10. sınıf, Geometrik ŞekillerMAT.10.1.3

Üçgenin alanı

Üçgenin Alanı

Kazanım: Üçgenin bir kenarı ve o kenara ait yüksekliğinin değişimine bağlı olarak alanının değişimine ilişkin çıkarım yapabilme.

Tahtada aç Yazılı hazırla

Sorular ve çözümleri

Her sorunun altında adım adım çözüm var. Çoktan seçmelide doğru şık, çözümü açınca işaretlenir.

Zorluk

Cevap biçimi

Soru türü

Şekil

52 soru gösteriliyor

Soru 1İşlemKısa cevap4 puanKolay

Şekildeki ABC üçgeninde D noktası

{[BC]}

kenarı üzerindedir;

{|BD| = 4}

birim ve

{|DC| = 10}

birimdir.ABD üçgeninin alanı

{12}

birimkare olduğuna göre ADC üçgeninin alanı kaç birimkaredir?

Çözümü göster

Cevap: $\displaystyle 30$

1
ABD ve ADC üçgenlerinin ${[BD]}$ ve ${[DC]}$ tabanlarına ait yükseklikleri aynıdır: ikisi de A köşesinin ${BC}$ doğrusuna uzaklığıdır. Yükseklikleri eşit üçgenlerin alanları oranı tabanlarının uzunlukları oranına eşittir.
2
${\dfrac{A(ADC)}{A(ABD)} = \dfrac{|DC|}{|BD|} = \dfrac{10}{4}}$ olduğundan ${A(ADC) = 12 \cdot \dfrac{10}{4} = 30}$ birimkare olur.

Soru 2KavramÇoktan seçmeli3 puanKolay

Bir üçgenin bir kenarının uzunluğu

{3}

katına çıkarılıyor, bu kenara ait yüksekliği ise değiştirilmiyor.Bu değişikliğin üçgenin alanına etkisine ilişkin aşağıdaki varsayımlardan hangisi doğrudur?

A $Alan değişmez$
B $Alan 3 katına çıkar$
C $Alan 6 katına çıkar$
D $Alan 9 katına çıkar$
E $Alan üçte birine iner$

Çözümü göster

BDoğru cevap

1
Üçgenin alanı bir kenar ile bu kenara ait yüksekliğin çarpımının yarısıdır: ${A = \dfrac{a \cdot h}{2}}$ .
2
Kenar ${3a}$ olup yükseklik ${h}$ kalınca yeni alan ${\dfrac{3a \cdot h}{2} = 3 \cdot \dfrac{a \cdot h}{2}}$ olur; doğru varsayım $Alan 3 katına çıkar$ olur.

Yanlış şıklar neden yanlış?

A)Yükseklik sabit kaldığı için alanın da sabit kalacağı sanılmış; alan kenar uzunluğuyla orantılıdır.
C)Alan formülündeki ikiye bölme kat ile karıştırılıp ${3}$ ile ${2}$ çarpılmış.
D)Benzer üçgenlerdeki kare kuralı uygulanmış; o kural bütün kenarlar ve yükseklik birlikte 3 katına çıkınca geçerlidir.
E)Kenar uzunluğu ile alanın ters orantılı olduğu sanılmış.

Soru 3KavramÇoktan seçmeli5 puanOrta

Bir öğrenci farklı dört üçgenin birer kenarını (taban), bu kenara ait yüksekliği ve üçgenin alanını ölçerek tabloya yazmıştır. Uzunluklar santimetre, alanlar santimetrekare cinsindendir.I. Taban aynı kalıp bu tabana ait yükseklik

{2}

katına çıkınca alan

{2}

katına çıkar.II. Yükseklik aynı kalıp taban

{2}

katına çıkınca alan

{4}

katına çıkar.III. Alanları eşit iki üçgenden tabanı uzun olanın bu tabana ait yüksekliği kısadır.Yukarıdaki genellemelerden hangileri tablodaki dört üçgenin ölçümleriyle çelişmez?

A $Yalnız I$
B $Yalnız III$
C $I ve II$
D $I ve III$
E $II ve III$

Çözümü göster

DDoğru cevap

1
1. ile 3. üçgende taban ${4}$ cm, 2. ile 4. üçgende ${8}$ cm kalırken yükseklik ${6}$ cm'den ${12}$ cm'ye çıkmış; alanlar ${12}$ 'den ${24}$ 'e ve ${24}$ 'ten ${48}$ 'e, yani ${2}$ katına çıkmıştır. I çelişmez.
2
1. ile 2. üçgende yükseklik ${6}$ cm kalırken taban ${4}$ cm'den ${8}$ cm'ye çıkmış, alan ise ${12}$ 'den ${24}$ 'e, yani ${2}$ katına çıkmıştır. II tabloyla çelişir.
3
2. ve 3. üçgenin alanları ${24}$ santimetrekaredir; tabanı ${8}$ cm olan 2. üçgenin yüksekliği ${6}$ cm, tabanı ${4}$ cm olan 3. üçgeninki ${12}$ cm'dir. III çelişmez; genellemeler $I ve III$ olur.

Yanlış şıklar neden yanlış?

A)III gözden kaçmış; alanları ${24}$ olan 2. ve 3. üçgenden tabanı uzun olan 2. üçgenin yüksekliği kısadır.
B)I gözden kaçmış; 1. ile 3. ve 2. ile 4. üçgenlerde taban aynı kalırken yükseklik ve alan 2 katına çıkar.
C)II benzerlikteki kare kuralıyla karıştırılmış; 1. ve 2. üçgende alan ${12}$ 'den ${24}$ 'e, 2 katına çıkar.
E)II tabloyla çelişir; tabanı 2 katına çıkan 2. üçgenin alanı 1. üçgeninkinin 4 katı değil 2 katıdır.

Soru 4SözelÇoktan seçmeli5 puanOrta

Üçgen biçimindeki bir çiçek tarhı, A köşesinden karşı kenardaki D ve E noktalarına çekilen iki sınır şeridiyle üç parçaya ayrılmıştır. Parçaların karşı kenardaki uzunlukları

{|BD| = 3}

{|DE| = 5}

m ve

{|EC| = 4}

m'dir.Tarhın tamamının alanı

{48}

metrekare olduğuna göre taralı ADE parçasının alanı kaç metrekaredir?

A $\displaystyle 12$
B $\displaystyle 16$
C $\displaystyle 20$
D $\displaystyle 32$
E $\displaystyle 36$

Çözümü göster

CDoğru cevap

1
Üç parçanın ${[BD]}$ , ${[DE]}$ ve ${[EC]}$ tabanlarına ait yükseklikleri aynıdır: A köşesinin ${BC}$ doğrusuna uzaklığı. Bu yüzden parçaların alanları taban uzunluklarıyla orantılıdır.
2
Tabanlar ${3}$ , ${5}$ ve ${4}$ metre, toplamı ${12}$ metredir; ADE parçasının alanı ${48 \cdot \dfrac{5}{12} = 20}$ metrekare olur.

Yanlış şıklar neden yanlış?

A)Soldaki ABD parçasının alanı bulunmuş.
B)Tarh üç eşit parçaya ayrılmış sanılmış; parçaların tabanları farklıdır.
D)ABE parçası, yani soldaki iki parçanın toplamı bulunmuş.
E)ADC parçası, yani sağdaki iki parçanın toplamı bulunmuş.

Soru 5KavramÇoktan seçmeli5 puanOrta

Bir öğrenci, tabanı

{10}

cm ve bu tabana ait yüksekliği

{6}

cm olan bir üçgen üzerinde şu varsayımda bulunuyor: "Tabanı

{4}

cm uzatır, bu tabana ait yüksekliği

{4}

cm kısaltırsam üçgenin alanı değişmez." Öğrenci varsayımını sınamak için yeni üçgenin alanını hesaplıyor.Yeni üçgenin alanı ilk üçgenin alanından kaç santimetrekare küçüktür?

