 10
Şekildeki tabloda özel açıların sinüs, kosinüs ve tanjant değerleri verilmiştir; üç hücre boş bırakılmıştır.Boş hücrelere gelen değerleri aşağıdaki maddelerde yazınız.
Özel açıların trigonometrik oranları tablosu Dört sütunlu tablo; başlıklar açı, 30, 45 ve 60 derecedir. Sinüs satırında yalnız karekök 2 bölü 2 yazılıdır; birinci ve üçüncü hücre boştur. Kosinüs satırında karekök 2 bölü 2 ile 1 bölü 2 yazılı, birinci hücre boştur. Tanjant satırı karekök 3 bölü 3, 1 ve karekök 3 ile doludur. Açı 30° 45° 60° sin 2 2 cos 2 2 1 2 tan 3 3 1 3
  1. a)
    Sinüs satırında 30∘{30^{\circ}} sütunundaki boş hücreye gelen değeri yazınız.(2 puan)
  2. b)
    Sinüs satırında 60∘{60^{\circ}} sütunundaki boş hücreye gelen değeri yazınız.(2 puan)
  3. c)
    Kosinüs satırında 30∘{30^{\circ}} sütunundaki boş hücreye gelen değeri yazınız.(2 puan)
Çözümü göster
Soru 47Yeni nesilÇoktan seçmeli5 puanOrta, zorluk 6 / 10
Bir marangoz, atölyesindeki üç gönyenin ölçülerini bir çizelgeye yazmıştır. Her gönyede bir dar açı işaretlenmiş, bu açının karşısındaki ve komşusundaki dik kenarların uzunlukları kaydedilmiştir:I numaralı gönye: karşı dik kenar 8{8} cm, komşu dik kenar 12{12} cm.II numaralı gönye: karşı dik kenar 18{18} cm, komşu dik kenar 12{12} cm.III numaralı gönye: karşı dik kenar 12{12} cm, komşu dik kenar 20{20} cm.Marangoz dördüncü bir gönyeyi de aynı biçimde ölçmüş; bu gönyede işaretli açının karşısındaki dik kenarı 12{12} cm, komşusundaki dik kenarı 18{18} cm bulmuştur.Buna göre dördüncü gönyede işaretli açının tümleri, hangi gönyede işaretli açıdır?
  1. AYalnız I
  2. BYalnız II
  3. CYalnız III
  4. DI ve II
  5. EI ve III
Çözümü göster
Soru 48SözelAçık uçlu15 puanZor, zorluk 8 / 10
Aşağıdaki cümle her dik üçgen için doğru değildir:"Bir dik üçgende bir dar açının karşısındaki dik kenar uzadıkça o dar açının sinüs değeri de büyür."Aşağıdaki soruları cevaplayınız.
  1. a)
    Kenar uzunluklarını kendiniz seçerek bu cümlenin yanlış olduğunu gösteren iki dik üçgen yazınız; iki üçgende de sinüs değerini hesaplayarak cümleyi neden çürüttüklerini açıklayınız.(8 puan)
  2. b)
    Cümlenin her dik üçgen için doğru olması isteniyorsa cümleye üçgenin hipotenüsü hakkında hangi koşul eklenmelidir? Koşulu bir cümleyle yazınız ve bu koşulun neden işe yaradığını açıklayınız.(7 puan)
Çözümü göster
Soru 49SözelKısa cevap6 puanOrta, zorluk 4 / 10
Aşağıdaki cümlede hangi açıdan ve hangi kenarlardan söz edildiği yazılmamıştır:"Bir dik üçgende tanjant değeri 0,8{0{,}8} ise bir kenarın uzunluğu ötekinin uzunluğunun 0,8{0{,}8} katıdır."Bu cümleyi, hangi açının tanjant değerinden ve hangi iki kenardan söz edildiğini belirterek eksiksiz biçimde yeniden yazınız.
Çözümü göster
Soru 50KavramÇoktan seçmeli3 puanKolay, zorluk 3 / 10
Ölçüleri toplamı 90∘{90^{\circ}} olan iki dar açının trigonometrik oranları arasında bağıntılar vardır.Buna göre aşağıdaki çarpımlardan hangisinin değeri 1{1} sayısına eşittir?
  1. Asin⁡35∘⋅sin⁡55∘\displaystyle \sin 35^{\circ} \cdot \sin 55^{\circ}
  2. Btan⁡40∘⋅tan⁡60∘\displaystyle \tan 40^{\circ} \cdot \tan 60^{\circ}
  3. Ctan⁡35∘⋅tan⁡55∘\displaystyle \tan 35^{\circ} \cdot \tan 55^{\circ}
  4. Dsin⁡35∘⋅cot⁡35∘\displaystyle \sin 35^{\circ} \cdot \cot 35^{\circ}
  5. Etan⁡35∘⋅cot⁡55∘\displaystyle \tan 35^{\circ} \cdot \cot 55^{\circ}
Çözümü göster
Soru 51İşlemÇoktan seçmeli9 puanİleri, zorluk 10 / 10
Kenar uzunlukları cos⁡x{\cos x} birim ve sin⁡x{\sin x} birim olan iki kare çizilmiştir. x{x}, ölçüsü 45∘{45^{\circ}}den küçük bir dar açıdır ve sin⁡x+cos⁡x=75{\sin x + \cos x = \dfrac{7}{5}} olarak veriliyor.Buna göre büyük karenin alanı ile küçük karenin alanının farkı kaç birimkaredir?
  1. A2425\displaystyle \dfrac{24}{25}
  2. B15\displaystyle \dfrac{1}{5}
  3. C4925\displaystyle \dfrac{49}{25}
  4. D725\displaystyle \dfrac{7}{25}
  5. E1225\displaystyle \dfrac{12}{25}
Çözümü göster
Soru 52İşlemÇoktan seçmeli7 puanZor, zorluk 8 / 10
x{x} bir dar açı ölçüsü olmak üzere tan⁡x+cot⁡x=52{\tan x + \cot x = \dfrac{5}{2}} olarak veriliyor.Buna göre sin⁡4x+cos⁡4x{\sin^{4}x + \cos^{4}x} ifadesinin değeri kaçtır?
  1. A2125\displaystyle \dfrac{21}{25}
  2. B15\displaystyle \dfrac{1}{5}
  3. C3325\displaystyle \dfrac{33}{25}
  4. D25\displaystyle \dfrac{2}{5}
  5. E1725\displaystyle \dfrac{17}{25}
Çözümü göster
Soru 53KavramÇoktan seçmeli3 puanKolay, zorluk 3 / 10
Özel açıların tanjant değerleri ve bu değerlerin yaklaşık karşılıkları şöyledir: tan⁡30∘=33≈0,6{\tan 30^{\circ} = \dfrac{\sqrt{3}}{3} {\approx} 0{,}6}, tan⁡45∘=1{\tan 45^{\circ} = 1}, tan⁡60∘=3≈1,7{\tan 60^{\circ} = \sqrt{3} {\approx} 1{,}7}.Bu üç değere bakıldığında dar açının ölçüsü ile tanjant değeri arasındaki ilişki için aşağıdakilerden hangisi söylenebilir?
  1. ATanjant değeri açı ölçüsüne bağlı değildir.
  2. BAçı ölçüsü büyüdükçe tanjant değeri büyür.
  3. CTanjant değeri 1 sayısını geçemez.
  4. DAçı ölçüsü büyüdükçe tanjant değeri küçülür.
  5. ETanjant yalnız özel açılarda bulunur.
Çözümü göster
Soru 54SözelÇoktan seçmeli3 puanKolay, zorluk 3 / 10
Bir dik üçgende bir dar açının ölçüsü ile hipotenüsün uzunluğu biliniyor; bu dar açının karşısındaki dik kenarın uzunluğu bulunacaktır.Buna göre bu uzunluğu doğrudan bulmak için aşağıdakilerden hangisi kullanılır?
  1. Akosinüs oranı
  2. Bsinüs oranı
  3. Ctanjant oranı
  4. Dkotanjant oranı
  5. EPisagor bağıntısı
Çözümü göster
Soru 55KavramKısa cevap4 puanKolay, zorluk 2 / 10
Merkezi orijinde ve yarıçapı 1{1} birim olan çembere birim çember denir. Şekilde birim çember ile ölçüsü 45∘{45^{\circ}} olan bir açı çizilmiştir; açının başlangıç kolu yatay eksenin pozitif yönü, bitiş kolu ise çemberi P{P} noktasında kesen ışındır. P{P} noktasından eksenlere inen kesikli çizgiler bu noktanın apsisini ve ordinatını gösterir.Buna göre P{P} noktasının apsisi ile ordinatının toplamı kaçtır?
Birim çemberde 45 derecelik açı Birim çember. Merkezden çıkan yarıçap, yatay eksenin pozitif yönüyle 45 derecelik açı yapar ve çemberi birinci bölgedeki P noktasında keser. P noktasından iki eksene kesikli izdüşümler inmiştir. Eksenlerde 1 ve eksi 1 değerleri yazılıdır. 1 -1 1 -1 45° P O
