10. sınıf, Nicelikler ve DeğişimlerMAT.10.4.3

Karekök fonksiyonu

Karekök Fonksiyonu ve Nitel Özellikleri

Kazanım: Gerçek sayılarda f(x) = √x (x ≥ 0) şeklinde tanımlı karekök referans fonksiyonun nitel özellikleri ile bu fonksiyondan türetilen (g(x) = a ∙ f(x ± r) ± k (a, r, k ∈ ℝ, a ≠ 0)) karekök fonksiyonlarının nitel özelliklerine ilişkin matematiksel muhakeme yapabilme.

Tahtada aç Yazılı hazırla

Sorular ve çözümleri

Her sorunun altında adım adım çözüm var. Çoktan seçmelide doğru şık, çözümü açınca işaretlenir.

Zorluk

Cevap biçimi

Soru türü

Şekil

27 soru gösteriliyor

Soru 1KavramÇoktan seçmeli3 puanKolay

{f: [0, \infty) \to [0, \infty)}

{f(x) = \sqrt{x}}

şeklinde tanımlı karekök referans fonksiyonu veriliyor.Buna göre aşağıdaki ifadelerden hangisi doğrudur?

A $\displaystyle f \ \text{çift fonksiyondur}$
B $\displaystyle f \ \text{fonksiyonunun sıfırı yoktur}$
C $\displaystyle f, [0, \infty) \ \text{aralığında azalandır}$
D $\displaystyle f \ \text{bire bir ve örtendir}$
E $\displaystyle \text{Maksimum değerini}\ x = 0 \ \text{noktasında alır}$

Çözümü göster

DDoğru cevap

1
${0 \le a < b}$ ise ${\sqrt{a} < \sqrt{b}}$ olur; örneğin ${f(1) = 1 < f(4) = 2}$ . ${f}$ artandır. En küçük değeri ${f(0) = 0}$ minimum değerdir, maksimum değer yoktur; ${x = 0}$ fonksiyonun sıfırıdır.
2
Artan fonksiyonda farklı iki ${x}$ değerinin görüntüleri farklıdır; ${f}$ bire birdir. Her ${y \ge 0}$ için ${f(y^2) = y}$ olduğundan görüntü kümesi ${[0, \infty)}$ olur ve değer kümesine eşittir; ${f}$ örtendir.
3
Tanım kümesi simetrik değildir: ${1}$ tanım kümesinde, ${-1}$ değil. Bu yüzden ${f}$ ne tek ne çift fonksiyondur.
4
Buna göre doğru ifade ${f \ \text{bire bir ve örtendir}}$ ifadesidir.

Yanlış şıklar neden yanlış?

A)Tanım kümesi simetrik değildir: 1 tanım kümesinde, -1 değil. f ne tek ne çifttir.
B)f(0) = 0 olduğundan x = 0 fonksiyonun sıfırıdır.
C)1 < 4 iken f(1) = 1 < f(4) = 2 olur; f artandır.
E)x = 0 noktasında alınan 0 değeri minimum değerdir; maksimum değer yoktur.

Soru 2KavramKısa cevap4 puanKolay

Şekilde

{f: [0, 9] \to \mathbb{R}}

{f(x) = \sqrt{x}}

şeklinde tanımlı

{f}

fonksiyonunun grafiği verilmiştir.Buna göre

{f}

fonksiyonunun görüntü kümesindeki tam sayıların toplamı kaçtır?

Çözümü göster

Cevap: $\displaystyle 6$

1
Grafik soldan sağa yükselir; ${f}$ artandır. En küçük değerini sol uçta, en büyük değerini sağ uçta alır: ${f(0) = 0}$ , ${f(9) = 3}$ .
2
Grafik ${0}$ ile ${3}$ arasındaki her değeri alır; görüntü kümesi ${[0, 3]}$ olur.
3
Bu kümedeki tam sayılar ${0}$ , ${1}$ , ${2}$ ve ${3}$ olduğundan toplam ${0 + 1 + 2 + 3 = 6}$ olur.