A $\displaystyle 0$
B $\displaystyle 8$
C $\displaystyle 14$
D $\displaystyle 16$
E $\displaystyle 32$

Çözümü göster

DDoğru cevap

1
İlk üçgenin alanı ${\dfrac{10 \cdot 6}{2} = 30}$ santimetrekaredir.
2
Yeni üçgenin tabanı ${14}$ cm, bu tabana ait yüksekliği ${2}$ cm olduğundan alanı ${\dfrac{14 \cdot 2}{2} = 14}$ santimetrekaredir.
3
Alan ${30 - 14 = 16}$ santimetrekare küçülmüştür; varsayım yanlıştır, çünkü alan taban ile yüksekliğin toplamına değil çarpımına bağlıdır.

Yanlış şıklar neden yanlış?

A)Varsayım doğru sanılmış; eklenen ve çıkarılan uzunluk eşit olsa da alan çarpıma bağlıdır.
B)Fark yalnız ${\dfrac{4 \cdot 4}{2}}$ ile hesaplanmış.
C)Yeni üçgenin alanı bulunmuş; iki alanın farkı sorulmuştur.
E)Alanlar ikiye bölünmeden, taban ile yüksekliğin çarpımı olarak karşılaştırılmış.

Soru 6İşlemÇoktan seçmeli7 puanZor

Şekildeki ABC üçgeninde D noktası

{[BC]}

kenarı, E noktası

{[AD]}

doğru parçası üzerindedir.

{|BD| = 8}

birim,

{|DC| = 12}

birim,

{|AE| = 10}

birim ve

{|ED| = 5}

birimdir.ABC üçgeninin alanı

{120}

birimkare olduğuna göre taralı BEC üçgeninin alanı kaç birimkaredir?

A $\displaystyle 16$
B $\displaystyle 40$
C $\displaystyle 48$
D $\displaystyle 60$
E $\displaystyle 80$

Çözümü göster

Soru 7İşlemKısa cevap4 puanKolay

Şekilde birbirine paralel iki doğrudan birinin üzerinde A ve B, ötekinin üzerinde C ve D noktaları vardır.

{|AB| = 8}

cm ve ABC üçgeninin alanı

{36}

santimetrekaredir.ABD üçgeninin

{[AB]}

kenarına ait yüksekliği kaç santimetredir?

Çözümü göster

Soru 8KavramÇoktan seçmeli5 puanOrta

Birim kareli zeminde K ve L noktaları birleştirilmiş, ayrıca P, R, S, T ve U noktaları işaretlenmiştir.KLR, KLS, KLT ve KLU üçgenlerinden hangilerinin alanı KLP üçgeninin alanına eşittir?

A $Yalnız R$
B $R ve S$
C $R ve T$
D $S ve U$
E $R, S ve T$

Çözümü göster

Soru 9İşlemKısa cevap6 puanOrta

Şekilde birbirine paralel iki doğrudan birinin üzerinde B ve C, ötekinin üzerinde A ve D noktaları vardır.

{[AC]}

ile

{[BD]}

doğru parçaları E noktasında kesişmektedir.ABC üçgeninin alanı

{50}

birimkare ve BCE üçgeninin alanı

{20}

birimkare olduğuna göre taralı ABE ve CDE üçgenlerinin alanları toplamı kaç birimkaredir?

Çözümü göster

Soru 10KavramÇoktan seçmeli5 puanOrta

ABC üçgeninde D noktası

{[BC]}

kenarı üzerindedir ve

{|BD| \neq |DC|}

olarak verilmiştir. A noktasından

{BC}

doğrusuna paralel çizilen doğru üzerinde A'dan farklı bir E noktası alınıyor.I. EBD ve EDC üçgenlerinin alanları eşittir.II. EBC ve ABC üçgenlerinin alanları eşittir.III. EBD ve ABD üçgenlerinin alanları eşittir.Yukarıdaki önermelerden hangileri E noktası nerede alınırsa alınsın doğrudur?

A $Yalnız II$
B $Yalnız III$
C $I ve II$
D $I ve III$
E $II ve III$

Çözümü göster

Soru 11İşlemÇoktan seçmeli7 puanZor

Şekildeki ABCD yamuğunda

{[AB] \mathrel{/\!\!/} [DC]}

olup köşegenler K noktasında kesişmektedir.

{|DK| = 4}

birim ve

{|KB| = 10}

birimdir.Taralı AKD üçgeninin alanı

{20}

birimkare olduğuna göre ABCD yamuğunun alanı kaç birimkaredir?

A $\displaystyle 70$
B $\displaystyle 78$
C $\displaystyle 90$
D $\displaystyle 98$
E $\displaystyle 140$

Çözümü göster

Soru 12SözelÇoktan seçmeli9 puanİleri

Dikdörtgen biçimindeki bir halı deseninde E noktası

{[DC]}

kenarının orta noktasıdır. A köşesi E'ye, B köşesi D'ye düz birer şeritle birleştirilmiş ve şeritler K noktasında kesişmiştir. Halının kenar uzunlukları

{|AB| = 12}

m ve

{|AD| = 8}

m'dir.Taralı DKE bölgesinin alanı kaç metrekaredir?

A $\displaystyle 8$
B $\displaystyle 12$
C $\displaystyle 16$
D $\displaystyle 24$
E $\displaystyle 32$

Çözümü göster

Soru 13KavramKısa cevap4 puanKolay

Bir üçgenin bütün kenar uzunlukları

{4}

katına çıkarılarak ilk üçgene benzer yeni bir üçgen çiziliyor.Yeni üçgenin alanı ilk üçgenin alanının kaç katıdır?

Çözümü göster

Soru 14KavramÇoktan seçmeli5 puanOrta

Yazılımla çizilen üç çift benzer üçgenin her birinde ABC üçgeninin

{[BC]}

kenarı, DEF üçgeninin

{[EF]}

kenarına karşılık gelir. Kenar uzunlukları santimetre, alanlar santimetrekare cinsinden tabloda verilmiştir.

{k}

{|EF|}

uzunluğunun

{|BC|}

uzunluğuna oranıdır.Tablodaki üç çiftin üçünde de sağlanan eşitlik aşağıdakilerden hangisidir?

A $\displaystyle A(DEF) = k \cdot A(ABC)$
B $\displaystyle A(DEF) = 2k \cdot A(ABC)$
C $\displaystyle A(DEF) = (k + 2) \cdot A(ABC)$
D $\displaystyle A(DEF) = (3k - 2) \cdot A(ABC)$
E $\displaystyle A(DEF) = k^2 \cdot A(ABC)$

Çözümü göster

Soru 15SözelÇoktan seçmeli5 puanOrta

Bir belediyenin

{1 : 500}

ölçekli imar planında üçgen biçimli bir park

{12}

santimetrekarelik bir bölge olarak çizilmiştir. Plandaki her uzunluk, gerçek uzunluğun

{500}

'de biridir.Parkın gerçek alanı kaç metrekaredir?

A $\displaystyle 25$
B $\displaystyle 60$
C $\displaystyle 300$
D $\displaystyle 3000$
E $\displaystyle 30000$

Çözümü göster

Soru 16İşlemÇoktan seçmeli7 puanZor

Şekildeki ABC üçgeninde D noktası

{[AB]}

, E noktası

{[AC]}

kenarı üzerindedir ve

{[DE] \mathrel{/\!\!/} [BC]}

olarak çizilmiştir.

{|AD| = 4}

birim ve

{|DB| = 2}

birimdir.ABC üçgeninin alanı

{54}

birimkare olduğuna göre taralı DEC üçgeninin alanı kaç birimkaredir?

A $\displaystyle 12$
B $\displaystyle 18$
C $\displaystyle 24$
D $\displaystyle 30$
E $\displaystyle 36$

Çözümü göster

Soru 17SözelÇoktan seçmeli7 puanZor

Üçgen biçimli bir süs havuzunun çevresine, dış sınırı da üçgen olan ve her yerde aynı genişlikte bir taş yol yapılmıştır. Yolun dış sınırının her kenarı havuzun bir kenarına paraleldir. Havuzun çevresi

{48}

metre, yolun dış sınırının çevresi

{64}

metredir.Taş yolun alanı

{56}

metrekare olduğuna göre taralı havuzun alanı kaç metrekaredir?