Çözümü göster
Soru 56KavramÇoktan seçmeli5 puanOrta, zorluk 6 / 10
Şekilde birim çember üzerinde, başlangıç kolları yatay eksenin pozitif yönü olan iki açı çizilmiştir. Ölçüleri 45∘{45^{\circ}} ve 135∘{135^{\circ}} olan bu açıların bitiş kolları çemberi sırasıyla P{P} ve R{R} noktalarında kesmektedir. Birim çember üzerindeki bir noktanın apsisi ilgili açının kosinüs, ordinatı ise sinüs değeridir.Buna göre P{P} ile R{R} noktalarının koordinatları arasındaki ilişki için aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
Birim çemberde 45 ve 135 derecelik iki açı Birim çember. İki yarıçap vardır: biri yatay eksenin pozitif yönüyle 45 derecelik açı yapıp çemberi birinci bölgedeki P noktasında, öteki 135 derecelik açı yapıp ikinci bölgedeki R noktasında keser. Eksenlerde 1 ve eksi 1 değerleri yazılıdır. 1 -1 1 -1 45° P 135° R O
  1. AApsisler eşit, ordinatlar zıt işaretlidir.
  2. BApsisler de ordinatlar da eşittir.
  3. COrdinatlar eşit, apsisler zıt işaretlidir.
  4. DApsisler de ordinatlar da zıt işaretlidir.
  5. EDört koordinatın dördü de pozitiftir.
Çözümü göster
Soru 57KavramÇoktan seçmeli3 puanKolay, zorluk 3 / 10
Başlangıç kolu yatay eksenin pozitif yönü olan yönlü bir açı, pozitif yönde ölçüldüğünde saat yönünün tersine, negatif yönde ölçüldüğünde saat yönünde dönülerek elde edilir. Birim çemberin eksenlerle ayrılan dört bölgesi, pozitif yönde ilerlenerek I{\text{I}}, II{\text{II}}, III{\text{III}} ve IV{\text{IV}} diye numaralanır.Ölçüsü −200∘{-200^{\circ}} olan yönlü bir açının bitiş kolu hangi bölgededir?
  1. AI. bölge
  2. BII. bölge
  3. CIII. bölge
  4. DIV. bölge
  5. EBitiş kolu yatay eksen üzerindedir.
Çözümü göster
Soru 58KavramKısa cevap6 puanOrta, zorluk 5 / 10
Şekilde birim çember üzerinde, başlangıç kolu yatay eksenin pozitif yönü olan bir yönlü açı ile ölçüsü verilmiştir. Yayın ucundaki ok dönme yönünü, bitiş kolunun çemberi kestiği P{P} noktasından eksenlere inen kesikli çizgiler ise bu noktanın koordinatlarını gösterir. Aynı bitiş kolu, başlangıç kolundan saat yönünde dönülerek de elde edilebilir.Buna göre bu bitiş kolunu veren ve ölçüsü negatif olan yönlü açının ölçüsü kaç derecedir?
Birim çemberde 250 derecelik yönlü açı Birim çember. Başlangıç kolu yatay eksenin pozitif yönüdür. Yay saat yönünün tersine çizilmiştir, ucunda yön oku vardır ve ölçüsü 250 derece yazılıdır. Bitiş kolu çemberi üçüncü bölgedeki P noktasında keser; bu noktadan eksenlere kesikli izdüşümler iner. 1 -1 1 -1 250° P O
Çözümü göster
Soru 59İşlemÇoktan seçmeli7 puanZor, zorluk 7 / 10
α{\alpha} bir dar açı ölçüsü olmak üzere cot⁡(90∘−α)=512{\cot(90^{\circ} - \alpha) = \dfrac{5}{12}} olarak veriliyor.Buna göre cos⁡α{\cos\alpha} değeri kaçtır?
  1. A512\displaystyle \dfrac{5}{12}
  2. B513\displaystyle \dfrac{5}{13}
  3. C125\displaystyle \dfrac{12}{5}
  4. D1213\displaystyle \dfrac{12}{13}
  5. E1312\displaystyle \dfrac{13}{12}
Çözümü göster
Soru 60KavramÇoktan seçmeli5 puanOrta, zorluk 5 / 10
Ölçüsü α{\alpha} olan bir açı için 0∘<α<180∘{0^{\circ} < \alpha < 180^{\circ}} ve sin⁡α=12{\sin\alpha = \dfrac{1}{2}} olduğu biliniyor. Açının dar açı mı geniş açı mı olduğu belirtilmemiştir.Buna göre cos⁡α{\cos\alpha} değeri için aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
  1. A32\displaystyle \dfrac{\sqrt{3}}{2}
  2. B−32\displaystyle -\dfrac{\sqrt{3}}{2}
  3. C12\displaystyle \dfrac{1}{2}
  4. D−32 ya da 32\displaystyle -\dfrac{\sqrt{3}}{2} \text{ ya da } \dfrac{\sqrt{3}}{2}
  5. EKosinüs değeri hiçbir biçimde bulunamaz.
Çözümü göster
Soru 61SözelKısa cevap6 puanOrta, zorluk 6 / 10
Bir uçağın iniş sırasında izlediği doğrultunun yatayla yaptığı ve aşağıya doğru bakan açıya alçalma açısı denir. Bir yolcu uçağı, alçalma açısı 3∘{3^{\circ}} olacak biçimde düz bir doğrultuda alçalarak pistin başlangıç noktasına inecektir. Uçak, alçalmaya başladığı anda yerden 600{600} m yüksektedir. (tan⁡3∘≈0,05{\tan 3^{\circ} {\approx} 0{,}05} alınız.)Buna göre uçak, alçalmaya başladığı anda pistin başlangıç noktasına yatay olarak kaç kilometre uzaklıktadır?
Çözümü göster
Soru 62SözelKısa cevap6 puanOrta, zorluk 6 / 10
Gergin bir uçurtma ipi, yatay zeminle 60∘{60^{\circ}}lik açı yapmaktadır. Uçurtma, ipi tutan elin bulunduğu yataydan 24{24} m yukarıdadır. Bu ip yalnız tam sayı metre olarak satılmaktadır. (3≈1,7{\sqrt{3} {\approx} 1{,}7} alınız.)Buna göre ipin tamamını elde etmek için en az kaç metre ip alınmalıdır?
Çözümü göster
Soru 63SözelÇoktan seçmeli7 puanZor, zorluk 7 / 10
Bir fabrikanın düşey bacasının tepesindeki bakım platformundan, zemindeki bir işarete bakılmaktadır. Şekilde [AB]⊥[BC]{[AB] \perp [BC]} olup bacanın yüksekliği ∣AB∣=21{|AB| = 21} m, bakış doğrultusunun bacanın düşey gövdesiyle yaptığı açının ölçüsü m(BAC^)=30∘{\text{m}(\widehat{BAC}) = 30^{\circ}}dir. Bacanın dibi ile işaret aynı yatay düzlemdedir.Buna göre işaretin bacanın dibine olan uzaklığı kaç metredir?
Baca ve zemindeki işaret Dik üçgen. Düşey kenar bacanın gövdesidir ve uzunluğu 21 olarak yazılıdır; alt ucunda dik açı işareti vardır. Üst köşedeki açı, bacanın düşey gövdesi ile bakış doğrultusu arasında olup 30 derecedir. Yatay kenarın uzunluğu yazılmamıştır. 30° 21 A B C
  1. A73\displaystyle 7\sqrt{3}
  2. B213\displaystyle 21\sqrt{3}
  3. C143\displaystyle 14\sqrt{3}
  4. D2132\displaystyle \dfrac{21\sqrt{3}}{2}
  5. E7\displaystyle 7
Çözümü göster
Soru 64KavramÇoktan seçmeli5 puanOrta, zorluk 6 / 10
Bir ABC{ABC} üçgeninde ∣AB∣=20{|AB| = 20} birim, ∣BC∣=30{|BC| = 30} birim ve m(ABC^){\text{m}(\widehat{ABC})} açısının sinüs değeri 35{\dfrac{3}{5}}'tür. A{A} köşesinden BC{BC} doğrusuna inilen dikmenin ayağı H{H} noktasıdır.Buna göre ∣HC∣{|HC|} uzunluğu kaç birimdir?
  1. A14\displaystyle 14
  2. B46\displaystyle 46
  3. C18\displaystyle 18
  4. D42\displaystyle 42
  5. EBelirlenemez; iki durum da mümkündür.
Çözümü göster
Soru 65KavramÇoktan seçmeli5 puanOrta, zorluk 5 / 10
Bir dik üçgenin dar açılarından birinin ölçüsü α{\alpha} ve cos⁡α=1213{\cos\alpha = \dfrac{12}{13}}'dir. Üçgenin kenar uzunluklarıyla ilgili başka hiçbir bilgi verilmemiştir.Buna göre aşağıdakilerden hangisinin değeri yalnız bu bilgiyle belirlenemez?
