10. sınıf, Nicelikler ve DeğişimlerMAT.10.4.4

Rasyonel fonksiyon

Rasyonel Fonksiyon ve Nitel Özellikleri

Kazanım: Gerçek sayılarda f(x) = 1/x (x ≠ 0) şeklinde tanımlı rasyonel referans fonksiyonun nitel özellikleri ile bu fonksiyondan türetilen (g(x) = a ∙ f(x ± r) ± k (a, r, k ∈ ℝ, a ≠ 0)) rasyonel fonksiyonların nitel özelliklerine ilişkin matematiksel muhakeme yapabilme.

Tahtada aç Yazılı hazırla

Sorular ve çözümleri

Her sorunun altında adım adım çözüm var. Çoktan seçmelide doğru şık, çözümü açınca işaretlenir.

Zorluk

Cevap biçimi

Soru türü

Şekil

27 soru gösteriliyor

Soru 1KavramÇoktan seçmeli3 puanKolay

{f: \mathbb{R} - \{0\} \to \mathbb{R} - \{0\}}

{f(x) = \dfrac{1}{x}}

şeklinde tanımlı rasyonel referans fonksiyonu veriliyor.Buna göre aşağıdaki ifadelerden hangisi doğrudur?

A $\displaystyle f \ \text{çift fonksiyondur}$
B $\displaystyle f \ \text{fonksiyonunun sıfırı vardır}$
C $\displaystyle f, \mathbb{R} - \{0\} \text{kümesinde azalandır}$
D $\displaystyle f \ \text{tek fonksiyondur}$
E $\displaystyle f \ \text{örten değildir}$

Çözümü göster

DDoğru cevap

1
Tanım kümesi simetriktir: ${x \ne 0}$ ise ${-x \ne 0}$ olur. Her ${x \ne 0}$ için ${f(-x) = \dfrac{1}{-x} = -f(x)}$ olduğundan ${f}$ tek fonksiyondur. ${f(-1) = -1}$ ile ${f(1) = 1}$ eşit olmadığından ${f}$ çift değildir.
2
${\dfrac{1}{x} = 0}$ eşitliğini sağlayan ${x}$ yoktur; ${f}$ fonksiyonunun sıfırı yoktur. Her ${y \ne 0}$ değeri ${x = \dfrac{1}{y}}$ noktasında alındığından görüntü kümesi ${\mathbb{R} - \{0\}}$ olur ve değer kümesine eşittir; ${f}$ örtendir.
3
${-1 < 1}$ iken ${f(-1) = -1 < f(1) = 1}$ olur. ${f}$ tanım kümesinin tamamında azalan değildir; ${(-\infty, 0)}$ ve ${(0, \infty)}$ aralıklarının her birinde azalandır.
4
Buna göre doğru ifade ${f \ \text{tek fonksiyondur}}$ ifadesidir.

Yanlış şıklar neden yanlış?

A)f(-1) = -1 ve f(1) = 1 eşit değildir; f çift değil, tek fonksiyondur.
B)1/x = 0 eşitliğini sağlayan x yoktur; 0 görüntü kümesinde değildir.
C)-1 < 1 iken f(-1) = -1 < f(1) = 1 olur; f yalnız (-∞, 0) ve (0, ∞) aralıklarının her birinde azalandır.
E)Değer kümesi R - {0} dır ve her y ≠ 0 değeri x = 1/y noktasında alınır; f örtendir.

Soru 2KavramKısa cevap4 puanKolay

Koordinat düzleminin birinci, ikinci, üçüncü ve dördüncü bölgeleri sırasıyla

{1}

{2}

{3}

{4}

ile numaralandırılıyor.

{f: \mathbb{R} - \{0\} \to \mathbb{R}}

{f(x) = \dfrac{1}{x}}

fonksiyonunun grafiğinin geçtiği bölgelerin numaralarının toplamı kaçtır?

Çözümü göster

Cevap: $\displaystyle 4$

1
${x > 0}$ ise ${\dfrac{1}{x} > 0}$ olur. Grafiğin bu kısmındaki noktaların iki koordinatı da pozitiftir; noktalar birinci bölgededir.
2
${x < 0}$ ise ${\dfrac{1}{x} < 0}$ olur. İki koordinat da negatiftir; noktalar üçüncü bölgededir. ${x = 0}$ tanım kümesinde olmadığından ve ${f(x) = 0}$ olamadığından grafik eksenlere değmez, ikinci ve dördüncü bölgeye geçmez.
3
Buna göre toplam ${1 + 3 = 4}$ olur.

Soru 3KavramÇoktan seçmeli5 puanOrta

{f: (-4, -1] \to \mathbb{R}}

{f(x) = \dfrac{1}{x}}

şeklinde tanımlı

{f}

fonksiyonu veriliyor.Buna göre

{f}

fonksiyonunun görüntü kümesi aşağıdakilerden hangisidir?

A $\displaystyle [-1, -\dfrac{1}{4})$
B $\displaystyle (-1, -\dfrac{1}{4}]$
C $\displaystyle [-1, -\dfrac{1}{4}]$
D $\displaystyle (-4, -1]$
E $\displaystyle (-\infty, 0)$

Çözümü göster

ADoğru cevap

1
${f}$ , ${(-\infty, 0)}$ aralığında azalandır. ${-4 < x \le -1}$ ise ${\dfrac{1}{-4} > \dfrac{1}{x} \ge \dfrac{1}{-1}}$ , yani ${-1 \le f(x) < -\dfrac{1}{4}}$ olur; azalan fonksiyon uçların sırasını değiştirir.
2
${-1}$ tanım kümesinde olduğundan ${f(-1) = -1}$ değeri alınır; ${-4}$ tanım kümesinde olmadığından ${-\dfrac{1}{4}}$ değeri alınmaz. Aradaki her ${y}$ değeri ${x = \dfrac{1}{y}}$ noktasında alınır.
3
Buna göre görüntü kümesi ${[-1, -\dfrac{1}{4})}$ olur.