A $\displaystyle 42$
B $\displaystyle 72$
C $\displaystyle 128$
D $\displaystyle 168$
E $\displaystyle 224$

Çözümü göster

Soru 18KavramAçık uçlu20 puanİleri

Şekildeki ABC üçgeninde D noktası

{[AB]}

kenarının, E noktası

{[AC]}

kenarının orta noktasıdır. F noktası

{[BC]}

kenarı üzerindedir ve

{|BF| = 2|FC|}

olarak alınmıştır. ABC üçgeninin alanı

{96}

birimkaredir.Buna göre aşağıdaki soruları cevaplayınız.

a)
ADE üçgeninin alanı kaç birimkaredir?(4 puan)
b)
DEF üçgeninin alanı kaç birimkaredir?(5 puan)
c)
Bir öğrenci "F noktası ${[BC]}$ kenarı üzerinde nerede seçilirse seçilsin DEF üçgeninin alanı değişmez." diyor. Bu önermenin doğru olup olmadığını gerekçesiyle yazınız.(5 puan)
ç)
DBF üçgeninin alanı kaç birimkaredir?(6 puan)

Çözümü göster

Soru 19SözelKısa cevap4 puanKolay

Üçgen biçimli bir kumaş parçasının iki kenarının uzunlukları

{10}

cm ve

{12}

cm, bu iki kenar arasındaki açının ölçüsü

{30^{\circ}}

olarak ölçülmüştür.Kumaş parçasının alanı kaç santimetrekaredir?

Çözümü göster

Soru 20İşlemÇoktan seçmeli5 puanOrta

Şekildeki ABC üçgeninde D noktası

{[AB]}

, E noktası

{[AC]}

kenarı üzerindedir.

{|AD| = 8}

birim,

{|DB| = 4}

birim,

{|AE| = 6}

birim ve

{|EC| = 10}

birimdir.ABC üçgeninin alanı

{72}

birimkare olduğuna göre taralı DBCE dörtgeninin alanı kaç birimkaredir?

A $\displaystyle 18$
B $\displaystyle 36$
C $\displaystyle 40$
D $\displaystyle 45$
E $\displaystyle 54$

Çözümü göster

Soru 21SözelÇoktan seçmeli7 puanZor

Bir sergi standında iki düz metal çubuk O noktasında birbirine perçinlenmiş, uçları gergin bir iple birleştirilerek ABCD dörtgeni biçiminde bir pano elde edilmiştir. Çubuk parçalarının uzunlukları

{|OA| = 8}

dm,

{|OC| = 4}

dm,

{|OB| = 6}

dm ve

{|OD| = 12}

dm olarak ölçülmüştür.AOB açısının ölçüsü şekildeki gibi

{150^{\circ}}

olduğuna göre panonun alanı kaç desimetrekaredir?

A $\displaystyle 24$
B $\displaystyle 30$
C $\displaystyle 54$
D $\displaystyle 108$
E $\displaystyle 216$

Çözümü göster

Soru 22KavramAçık uçlu15 puanZor

İki kenarının uzunlukları

{6}

cm ve

{8}

cm olan farklı üçgenler çiziliyor; bu iki kenar arasındaki açının ölçüsü

{\theta}

ile gösteriliyor.Buna göre aşağıdaki soruları cevaplayınız.

a)
${\theta = 30^{\circ}}$ iken üçgenin alanı kaç santimetrekaredir?(3 puan)
b)
${\theta = 120^{\circ}}$ iken üçgenin alanı kaç santimetrekaredir?(3 puan)
c)
Bir öğrenci " ${\theta}$ büyüdükçe üçgenin alanı da büyür." varsayımında bulunuyor. ${\theta = 90^{\circ}}$ iken alanı da hesaplayarak bu varsayımı değerlendiriniz.(4 puan)
ç)
Bu üçgenlerden alanı en büyük olanın alanı kaç santimetrekaredir? Gerekçesini yazınız.(5 puan)

Çözümü göster

Soru 23SözelÇoktan seçmeli9 puanİleri

Dik üçgen biçimli bir oyun parkının C köşesinde üçgen biçimli bir kum havuzu yapılacaktır. Havuzun D köşesi

{[AC]}

, E köşesi

{[BC]}

kenarı üzerindedir. Şekilde

{[AB] \perp [BC]}

olup

{|AB| = 6}

{|BE| = 3}

{|EC| = 5}

m ve

{|AD| = 4}

m'dir.Taralı DEC kum havuzunun alanı kaç metrekaredir?

A $\displaystyle 9$
B $\displaystyle 12$
C $\displaystyle 15$
D $\displaystyle 18$
E $\displaystyle 24$

Çözümü göster

Soru 24SözelAçık uçlu20 puanİleri

Bir kooperatif üçgen biçimli ABC arazisini ölçmüştür. Kenar uzunlukları

{|AB| = 25}

m ve

{|AC| = 24}

m'dir; arazinin A köşesindeki açının ölçüsü

{150^{\circ}}

olarak bulunmuştur.Buna göre aşağıdaki soruları cevaplayınız.

a)
Arazinin alanı kaç metrekaredir?(4 puan)
b)
C köşesinden ${AB}$ doğrusuna çizilecek en kısa yolun uzunluğu kaç metredir?(5 puan)
c)
${[BC]}$ kenarı üzerinde bir D noktası ${|BD| : |DC| = 2 : 3}$ olacak biçimde alınıp A ile D arasına çit çekiliyor. ABD parçasının alanı kaç metrekaredir?(5 puan)
ç)
Kooperatif A köşesindeki açıyı değiştirmeden ${[AB]}$ kenarını ${24}$ metreye kısaltıp ${[AC]}$ kenarını ${25}$ metreye uzatmayı düşünüyor. Arazinin alanının değişip değişmeyeceğini gerekçesiyle yazınız.(6 puan)

Çözümü göster

Soru 25KavramÇoktan seçmeli5 puanOrta

Aşağıda üç üçgen verilmiştir. Her üçgende bir taban seçilmiş, bu tabanın uzunluğu

{a}

ve bu tabana ait yükseklik

{h}

ile gösterilmiştir; yükseklikler kesikli çizgiyle çizilmiştir (

{[AH] \perp [BC]}

). Ölçüler santimetre cinsinden I. üçgende

{a = 4}

{h = 9}

; II. üçgende

{a = 6}

{h = 6}

; III. üçgende

{a = 12}

{h = 3}

'tür.Bu üç ölçümden çıkarılabilecek genelleme aşağıdakilerden hangisidir?

A $\displaystyle a \cdot h \text{ eşitse alanlar da eşittir.}$
B $\displaystyle a \text{ büyüdükçe alan da büyür.}$
C $\displaystyle h \text{ büyüdükçe alan küçülür.}$
D $\displaystyle \text{Alan, } a + h \text{ toplamının yarısıdır.}$
E $Alan, tabanın üç katıdır.$

Çözümü göster

Soru 26KavramÇoktan seçmeli5 puanOrta

Aşağıda aynı ölçekte çizilmiş üç üçgen verilmiştir. Üçünde de

{[BC]}

kenarının uzunluğu eşittir ve A köşesinin

{BC}

doğrusuna uzaklığı aynıdır; A köşesi soldan sağa doğru kaymaktadır. Her üçgende A köşesinden

{BC}

doğrusuna inen dikme kesikli çizgiyle çizilmiştir (

{[AH] \perp [BH]}

).Bu üç üçgenin alanları için aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

A $III. üçgenin alanı en büyüktür.$
B $Üçünün alanı da eşittir.$
C $I. üçgenin alanı en küçüktür.$
D $II. üçgenin alanı en büyüktür.$
E $III. üçgende yükseklik çizilemez.$