  1. Asin⁡α\displaystyle \sin\alpha
  2. Btan⁡α\displaystyle \tan\alpha
  3. CHipotenüsün uzunluğu
  4. Dcot⁡α\displaystyle \cot\alpha
  5. Esin⁡α+cos⁡α\displaystyle \sin\alpha + \cos\alpha
Çözümü göster
Soru 66İşlemKısa cevap8 puanZor, zorluk 7 / 10
Şekilde ABCD{ABCD} dörtgeni ile [AC]{[AC]} köşegeni verilmiştir. [AB]⊥[BC]{[AB] \perp [BC]} ve [AC]⊥[CD]{[AC] \perp [CD]} olup A{A} köşesindeki açı [AC]{[AC]} köşegeniyle iki eş parçaya ayrılmıştır; iki parçanın da ölçüsü x{x} ile gösterilmiştir. ∣AB∣=16{|AB| = 16} birim ve cos⁡x=45{\cos x = \dfrac{4}{5}}'tür.Buna göre ∣CD∣{|CD|} kaç birimdir?
İç içe iki dik üçgenden kurulu dörtgen ABCD dörtgeni ve AC köşegeni. B köşesindeki açı ile [AC] köşegeninin C köşesinde [CD] kenarıyla yaptığı açı diktir. A köşesindeki açı köşegenle iki eş parçaya ayrılmıştır; iki parça da x ile gösterilmiştir. AB kenarının üstünde 16 yazılıdır. x x 16 A B C D
Çözümü göster
Soru 67KavramKısa cevap8 puanZor, zorluk 7 / 10
Aşağıda üç geniş açının kosinüs değerleri verilmiştir:I. cos⁡120∘{\cos 120^{\circ}}II. cos⁡135∘{\cos 135^{\circ}}III. cos⁡150∘{\cos 150^{\circ}}Bu üç değeri küçükten büyüğe sıralayıp numaralarını yazınız.
Çözümü göster
Soru 68SözelAçık uçlu20 puanİleri, zorluk 9 / 10
Bir bahçeye kurulan güneş saatinin çubuğu zemine diktir. Güneş ışınlarının zeminle yaptığı açı, çubuğun tepesi ile gölgesinin ucunu birleştiren doğrultunun zeminle yaptığı açıdır. Bir sabah üç ölçüm yapılmış ve gölgenin uzunluğu birinci ölçümde çubuğun boyunun 3{\sqrt{3}} katı, ikinci ölçümde çubuğun boyuna eşit, üçüncü ölçümde ise çubuğun boyunun 33{\dfrac{\sqrt{3}}{3}} katı bulunmuştur.Aşağıdaki soruları sırayla cevaplayınız.
  1. a)
    Birinci ölçümde güneş ışınlarının zeminle yaptığı açının ölçüsünü bulunuz.(5 puan)
  2. b)
    İkinci ölçümde bu açının ölçüsünü bulunuz.(5 puan)
  3. c)
    Üçüncü ölçümde bu açının ölçüsünü bulunuz.(4 puan)
  4. ç)
    Birinci ölçümden üçüncü ölçüme geçerken gölge uzunluğunun kaç katına indiğini ve güneş ışınlarının zeminle yaptığı açının kaç katına çıktığını yazınız.(3 puan)
  5. d)
    Bulduğunuz iki orana bakarak gölge uzunluğu ile güneş ışınlarının zeminle yaptığı açı arasındaki ilişki için kendi cümlenizle bir önerme yazınız; bu iki niceliğin ters orantılı olup olmadığını da bulduğunuz oranlara dayanarak belirtiniz.(3 puan)
Çözümü göster
Soru 69İşlemAçık uçlu20 puanİleri, zorluk 9 / 10
Şekildeki ABC{ABC} dik üçgeninde [AB]⊥[BC]{[AB] \perp [BC]} olup [AB]{[AB]} kenarı düşey, [BC]{[BC]} kenarı yataydır. A{A} köşesindeki açı [AB]{[AB]} ile [AC]{[AC]} arasında ölçülmüştür; m(BAC^)=60∘{\text{m}(\widehat{BAC}) = 60^{\circ}} ve ∣BC∣=15{|BC| = 15} birimdir.Aşağıdaki soruları sırayla cevaplayınız.
Tepe köşesindeki açısı işaretli dik üçgen Dik üçgen. B köşesindeki açı diktir; AB kenarı düşey, BC kenarı yataydır. A köşesindeki açı AB ile AC arasında ölçülmüş olup 60 derecedir. BC kenarının uzunluğu 15 olarak yazılıdır; öteki iki kenarın uzunluğu yazılmamıştır. 60° 15 A B C
  1. a)
    C{C} köşesindeki açının ölçüsünü bulunuz.(3 puan)
  2. b)
    ∣AB∣{|AB|} uzunluğunu bulunuz.(6 puan)
  3. c)
    ∣AC∣{|AC|} uzunluğunu bulunuz.(5 puan)
  4. ç)
    Bir öğrenci ∣AB∣{|AB|} uzunluğunu bulmak için ∣BC∣⋅tan⁡60∘{|BC| \cdot \tan 60^{\circ}} işlemini yazmıştır. Bu işlemin doğru olup olmadığını; 60∘{60^{\circ}}lik açının karşısındaki ve komşusundaki dik kenarların hangileri olduğunu ve doğru işlemin ne olması gerektiğini belirterek gerekçelendiriniz.(6 puan)
Çözümü göster
Soru 70İşlemAçık uçlu20 puanİleri, zorluk 9 / 10
Şekilde ABCD{ABCD} dörtgeni ile [AC]{[AC]} köşegeni verilmiştir. [AB]⊥[BC]{[AB] \perp [BC]} ve [AC]⊥[CD]{[AC] \perp [CD]} olup A{A} köşesindeki açı [AC]{[AC]} köşegeniyle iki eş parçaya ayrılmıştır; iki parçanın da ölçüsü x{x} ile gösterilmiştir. x{x} bir dar açı ölçüsü ve ∣AB∣=1{|AB| = 1} birimdir.Aşağıdaki uzunlukları x{x} cinsinden yazınız.
İç içe iki dik üçgenden kurulu dörtgen ABCD dörtgeni ve AC köşegeni. B köşesindeki açı ile [AC] köşegeninin C köşesinde [CD] kenarıyla yaptığı açı diktir. A köşesindeki açı köşegenle iki eş parçaya ayrılmıştır; iki parça da x ile gösterilmiştir. AB kenarının üstünde 1 yazılıdır. x x 1 A B C D
  1. a)
    ∣AC∣{|AC|} uzunluğunu x{x} cinsinden yazınız.(6 puan)
  2. b)
    ∣AD∣{|AD|} uzunluğunu x{x} cinsinden yazınız.(7 puan)
  3. c)
    ∣BC∣{|BC|} uzunluğunun ∣CD∣{|CD|} uzunluğuna oranını x{x} cinsinden yazınız.(7 puan)
Çözümü göster
Soru 71SözelAçık uçlu15 puanZor, zorluk 8 / 10
Bir dik üçgende dar açılardan birinin ölçüsü α{\alpha} olup tan⁡α=34{\tan\alpha = \dfrac{3}{4}}'tür. Bu üçgenin dik kenarlarından birinin uzunluğu 12{12} birimdir; ancak bu kenarın α{\alpha} açısının karşısındaki dik kenar mı yoksa komşusundaki dik kenar mı olduğu belirtilmemiştir.Aşağıdaki soruları sırayla cevaplayınız.
  1. a)
    12{12} birimlik kenar α{\alpha} açısının karşısındaki dik kenar ise üçgenin alanı kaç birimkaredir?(5 puan)
  2. b)
    12{12} birimlik kenar α{\alpha} açısının komşusundaki dik kenar ise üçgenin alanı kaç birimkaredir?(3 puan)
  3. c)
    Verilen bilgilerle üçgenin alanı için tek bir değer yazılabilir mi? Cevabınızı gerekçesiyle yazınız.(3 puan)
  4. ç)
    Alanın tek bir değer alması için soruya eklenebilecek bir bilgiyi bir cümleyle yazınız ve bu bilginin belirsizliği neden ortadan kaldırdığını açıklayınız.(4 puan)
Çözümü göster
Soru 72İşlemKısa cevap8 puanZor, zorluk 8 / 10
Şekildeki ABC{ABC} üçgeninde m(ABC^)=120∘{\text{m}(\widehat{ABC}) = 120^{\circ}} ve ∣AB∣=m{|AB| = m} birimdir (m>0{m > 0}). A{A} köşesinden BC{BC} doğrusuna inilen dikme ([AH]⊥[HC]{[AH] \perp [HC]}) şekilde kesikli çizgiyle gösterilmiştir; dikmenin ayağı olan H{H} noktası [BC]{[BC]} kenarının dışında, B{B} noktasının ötesinde kalmaktadır.Buna göre ABH{ABH} dik üçgeninin çevresini m{m} cinsinden yazınız.
Geniş açılı üçgen ve ayağı dışa düşen dikme ABC üçgeninde B köşesindeki açı 120 derecedir. A köşesinden BC doğrusuna inilen dikme kesikli çizgiyle gösterilmiştir; dikmenin ayağı olan H noktası BC kenarının dışında, B noktasının ötesindedir. Ayakta dik açı işareti vardır. 120° B A C H
Çözümü göster