Yanlış şıklar neden yanlış?

B)Açık ve kapalı uç yer değiştirmiş; -1 tanım kümesinde olduğundan f(-1) = -1 alınır, -4 olmadığından -1/4 alınmaz.
C)Açık uç kapatılmış; -4 tanım kümesinde olmadığından -1/4 değeri alınmaz.
D)Görüntü kümesi yerine tanım kümesi yazılmış.
E)f nin negatif değer aldığı aralık yazılmış; tanım kümesi (-4, -1] ile sınırlıdır.

Soru 4KavramÇoktan seçmeli5 puanOrta

{f: \mathbb{R} - \{0\} \to \mathbb{R}}

{f(x) = \dfrac{1}{x}}

şeklinde tanımlı

{f}

fonksiyonu için aşağıdaki önermeler veriliyor.I.

{f}

bire bir fonksiyondur.II.

{f}

örten fonksiyondur.III.

{f}

tek fonksiyondur.Buna göre bu önermelerden hangileri doğrudur?

A $Yalnız I$
B $I ve III$
C $I ve II$
D $II ve III$
E $I, II ve III$

Çözümü göster

BDoğru cevap

1
${f(x_1) = f(x_2)}$ ise ${\dfrac{1}{x_1} = \dfrac{1}{x_2}}$ , yani ${x_1 = x_2}$ olur; ${f}$ bire birdir. I doğrudur.
2
${\dfrac{1}{x} = 0}$ eşitliğini sağlayan ${x}$ yoktur: değer kümesindeki ${0}$ hiçbir ${x}$ için alınmaz. Görüntü kümesi ${\mathbb{R} - \{0\}}$ olur ve değer kümesine eşit değildir; II yanlıştır.
3
Tanım kümesi simetriktir ve her ${x \ne 0}$ için ${f(-x) = -\dfrac{1}{x} = -f(x)}$ olur; ${f}$ tek fonksiyondur. III doğrudur.
4
Buna göre doğru önermeler $I ve III$ olur.

Yanlış şıklar neden yanlış?

A)III de doğrudur: tanım kümesi simetriktir ve her x ≠ 0 için f(-x) = -f(x) olur.
C)II yanlıştır: değer kümesindeki 0 hiçbir x için alınmaz; III doğrudur.
D)I doğrudur: 1/x1 = 1/x2 ise x1 = x2 olur; II yanlıştır.
E)II yanlıştır: görüntü kümesi R - {0} dır ve değer kümesi R ye eşit değildir.

Soru 5KavramÇoktan seçmeli5 puanOrta

{a}

{b}

sıfırdan farklı gerçek sayılar ve

{a < b}

olsun.Buna göre

{\dfrac{1}{a} > \dfrac{1}{b}}

olduğunu kesin olarak söyleyebilmek için aşağıdakilerden hangisinin bilinmesi yeterlidir?

A $\displaystyle a < 0$
B $\displaystyle b > 0$
C $\displaystyle a \cdot b > 0$
D $\displaystyle a + b > 0$
E $\displaystyle a \cdot b < 0$

Çözümü göster

CDoğru cevap

1
${\dfrac{1}{a} - \dfrac{1}{b} = \dfrac{b - a}{a \cdot b}}$ olur. ${a < b}$ olduğundan ${b - a > 0}$ 'dır; fark yalnız ${a \cdot b > 0}$ ise pozitiftir. ${a \cdot b > 0}$ ise ${a}$ ile ${b}$ aynı işaretlidir ve ${\dfrac{1}{x}}$ 'in azalan olduğu aynı aralıktadır.
2
${a = -1}$ , ${b = 2}$ alınırsa ${a < 0}$ , ${b > 0}$ ve ${a + b > 0}$ koşulları sağlanır ama ${\dfrac{1}{a} = -1 < \dfrac{1}{b} = \dfrac{1}{2}}$ olur; bu üç koşul yetmez. ${a \cdot b < 0}$ ise ${a < 0 < b}$ olur ve ${\dfrac{1}{a} < 0 < \dfrac{1}{b}}$ çıkar.
3
Buna göre yeterli koşul ${a \cdot b > 0}$ olur.

Yanlış şıklar neden yanlış?

A)a = -1, b = 2 için a < 0 olur ama 1/a = -1 < 1/b = 1/2 çıkar.
B)a = -1, b = 2 için b > 0 olur ama 1/a < 1/b çıkar.
D)a = -1, b = 2 için a + b > 0 olur ama 1/a < 1/b çıkar.
E)a ile b ters işaretliyse a < 0 < b olur ve 1/a < 0 < 1/b çıkar.

Soru 6KavramKısa cevap8 puanZor

{f: [-4, -2] \cup [1, 3] \to \mathbb{R}}

{f(x) = \dfrac{1}{x}}

şeklinde tanımlı

{f}

fonksiyonu veriliyor.Buna göre

{f}

fonksiyonunun maksimum değeri ile minimum değerinin toplamı kaçtır?