Soru 3KavramÇoktan seçmeli5 puanOrta

{f: (1, 16] \to \mathbb{R}}

{f(x) = \sqrt{x}}

şeklinde tanımlı

{f}

fonksiyonu veriliyor.Buna göre

{f}

fonksiyonunun görüntü kümesi aşağıdakilerden hangisidir?

A $\displaystyle (1, 4]$
B $\displaystyle [1, 4]$
C $\displaystyle (1, 16]$
D $\displaystyle [0, 4]$
E $\displaystyle (1, 4)$

Çözümü göster

ADoğru cevap

1
${f}$ artan olduğundan ${1 < x \le 16}$ ise ${\sqrt{1} < \sqrt{x} \le \sqrt{16}}$ , yani ${1 < f(x) \le 4}$ olur.
2
${1}$ tanım kümesinde olmadığından ${1}$ değeri alınmaz; ${16}$ tanım kümesinde olduğundan ${f(16) = 4}$ değeri alınır. Aradaki her ${y}$ değeri ${x = y^2}$ noktasında alınır.
3
Buna göre görüntü kümesi ${(1, 4]}$ olur.

Yanlış şıklar neden yanlış?

B)Açık uç unutulmuş; 1 tanım kümesinde olmadığından f(1) = 1 değeri alınmaz.
C)Görüntü kümesi yerine tanım kümesi yazılmış.
D)Referans fonksiyonun en küçük değeri 0 alınmış; 0 bu tanım kümesinde değildir.
E)Kapalı uç dışlanmış; 16 tanım kümesindedir ve f(16) = 4 değeri alınır.

Soru 4KavramÇoktan seçmeli5 puanOrta

{f: [4, 25] \to [2, 5]}

{f(x) = \sqrt{x}}

şeklinde tanımlı

{f}

fonksiyonu için aşağıdaki önermeler veriliyor.I.

{f}

bire bir fonksiyondur.II.

{f}

örten fonksiyondur.III.

{f}

artan olduğu için maksimum değeri yoktur.Buna göre bu önermelerden hangileri doğrudur?

A $Yalnız I$
B $I ve II$
C $I ve III$
D $II ve III$
E $I, II ve III$

Çözümü göster

BDoğru cevap

1
${4 \le a < b \le 25}$ ise ${\sqrt{a} < \sqrt{b}}$ olur; ${f}$ artandır. Farklı iki ${x}$ değerinin görüntüleri farklı olduğundan ${f}$ bire birdir; I doğrudur.
2
${f(4) = 2}$ , ${f(25) = 5}$ ve ${2}$ ile ${5}$ arasındaki her ${y}$ değeri ${x = y^2}$ noktasında alınır. Görüntü kümesi ${[2, 5]}$ olur ve değer kümesine eşittir; II doğrudur.
3
${25}$ tanım kümesinde olduğundan ${f}$ en büyük değerini sağ uçta alır: maksimum değeri ${f(25) = 5}$ olur. Artanlık maksimumun yokluğunu değil yerini gösterir; III yanlıştır.
4
Buna göre doğru önermeler $I ve II$ olur.

Yanlış şıklar neden yanlış?

A)II de doğrudur: görüntü kümesi [2, 5] değer kümesine eşittir.
C)II doğrudur; III yanlıştır: 25 tanım kümesindedir ve f(25) = 5 maksimum değerdir.
D)I doğrudur: artan fonksiyon bire birdir; III yanlıştır.
E)III yanlıştır: artan fonksiyon kapalı aralığın sağ ucunda maksimum değerini alır.

Soru 5KavramÇoktan seçmeli5 puanOrta

{f: [0, 16] \to \mathbb{R}}

{f(x) = \sqrt{x}}

şeklinde tanımlı

{f}

fonksiyonu veriliyor.Buna göre

{f}

fonksiyonunun pozitif değer aldığı

{x}

değerlerinin kümesi aşağıdakilerden hangisidir?