Çözümü göster

Soru 27KavramAçık uçlu10 puanOrta

Bir öğrenci dört üçgenin birer kenarını, bu kenara ait yüksekliğini ve alanını ölçüp tabloya yazmaya başlamış, ancak alan sütununu tamamlayamamıştır. Tabloda

{a}

taban uzunluğunu,

{h}

ise bu tabana ait yüksekliği göstermektedir. Uzunluklar santimetre, alanlar santimetrekare cinsindendir.Buna göre aşağıdaki soruları cevaplayınız.

a)
Tablodaki boş üç hücreye yazılması gereken alanları sırasıyla bulunuz.(3 puan)
b)
Tabloyu tamamladıktan sonra alanları eşit olan üçgenleri, hangi ölçülere baktığınızı da belirterek yazınız.(3 puan)
c)
Tabanı ${4}$ cm olan beşinci bir üçgenin alanı, tablodaki ${1}$ numaralı üçgenin alanına eşit olacaktır. Bu tabana ait yüksekliğin kaç santimetre olması gerektiğini bulunuz.(4 puan)

Çözümü göster

Soru 28İşlemÇoktan seçmeli7 puanZor

Bir tasarımcı üçgen biçimli bir logoyu dört farklı büyüklükte bastırmıştır. Her logonun kenarları,

{1}

numaralı logonun karşılık gelen kenarlarının

{k}

katıdır. Ölçümlerin bir kısmı tabloya yazılmış, bir kısmı boş bırakılmıştır. Alanlar santimetrekare cinsindendir.Tablodaki boş hücrelere yukarıdan aşağıya doğru yazılması gereken sayılar aşağıdakilerden hangisidir?

A $\displaystyle 24, 9 \text{ ve } 60$
B $\displaystyle 48, 9 \text{ ve } 300$
C $\displaystyle 48, 3 \text{ ve } 300$
D $\displaystyle 4, 3 \text{ ve } 25$
E $\displaystyle 24, 3 \text{ ve } 60$

Çözümü göster

Soru 29İşlemÇoktan seçmeli5 puanOrta

Şekildeki ABC üçgeninde A köşesindeki açı geniştir. C köşesinden

{AB}

doğrusuna inen dikme kesikli çizgiyle çizilmiş olup ayağı H noktasıdır. Şekilde

{[CH] \perp [HB]}

olup

{|AB| = 14}

cm,

{|CH| = 8}

cm ve

{|AH| = 5}

cm'dir.ABC üçgeninin alanı kaç santimetrekaredir?

A $\displaystyle 20$
B $\displaystyle 35$
C $\displaystyle 36$
D $\displaystyle 56$
E $\displaystyle 112$

Çözümü göster

Soru 30İşlemKısa cevap8 puanZor

Şekildeki ABC üçgeninde B köşesindeki açı geniştir. C köşesinden

{AB}

doğrusuna inen dikme kesikli çizgiyle çizilmiş olup ayağı H noktasıdır. Şekilde

{[CH] \perp [AH]}

olup

{|AB| = 15}

cm,

{|CH| = 6}

cm ve

{|BH| = 8}

cm'dir.A köşesinin

{BC}

doğrusuna uzaklığı kaç santimetredir?

Çözümü göster

Soru 31KavramÇoktan seçmeli5 puanOrta

Bir üçgenin iki kenarının uzunlukları

{10}

cm ve

{14}

cm, alanı ise

{35}

santimetrekaredir.Bu iki kenar arasındaki açının ölçüsü için aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

A $\displaystyle \text{Yalnız } 30^{\circ} \text{ olabilir.}$
B $\displaystyle \text{Yalnız } 150^{\circ} \text{ olabilir.}$
C $\displaystyle \text{Yalnız } 90^{\circ} \text{ olabilir.}$
D $Böyle bir üçgen çizilemez.$
E $\displaystyle 30^{\circ} \text{ ve } 150^{\circ} \text{ olabilir.}$

Çözümü göster

Soru 32KavramÇoktan seçmeli3 puanKolay

Bir üçgende yalnız tek bir kenarın uzunluğu

{2}

katına çıkarılarak yeni bir üçgen çiziliyor. Yeni üçgenin öteki ölçüleri hakkında hiçbir bilgi verilmiyor.Yeni üçgenin alanı hakkında aşağıdakilerden hangisi söylenebilir?

A $\displaystyle \text{Alan } 2 \text{ katına çıkar.}$
B $\displaystyle \text{Alan } 4 \text{ katına çıkar.}$
C $Alan değişmez.$
D $\displaystyle \text{Alan } 2 \text{ katından az artar.}$
E $Alanın nasıl değiştiği belirlenemez.$

Çözümü göster

Soru 33KavramÇoktan seçmeli5 puanOrta

Alanları eşit iki üçgen çiziliyor. Birinci üçgende bir kenarın uzunluğu

{a}

, bu kenara ait yükseklik

{h}

; ikinci üçgende bir kenarın uzunluğu

{b}

, bu kenara ait yükseklik

{k}

ile gösteriliyor.I.

{a \cdot h = b \cdot k}

eşitliği her zaman sağlanır.II.

{a = b}

ise

{h = k}

olur.III.

{a + h = b + k}

eşitliği her zaman sağlanır.Yukarıdaki önermelerden hangileri doğrudur?

A $I ve II$
B $Yalnız II$
C $Yalnız III$
D $I ve III$
E $I, II ve III$

Çözümü göster

Soru 34KavramÇoktan seçmeli5 puanOrta

Bir ABC üçgeninde A köşesinden

{BC}

doğrusuna inen dikmenin ayağı H noktasıdır. Ölçümde

{|BH| = 5}

cm ve

{|BC| = 12}

cm bulunmuştur.

{|HC|}

uzunluğunun alabileceği değerlerin tümü aşağıdakilerden hangisinde verilmiştir?

A $\displaystyle 7$
B $\displaystyle 7 \text{ ve } 17$
C $\displaystyle 12$
D $\displaystyle 17$
E $\displaystyle 7, 12 \text{ ve } 17$

Çözümü göster

Soru 35KavramÇoktan seçmeli5 puanOrta

Aşağıda birim kareli beş pencerede birer üçgen çizilmiştir. Üçgenlerin köşeleri kare köşelerindedir ve beş pencerenin birim kareleri aynı büyüklüktedir.Alanı I numaralı üçgenin alanına eşit olan üçgenler hangileridir?

A $Yalnız II$
B $Yalnız IV$
C $II ve IV$
D $III ve V$
E $II, IV ve V$

Çözümü göster

Soru 36KavramÇoktan seçmeli5 puanOrta

Tabanı

{4}

birim, bu tabana ait yüksekliği

{6}

birim olan bir üçgenin tabanı

{2}

katına çıkarılıyor ve bu tabana ait yüksekliği yarıya indiriliyor. Aşağıda birim kareli dört pencerede birer üçgen çizilmiştir; dört pencerenin birim kareleri aynı büyüklüktedir.Ortaya çıkan üçgenin tabanı ve bu tabana ait yüksekliği hangi pencerede çizilmiştir?