Çözümü göster

Soru 7İşlemÇoktan seçmeli3 puanKolay

{f(x) = \dfrac{1}{x}}

fonksiyonunun grafiği

{x}

ekseni boyunca negatif yönde

{2}

birim,

{y}

ekseni boyunca negatif yönde

{3}

birim ötelenerek

{g}

fonksiyonunun grafiği elde ediliyor.Buna göre

{g(x)}

aşağıdakilerden hangisidir?

A $\displaystyle \dfrac{1}{x - 2} - 3$
B $\displaystyle \dfrac{1}{x + 2} - 3$
C $\displaystyle \dfrac{1}{x + 2} + 3$
D $\displaystyle \dfrac{1}{x + 3} - 2$
E $\displaystyle \dfrac{1}{x} - 5$

Çözümü göster

Soru 8İşlemKısa cevap6 puanOrta

{a}

{r}

{k}

gerçek sayılar ve

{a \ne 0}

olmak üzere şekilde

{g(x) = \dfrac{a}{x + r} + k}

şeklinde tanımlı

{g}

fonksiyonunun grafiği verilmiştir. Kesikli çizgi, grafiğin kesmediği düşey doğrudur ve grafik işaretlenen iki noktadan geçer.Buna göre

{a + r + k}

toplamı kaçtır?

Çözümü göster

Soru 9İşlemKısa cevap8 puanZor

{f(x) = \dfrac{1}{x}}

fonksiyonunun grafiğine sırasıyla

{x}

ekseni boyunca pozitif yönde

{1}

birim öteleme,

{y}

ekseni boyunca pozitif yönde

{2}

birim öteleme,

{x}

eksenine göre simetri ve

{3}

kat dikey germe uygulanarak

{g}

fonksiyonunun grafiği elde ediliyor.

{g}

fonksiyonunun grafiği

{y = c}

doğrusunu kesmiyor.Buna göre

{g(4) + c}

toplamı kaçtır?

Çözümü göster

Soru 10KavramÇoktan seçmeli5 puanOrta

Şekilde

{f(x) = \dfrac{1}{x}}

fonksiyonunun grafiğine dönüşümler uygulanarak elde edilen

{g}

fonksiyonunun grafiği verilmiştir. Kesikli çizgi, grafiğin kesmediği düşey doğrudur ve grafik işaretlenen iki noktadan geçer.Buna göre

{g}

fonksiyonu aşağıdakilerden hangisidir?

A $\displaystyle g(x) = 2f(x - 3) + 3$
B $\displaystyle g(x) = 2f(x + 3) + 3$
C $\displaystyle g(x) = f(x - 3) + 4$
D $\displaystyle g(x) = 3f(x - 3) + 2$
E $\displaystyle g(x) = -2f(x - 3) + 3$

Çözümü göster

Soru 11KavramÇoktan seçmeli5 puanOrta

{f(x) = \dfrac{1}{x}}

olmak üzere

{g}

fonksiyonu

{g: \mathbb{R} - \{-3\} \to \mathbb{R}}

{g(x) = f(x + 3) - 2}

şeklinde tanımlanıyor.

{g}

fonksiyonu için aşağıdaki önermeler veriliyor.I.

{f}

fonksiyonunun grafiği üzerindeki

{(1, 1)}

noktası,

{g}

fonksiyonunun grafiğinde

{(-2, -1)}

noktasına karşılık gelir.II.

{g}

fonksiyonunun grafiği

{x = 3}

doğrusunu kesmez.III.

{g}

fonksiyonunun görüntü kümesi

{\mathbb{R} - \{-2\}}

olur.Buna göre bu önermelerden hangileri doğrudur?

A $Yalnız I$
B $Yalnız III$
C $I ve II$
D $I ve III$
E $II ve III$

Çözümü göster

Soru 12KavramÇoktan seçmeli5 puanOrta

{a}

{r}

{k}

sıfırdan farklı gerçek sayılar olmak üzere şekilde

{g(x) = \dfrac{a}{x + r} + k}

şeklinde tanımlı

{g}

fonksiyonunun grafiği verilmiştir. Kesikli çizgi, grafiğin kesmediği düşey doğrudur.Buna göre

{a}

{r}

{k}

sayılarının işaretleri için aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

A $\displaystyle a > 0, \quad r > 0, \quad k > 0$
B $\displaystyle a > 0, \quad r < 0, \quad k < 0$
C $\displaystyle a < 0, \quad r < 0, \quad k > 0$
D $\displaystyle a < 0, \quad r > 0, \quad k < 0$
E $\displaystyle a < 0, \quad r > 0, \quad k > 0$

Çözümü göster

Soru 13KavramÇoktan seçmeli3 puanKolay

{a}

{r}

{k}

gerçek sayılar ve

{a \ne 0}

olmak üzere

{g: \mathbb{R} - \{-r\} \to \mathbb{R}}

{g(x) = \dfrac{a}{x + r} + k}

şeklinde tanımlı fonksiyonlar inceleniyor. Bir öğrenci

{\dfrac{1}{x}}

fonksiyonunun görüntü kümesinin

{\mathbb{R} - \{0\}}

olmasından hareketle bu fonksiyonların görüntü kümesi hakkında bir varsayımda bulunuyor.Buna göre öğrencinin doğru varsayımı aşağıdakilerden hangisidir?