A $\displaystyle [0, 16]$
B $\displaystyle (0, \infty)$
C $\displaystyle (0, 4]$
D $\displaystyle [0, 4]$
E $\displaystyle (0, 16]$

Çözümü göster

EDoğru cevap

1
${x > 0}$ ise ${\sqrt{x} > 0}$ olur; örneğin ${f(9) = 3}$ . ${x = 0}$ ise ${f(0) = 0}$ olur ve ${0}$ pozitif değildir; ${x = 0}$ fonksiyonun sıfırıdır.
2
Tanım kümesi ${[0, 16]}$ olduğundan pozitif değer alınan ${x}$ değerleri ${0}$ 'dan büyük, ${16}$ 'dan küçük ya da ona eşit olanlardır.
3
Buna göre küme ${(0, 16]}$ olur.

Yanlış şıklar neden yanlış?

A)Sıfır katılmış; f(0) = 0 pozitif değildir.
B)Tanım kümesi unutulmuş; 16 dan büyük sayılar tanım kümesinde değildir.
C)Pozitif değerlerin kendisi yazılmış; soru bu değerlerin alındığı x leri soruyor.
D)Görüntü kümesi yazılmış; soru x değerlerini soruyor.

Soru 6KavramKısa cevap8 puanZor

{n}

bir pozitif tam sayı olmak üzere

{f: [0, n] \to [0, 4]}

{f(x) = \sqrt{x}}

kuralı bir fonksiyon belirtir ve bu fonksiyon örten değildir.Buna göre

{n}

sayısının alabileceği değerlerin toplamı kaçtır?

Çözümü göster

Soru 7İşlemÇoktan seçmeli3 puanKolay

{f: [0, \infty) \to [0, \infty)}

{f(x) = \sqrt{x}}

karekök referans fonksiyonunun grafiğine sırasıyla

{x}

ekseni boyunca pozitif yönde

{3}

birim ve

{y}

ekseni boyunca negatif yönde

{2}

birim öteleme uygulanarak

{g}

fonksiyonunun grafiği elde ediliyor.Buna göre

{g(x)}

aşağıdakilerden hangisidir?

A $\displaystyle \sqrt{x + 3} - 2$
B $\displaystyle \sqrt{x - 2} - 3$
C $\displaystyle \sqrt{x - 3} - 2$
D $\displaystyle \sqrt{x - 3} + 2$
E $\displaystyle \sqrt{x + 3} + 2$

Çözümü göster

Soru 8İşlemKısa cevap6 puanOrta

Şekilde

{a}

{r}

{k}

gerçek sayılar ve

{a \ne 0}

olmak üzere

{g(x) = a\sqrt{x + r} + k}

şeklinde tanımlı

{g}

fonksiyonunun grafiği verilmiştir. Grafiğin sol ucu

{(1, 1)}

noktasıdır ve grafik

{(5, 5)}

noktasından geçer.Buna göre

{a + r + k}

toplamı kaçtır?

Çözümü göster

Soru 9İşlemKısa cevap8 puanZor

{f(x) = \sqrt{x}}

karekök referans fonksiyonunun grafiğine sırasıyla

{x}

ekseni boyunca negatif yönde

{1}

birim öteleme,

{y}

ekseni boyunca pozitif yönde

{3}

birim öteleme,

{x}

eksenine göre simetri ve

{2}

kat dikey germe uygulanarak

{g}

fonksiyonunun grafiği elde ediliyor.Buna göre

{g}

fonksiyonunun maksimum değeri ile

{g(8)}

değerinin toplamı kaçtır?

Çözümü göster

Soru 10KavramÇoktan seçmeli5 puanOrta

Şekilde

{f(x) = \sqrt{x}}

karekök referans fonksiyonunun ve

{f}

fonksiyonunun grafiğine iki öteleme uygulanarak elde edilen

{g}

fonksiyonunun grafikleri verilmiştir.

{g}

fonksiyonunun grafiğinin sol ucu

{(3, 1)}

noktasıdır; iki grafik

{(4, 2)}

noktasında kesişir.Buna göre

{g(x)}

aşağıdakilerden hangisidir?