A $\displaystyle \text{I}$
B $\displaystyle \text{II}$
C $\displaystyle \text{III}$
D $\displaystyle \text{IV}$
E $\displaystyle \text{Hiçbiri}$

Çözümü göster

Soru 37KavramAçık uçlu15 puanZor

Şekilde bir ABC üçgeni verilmiştir. A köşesinden

{[BC]}

kenarına inen dikme kesikli çizgiyle çizilmiş olup uzunluğu

{5}

cm'dir; dikmenin ayağı H noktasıdır (

{[AH] \perp [BC]}

{|BH| = 3}

cm ve

{|HC| = 5}

cm'dir. Bu üçgenin

{[BC]}

tabanı

{3}

katına çıkarılacak, bu tabana ait yüksekliği ise değiştirilmeyecektir.Buna göre aşağıdaki soruları cevaplayınız.

a)
Hesap yapmadan, yeni üçgenin alanının ilk üçgenin alanına göre nasıl değişeceğine ilişkin bir varsayımda bulununuz; varsayımınızı ve neye dayandırdığınızı yazınız.(4 puan)
b)
Yeni üçgenin alanı kaç santimetrekaredir?(4 puan)
c)
Bulduğunuz sonucu, birinci maddede yazdığınız varsayımla karşılaştırınız.(3 puan)
ç)
Taban ${k}$ katına çıkarılıp bu tabana ait yükseklik değiştirilmezse alanın kaç katına çıkacağını yazınız ve nedenini açıklayınız.(4 puan)

Çözümü göster

Soru 38KavramAçık uçlu15 puanZor

Bir öğrenci şu varsayımda bulunuyor: "Bir üçgenin tabanına eklediğim uzunluk kadarını bu tabana ait yükseklikten çıkarırsam üçgenin alanı değişmez." Öğrenci varsayımını, tabanı

{12}

cm ve bu tabana ait yüksekliği

{8}

cm olan bir üçgende sınamak istiyor.Buna göre aşağıdaki soruları cevaplayınız.

a)
İlk üçgenin alanı kaç santimetrekaredir?(3 puan)
b)
Taban ${4}$ cm uzatılıp bu tabana ait yükseklik ${4}$ cm kısaltılırsa elde edilen üçgenin alanı kaç santimetrekaredir?(4 puan)
c)
Taban yine ${4}$ cm uzatılsaydı, alanın değişmemesi için bu tabana ait yüksekliğin kaç santimetre olması gerekirdi?(4 puan)
ç)
Kendi seçeceğiniz farklı bir taban ve yükseklik çiftinde de sınayınız; kendi örneğinizde alanın nasıl değiştiğini yazarak öğrencinin varsayımının her zaman doğru olup olmadığını değerlendiriniz.(4 puan)

Çözümü göster

Soru 39KavramAçık uçlu20 puanİleri

Bir seramik atölyesinde, bir kenarının uzunluğu

{8}

cm ve bu kenara ait yüksekliği

{5}

cm olan üçgen biçimli bir kalıp kullanılmaktadır. Atölye, bütün kenarları bu kalıbın karşılık gelen kenarlarının

{3}

katı olan yeni bir kalıp yaptıracaktır.Buna göre aşağıdaki soruları cevaplayınız.

a)
Hesap yapmadan, yeni kalıbın alanının ilk kalıbın alanının kaç katı olacağına ilişkin bir varsayımda bulununuz; varsayımınızı ve neye dayandırdığınızı yazınız.(4 puan)
b)
Yeni kalıbın alanı kaç santimetrekaredir?(5 puan)
c)
Bulduğunuz sonucu, birinci maddede yazdığınız varsayımla karşılaştırınız.(5 puan)
ç)
Bütün kenarlar ${k}$ katına çıkarılsaydı alanın kaç katına çıkacağını yazınız ve nedenini açıklayınız.(6 puan)

Çözümü göster

Soru 40KavramAçık uçlu20 puanİleri

Bir zanaatkâr üçgen biçimli çerçeveler yapmaktadır. Çerçevenin çevresi kullanılacak çıtanın uzunluğunu, üçgenin alanı ise kesilecek camın miktarını belirlemektedir.Buna göre aşağıdaki soruları cevaplayınız.

a)
Tabanı ${10}$ cm ve bu tabana ait yüksekliği ${12}$ cm olan ikizkenar bir çerçevenin alanı kaç santimetrekaredir?(3 puan)
b)
Bu çerçevenin çevresi kaç santimetredir?(3 puan)
c)
Alanı birinci çerçevenin alanına eşit olan, ama çevresi ondan farklı olan ikinci bir ikizkenar üçgen çerçevenin tabanını ve bu tabana ait yüksekliğini kendiniz seçip çevresini hesaplayınız.(7 puan)
ç)
Bir öğrenci "alanları eşit olan iki üçgen çerçevenin çevreleri de eşittir" diyor. Bulduğunuz iki çerçeveyi kullanarak bu önermeyi değerlendiriniz.(7 puan)

Çözümü göster

Soru 41Yeni nesilAçık uçlu15 puanZor

Bir belediye, üçgen biçimli bir otoparkın zeminine yağmur suyu kanalı yaptıracaktır. Kanal, üçgenin bir köşesinden karşı kenara dik olarak çekilecek ve o kenara kadar uzanacaktır. Şekilde

{[AB] \perp [BC]}

olup otoparkın kenar uzunlukları

{|AB| = 30}

{|BC| = 40}

m ve

{|AC| = 50}

m'dir. Kanalın metresi

{250}

TL karşılığında yapılmaktadır.Buna göre aşağıdaki soruları cevaplayınız.

a)
Otoparkın alanı kaç metrekaredir?(3 puan)
b)
Kanal ${[AB]}$ kenarına dik çekilirse uzunluğu kaç metre olur?(3 puan)
c)
Kanal ${[BC]}$ kenarına dik çekilirse uzunluğu kaç metre olur?(3 puan)
ç)
Belediye en kısa kanalı yaptırmak istemektedir. Kanalın hangi kenara dik çekilmesi gerektiğini ve maliyetinin kaç TL olacağını bulunuz; bu seçimin nedenini alanın değişmemesinden yararlanarak açıklayınız.(6 puan)

Çözümü göster

Soru 42Yeni nesilÇoktan seçmeli7 puanZor

Bir spor kulübü, sahasının üçgen biçimli bir köşesini suni çimle kaplatacaktır. Bu köşe için bir kenar ve o kenara ait yükseklik olarak üç seçenek düşünülmüştür:I. Kenar

{30}

m, bu kenara ait yükseklik

{16}

mII. Kenar

{24}

m, bu kenara ait yükseklik

{25}

mIII. Kenar

{40}

m, bu kenara ait yükseklik

{14}

mSuni çimin metrekare fiyatı

{180}

TL, döşeme ücreti ise metrekare başına

{45}

TL olarak alınmaktadır. Kaplanacak alan

{250}

metrekareyi geçerse döşeme ücreti metrekare başına

{38}

TL olmaktadır. Kulübün bütçesi

{62000}

TL'dir.Buna göre bütçeye sığan seçenekler hangileridir?

A $Yalnız I$
B $II ve III$
C $I, II ve III$
D $I ve III$
E $\displaystyle \text{Hiçbiri}$

Çözümü göster

Soru 43Yeni nesilÇoktan seçmeli9 puanİleri

Bir okulun sanat atölyesinde, uzun kenarı

{100}

cm ve kısa kenarı

{70}

cm olan dikdörtgen mukavva tabakalardan üçgen biçimli süsleme parçaları kesilecektir. Tabakanın her kenarından

{5}

cm genişliğinde bir şerit tutma payı olarak ayrılmakta ve kesimde kullanılamamaktadır. Üç kesim planı önerilmiştir:I.

{12}

parça; her parçanın bir kenarı

{20}

cm, bu kenara ait yüksekliği

{25}

cmII.

{20}

parça; her parçanın bir kenarı

{15}

cm, bu kenara ait yüksekliği

{22}

cmIII.

{16}

parça; her parçanın bir kenarı

{18}

cm, bu kenara ait yüksekliği

{25}

cmFire miktarı en az olan planda kaç santimetrekare mukavva artar?

A $\displaystyle 1800$
B $\displaystyle 2100$
C $\displaystyle 2400$
D $\displaystyle 3600$
E $\displaystyle 5400$

Çözümü göster

Soru 44Yeni nesilÇoktan seçmeli7 puanZor

Bir mimarlık öğrencisi bir parkın

{1 : 200}

ölçekli maketini yapmıştır; makette her uzunluk gerçeğinin

{200}

'de biridir. Makette üçgen biçimli çim alan

{24}

santimetrekarelik bir bölge olarak çizilmiştir. Gerçek çim alanının her metrekaresi için A tipi çim

{260}

TL, B tipi çim ise

{310}

TL karşılığında serilmektedir.Gerçek çim alanının A tipi çimle serilmesi kaç TL tutar?