A $\displaystyle \mathbb{R} - \{-r\}$
B $\displaystyle \mathbb{R} - \{r\}$
C $\displaystyle \mathbb{R} - \{k\}$
D $\displaystyle \mathbb{R} - \{-k\}$
E $\displaystyle \mathbb{R}$

Çözümü göster

Soru 14KavramÇoktan seçmeli7 puanZor

{a}

{r}

{k}

gerçek sayılar ve

{a \ne 0}

olmak üzere

{g: \mathbb{R} - \{-r\} \to \mathbb{R}}

{g(x) = \dfrac{a}{x + r} + k}

şeklinde tanımlı fonksiyonlar inceleniyor. Bir öğrenci

{\dfrac{2}{x - 1} - 4}

{-\dfrac{3}{x + 2} + 1}

{\dfrac{1}{x + 3}}

{\dfrac{2}{x - 1} + 4}

fonksiyonlarının sıfırlarını araştırıp bir genelleme yapıyor.Buna göre

{g}

fonksiyonunun sıfırının olması için gerek ve yeter koşul aşağıdakilerden hangisidir?

A $\displaystyle a \cdot k < 0$
B $\displaystyle a \cdot k \le 0$
C $\displaystyle k > 0$
D $\displaystyle r \ne 0$
E $\displaystyle k \ne 0$

Çözümü göster

Soru 15KavramÇoktan seçmeli5 puanOrta

Bir öğrenci

{g_1(x) = \dfrac{1}{x - 1} + 1}

{g_2(x) = \dfrac{2}{x - 2} + 1}

{g_3(x) = \dfrac{3}{x - 3} + 1}

fonksiyonlarını inceleyip bu örüntüyü

{n}

pozitif tam sayı olmak üzere

{g_n(x) = \dfrac{n}{x - n} + 1}

(

{x \ne n}

) diye genelleştiriyor.Buna göre her

{n}

için aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

A $\displaystyle g_n \ \text{grafiği}\ x = 1 \ \text{doğrusunu kesmez}$
B $\displaystyle g_n(0) = 0$
C $\displaystyle g_n \ \text{fonksiyonunun sıfırı}\ x = n$
D $\displaystyle \text{Görüntü kümesi}\ \mathbb{R} - \{n\}$
E $\displaystyle g_n, (n, \infty) \ \text{aralığında artandır}$

Çözümü göster

Soru 16KavramÇoktan seçmeli7 puanZor

Bir öğrenci

{\dfrac{1}{x}}

{-\dfrac{2}{x}}

fonksiyonlarının tek olduğunu görüp şu genellemeyi yapıyor: "

{a \ne 0}

olmak üzere

{g(x) = \dfrac{a}{x + r} + k}

şeklindeki fonksiyonlarda

{r = 0}

ise

{g}

tek fonksiyondur."Buna göre bu genelleme için aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

A $Doğrudur; tanım kümesi simetriktir$
B $\displaystyle \text{Yalnız}\ a > 0 \ \text{ise doğrudur}$
C $\displaystyle \text{Yanlış;}\ k \ne 0 \ \text{ise}\ g(1) + g(-1) \ne 0$
D $Yanlış; tanım kümesi simetrik değil$
E $\displaystyle \text{Yanlış;}\ g \ \text{çift fonksiyondur}$

Çözümü göster

Soru 17KavramAçık uçlu20 puanİleri

{a}

{r}

{k}

gerçek sayılar ve

{a \ne 0}

olmak üzere

{g: \mathbb{R} - \{-r\} \to \mathbb{R}}

{g(x) = \dfrac{a}{x + r} + k}

şeklinde tanımlı fonksiyonlar için iki öğrenci şu genellemeleri yapıyor.Birinci genelleme: "

{a > 0}

ise

{g}

fonksiyonu tanım kümesinde azalandır."İkinci genelleme: "

{g}

fonksiyonunun grafiği

{y}

eksenini her zaman keser."Buna göre aşağıdaki soruları cevaplayınız.

a)
Birinci genellemenin yanlış olduğunu ${g(x) = \dfrac{1}{x}}$ fonksiyonu için bir karşıt örnekle gösteriniz ve genellemeyi düzeltiniz.(7 puan)
b)
İkinci genellemenin yanlış olduğunu bir karşıt örnekle gösteriniz ve grafiğin ${y}$ eksenini kesmesi için ${r}$ sayısının hangi koşulu sağlaması gerektiğini yazınız.(6 puan)
c)
${h(x) = \dfrac{6}{x + 3} - 4}$ fonksiyonunun grafiğinin ${y}$ eksenini kestiğini (b) maddesindeki koşulla gösteriniz, kesim noktasının ordinatını bulunuz ve bu noktanın hangi aralıktaki kol üzerinde olduğunu yazınız.(7 puan)

Çözümü göster

Soru 18KavramÇoktan seçmeli5 puanOrta

{a}

{r}

{k}

gerçek sayılar ve

{a > 0}

olmak üzere

{g(x) = \dfrac{a}{x + r} + k}

fonksiyonu için "

{g}

fonksiyonu

{(-r, \infty)}

aralığında azalandır." önermesi veriliyor.Buna göre bu önermenin cebirsel dille ifadesi aşağıdakilerden hangisidir?

A $\displaystyle \text{Her}\ x_1 < x_2 \ \text{için}\ g(x_1) > g(x_2)$
B $\displaystyle \text{Her}\ x_2 > x_1 > -r \ \text{için}\ g(x_1) < g(x_2)$
C $\displaystyle \text{Bazı}\ x_2 > x_1 > -r \ \text{için}\ g(x_1) > g(x_2)$
D $\displaystyle \text{Her}\ x_2 > x_1 > -r \ \text{için}\ g(x_1) > g(x_2)$
E $\displaystyle \text{Her}\ x_1 > -r \ \text{için}\ g(x_1) > k$

Çözümü göster

Soru 19KavramÇoktan seçmeli7 puanZor

{a}

{r}

{k}

gerçek sayılar ve

{a < 0}

olmak üzere

{g: \mathbb{R} - \{-r\} \to \mathbb{R} - \{k\}}

{g(x) = \dfrac{a}{x + r} + k}

şeklinde tanımlı

{g}

fonksiyonu için aşağıdaki önermeler veriliyor.I.