Ders kılavuzu

Dersi açmak için çengel sorular, kavramı somutlaştıran benzetmeler ve öğrencilerin sık yaptığı yanlışlar.

Derse giriş: çengel sorular

  • Ağaca çıkmadan boyunu ölçmek

    Sınıfa tek bir soru sorun: bahçedeki ağacın boyunu, ağaca çıkmadan ve merdiven kullanmadan nasıl ölçersiniz? Bir süre bırakın. Gelen cevapların çoğu gölgeyle ilgili olacak, bu iyi bir başlangıçtır. Gölgenin uzunluğunu ölçmek kolaydır; ağacın boyu ise gölgeyle birlikte bir dik üçgen kurar. Eksik olan tek şey, güneşin o andaki yükseklik açısıdır. Bu bölümün tamamı o eksik parçayı bir sayıya çevirir: bir dar açıyı bilirsek, dik üçgenin kenarları arasındaki oranı da biliriz.

    ag˘acın boyugo¨lgenin uzunlug˘u=tan⁡α\displaystyle \dfrac{\text{ağacın boyu}}{\text{gölgenin uzunluğu}} = \tan\alpha

  • İki farklı üçgen, aynı sayı

    Tahtaya bir dar açı çizin, kollarını uzatın. Bu açının kollarını kesen iki ayrı dikme çizin: biri yakında, biri uzakta. Ortaya iki dik üçgen çıkar ve biri ötekinin büyütülmüş hâlidir. Kenar uzunlukları farklıdır. Şimdi her iki üçgende de karşı dik kenarı hipotenüse bölün ve sonuçları karşılaştırın: aynı sayı çıkar. Bu ders boyunca kullanılacak bütün oranların var olma sebebi budur. Oran kenara değil, yalnız açıya bağlıdır.

    ∣BC∣∣AC∣=∣B′C′∣∣A′C′∣\displaystyle \dfrac{|BC|}{|AC|} = \dfrac{|B'C'|}{|A'C'|}

  • Neden hep 30, 45, 60?

    Öğrenciye sorun: bir kâğıdı köşegeninden katlarsanız hangi açılar çıkar? Kareyi katlayınca 45 derece, eşkenar üçgeni ortadan katlayınca 30 ve 60 derece çıkar. Üç açının özel olmasının sebebi budur: ikisi de bilinen bir şekli ikiye bölmekten doğar, yani kenar oranları ölçmeden hesaplanabilir. Bu bölümde ezberlenecek tek tablo bu üç açınındır ve o tablo aslında iki katlama hareketidir.

    tan⁡45∘=1\displaystyle \tan 45^{\circ} = 1

  • Dik üçgenin geniş açısı yoktur; peki 150 derecenin sinüsü ne?

    Dört oranı dik üçgende tanımladıktan sonra tahtaya bir geniş açı yazın ve sinüsünü sorun. Sınıf tıkanacaktır, çünkü bir dik üçgende geniş açı bulunamaz: iki açının toplamı zaten doksan derecedir. Tanım tükendi demektir. İşte birim çember tam buraya girer. Yarıçapı bir olan bir çemberde açının ucundaki noktanın ordinatına sinüs, apsisine kosinüs dersek, dik üçgendeki bütün eski değerler aynı kalır ama tanım artık geniş açılara da yeter.

    sin⁡150∘=12\displaystyle \sin 150^{\circ} = \dfrac{1}{2}

  • Aynı yerde duran iki farklı açı

    Tahtaya bir başlangıç kolu ve bir bitiş kolu çizin, arayı işaretlemeden sorun: bu açının ölçüsü kaçtır? İki cevap gelir ve ikisi de doğrudur, çünkü kollar arasında dönmenin iki yönü vardır. Şekil, dönmenin yönünü göstermeden ölçüyü tek başına belirleyemez. Yönlü açı bu eksikliği kapatır: saat yönünün tersi pozitif, saat yönü negatif sayılır ve ölçü artık tektir.

    −60∘ ile 300∘\displaystyle -60^{\circ} \text{ ile } 300^{\circ}

Benzetmeler

  • Karşı ve komşu dik kenar

    Öğrenciye açının köşesine oturmasını söyleyin. Karşısında duran kenar karşı dik kenardır, yanından geçip gittiği kenar komşu dik kenardır. Köşe değişince oturduğu yer değişir, dolayısıyla karşı ile komşu da yer değiştirir. Hipotenüs ise oturduğu yer neresi olursa olsun aynı kalır, çünkü onu belirleyen dar açı değil dik açıdır.

  • Oranın açıya bağlı olması

    Bir fotoğrafı büyütmek gibidir. Fotoğraftaki insanın boyu santimetre olarak değişir ama omuz genişliğinin boya oranı değişmez; büyütme bütün uzunlukları aynı sayıyla çarpar ve oranda o sayı sadeleşir. Benzer dik üçgenler de aynı fotoğrafın iki baskısıdır.

  • Hipotenüs

    Hipotenüs, üçgenin eğik duran kenarı değil, dik açının tam karşısında duran kenardır. Şekli döndürünce eğik duran kenar değişir, hipotenüs değişmez. En uzun kenar olması da buradan gelir: en büyük açının karşısında en uzun kenar bulunur.

  • Birim çember

    Uç noktası hep bir birim uzakta gezen bir pergel ucu gibidir. Pergel döndükçe uç noktanın gölgesi iki eksende ileri geri gider: yatay eksendeki gölgesi kosinüs, dikey eksendeki gölgesi sinüstür. Pergelin boyu bir olduğu için gölgeler hiçbir zaman bir birimi aşamaz.

  • Özdeşlik ile denklem farkı

    Denklem bir soru, özdeşlik bir yasadır. Denklem yalnız bazı değerler için doğrudur ve o değerleri aramak işimizdir; özdeşlik tanım kümesindeki her değer için doğrudur, aranacak bir şey yoktur. Bu bölümdeki altı bağıntının başındaki 'bir dar açı ölçüsü olmak üzere' ifadesi, yasanın nerede geçerli olduğunu söyleyen sınırdır.