A $\displaystyle g(x) = f(x + 3) + 1$
B $\displaystyle g(x) = f(x - 3) + 1$
C $\displaystyle g(x) = f(x - 1) + 3$
D $\displaystyle g(x) = f(x + 3) - 1$
E $\displaystyle g(x) = f(x - 3) - 1$

Çözümü göster

Soru 11KavramÇoktan seçmeli5 puanOrta

{g: [4, \infty) \to \mathbb{R}}

{g(x) = -2\sqrt{x - 4} + 6}

şeklinde tanımlı

{g}

fonksiyonu için aşağıdaki önermeler veriliyor.I.

{g}

fonksiyonu

{[4, \infty)}

aralığında azalandır.II.

{g}

fonksiyonunun görüntü kümesi

{[6, \infty)}

olur.III.

{g}

fonksiyonunun grafiği,

{f(x) = \sqrt{x}}

fonksiyonunun grafiğine sırasıyla

{x}

ekseni boyunca pozitif yönde

{4}

birim öteleme,

{2}

kat dikey germe,

{x}

eksenine göre simetri ve

{y}

ekseni boyunca pozitif yönde

{6}

birim öteleme uygulanarak elde edilir.Buna göre bu önermelerden hangileri doğrudur?

A $Yalnız I$
B $Yalnız III$
C $I ve II$
D $I ve III$
E $I, II ve III$

Çözümü göster

Soru 12KavramÇoktan seçmeli5 puanOrta

{a}

{r}

{k}

sıfırdan farklı gerçek sayılar olmak üzere şekilde

{g(x) = a\sqrt{x + r} + k}

şeklinde tanımlı

{g}

fonksiyonunun grafiği verilmiştir. Eksenlere sayı yazılmamıştır.Buna göre

{a}

{r}

{k}

sayılarının işaretleri için aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

A $\displaystyle a < 0, r > 0, k > 0$
B $\displaystyle a < 0, r < 0, k > 0$
C $\displaystyle a > 0, r > 0, k > 0$
D $\displaystyle a < 0, r > 0, k < 0$
E $\displaystyle a > 0, r < 0, k < 0$

Çözümü göster

Soru 13KavramÇoktan seçmeli3 puanKolay

{a}

{r}

{k}

gerçek sayılar ve

{a < 0}

olmak üzere

{g: [-r, \infty) \to \mathbb{R}}

{g(x) = a\sqrt{x + r} + k}

şeklinde tanımlı

{g}

fonksiyonu veriliyor.Buna göre

{g}

fonksiyonunun görüntü kümesi aşağıdakilerden hangisidir?

A $\displaystyle [k, \infty)$
B $\displaystyle (-\infty, -r]$
C $\displaystyle (-\infty, k]$
D $\displaystyle [-r, \infty)$
E $\displaystyle \mathbb{R}$

Çözümü göster

Soru 14KavramÇoktan seçmeli7 puanZor

{a}

{r}

{k}

gerçek sayılar ve

{a \ne 0}

olmak üzere

{g: [-r, \infty) \to \mathbb{R}}

{g(x) = a\sqrt{x + r} + k}

şeklinde tanımlı fonksiyonlar inceleniyor. Bir öğrenci

{\sqrt{x + 3} - 2}

{-\sqrt{x + 3} + 2}

{2\sqrt{x + 3}}

{\sqrt{x + 3} + 2}

fonksiyonlarının sıfırlarını araştırıp bir genelleme yapıyor.Buna göre

{g}

fonksiyonunun sıfırının olması için gerek ve yeter koşul aşağıdakilerden hangisidir?

A $\displaystyle k < 0$
B $\displaystyle a > 0 \ \text{ve}\ k < 0$
C $\displaystyle r > 0$
D $\displaystyle a \cdot k < 0$
E $\displaystyle a \cdot k \le 0$

Çözümü göster

Soru 15KavramÇoktan seçmeli5 puanOrta

Bir öğrenci

{g_1(x) = \sqrt{x + 1} - 1}

{g_2(x) = \sqrt{x + 4} - 2}

{g_3(x) = \sqrt{x + 9} - 3}

fonksiyonlarındaki örüntüyü,

{n}

pozitif tam sayı olmak üzere

{g_n: [-n^2, \infty) \to \mathbb{R}}

{g_n(x) = \sqrt{x + n^2} - n}

diye genelliyor.Buna göre aşağıdakilerden hangisi her

{n}

pozitif tam sayısı için doğrudur?