{g}

fonksiyonu

{(-\infty, -r)}

{(-r, \infty)}

aralıklarının her birinde artandır.II.

{g}

örten fonksiyondur.III.

{k = 0}

ise

{g}

tek fonksiyondur.Buna göre bu önermelerden hangileri doğrudur?

A $I ve II$
B $Yalnız I$
C $I ve III$
D $II ve III$
E $I, II ve III$

Çözümü göster

Soru 20Yeni nesilKısa cevap4 puanKolay

Alanı

{12}

metrekare olan dikdörtgen biçimindeki halıların boyu

{b}

metre, eni

{e}

metredir. Boyu

{2}

ile

{6}

metre arasında (uçlar dâhil) olan halıların eni

{e: [2, 6] \to \mathbb{R}}

{e(b) = \dfrac{12}{b}}

modeliyle hesaplanıyor. Şekilde bu modelin grafiği verilmiştir.Buna göre halının boyu

{2}

metreden

{6}

metreye çıkarsa eni kaç katına iner?

Çözümü göster

Soru 21Yeni nesilAçık uçlu20 puanİleri

Havada sesin hızı yaklaşık

{340}

m/sn. alınırsa frekansı

{f}

hertz (Hz) olan bir sesin dalga boyu, metre cinsinden

{\lambda(f) = \dfrac{340}{f}}

modeliyle hesaplanır. İnsan kulağı yaklaşık

{20}

Hz ile

{20\,000}

Hz arasındaki sesleri duyar; model bu aralıkta kullanılıyor:

{\lambda: [20, 20\,000] \to \mathbb{R}}

.Buna göre aşağıdaki soruları cevaplayınız.

a)
Duyulabilir seslerin dalga boylarının alabileceği değerlerin kümesini bulunuz.(7 puan)
b)
Bir sesin frekansı ${2}$ katına çıkarılırsa dalga boyunun nasıl değiştiğini cebirsel olarak gösteriniz.(6 puan)
c)
Dalga boyu ${1}$ metre olan bir sesin dalga boyunu ${0{,}5}$ metreye indirmek için frekans kaç hertz artırılmalıdır? Modelin frekansı ${10}$ Hz olan bir ses için neden kullanılamayacağını da açıklayınız.(7 puan)

Çözümü göster

Soru 22KavramAçık uçlu20 puanİleri

{g}

fonksiyonu

{g: \mathbb{R} - \{2\} \to \mathbb{R}}

{g(x) = \dfrac{6}{x - 2} + 1}

şeklinde tanımlanıyor.Buna göre aşağıdaki soruları cevaplayınız.

a)
${g}$ fonksiyonunun görüntü kümesini bulunuz ve ${g}$ fonksiyonunun örten olup olmadığını belirtiniz.(6 puan)
b)
${g}$ fonksiyonunun ${(2, \infty)}$ aralığında azalan olduğunu cebirsel olarak ispatlayınız.(8 puan)
c)
Bir öğrenci " ${g}$ fonksiyonu tanım kümesinde azalandır." diyor. Bu önermenin yanlış olduğunu ${x_1 = 1}$ ve ${x_2 = 3}$ değerleriyle gösteriniz ve ${g(3) - g(1)}$ farkını bulunuz.(6 puan)

Çözümü göster

Soru 23KavramÇoktan seçmeli7 puanZor

{f: (0, \infty) \to \mathbb{R}}

{f(x) = \dfrac{1}{x}}

fonksiyonunun azalan olduğunu cebirsel olarak ispatlamak isteyen bir öğrenci

{0 < x_1 < x_2}

olmak üzere

{f(x_1) > f(x_2)}

olduğunu göstermeye çalışıyor.Buna göre aşağıdaki gerekçelerden hangisi bu ispatı tamamlar?

A $\displaystyle f(1) = 1 > f(2) = \dfrac{1}{2}$
B $Grafik soldan sağa alçalır$
C $\displaystyle x_1 < x_2 \ \text{olduğundan}\ f(x_1) > f(x_2)$
D $\displaystyle \dfrac{1}{x_1} - \dfrac{1}{x_2} = \dfrac{x_1 - x_2}{x_1 x_2} > 0$
E $\displaystyle \dfrac{1}{x_1} - \dfrac{1}{x_2} = \dfrac{x_2 - x_1}{x_1 x_2} > 0$

Çözümü göster

Soru 24KavramÇoktan seçmeli9 puanİleri

Şekilde

{f: (0, 8] \to \mathbb{R}}

{f(x) = \dfrac{4}{x}}

şeklinde tanımlı

{f}

fonksiyonunun grafiği verilmiştir; grafik çizim alanının üst kenarında okla kesilmiştir. Bir öğrenci bu grafiğe bakarak şu yargılara varıyor.I. Grafik,

{f}

fonksiyonunun

{(0, 8]}

aralığında azalan olduğunu doğrular.II. Grafik çizim alanının üst kenarında bittiği için

{f}

fonksiyonunun maksimum değeri yaklaşık

{6}

olur.III. Görüntü kümesini kesin olarak bulmak için cebirsel yol gerekir; bu yolla görüntü kümesi

{[\dfrac{1}{2}, \infty)}

bulunur.Buna göre bu yargılardan hangileri doğrudur?