  • Yönlü açı

    Bir vidayı çevirmek gibidir. Aynı yarım turu iki yöne de atabilirsiniz; sonuçta kol aynı yerde durur ama yaptığınız iş aynı değildir. Yön bilgisi kaybolursa hangi yöne ne kadar döndüğünüz de kaybolur, bu yüzden ölçünün önüne bir işaret koyarız.

Sık yapılan yanlışlar

  • Bir dik üçgende karşı dik kenar ile komşu dik kenar sabittir; hangi açıya bakıldığının önemi yoktur.

    Karşı ve komşu adları açıya göre verilir, üçgene göre değil. Aynı dik üçgende iki dar açı vardır ve birinin karşı dik kenarı ötekinin komşu dik kenarıdır. Bu yüzden aynı üçgende sin⁡α{\sin\alpha} ile sin⁡β{\sin\beta} farklı sayılardır; adlandırma açı değişince yer değiştirir.

    Her oran yazılmadan önce hangi açıya bakıldığını öğrenciye söyletin ve o açıyı şekilde işaretletin. Tek bir üçgen üzerinde önce bir dar açıya, sonra ötekine göre dört oranı da yazdırın; sekiz satır yan yana durunca değişimin kendisi görünür hâle gelir.

    sin⁡α=cos⁡β\displaystyle \sin\alpha = \cos\beta

  • Açı üçgenin tepesinde verilmişse karşı dik kenar yine tabandır.

    Bu, birinci yanılgının en sık görülen hâlidir. Üçgen alışılmış duruşundan çıkıp tepe açısı işaretlendiğinde öğrenci adlandırmayı şeklin duruşundan okumaya devam eder; oysa adlandırma yalnız işaretli açıya bağlıdır. Sonuç sinüs ile kosinüsün yer değiştirmesidir ve cevap çoğu zaman yine 'makul' göründüğü için hata fark edilmez.

    Aynı üçgeni iki kez çizdirin: biri tabanı altta, biri doksan derece döndürülmüş. İki çizimde de aynı açıyı işaretletip oranları yazdırın. İki liste birebir aynı çıkmalıdır; çıkmıyorsa hata adlandırmadadır.

    tan⁡α=kars¸ı dik kenar uzunlug˘ukoms¸u dik kenar uzunlug˘u\displaystyle \tan\alpha = \dfrac{\text{karşı dik kenar uzunluğu}}{\text{komşu dik kenar uzunluğu}}

  • Üçgen büyüdükçe sinüs de büyür.

    Oran bir bölmedir ve benzer üçgenlerde pay ile payda aynı sayıyla çarpılır; o sayı sadeleşir. Üç, dört, beş kenarlı üçgen ile altı, sekiz, on kenarlı üçgende en küçük açının sinüsü de aynıdır. Sinüsü büyüten tek şey açının kendisidir.

    Tahtada bir dik üçgenin bütün kenarlarını ikiyle çarptırıp dört oranı yeniden hesaplatın. Dört sayı da değişmez. Sonra yalnız açıyı büyütün ve sinüsün arttığını gösterin; değişkenin hangisi olduğu böylece ayrışır.

    35=610\displaystyle \dfrac{3}{5} = \dfrac{6}{10}

  • Benzer iki üçgende kenarlar, şekilde yan yana duruşlarına göre eşlenir.

    Benzerlikte kenarlar duruşa göre değil, karşılarındaki açılara göre eşlenir. Üçgenlerden biri döndürülmüş ya da yansıtılmışsa göz yanlış çifti kurar ve oran ters çıkar. Bu, orandan kenar bulunan her soruda sonucu bozan sessiz hatadır.

    Eşlemeyi kenardan değil açıdan başlatın: önce eşit açıları işaretletin, sonra her açının karşısındaki kenarı yazdırın. Oranı ancak bu iki adım bitince kurdurun.

    ∣AB∣∣A′B′∣=∣BC∣∣B′C′∣\displaystyle \dfrac{|AB|}{|A'B'|} = \dfrac{|BC|}{|B'C'|}

  • sin⁡2α{\sin^{2}\alpha} ifadesi, açının karesinin sinüsü demektir.

    sin⁡2α{\sin^{2}\alpha} yazımı (sin⁡α)2{(\sin\alpha)^{2}} için kullanılan bir kısaltmadır: önce sinüs alınır, sonra sonuç karesi alınır. Açının karesinin sinüsü ise sin⁡(α2){\sin(\alpha^{2})} diye yazılır ve bu bölümün konusu değildir. İkisi farklı sayılardır.

    Otuz derece üzerinde bir kez hesaplatın: sin⁡230∘{\sin^{2}30^{\circ}} değeri dörtte birdir. Öğrenci ötekini hesaplamaya kalkınca dokuz yüz derecenin sinüsüne varır ve ayrım kendiliğinden görünür. Özdeşlikleri yazarken üssün nereye konduğunu her seferinde okutun.

    sin⁡2α=(sin⁡α)2\displaystyle \sin^{2}\alpha = (\sin\alpha)^{2}

  • Kofonksiyon bağıntısı yalnız sinüsten kosinüse geçmek için kullanılır.

    Bağıntı iki yönlüdür ve kosinüsten sinüse geçiş de aynı ölçüde geçerlidir. Tek yön ezberlendiğinde cos⁡20∘{\cos 20^{\circ}} ifadesini sin⁡70∘{\sin 70^{\circ}} diye yazma adımı akla gelmez ve sadeleşen bir ifade sadeleşmeden kalır. Aynı ikilik tanjant ile kotanjant arasında da vardır.

    Dört bağıntıyı tahtaya alt alta yazdırın ve her birinin iki yönünü ayrı satır yapın. Sonra iki dar açının toplamının doksan derece olmasının sebebini üçgenin iç açılar toplamından çıkarttırın; bağıntı ezber olmaktan çıkar.

    cos⁡α=sin⁡(90∘−α)\displaystyle \cos\alpha = \sin(90^{\circ} - \alpha)

  • Sinüs gibi kosinüs de her açıda pozitiftir.

    Dar açılarda doğrudur ama geniş açılarda değildir. Birim çemberde geniş açının ucundaki nokta soldaki yarıya düşer, yani apsisi negatiftir; kosinüs apsis olduğu için işaret de negatif olur. Ordinat hâlâ yukarıda kaldığından sinüs pozitif kalır. Bu ayrım kolayca gözden kaçar, çünkü dik üçgen döneminde hiç negatif değer görülmez.

    Geniş bir açıyı birim çemberde çizdirip noktanın hangi yarıda olduğunu söyletin, sonra iki koordinatın işaretini ayrı ayrı yazdırın. Tek bir şekil iki kuralı birden verir. Değerleri ezberletmek yerine noktanın yerine baktırın.

    cos⁡120∘=−12\displaystyle \cos 120^{\circ} = -\dfrac{1}{2}

  • Bir üçgende tepeden tabana inilen dikmenin ayağı her zaman tabanın üzerindedir.

    Tepe açısı geniş olduğunda dikmenin ayağı tabanın dışına düşer ve taban uzatılmadan dikme çizilemez. Ayağın içeride olduğunu varsayan öğrenci, şekildeki uzunlukları yanlış parçalara böler ve toplam yerine fark alınması gereken yerde toplama yapar.

    Geniş açılı bir üçgen çizdirip dikmeyi elle indirtin; ayağın dışarı düştüğünü kendileri görsün. Ardından aynı soruyu dar açılı bir üçgende tekrarlatın. İki şekli yan yana bırakmak, hangi parçanın hangisinden çıkarılacağını görünür kılar.

    ∣BH∣=∣BA∣+∣AH∣\displaystyle |BH| = |BA| + |AH|

  • Saat yönünde dönen bir açının ölçüsü de pozitif yazılır.

    Yönlü açıda işaret yönün kendisidir, süs değil. Saat yönünün tersi pozitif, saat yönü negatif sayılır. İşaret düşürülürse iki farklı dönme aynı sayıyla anlatılmış olur ve yönlü açının var olma sebebi ortadan kalkar.