A $\displaystyle 6240$
B $\displaystyle 24960$
C $\displaystyle 29760$
D $\displaystyle 99840$
E $\displaystyle 249600$

Çözümü göster

Soru 45SözelÇoktan seçmeli3 puanKolay

Şekilde bir zeminin parke deseni gösterilmiştir. Desen, paralelkenar biçiminde bir şeridin birbirine eş üçgen parkelere bölünmesiyle oluşmuştur; taralı bölge bu parkelerden biridir.Desenin tamamının alanı

{720}

santimetrekare olduğuna göre taralı parkenin alanı kaç santimetrekaredir?

A $\displaystyle 72$
B $\displaystyle 90$
C $\displaystyle 120$
D $\displaystyle 240$
E $\displaystyle 360$

Çözümü göster

Soru 46İşlemKısa cevap8 puanZor

Şekilde dik üçgen biçiminde bir karton gösterilmiştir;

{[AB] \perp [BC]}

{|AD| = 6}

cm,

{|DB| = 6}

cm,

{|BE| = 8}

cm ve

{|AC| = 20}

cm'dir. Karton, kesikli çizgiyle gösterilen

{[DE]}

boyunca katlanmakta, BDE üçgeni kartonun geri kalanının üzerine kapanmakta ve B köşesi

{[AC]}

kenarı üzerindeki bir noktaya gelmektedir.Katlama yapıldıktan sonra kartonun masada kapladığı alan kaç santimetrekaredir?

Çözümü göster

Soru 47SözelKısa cevap4 puanKolay

Üçgen biçimli bir arsanın alanı

{90}

metrekare,

{[BC]}

kenarının uzunluğu ise

{20}

metredir. Arsa, A köşesinden

{[BC]}

kenarı üzerindeki D noktasına çekilen düz bir çitle iki parçaya ayrılmıştır ve ABD parçasının alanı

{36}

metrekaredir.Buna göre

{|BD|}

kaç metredir?

Çözümü göster

Soru 48İşlemKısa cevap8 puanZor

Şekildeki ABC üçgeninde D noktası

{[AB]}

, E noktası

{[AC]}

kenarı üzerindedir;

{|AD| = 6}

cm,

{|DB| = 6}

cm ve

{|AE| = 8}

cm'dir. Taralı ADE üçgeninin alanı

{18}

santimetrekare, ABC üçgeninin alanı ise

{90}

santimetrekaredir.Buna göre

{|EC|}

kaç santimetredir?

Çözümü göster

Soru 49İşlemKısa cevap4 puanKolay

Bir ABC üçgeninde D noktası

{[BC]}

kenarı üzerinde alınmış ve A köşesiyle birleştirilmiştir. ABD üçgeninin alanı

{18}

birimkare, ADC üçgeninin alanı ise

{30}

birimkaredir.Buna göre

{|BD|}

uzunluğunun

{|DC|}

uzunluğuna oranını bulunuz.

Çözümü göster

Soru 50İşlemÇoktan seçmeli5 puanOrta

Birim kareli zeminde K, L, M ve N noktaları işaretlenmiş; K ile L noktalarının her biri hem M'ye hem N'ye birleştirilmiştir.KLN üçgeninin alanı, KLM üçgeninin alanının kaç katıdır?

A $\displaystyle 3$
B $\displaystyle 4$
C $\displaystyle 6$
D $\displaystyle 12$
E $\displaystyle 18$

Çözümü göster

Soru 51İşlemÇoktan seçmeli3 puanKolay

Bir üçgenin alanı

{84}

santimetrekare, bir kenarının uzunluğu ise

{12}

santimetredir.Bu kenara ait yükseklik kaç santimetredir?

A $\displaystyle 7$
B $\displaystyle 14$
C $\displaystyle 28$
D $\displaystyle 72$
E $\displaystyle 1008$

Çözümü göster

Soru 52KavramÇoktan seçmeli5 puanOrta

Bir üçgenin alanının tek türlü belirlenebilmesi için hangi ölçülerin bilinmesi gerektiği tartışılmaktadır.Aşağıdaki veri takımlarından hangisi bir üçgenin alanını tek türlü belirlemez?

A $Bir kenar ve o kenara ait yükseklik$
B $İki kenar ve aralarındaki açının ölçüsü$
C $Üç kenarın uzunlukları$
D $İki kenarın uzunlukları$
E $İki açı ve aralarındaki kenarın uzunluğu$

Çözümü göster

Ders kılavuzu

Dersi açmak için çengel sorular, kavramı somutlaştıran benzetmeler ve öğrencilerin sık yaptığı yanlışlar.

Derse giriş: çengel sorular

Kayan tepe, değişmeyen alan
Tahtaya birbirine paralel iki doğru çizin. Alttakinin üzerine sabit bir taban işaretleyin, tepe noktasını üstteki doğru üzerinde üç farklı yere koyup üç üçgen çizdirin. Biri dik, biri ince uzun, biri yamuk görünür. Hangisinin alanı en büyük? Sınıfın çoğu en uzun görüneni seçer. Tahmini oylatın, sonra taban ve yüksekliği ölçtürün. Üçünde de ikisi aynıdır. Dersin sorusu budur: alan neye bağlıdır, neye bağlı değildir?
$\displaystyle A(ABC) = \dfrac{a \cdot h_a}{2}$
Fotokopide iki kat büyütme
Bir üçgen logoyu fotokopide kenarları iki katına çıkacak biçimde büyüttüğümüzü söyleyin ve logonun boyası için kaç kat mürekkep gerektiğini sorun. Çoğu öğrenci iki kat der. Kareli kâğıtta küçük üçgeni ve büyüğünü çizdirip büyüğün içine küçükten kaç tane sığdığını saydırın. Dört tane sığar. Taban da yükseklik de iki katına çıktığı için alan dört katına çıkmıştır.
$\displaystyle k \to k^{2}$
Arsayı iki kardeşe bölmek
Üçgen biçimli bir arsa iki kardeşe paylaştırılacak ve çit bir köşeden karşı kenara çekilecek. Kardeşlerden biri iki pay, öteki bir pay alacak. Çit karşı kenarın neresine inmeli? Önce tahmin ettirin. Sonra iki parçanın tepeden inen yüksekliğinin ortak olduğunu fark ettirin. Alanlar tabanların oranında bölünür; çit karşı kenarı da 2'ye 1 oranında bölmelidir.
$\displaystyle \dfrac{A(ABD)}{A(ADC)} = \dfrac{|BD|}{|DC|}$
Açılan makas
Bir makası ya da pergeli sınıfa gösterin. Kolların uzunluğu değişmiyor, yalnız aradaki açı değişiyor. Kolların uçlarını birleştiren üçgenin alanı açı büyüdükçe hep büyür mü? Öğrencilere ${30^{\circ}}$ , ${90^{\circ}}$ ve ${150^{\circ}}$ için çizim yaptırın. Alan ${90^{\circ}}$ de en büyüktür; ${30^{\circ}}$ ile ${150^{\circ}}$ de eşit çıkar. Neden eşit olduğu, sinüslü alan bağıntısının konusudur.
$\displaystyle A(ABC) = \dfrac{1}{2} \cdot |AB| \cdot |AC| \cdot \sin \widehat{A}$

Benzetmeler

Yükseklik
Tabanı yer kabul edin ve tepe köşesinden yere bir çekül sarkıtın. İpin boyu o tabana ait yüksekliktir; eğik kenarın boyu değildir. Merdivenin uzunluğu ne olursa olsun, ulaştığı yükseklik duvardaki izdir.
Paralel doğrular arasında eşit alan
Bir deste iskambil kâğıdını yan yana itip eğik bir yığın yapın. Yığının biçimi değişir ama kâğıt sayısı değişmez. Tabanı sabit üçgenin tepesini paralel doğru üzerinde kaydırmak da böyledir: biçim değişir, alan değişmez.
Ortak yükseklikli üçgenler
Aynı yükseklikteki iki duvarı boyuyorsunuz. Gereken boya yalnız duvarların genişliğine bağlıdır: iki kat geniş duvar iki kat boya ister. Bir köşeden karşı kenara çizilen çizgi üçgeni böyle iki duvara ayırır.
Benzer üçgenlerde alan
Bir üçgenin kenarlarının orta noktalarını birleştirince içinde dört eş küçük üçgen oluşur. Yani kenarı iki katına çıkan üçgen, eski üçgenden dört tanesiyle döşenir. Fayans döşer gibi: kenar ${k}$ katına çıkınca ${k^{2}}$ fayans gerekir.
Sinüslü alan
Bir kolu yere yatırın, öbür kolu menteşe gibi açın. Açılan kolun ucunun yerden yüksekliği kolun boyu çarpı açının sinüsüdür. Sinüslü bağıntı, yüksekliği ölçmek yerine hesaplayan taban çarpı yükseklik bağıntısıdır.