A $\displaystyle g_n \ \text{fonksiyonunun tanım kümesi}\ [n^2, \infty)$
B $\displaystyle g_n(0) = 0$
C $\displaystyle g_n \ \text{fonksiyonunun görüntü kümesi}\ [-1, \infty)$
D $\displaystyle g_n \ \text{azalandır}$
E $\displaystyle g_n \ \text{fonksiyonunun minimum değeri}\ n$

Çözümü göster

Soru 16KavramÇoktan seçmeli7 puanZor

Bir öğrenci

{f: [3, \infty) \to [1, \infty)}

{f(x) = 2\sqrt{x - 3} + 1}

gibi örneklerde fonksiyonun örten olduğunu görüp şu genellemeyi yapıyor: "

{a > 0}

olmak üzere

{g(x) = a\sqrt{x + r} + k}

şeklindeki her karekök fonksiyonu örtendir."Buna göre bu genelleme için aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

A $Her zaman doğrudur$
B $\displaystyle \text{Yalnız}\ k \ge 0 \ \text{iken doğrudur}$
C $\displaystyle \text{Değer kümesi}\ [k, \infty) \ \text{ise doğrudur}$
D $\displaystyle \text{Yanlıştır;}\ a < 0 \ \text{olmalıdır}$
E $\displaystyle \text{Yalnız}\ r > 0 \ \text{iken doğrudur}$

Çözümü göster

Soru 17KavramAçık uçlu20 puanİleri

Bir öğrenci karekök fonksiyonları için iki genelleme yapıyor.Birinci genelleme: Tanım kümesi

{[0, \infty)}

olan her karekök fonksiyonunun görüntü kümesi de

{[0, \infty)}

olur.İkinci genelleme:

{g: [-r, \infty) \to \mathbb{R}}

{g(x) = a\sqrt{x + r} + k}

(

{a \ne 0}

) şeklinde tanımlı her fonksiyonun grafiği

{y}

eksenini keser.Buna göre aşağıdaki soruları cevaplayınız.

a)
Birinci genellemenin yanlış olduğunu bir karşıt örnekle gösteriniz.(6 puan)
b)
İkinci genellemenin hangi durumda yanlış olduğunu bir karşıt örnekle gösteriniz ve genellemeyi doğru olacak şekilde düzeltiniz.(7 puan)
c)
Düzeltilmiş genellemeyi kullanarak ${q: [-9, \infty) \to \mathbb{R}}$ , ${q(x) = -2\sqrt{x + 9} + 5}$ fonksiyonunun grafiğinin ${y}$ eksenini kesip kesmediğini belirleyiniz; kesiyorsa kesişim noktasının ordinatını bulunuz.(7 puan)

Çözümü göster

Soru 18KavramÇoktan seçmeli5 puanOrta

{a}

{r}

{k}

gerçek sayılar ve

{a < 0}

olmak üzere

{g: [-r, \infty) \to \mathbb{R}}

{g(x) = a\sqrt{x + r} + k}

şeklinde tanımlı

{g}

fonksiyonu için "

{g}

fonksiyonu

{[-r, \infty)}

aralığında azalandır." önermesi veriliyor.Buna göre bu önermenin cebirsel dille ifadesi aşağıdakilerden hangisidir?