    Tahtada aynı bitiş kolunu iki farklı yönden çizdirip iki ölçü yazdırın. Aradaki farkın tam bir tur olduğunu buldurun. Ölçüyü yazmadan önce her seferinde yön okunu çizdirmeyi alışkanlık hâline getirin.

    −60∘+360∘=300∘\displaystyle -60^{\circ} + 360^{\circ} = 300^{\circ}

  • Özel açı tablosu sıfır ve doksan derece sütunlarıyla birlikte ezberlenir.

    Bu bölümün oranları dik üçgenin dar açıları için tanımlıdır; sıfır ve doksan derece dar açı değildir ve bir dik üçgende bulunamaz. O sütunlar bu kazanımın kapsamı dışındadır. Uydurulan değerler, özellikle tanjantın doksan derecedeki durumu, sonraki konularda düzeltilmesi zor bir alışkanlık bırakır.

    Tabloyu üç sütunla kurdurun ve başlığına dar açı yazdırın. Öğrenci sınır değerleri sorduğunda soruyu geçersiz saymayın; birim çemberde ileride cevaplanacağını söyleyip kapsam sınırını açıkça çizin.

    0∘<α<90∘\displaystyle 0^{\circ} < \alpha < 90^{\circ}

  • Bir özdeşliğin başındaki koşul cümlesi yalnız bir nezaket ifadesidir.

    Koşul, bağıntının nerede doğru olduğunu söyler ve atılırsa bağıntı yanlışlanabilir hâle gelir. Tanjant ile kotanjantın çarpımının bire eşit olması, iki oranın da tanımlı olmasını gerektirir; kosinüsü sıfır yapan bir açıda tanjant tanımsızdır. Niceleyici ve geçerlilik koşulu dokuzuncu sınıfın ikinci döneminde ayrı bir kazanımda öğretilir, bu yüzden öğrenci onu matematiksel bir bilgi değil süsleme sanır.

    Her özdeşliği yazdırırken koşulu da yazdırın ve koşulun dışında bir değer deneterek ifadenin bozulduğunu gösterin. Bir cümlenin her değer için mi yoksa bazı değerler için mi doğru olduğunu sormak, bu bölümde tekrarlanacak iyi bir alışkanlıktır.

    tan⁡α⋅cot⁡α=1\displaystyle \tan\alpha \cdot \cot\alpha = 1

  • Sinüs bire eşit ya da birden büyük çıkabilir.

    Sinüs, karşı dik kenar uzunluğunun hipotenüs uzunluğuna oranıdır ve hipotenüs bir dik üçgenin en uzun kenarıdır. Payı paydadan büyük olamayan bir kesir birden büyük olamaz. Birden büyük bir sinüs değeri bulan öğrenci, oranı ters kurmuş ya da hipotenüsü yanlış seçmiştir; sonucun kendisi bir denetim aracıdır.

    Her sinüs ve kosinüs sonucunu bire karşı denetletmeyi kural hâline getirin. Birden büyük bir değer çıktığında cevabı silmeyin; hangi kenarın hipotenüs sayıldığını sorun. Hata neredeyse her zaman oradadır.

    0<sin⁡α<1\displaystyle 0 < \sin\alpha < 1

  • Hipotenüs, şekilde eğik duran kenardır.

    Hipotenüsü belirleyen duruş değil, dik açının yeridir: hipotenüs dik açının karşısındaki kenardır. Üçgen döndürüldüğünde eğik duran kenar değişebilir, hipotenüs değişmez. Duruşa bakarak seçen öğrenci, döndürülmüş şekillerde hipotenüs yerine bir dik kenarı böler.

    Dik açıyı işaretletmeden hiçbir oran yazdırmayın. Şekli birkaç kez döndürüp her seferinde hipotenüsü gösterttirin; seçilen kenarın hep aynı kenar olduğunu öğrenci kendisi doğrulasın.

    ∣AC∣2=∣AB∣2+∣BC∣2\displaystyle |AC|^{2} = |AB|^{2} + |BC|^{2}

  • Tanjant ile kotanjantın toplamı birdir.

    Bire eşit olan toplam değil çarpımdır. Karışıklığın kaynağı, sinüs ile kosinüsün karelerinin toplamının bir etmesidir; iki bağıntı zihinde tek bir kalıba çöker. Toplam kuralı kabul edilirse kırk beş derece dışındaki her açıda sonuç yanlış çıkar.

    Otuz derece için iki bağıntıyı da hesaplatın. Çarpım bir eder, toplam etmez. İki özdeşliği tahtada ayrı ayrı çerçeveletip birinin kareli toplam, ötekinin çarpım olduğunu okutun.

    tan⁡30∘⋅cot⁡30∘=1\displaystyle \tan 30^{\circ} \cdot \cot 30^{\circ} = 1

  • Tanjant otuz derecenin değeri paydası kök üç olan kesirdir ve bu biçim son cevaptır.

    Değer doğrudur ama biçim sadeleştirilmemiştir. Paydada kök bırakan bir kesir, iki farklı öğrencinin aynı sonucu farklı yazmasına yol açar ve şıklarla karşılaştırmayı zorlaştırır. Payda rasyonelleştirildiğinde ifade tek bir kanonik biçime oturur.

    Paydayı rasyonelleştirmeyi bu bölümün bitiş adımı ilan edin ve her kök içeren cevabın sonunda uygulattırın. Özel açı tablosunu da baştan bu biçimle yazdırın; sonradan çevirmek zordur.

    tan⁡30∘=33\displaystyle \tan 30^{\circ} = \dfrac{\sqrt{3}}{3}

Tahtada anlatım sırası16 adımı göster
  1. 1
    Bir dar açı çizin ve kollarını uzatın. Kolları kesen iki ayrı dikme çizerek iç içe iki dik üçgen elde edin. Kenar uzunluklarını ölçtürüp yazdırın; iki üçgenin sayıları farklıdır. Sonra her iki üçgende aynı iki kenarın oranını hesaplatın. Sayılar eşit çıkar. Bu eşitlik, dersin geri kalanının dayandığı tek gerçektir: oran açıya bağlıdır, üçgenin büyüklüğüne değil.

    ∣BC∣∣AC∣=∣B′C′∣∣A′C′∣\displaystyle \dfrac{|BC|}{|AC|} = \dfrac{|B'C'|}{|A'C'|}

    Bu adım benzerliktir ve dokuzuncu sınıf kazanımıdır; burada yeniden öğretilmiyor, oranın motoru olarak hatırlatılıyor.

  2. 2
    Dik üçgende kenarları adlandırın. Önce dik açıyı işaretletin ve karşısındaki kenara hipotenüs dedirtin. Sonra bir dar açı seçtirip o açının karşısındaki kenara karşı dik kenar, üçüncüsüne komşu dik kenar dedirtin. Ardından öteki dar açıya geçin ve aynı üç adı yeniden verdirin. İki listenin karşı ile komşu satırlarının yer değiştirdiğini öğrenci kendisi söylesin.

    m(B^)=90∘\displaystyle \text{m}(\widehat{B}) = 90^{\circ}

    Bu adım atlanırsa bölümün en sık hatası buradan girer; adlandırma açıya bağlıdır.

  3. 3
    Dört oranı tanım cümlesiyle yazdırın. Her satırda uzunluk sözcüğü geçsin; oran kenarların değil, uzunluklarının oranıdır. Dört tanımı tahtada bırakın, bütün ders boyunca oraya bakılacak.

    sin⁡α=kars¸ı dik kenar uzunlug˘uhipotenu¨s uzunlug˘u\displaystyle \sin\alpha = \dfrac{\text{karşı dik kenar uzunluğu}}{\text{hipotenüs uzunluğu}}

    Fonksiyon adları sinüs, kosinüs, tanjant, kotanjanttır; kısaltmalarda tg ve ctg kullanılmaz.

  4. 4
    Kenarları üç, dört ve beş birim olan bir dik üçgen çizdirip iki dar açının da dört oranını hesaplatın. Sekiz sayı çıkar. Şimdi bütün kenarları ikiyle çarptırıp aynı sekiz sayıyı yeniden hesaplatın; hiçbiri değişmez. Birinci adımdaki iddia böylece sayıyla doğrulanmış olur.

    sin⁡α=35=610\displaystyle \sin\alpha = \dfrac{3}{5} = \dfrac{6}{10}

    Bu iki tablo sınıfta kalsın; sonraki adımların çoğu buraya dönecek.