Sık yapılan yanlışlar

Bir üçgenin tabanı ve yüksekliği iki katına çıkarsa alanı da iki katına çıkar.
Alan, taban ile yüksekliğin çarpımının yarısıdır. İkisi birden iki katına çıkınca çarpım ${2 \cdot 2 = 4}$ katına çıkar. İki kat sonucu, yalnız biri değiştiğinde doğrudur.
Taban, yükseklik ve alan sütunlu bir tablo doldurtun: önce yalnız tabanı, sonra yalnız yüksekliği, en son ikisini birden iki katına çıkarın. Katları yan yana yazdırıp çarpımla bağlatın.
$\displaystyle \dfrac{2a \cdot 2h}{2} = 4 \cdot \dfrac{a \cdot h}{2}$
Benzerlik oranı 2 olan iki üçgenin alanları oranı da 2'dir.
Benzer üçgenlerde her uzunluk aynı oranda büyür; taban da ona ait yükseklik de ${k}$ katına çıkar. Alan bu ikisinin çarpımına bağlı olduğundan alanların oranı ${k^{2}}$ olur.
Orta tabanları çizerek bir üçgeni dört eş üçgene böldürün. Büyük üçgenin kenarının küçüğünkinin iki katı, alanının ise dört katı olduğunu gözle gösterin.
$\displaystyle \dfrac{A(ADE)}{A(ABC)} = k^{2}$
Üçgenin eğik kenarı yükseklik olarak kullanılabilir.
Yükseklik, karşı köşenin tabana olan uzaklığıdır ve tabana diktir. Eğik kenar bu dikmeden her zaman daha uzundur; onu kullanmak alanı olduğundan büyük bulur. Yalnız dik üçgende dik kenarlardan biri öbürüne ait yüksekliktir.
Aynı tabanlı, eğik kenarları farklı iki üçgende yüksekliği gönye ile çizdirin ve eğik kenarla karşılaştırtın. Hangisinin hep kısa kaldığını öğrenci kendisi söylesin.
Taban bir kenardan, yükseklik başka bir kenara ait dikmeden alınabilir.
Bağıntıdaki ${a}$ ile ${h_a}$ bir çifttir: yükseklik, seçilen tabana inen dikmedir. ${[BC]}$ tabanını, ${[AB]}$ 'ye inen dikmeyle çarpmak başka bir sayı verir.
Bir üçgende üç yüksekliği çizdirip her birini kendi tabanıyla aynı renge boyatın. Alanı üç çiftle ayrı ayrı hesaplatın; üçü aynı çıkar, karışık çiftler çıkmaz.
$\displaystyle a \cdot h_a = b \cdot h_b = c \cdot h_c$
Geniş açılı üçgende yükseklik dışarı düştüğü için o tabanla alan hesaplanamaz.
Yükseklik bir uzaklıktır; ayağının tabanın üzerinde olması gerekmez. Taban uzatılır, dikme uzantıya iner ve alan yine taban çarpı yükseklik bölü ikidir.
Paralel iki doğru arasında, tabanı sabit tepesi kayan üçgenler çizdirin. Tepe tabanın dışına geçince de yükseklik aynı kalır; alan değişmez.
$\displaystyle A(ABC) = \dfrac{|BC| \cdot |AH|}{2}$
Alanları eşit olan üçgenler eş üçgenlerdir.
Alan yalnız taban ile yüksekliğin çarpımına bağlıdır. Tabanı 4, yüksekliği 9 olan üçgenle tabanı 12, yüksekliği 3 olan üçgenin alanı eşittir ama biçimleri çok farklıdır.
Kareli zeminde alanı 6 birimkare olan olabildiğince farklı üçgenler çizdirin ve sınıfta en farklı ikisini seçtirin.
${150^{\circ}}$ lik açıyla sinüslü alan bağıntısı kullanılmaz; geniş açının sinüsü yoktur ya da negatiftir.
Geniş açının sinüsü pozitiftir ve bütünlerinin sinüsüne eşittir: ${\sin 150^{\circ} = \sin 30^{\circ} = \dfrac{1}{2}}$ . Bu yüzden iki kenarı aynı olan ${30^{\circ}}$ ve ${150^{\circ}}$ açılı üçgenlerin alanları eşittir.
Makas çengelini tahtada çizime dökün: kollar sabitken ${30^{\circ}}$ ve ${150^{\circ}}$ açılı iki üçgende yükseklikleri çizdirip eşit olduklarını ölçtürün.
$\displaystyle \sin(180^{\circ} - x) = \sin x$
Sinüslü alan bağıntısında yarım unutulabilir ya da sinüs yerine kosinüs alınabilir.
Bağıntı taban çarpı yükseklik bölü ikiden gelir; yükseklik ${|AC| \cdot \sin \widehat{A}}$ 'dır. Yarımı atlamak alanı iki katı, kosinüs almak yüksekliği yanlış bulur.
Bağıntıyı ezberletmek yerine her seferinde yüksekliği çizip ${\sin}$ ile hesaplatın, sonra taban çarpı yükseklik bölü iki yazdırın. Üç örnekten sonra kısaltılmış biçime geçin.

Tahtada anlatım sırası9 adımı göster

1
Kareli zeminde tabanı 4, yüksekliği 3 olan bir üçgen çizdirin ve aynı taban ile yükseklikli bir dikdörtgeni yanına çizdirin. Üçgenin dikdörtgenin yarısı olduğunu kareleri sayarak gösterin.
$\displaystyle A(ABC) = \dfrac{a \cdot h_a}{2}$
Süreç bileşeni a: üçgenin alanının hangi elemanlara bağlı olabileceğine dair varsayım.
2
Tabanı sabit tutup yüksekliği 2 ve 3 katına çıkarın, sonra yüksekliği sabit tutup tabanı değiştirin. Sonuçları taban, yükseklik, alan sütunlu bir tabloya yazdırın ve öğrenciden kuralı kendi cümlesiyle yazmasını isteyin.
Süreç bileşeni b: farklı üçgenlerdeki gözlemlerden örüntüyü genelleme.
3
Kayan tepe çengelini çizin: paralel iki doğru arasında tabanı ortak üçgenler. Alanlarının eşit olduğunu gösterin. Tepe tabanın dışına geçtiğinde yüksekliğin uzantıya indiğini ve yine aynı kaldığını vurgulayın.
Geniş açılı üçgende yükseklik dışarı düşer; taban uzatılır.
4
Bir köşeden karşı kenara doğru parçası çizin. Oluşan iki üçgenin yüksekliğinin ortak olduğunu gösterin ve alanların tabanlarla orantılı olduğunu yazdırın. Kenarortayın alanı iki eşit parçaya böldüğünü bu kuraldan çıkarttırın.
$\displaystyle \dfrac{A(ABD)}{A(ADC)} = \dfrac{|BD|}{|DC|}$
5
Varsayımla karşılaştırma: ilk adımda yazılan tahminlere dönün. Hangisi doğrulandı, hangisi çürüdü? Özellikle "alan, kenarların uzunluğuna bağlıdır" gibi bir tahmin varsa, kayan tepe örneğiyle sınayın.
Süreç bileşeni c: genellemeleri varsayımlarla karşılaştırma.
6
Taban ve yükseklik birlikte değişince ne olur? Fotokopi çengeline dönün. Kenarları ${k}$ katına çıkan benzer üçgende alanın ${k^{2}}$ katına çıktığını orta tabanlarla dört eş üçgen çizerek gösterin. Tabana paralel bir kesikle oluşan küçük üçgende aynı kuralı uygulatın.
$\displaystyle \dfrac{A(ADE)}{A(ABC)} = \left(\dfrac{|AD|}{|AB|}\right)^{2}$
7
Sinüslü alana geçin. ${[AB]}$ tabanına ${C}$ 'den inen yüksekliğin ${|AC| \cdot \sin \widehat{A}}$ olduğunu 10.1.1'deki dik üçgen oranından çıkarttırın ve taban çarpı yükseklik bölü ikiye yerleştirin.
$\displaystyle A(ABC) = \dfrac{1}{2} \cdot |AB| \cdot |AC| \cdot \sin \widehat{A}$
8
Makas çengelini hesapla bitirin: kolları 6 ve 8 olan üçgende açı ${30^{\circ}}$ , ${90^{\circ}}$ ve ${150^{\circ}}$ iken alanları buldurun. En büyük alanın dik açıda, ${30^{\circ}}$ ile ${150^{\circ}}$ nin eşit olduğunu tabloda gösterin.
Süreç bileşeni ç: alanın hangi elemanlara göre değiştiğine ilişkin önerme sunma.
9
Dersi bir gerçek yaşam problemiyle kapatın: üçgen bir arsayı belli oranda bölen çit, büyütülen bir logo ya da açısı değişen bir tente. Öğrenci hangi bağıntıyı neden seçtiğini bir cümleyle yazsın.
Süreç bileşeni d: önermeleri gerçek yaşam bağlamında değerlendirme.