A $Yalnız I$
B $Yalnız III$
C $I ve III$
D $I ve II$
E $I, II ve III$

Çözümü göster

Soru 25KavramAçık uçlu15 puanZor

Şekilde birim kareli boş bir koordinat düzlemi verilmiştir. Bu düzleme, kuralı

{g(x) = \dfrac{4}{x - 2} + 1}

biçiminde olan

{g}

fonksiyonunun grafiği çizilecektir.

{g}

fonksiyonunun tanım kümesi, bu kuralın tanımlı olduğu en geniş gerçek sayı kümesi; değer kümesi

{\mathbb{R}}

olarak alınmıştır.Buna göre aşağıdaki soruları cevaplayınız.

a)
${g}$ fonksiyonunun tanım kümesini yazınız.(2 puan)
b)
${x}$ yerine sırasıyla ${-2}$ , ${0}$ , ${1}$ , ${3}$ , ${4}$ ve ${6}$ yazarak ${g(x)}$ değerlerini bulunuz.(6 puan)
c)
Bulduğunuz altı noktayı şekildeki ızgaraya işaretleyiniz; ${g}$ fonksiyonunun grafiğini, tanım kümesinin dışında kalan sayının iki yanında birer kol olacak biçimde çiziniz ve kolların uçlarını okla sürdürünüz.(7 puan)

Çözümü göster

Soru 26KavramAçık uçlu20 puanİleri

{g}

fonksiyonu

{g: \mathbb{R} - \{4\} \to \mathbb{R}}

{g(x) = \dfrac{5}{x - 4} + 3}

şeklinde tanımlanıyor. Şekilde

{g}

fonksiyonunun grafiği verilmiştir. Grafik

{x = 4}

doğrusunu kesmez; şekildeki kesikli çizgi ise

{y = 3}

doğrusudur.Buna göre aşağıdaki soruları cevaplayınız.

a)
${g}$ fonksiyonunun örten olmadığını gösteriniz; bunun grafikte nereden görüldüğünü ve kuraldan nasıl gerekçelendirildiğini ayrı ayrı yazınız.(7 puan)
b)
${g}$ fonksiyonunun maksimum ve minimum değerinin olmadığını gösteriniz; bunun grafikte nereden görüldüğünü ve kuraldan nasıl gerekçelendirildiğini ayrı ayrı yazınız.(8 puan)
c)
${g}$ fonksiyonunun örten olması için değer kümesi ne olmalıdır? Cevabınızı gerekçesiyle yazınız.(5 puan)

Çözümü göster

Soru 27KavramAçık uçlu20 puanİleri

{a}

{r}

{k}

gerçek sayılar ve

{a \ne 0}

olmak üzere

{g: \mathbb{R} - \{-r\} \to \mathbb{R}}

{g(x) = \dfrac{a}{x + r} + k}

biçiminde tanımlanan fonksiyonlar inceleniyor. Bir öğrenci

{f(x) = \dfrac{1}{x}}

rasyonel referans fonksiyonunun bire bir olduğunu biliyor.Buna göre aşağıdaki soruları cevaplayınız.

a)
Bu fonksiyonların bire birliği hakkında bir varsayım yazınız ve varsayımınızın ${a}$ , ${r}$ ve ${k}$ sayılarının değerlerine bağlı olup olmadığını belirtiniz.(6 puan)
b)
Varsayımınızı cebirsel olarak ispatlayınız.(9 puan)
c)
Bir fonksiyonun bire birliğinin grafikte nereden görüldüğünü yazınız.(5 puan)

Çözümü göster

Ders kılavuzu

Dersi açmak için çengel sorular, kavramı somutlaştıran benzetmeler ve öğrencilerin sık yaptığı yanlışlar.

Derse giriş: çengel sorular

Pizzayı paylaşmak
Bir pizzayı x kişi eşit paylaşırsa kişi başına 1/x pizza düşer. Kişi sayısı arttıkça pay küçülür ama hiç sıfır olmaz; sıfır kişiye paylaştırmak ise anlamsızdır. Bu iki gözlem ${\dfrac{1}{x}}$ fonksiyonunun görüntü kümesini ve tanım kümesini anlatır.
Yol, hız ve zaman
120 km'lik bir yolu kaç saatte gideriz? Hız 60 ise 2 saat, 120 ise 1 saat, 240 ise yarım saat. Hız iki katına çıkınca süre yarıya iner. ${t = \dfrac{120}{v}}$ bir rasyonel fonksiyondur; ters orantının grafiğidir.
$\displaystyle t = \dfrac{120}{v}$
Hiç değmeyen çizgi
${\dfrac{1}{x}}$ grafiğini çizdirin ve x çok büyürken, x sıfıra yaklaşırken ne olduğunu sorun. Grafik iki eksene de giderek yaklaşır ama hiç değmez. Ötelenince bu iki çizgi de grafikle birlikte kayar.

Benzetmeler

Ters orantı
Bir tahterevalli gibidir: bir uç yukarı çıktıkça öteki aşağı iner. x büyüdükçe ${\dfrac{1}{x}}$ küçülür; ikisinin çarpımı hep 1'dir.
Tanım kümesindeki boşluk
Köprüde yıkılmış tek bir dikmedir. Yolun geri kalanı sağlamdır ama ${x = r}$ noktasından geçilemez; grafik orada ikiye ayrılır.
Görüntü kümesindeki boşluk
Hiçbir zaman çalmayan bir numaradır. ${\dfrac{a}{x - r} + k}$ fonksiyonu ${k}$ değerini hiç almaz, çünkü kesir hiçbir zaman 0 olmaz.