  5. 5
    Aynı tabloya bakarak bir dar açının sinüsü ile ötekinin kosinüsünün eşit olduğunu fark ettirin. Sebebini üçgenden çıkarttırın: iki dar açının toplamı doksan derecedir, çünkü üçüncü açı diktir. Buradan kofonksiyon bağıntısını yazdırın ve hemen ters yönünü de ayrı satıra yazdırın.

    sin⁡α=cos⁡(90∘−α)\displaystyle \sin\alpha = \cos(90^{\circ} - \alpha)

    Ters yön ayrı satır olmazsa tek yönlü ezberlenir; kılavuzdaki altıncı yanılgı budur.

  6. 6
    Tanjantı sinüs ile kosinüs cinsinden yazdırın. Tanımları yan yana koyup hipotenüs uzunluğunun sadeleştiğini gösterin. Aynı şeyi kotanjant için tekrarlatın ve iki oranın birbirinin tersi olduğunu buldurun. Çarpımlarının bir ettiğini yazdırın.

    tan⁡α=sin⁡αcos⁡α\displaystyle \tan\alpha = \dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}

    Toplamın değil çarpımın bir ettiğini vurgulayın; on dördüncü yanılgı tam burada doğar.

  7. 7
    Pisagor bağıntısını hipotenüsün karesine bölüp iki oranın karelerinin toplamını yazdırın. Ortaya temel özdeşlik çıkar. Özdeşliğin başına geçerlilik koşulunu yazdırın ve bunun bir nezaket cümlesi olmadığını söyleyin: bağıntı yalnız orada doğrudur.

    sin⁡2α+cos⁡2α=1\displaystyle \sin^{2}\alpha + \cos^{2}\alpha = 1

    Üssün yeri okutulsun; açının karesi değil, sinüsün karesi alınıyor.

  8. 8
    Bir kenarı verilen bir kareyi köşegeninden katlatın. Ortaya iki dar açısı kırk beşer derece olan bir dik üçgen çıkar. Kenar uzunluklarını Pisagor ile buldurup kırk beş derecenin dört oranını yazdırın. Kök içeren cevaplarda paydayı rasyonelleştirtin.

    sin⁡45∘=22\displaystyle \sin 45^{\circ} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}

    Rasyonelleştirme bu bölümün bitiş adımıdır; başından itibaren uygulatın.

  9. 9
    Bir eşkenar üçgeni bir yüksekliğiyle ikiye katlatın. Ortaya otuz ve altmış derecelik dar açıları olan bir dik üçgen çıkar. Kenarları yine Pisagor ile buldurup iki açının oranlarını yazdırın. Üç açının değerlerini tek bir tabloda toplatın ve başlığına dar açı yazdırın.

    tan⁡30∘=33\displaystyle \tan 30^{\circ} = \dfrac{\sqrt{3}}{3}

    Tablo üç sütunludur; sıfır ve doksan derece bu kazanımın kapsamı dışındadır.

  10. 10
    Tablodan bir değer verip kenar buldurun: bir dar açısı ve hipotenüsü bilinen bir dik üçgende karşı dik kenarı hesaplatın. Sonra soruyu ters çevirin: iki kenar verilip açı sorulduğunda tablodan geri okunabileceğini gösterin. Bu iki yön, bölümün bütün uygulama sorularının iskeletidir.

    ∣BC∣=∣AC∣⋅sin⁡α\displaystyle |BC| = |AC| \cdot \sin\alpha

    Verilenleri şekle yazdırmadan hesap yaptırmayın.

  11. 11
    Bir oran verip ötekileri buldurun: sinüsü bilinen bir dar açı için önce uygun bir dik üçgen çizdirin, eksik kenarı Pisagor ile tamamlatın, sonra kalan üç oranı yazdırın. Aynı sonucu bir de temel özdeşlikten çıkarttırın. İki yolun aynı yere vardığını görmek, özdeşliğin ne işe yaradığını anlatır.

    cos⁡α=1−sin⁡2α\displaystyle \cos\alpha = \sqrt{1 - \sin^{2}\alpha}

    Kök alırken dar açıda kosinüsün pozitif olduğu söylensin; işaret tartışması geniş açıda açılacak.

  12. 12
    Gerçek bir ölçme problemi kurdurun: bir gözlem noktasından bir yüksekliğe bakılan açı ve gözlemcinin uzaklığı verilsin, yükseklik istensin. Şekli önce çizdirin, verilenleri şeklin üstüne yazdırın, hangi oranın işe yaradığını öğrenciye seçtirin. Yaklaşık bir kök değeri gerekiyorsa soruda verilen değeri kullandırın.

    h=d⋅tan⁡α\displaystyle h = d \cdot \tan\alpha

    Birimi cevabın yanına yazdırın; ölçü birimi düşen çözüm yarım kalmıştır.

  13. 13
    Şimdi tanımın sınırını gösterin. Tahtaya bir geniş açı yazıp sinüsünü sorun. Bir dik üçgende geniş açı bulunamayacağı için tanım tükenir. Birim çemberi çizdirin, açının ucundaki noktanın koordinatlarını yazdırın ve dar açılarda eski değerlerin aynen çıktığını doğrulatın. Tanım genişledi, eski bilgi bozulmadı.

    cos⁡α=xvesin⁡α=y\displaystyle \cos\alpha = x \quad \text{ve} \quad \sin\alpha = y

    Yarıçap bir olduğu için iki koordinat da bir birimi aşamaz; sinüsün sınırı buradan da okunur.

  14. 14
    Geniş bir açıyı birim çemberde çizdirip noktanın hangi yarıda kaldığını söyletin. Apsisin negatif, ordinatın pozitif olduğunu yazdırın ve buradan kosinüsün işaretini çıkarttırın. Değerleri ezberletmeyin; noktanın yerine baktırın.

    sin⁡150∘=12vecos⁡150∘=−32\displaystyle \sin 150^{\circ} = \dfrac{1}{2} \quad \text{ve} \quad \cos 150^{\circ} = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}

    Kosinüsün ikinci bölgede negatif olması bölümde kural olarak yazılı değildir; tahtada yazılsın.

  15. 15
    Yönlü açıyı kurun. Aynı bitiş kolunu iki yönden çizdirip iki ölçü yazdırın, birini pozitif birini negatif. Aradaki farkın tam bir tur olduğunu buldurun. Şeklin tek başına ölçüyü belirlemediğini, yön okunun gerektiğini söyleyin.

    −60∘+360∘=300∘\displaystyle -60^{\circ} + 360^{\circ} = 300^{\circ}

    Ölçüyü yazmadan önce yön okunu çizdirmeyi alışkanlık hâline getirin.

  16. 16
    Dersi bir denetim listesiyle kapatın. Dört tanım, altı özdeşlik ve üç özel açı tahtada kalsın. Her birinin yanına hangi şekilden çıktığını yazdırın: tanımlar dik üçgenden, özdeşlikler Pisagor ile tanımlardan, özel açılar kare ve eşkenar üçgeni katlamaktan. Ezberlenecek bir liste değil, türetilebilir bir düzen bıraktığınızı gösterin.

    cot⁡α=cos⁡αsin⁡α\displaystyle \cot\alpha = \dfrac{\cos\alpha}{\sin\alpha}

    Kapanışta kapsam sınırını da tekrarlayın: sekant ve kosekant bu kazanımın dışındadır.

Ödev ve çalışma kâğıdı

Her antrenman tek bir beceriyi bol tekrarla çalıştırır. Hangisinden kaç kalem istediğini seç; kâğıt ve çözümlü cevap anahtarı tarayıcında hazırlanır.

Ödev kâğıdı oluştur

Her alıştırmadan kaç kalem istediğini seç. Kalemler hazır havuzdan rastgele gelir; iki sınıfa iki ayrı kâğıt verebilirsin. Çözümlü cevap anahtarı da hazır.
Alıştırmalar

  • x{x} bir dar açı olmak üzere aşağıdaki eşitlikleri sağlayan x{x} değerini yazınız.

    1. 1)sin⁡70∘=cos⁡x{\sin 70^{\circ} = \cos x}= 20∘\displaystyle 20^{\circ}
    2. 2)cos⁡52∘=sin⁡x{\cos 52^{\circ} = \sin x}= 38∘\displaystyle 38^{\circ}
    3. 3)tan⁡79∘=cot⁡x{\tan 79^{\circ} = \cot x}= 11∘\displaystyle 11^{\circ}
    / 40

  • Aşağıdaki negatif yönlü açıları, aynı bitiş kollu ve bir tam turu aşmayan pozitif ölçüyle yazınız.