Ödev ve çalışma kâğıdı

Her antrenman tek bir beceriyi bol tekrarla çalıştırır. Hangisinden kaç kalem istediğini seç; kâğıt ve çözümlü cevap anahtarı tarayıcında hazırlanır.

Ödev kâğıdı oluştur

Her alıştırmadan kaç kalem istediğini seç. Kalemler hazır havuzdan rastgele gelir; iki sınıfa iki ayrı kâğıt verebilirsin. Çözümlü cevap anahtarı da hazır.

Alıştırmalar

${ABC}$ üçgenlerinde ${[AH] \perp [BC]}$ 'dir. Alan bağıntısı ${A(ABC) = \dfrac{|BC| \cdot |AH|}{2}}$ ile istenen değeri bulunuz.
1. 1) ${|BC| = 8}$ , ${|AH| = 8}$ , ${A(ABC) = \,?}$ = $\displaystyle 32$
2. 2) ${A(ABC) = 30}$ , ${|BC| = 6}$ , ${|AH| = \,?}$ = $\displaystyle 10$
3. 3) ${A(ABC) = \,?}$ = $\displaystyle 22$
/ 40
${ABC}$ üçgenlerinde D noktası ${[BC]}$ üzerindedir. ${ABD}$ ile ${ADC}$ üçgenlerinin ${A}$ 'dan inen yüksekliği ortaktır. İstenen değeri bulunuz.
1. 1) ${|BD| = 6}$ , ${|DC| = 3}$ , ${A(ABD) = 6}$ , ${A(ADC) = \,?}$ = $\displaystyle 3$
2. 2) ${A(ABD) = 10}$ , ${A(ADC) = \,?}$ = $\displaystyle 6$
3. 3) ${A(ABC) = 24}$ , ${A(ABD) = \,?}$ = $\displaystyle 10$
/ 40
${ABC}$ üçgenlerinde D noktası ${[AB]}$ , E noktası ${[AC]}$ üzerindedir ve ${[DE] \mathrel{/\!\!/} [BC]}$ 'dir. Benzer üçgenlerde alanların oranı, benzerlik oranının karesidir. İstenen alanı bulunuz.
1. 1) ${\dfrac{|AD|}{|DB|} = \dfrac{1}{2}}$ , ${A(ABC) = 45}$ , ${A(ADE) = \,?}$ = $\displaystyle 5$
2. 2) ${A(ADE) = 8}$ , ${A(ABC) = \,?}$ = $\displaystyle 32$
3. 3) ${A(ABC) = 64}$ , ${A(ADE) = \,?}$ = $\displaystyle 16$
/ 40
Bir üçgenin ${a}$ tabanı ve bu tabana ait ${h}$ yüksekliği verilen biçimde değişiyor. Yeni alan eskisinin kaç katıdır? Alan ( ${A}$ ) verilmişse yeni alanı ( ${A'}$ ) bulunuz.
1. 1) ${a \to 3a}$ , ${h \to 2h}$ = $\displaystyle 6$
2. 2) ${a \to 2a}$ , ${h \to \dfrac{h }{4}}$ = $\displaystyle \frac{1}{2}$
3. 3) ${A = 20}$ , ${a \to 2a}$ , ${h \to 3h}$ , ${A' = \,?}$ = $\displaystyle 120$
/ 40
${ABC}$ üçgenlerinde iki kenar ve aradaki açı verilmiştir. ${A(ABC) = \dfrac{1}{2} \cdot |AB| \cdot |AC| \cdot \sin \widehat{A}}$ ile istenen değeri bulunuz.
1. 1) ${|AB| = 8}$ , ${|AC| = 5}$ , ${\text{m}(\widehat{A}) = 135^{\circ}}$ , ${A(ABC) = \,?}$ = $\displaystyle 10 \sqrt{2}$
2. 2) ${A(ABC) = 10}$ , ${|AB| = 8}$ , ${|AC| = 5}$ , ${\sin \widehat{A} = \,?}$ = $\displaystyle \frac{1}{2}$
3. 3) ${A(ABC) = \,?}$ = $\displaystyle 6 \sqrt{2}$
/ 40

Kâğıt başlığı

Çalışma boşluğu

Yok8 mm15 mm25 mm

Ad, sınıf, süre satırıCevap anahtarında kısa çözüm

0 kalem

İndirmek için en az bir kalem seç.

Kazanım künyesi

10. sınıf Üçgenin alanı için 52 çözümlü soru: soruları sayfada çöz, takıldığında adım adım çözümü aç; seçtiğin sorulardan test, yaprak test ya da yazılı kâğıdı hazırla ve cevap anahtarıyla PDF olarak indir; ödev için alıştırma (çalışma) kâğıdı çıkar; derste soruları akıllı tahtada tek tek aç; ders kılavuzunda derse giriş, kavram yanılgıları ve tahta akışı var. 1. dönem yazılısına ve ortak sınava hazırlıkta kullanılır.

Kod: MAT.10.1.3
Kapsadığı konular: üçgende alan, sinüslü alan formülü, alan hesaplama
Dönem ve hafta: 1. dönem, 4, 5. haftalar, 8 ders saati
Süreç bileşenleri: a)Üçgenin bir kenarı ve o kenara ait yüksekliğindeki değişimin üçgenin alanındaki değişime etkisine dair varsayımlarda bulunur.
b)Farklı üçgenlerdeki gözlemlerinden yararlanarak varsayımlarına yönelik örüntüleri geneller.
c)Genellemelerini varsayımlarıyla karşılaştırır.
ç)Elde ettiği genellemelerden üçgenin alanının hangi elemanlara göre değiştiğine ilişkin önermeler sunar.
d)Önermeleri gerçek yaşam problemleri bağlamında değerlendirir.
Ders kitabında: 1. Tema — Geometrik Şekiller, 1.3 Üçgenin Alanı

Üçgenin alanı

Sorular ve çözümleri

Ders kılavuzu

Derse giriş: çengel sorular

Benzetmeler

Sık yapılan yanlışlar

Ödev ve çalışma kâğıdı

Ödev kâğıdı oluştur

Test PDF'i

Test PDF'i hazırla

Kazanım künyesi