Sık yapılan yanlışlar

${\dfrac{1}{x}}$ fonksiyonunun tanım kümesi ℝ'dir.
Payda 0 olamaz; ${x = 0}$ tanım kümesinin dışındadır.
${x = 0}$ için tabloya "tanımsız" yazdırın.
${\dfrac{1}{x}}$ fonksiyonu 0 değerini de alır.
Pay 1 olduğundan kesir hiçbir zaman 0 olmaz. Görüntü kümesi ℝ ∖ {0}'dır.
${\dfrac{1}{x} = 0}$ denklemini çözmeye çalıştırın ve neden çözümsüz olduğunu söyletin.
${\dfrac{1}{x}}$ her yerde azalan olduğuna göre ${f(-1) > f(1)}$ 'dir.
Fonksiyon iki ayrı parçada azalandır, bütün tanım kümesinde değil. ${f(-1) = -1 < f(1) = 1}$ .
Artanlık-azalanlığı aralık aralık yazdırın.
${\dfrac{2}{x - 3} + 1}$ fonksiyonunun görüntü kümesi ℝ ∖ {3}'tür.
3 tanım kümesinden çıkarılan değerdir. Görüntü kümesinden çıkan değer, eklenen sabit 1'dir.
Tanım ve görüntü kümesini iki ayrı soru olarak sordurun: "hangi x yasak", "hangi y hiç gelmez".
${\dfrac{1}{x}}$ fonksiyonu çifttir.
${f(-x) = -\dfrac{1}{x} = -f(x)}$ ; fonksiyon tektir ve grafiği orijine göre simetriktir.
Grafiği orijin etrafında yarım tur döndürtün.
${\dfrac{1}{x + 2}}$ grafiği 2 birim sağa ötelenmiştir.
Yasak nokta ${x + 2 = 0}$ , yani ${x = -2}$ 'dir; grafik 2 birim sola ötelenir.
Ötelemeyi her zaman paydayı sıfırlayan x'ten okutun.

Tahtada anlatım sırası9 adımı göster

1
Pizza çengeliyle ${\dfrac{1}{x}}$ 'in tablosunu kurun; negatif x'leri de ekleyin.
Süreç bileşeni a: nitel özellikleri belirler.
2
Grafiği çizip tanım kümesi, görüntü kümesi, işaret, artanlık, teklik ve bire birliği okutun.
Süreç bileşeni b: temsiller arası ilişki.
3
Hiç değmeyen çizgi çengeli: x büyürken ve sıfıra yaklaşırken değerlerin davranışını tabloyla gösterin.
4
Öteleme ve ${a}$ katsayısı: grafiği ve yaklaşılan iki çizgiyi birlikte kaydırın.
$\displaystyle \dfrac{1}{x} \to \dfrac{a}{x - r} + k$
Süreç bileşenleri c ve ç: dönüştürür ve ilişkiyi ifade eder.
5
Genel biçim için tanım ve görüntü kümesini tahmin ettirin.
$\displaystyle \mathbb{R} \setminus \{r\},\ \mathbb{R} \setminus \{k\}$
Süreç bileşenleri d ve e: varsayım ve genelleme.
6
Tahminleri üç fonksiyonun grafiğini çizerek sınatın.
Süreç bileşeni f: kontrol eder.
7
Sıfır ve eksen kesişimleri: ${g(x) = 0}$ ve ${g(0)}$ hesaplarını yaptırın.
Süreç bileşeni h: cebirsel doğrulama.
8
Önermeleri yazdırın: " ${\dfrac{a}{x - r} + k}$ fonksiyonu ${k}$ değerini almaz" gibi; nedenini cebirsel olarak açıklatın.
Süreç bileşeni g: önerme sunar.
9
Yol-hız-zaman çengeline dönün; grafiğin yalnız pozitif parçasının neden anlamlı olduğunu tartıştırın.
Süreç bileşenleri ğ ve ı.

Ödev ve çalışma kâğıdı

Her antrenman tek bir beceriyi bol tekrarla çalıştırır. Hangisinden kaç kalem istediğini seç; kâğıt ve çözümlü cevap anahtarı tarayıcında hazırlanır.

Ödev kâğıdı oluştur

Her alıştırmadan kaç kalem istediğini seç. Kalemler hazır havuzdan rastgele gelir; iki sınıfa iki ayrı kâğıt verebilirsin. Çözümlü cevap anahtarı da hazır.