    1. 1)−33∘{-33^{\circ}}= 327∘\displaystyle 327^{\circ}
    2. 2)−10∘{-10^{\circ}}= 350∘\displaystyle 350^{\circ}
    3. 3)−44∘{-44^{\circ}}= 316∘\displaystyle 316^{\circ}
    / 40

  • m(B^)=90∘{\text{m}(\widehat{B}) = 90^{\circ}} olan ABC{ABC} dik üçgenlerinde istenen oranı bulunuz.

    1. 1)∣BC∣=24{|BC| = 24}, ∣AB∣=7⇒tan⁡A^= ?{|AB| = 7 \Rightarrow \tan\widehat{A} = \,?}= 247\displaystyle \frac{24}{7}
    2. 2)∣BC∣=12{|BC| = 12}, ∣AB∣=5⇒sin⁡A^= ?{|AB| = 5 \Rightarrow \sin\widehat{A} = \,?}= 1213\displaystyle \frac{12}{13}
    3. 8)tan⁡A^= ?{\tan\widehat{A} = \,?}= 34\displaystyle \frac{3}{4} Dik üçgen B köşesi dik olan ABC üçgeni. AB uzunluğuna 4, BC uzunluğuna 3 yazılmıştır. 4 3 A B C
    / 40

  • Aşağıdaki ifadelerde bütün açılar dar açıdır. Her ifadenin değerini bulunuz.

    1. 1)2(sin⁡2α+cos⁡2α)−5tan⁡βcot⁡β{2(\sin^{2}\alpha + \cos^{2}\alpha) - 5\tan\beta\cot\beta}= −3\displaystyle -3
    2. 2)8tan⁡θcot⁡θ+5(cos⁡2θ+sin⁡2θ){8\tan\theta\cot\theta + 5(\cos^{2}\theta + \sin^{2}\theta)}= 13\displaystyle 13
    3. 3)4(cos⁡2x+sin⁡2x)⋅6cot⁡ytan⁡y{4(\cos^{2}x + \sin^{2}x) \cdot 6\cot y \tan y}= 24\displaystyle 24
    / 40

  • m(B^)=90∘{\text{m}(\widehat{B}) = 90^{\circ}} olan ABC{ABC} dik üçgenlerinde istenen kenar uzunluğunu bulunuz.

    1. 1)m(A^)=45∘{\text{m}(\widehat{A}) = 45^{\circ}}, ∣AC∣=12{|AC| = 12}, ∣BC∣= ?{|BC| = \,?}= 62\displaystyle 6 \sqrt{2}
    2. 2)m(A^)=60∘{\text{m}(\widehat{A}) = 60^{\circ}}, ∣AC∣=6{|AC| = 6}, ∣AB∣= ?{|AB| = \,?}= 3\displaystyle 3
    3. 5)x= ?{x = \,?}= 2\displaystyle \sqrt{2} Dik üçgen B köşesi dik olan ABC üçgeni. BC uzunluğuna x, AC uzunluğuna 2 yazılmıştır. A açısına 45° yazılmıştır. 45° x 2 A B C
    / 40

  • Özel açıların trigonometrik oranlarını kullanarak işlemlerin sonucunu bulunuz.

    1. 1)3sin⁡60∘+cos⁡30∘{3\sin 60^{\circ} + \cos 30^{\circ}}= 23\displaystyle 2 \sqrt{3}
    2. 2)4tan⁡60∘−cot⁡45∘{4\tan 60^{\circ} - \cot 45^{\circ}}= −1+43\displaystyle -1 + 4 \sqrt{3}
    3. 3)2cos⁡45∘⋅tan⁡45∘{2\cos 45^{\circ} \cdot \tan 45^{\circ}}= 2\displaystyle \sqrt{2}
    / 40

  • α{\alpha} bir dar açıdır. Verilen orandan istenen oranı bulunuz.

    1. 1)tan⁡α=43⇒cot⁡α= ?{\tan\alpha = \dfrac{4}{3} \Rightarrow \cot\alpha = \,?}= 34\displaystyle \frac{3}{4}
    2. 2)cot⁡α=724⇒tan⁡α= ?{\cot\alpha = \dfrac{7}{24} \Rightarrow \tan\alpha = \,?}= 247\displaystyle \frac{24}{7}
    3. 3)tan⁡α=34⇒sin⁡α= ?{\tan\alpha = \dfrac{3}{4} \Rightarrow \sin\alpha = \,?}= 35\displaystyle \frac{3}{5}
    / 40

  • Birim çemberde ölçüsü verilen yönlü açının bitiş kolu çemberi P{P} noktasında kesiyor. P{P}'nin istenen koordinatını yazınız.

    1. 1)120∘{120^{\circ}}: ordinat = ?{= \,?}= 32\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}
    2. 2)270∘{270^{\circ}}: apsis = ?{= \,?}= 0\displaystyle 0
    3. 3)330∘{330^{\circ}}: ordinat = ?{= \,?}= −12\displaystyle - \frac{1}{2}
    / 30
Çalışma boşluğu
Kâğıt ayarları

0 kalem

İndirmek için en az bir kalem seç.

Test PDF'i

Bu kazanımın sorularından test ya da yazılı kâğıdı: soruları seç, kâğıdı ayarla, soru kâğıdını ve cevap anahtarını indir.

Test PDF'i hazırla

Soru kâğıdı ve cevap anahtarı tarayıcında hazırlanır; seçimlerin hiçbir sunucuya gönderilmez. İlk PDF'te motor indiği için birkaç saniye sürer, sonrakiler anında gelir.
Zorluğa göre seç

Her düzeyden kaç soru istediğini seç; düzeyin sorularından azını istersen o kadarı rastgele gelir. Seçim aşağıdaki listeye yansır, oradan elle de değiştirebilirsin.

Zorluk 2Kolay, 4 soru
Zorluk 3Kolay, 9 soru
Zorluk 4Orta, 3 soru
Zorluk 5Orta, 15 soru
Zorluk 6Orta, 11 soru
Zorluk 7Zor, 8 soru
Zorluk 8Zor, 11 soru
Zorluk 9İleri, 8 soru
Zorluk 10İleri, 3 soru
Kâğıttaki sorular 72 / 72

Kâğıda yalnız görünen ve işaretli sorular girer.

Kâğıt ayarları

72 soru, 558 puan

Kazanım künyesi

10. sınıf Trigonometrik oranlar için 72 çözümlü soru: soruları sayfada çöz, takıldığında adım adım çözümü aç; seçtiğin sorulardan test, yaprak test ya da yazılı kâğıdı hazırla ve cevap anahtarıyla PDF olarak indir; ödev için alıştırma (çalışma) kâğıdı çıkar; derste soruları akıllı tahtada tek tek aç; ders kılavuzunda derse giriş, kavram yanılgıları ve tahta akışı var. 1. dönem yazılısına ve ortak sınava hazırlıkta kullanılır.

Kod
MAT.10.1.1
Kapsadığı konular
trigonometri, sinüs kosinüs tanjant, dik üçgende trigonometri, trigonometrik özdeşlikler, özel açılar
Dönem ve hafta
1. dönem, 1, 2. haftalar, 12 ders saati
Süreç bileşenleri
  • a)Dik üçgende trigonometrik oranlar ve trigonometrik özdeşliklerle ilgili varsayımlarda bulunur.
  • b)Trigonometrik oranlar ve trigonometrik özdeşliklerle ilgili örüntüleri geneller.
  • c)Trigonometrik oranlar ve trigonometrik özdeşliklerle ilgili elde ettiği genellemelerini varsayımlarıyla karşılaştırır.
  • ç)Yaptığı karşılaştırmalardan dik üçgende trigonometrik oranlara ve trigonometrik özdeşliklere ilişkin önermeler sunar.
  • d)Ulaştığı trigonometrik oranları ve trigonometrik özdeşlikleri problemler bağlamında değerlendirir.
Ders kitabında
  • 1. Tema — Geometrik Şekiller, 1.1 Dik Üçgende Trigonometrik Oranlar ve Trigonometrik Özdeşlikler