Alıştırmalar

${\dfrac{\,a\,}{x - r} + k}$ fonksiyonu ${k}$ değerini hiç almaz: görüntü kümesi ${\mathbb{R} \setminus \{k\}}$ olur.
1. 1) ${g(x) = \dfrac{8}{x + 6} + 5}$ fonksiyonunun görüntü kümesi nedir?= $\displaystyle \mathbb{R} \setminus \{5\}$
2. 2) ${g(x) = \dfrac{3}{x + 6} - 5}$ fonksiyonunun görüntü kümesi nedir?= $\displaystyle \mathbb{R} \setminus \{-5\}$
3. 3) ${g(x) = \dfrac{3}{x + 6} + 2}$ fonksiyonunun görüntü kümesi nedir?= $\displaystyle \mathbb{R} \setminus \{2\}$
/ 40
${f(x) = \dfrac{1}{ x}}$ grafiği ${r}$ birim sağa ötelenirse paydada ${x - r}$ , sola ötelenirse ${x + r}$ yazılır.
1. 1) ${f(x) = \dfrac{1}{ x}}$ grafiği 5 birim sağa ve 7 birim yukarı ötelenirse hangi fonksiyonun grafiği elde edilir?= $\displaystyle \dfrac{1}{x - 5} + 7$
2. 2) ${f(x) = \dfrac{1}{ x}}$ grafiği 2 birim sola ve 2 birim aşağı ötelenirse hangi fonksiyonun grafiği elde edilir?= $\displaystyle \dfrac{1}{x + 2} - 2$
3. 3) ${f(x) = \dfrac{1}{ x}}$ grafiği 6 birim sağa ve 8 birim yukarı ötelenirse hangi fonksiyonun grafiği elde edilir?= $\displaystyle \dfrac{1}{x - 6} + 8$
/ 40
${x}$ yerine verilen sayıyı yazınız; önce paydayı hesaplayınız. ${y}$ eksenini kestiği nokta için ${x = 0}$ yazınız.
1. 1) ${g(x) = \dfrac{7}{x + 2} + 8}$ olduğuna göre ${g(-1)}$ kaçtır?= $\displaystyle 15$
2. 2) ${g(x) = \dfrac{9}{x + 1} + 3}$ fonksiyonunun grafiğinin ${y}$ eksenini kestiği noktanın ordinatı kaçtır?= $\displaystyle 12$
3. 3) ${f(x) = \dfrac{5}{x + 3}}$ olduğuna göre ${f(-8)}$ kaçtır?= $\displaystyle -1$
/ 40
${g(x) = 0}$ yazınız; kesri yalnız bırakıp paydayı bulunuz.
1. 1) ${g(x) = \dfrac{10}{x + 1} - 1}$ fonksiyonunun sıfırı kaçtır?= $\displaystyle 9$
2. 2) ${g(x) = \dfrac{3}{x - 1} - 1}$ fonksiyonunun sıfırı kaçtır?= $\displaystyle 4$
3. 3) ${g(x) = \dfrac{4}{x - 6} - 4}$ fonksiyonunun sıfırı kaçtır?= $\displaystyle 7$
/ 40

Kâğıt başlığı

Çalışma boşluğu

Yok8 mm15 mm25 mm

Ad, sınıf, süre satırıCevap anahtarında kısa çözüm

0 kalem

İndirmek için en az bir kalem seç.

Kazanım künyesi

10. sınıf Rasyonel fonksiyon için 27 çözümlü soru: soruları sayfada çöz, takıldığında adım adım çözümü aç; seçtiğin sorulardan test, yaprak test ya da yazılı kâğıdı hazırla ve cevap anahtarıyla PDF olarak indir; ödev için alıştırma (çalışma) kâğıdı çıkar; derste soruları akıllı tahtada tek tek aç; ders kılavuzunda derse giriş, kavram yanılgıları ve tahta akışı var. 2. dönem yazılısına ve ortak sınava hazırlıkta kullanılır.

Kod: MAT.10.4.4
Kapsadığı konular: rasyonel fonksiyonlar, rasyonel fonksiyon grafiği, fonksiyonlar
Dönem ve hafta: 2. dönem, 19, 20. haftalar, 8 ders saati
Süreç bileşenleri: a)Rasyonel referans fonksiyonun nitel özelliklerini (tanım kümesi, görüntü kümesi, işareti, artanlığı-azalanlığı, maksimum-minimum noktaları, sıfırları, bire birliği, tekliği-çiftliği, örtenliği) matematiksel temsilleri kullanarak belirler.
b)Rasyonel referans fonksiyonun nitel özellikleri ile matematiksel temsilleri arasındaki ilişkileri belirler.
c)Rasyonel referans fonksiyonu grafik ve cebirsel temsili üzerinde yapılan işlemlerle diğer rasyonel fonksiyonlara dönüştürür.
ç)Rasyonel referans fonksiyon ile elde ettiği rasyonel fonksiyonların grafik ve cebirsel temsilleri arasındaki ilişkiyi ifade eder.
d)Rasyonel referans fonksiyonun nitel özelliklerinden hareketle diğer rasyonel fonksiyonların nitel özellikleri hakkında varsayımlarda bulunur.
e)Varsayımlarına dayalı olarak rasyonel fonksiyonların nitel özelliklerine ilişkin örüntüleri (cebirsel, sayısal veya grafiksel) geneller.
f)Genellemelerinin varsayımlarını karşılayıp karşılamadığını kontrol eder.
g)Genellemelerinden elde ettiği önermeleri uygun sözel veya cebirsel dil ile sunar.
ğ)Elde ettiği önermelerin gerçek yaşam bağlamlarındaki kullanışlılığını değerlendirir.
h)Önermelerini grafiksel olarak doğrular veya cebirsel olarak ispatlar.
ı)Uyguladığı doğrulama veya ispat yöntemlerinin farklı durumlardaki kullanışlılığını değerlendirir.
Ders kitabında: 4. Tema — Nicelikler ve Değişimler, 4.4 Rasyonel Fonksiyon ve Nitel Özellikleri

Rasyonel fonksiyon

Sorular ve çözümleri

Ders kılavuzu

Derse giriş: çengel sorular

Benzetmeler

Sık yapılan yanlışlar

Ödev ve çalışma kâğıdı

Ödev kâğıdı oluştur

Test PDF'i

Test PDF'i hazırla

Kazanım künyesi