A $\displaystyle \text{Her}\ x_1 < x_2 \ \text{için}\ g(x_1) > g(x_2)$
B $\displaystyle \text{Her}\ x_2 > x_1 \ge -r \ \text{için}\ g(x_1) < g(x_2)$
C $\displaystyle \text{Bir}\ x_2 > x_1 \ge -r \ \text{için}\ g(x_1) > g(x_2)$
D $\displaystyle \text{Her}\ x_2 > x_1 \ge -r \ \text{için}\ g(x_1) > g(x_2)$
E $\displaystyle \text{Her}\ x_1 < x_2 \le -r \ \text{için}\ g(x_1) > g(x_2)$

Çözümü göster

Soru 19KavramÇoktan seçmeli7 puanZor

{a}

{r}

{k}

gerçek sayılar ve

{a > 0}

olmak üzere

{g: [-r, \infty) \to \mathbb{R}}

{g(x) = a\sqrt{x + r} + k}

şeklinde tanımlı

{g}

fonksiyonu için aşağıdaki önermeler veriliyor.I.

{g}

fonksiyonu

{[-r, \infty)}

aralığında azalandır.II.

{g}

fonksiyonunun minimum değeri

{k}

olur ve bu değeri

{x = -r}

noktasında alır.III.

{g}

fonksiyonu ne tek ne çift fonksiyondur.Buna göre bu önermelerden hangileri doğrudur?

A $II ve III$
B $Yalnız II$
C $I ve II$
D $Yalnız III$
E $I, II ve III$

Çözümü göster

Soru 20Yeni nesilKısa cevap4 puanKolay

Yüksekten bırakılan küçük bir topun bırakıldığı yükseklik

{h}

metre, yere düşme süresi

{t}

saniye olmak üzere hava direnci ihmal edilerek düşme süresi

{t: [5, 80] \to \mathbb{R}}

{t(h) = \sqrt{\dfrac{h}{5}}}

modeliyle hesaplanıyor. Şekilde bu modelin grafiği verilmiştir.Buna göre bırakıldığı yükseklik

{4}

katına çıkarılan topun yere düşme süresi kaç katına çıkar?

Çözümü göster

Soru 21Yeni nesilAçık uçlu20 puanİleri

Sığ suda ilerleyen bir dalganın hızı

{v}

metre/saniye, suyun derinliği

{d}

metre olmak üzere

{v: [1, 16] \to \mathbb{R}}

{v(d) = 3\sqrt{d}}

modeliyle hesaplanıyor.Buna göre aşağıdaki soruları cevaplayınız.

a)
Bu modelle hesaplanan dalga hızının alabileceği değerlerin kümesini bulunuz.(6 puan)
b)
"Derinlik ${4}$ katına çıkınca dalganın hızı ${2}$ katına çıkar." önermesini cebirsel olarak gösteriniz ve bu önermenin bu modelle hangi derinlikler için kullanılabileceğini belirleyiniz.(7 puan)
c)
Kıyıya doğru ilerleyen bir dalga ${9}$ metre derinlikten ${1}$ metre derinliğe geliyor. Artanlık önermesini kullanarak dalganın hızlandığını mı yavaşladığını mı belirleyiniz ve hızdaki değişimin kaç metre/saniye olduğunu bulunuz.(7 puan)

Çözümü göster

Soru 22KavramAçık uçlu20 puanİleri

{g: [-2, \infty) \to \mathbb{R}}

{g(x) = -3\sqrt{x + 2} + 4}

şeklinde tanımlı

{g}

fonksiyonu veriliyor.Buna göre aşağıdaki soruları cevaplayınız.

a)
${g}$ fonksiyonunun görüntü kümesini bulunuz.(5 puan)
b)
${g}$ fonksiyonunun ${[-2, \infty)}$ aralığında azalan olduğunu cebirsel olarak ispatlayınız.(10 puan)
c)
${g}$ fonksiyonunun maksimum değerini bulunuz ve minimum değerinin olmadığını gerekçelendiriniz.(5 puan)

Çözümü göster

Soru 23KavramÇoktan seçmeli7 puanZor

{f: [0, \infty) \to [0, \infty)}

{f(x) = \sqrt{x}}

fonksiyonunun artan olduğunu cebirsel olarak ispatlamak isteyen bir öğrenci

{0 \le a < b}

olmak üzere

{f(a) < f(b)}

olduğunu göstermeye çalışıyor.Buna göre aşağıdaki gerekçelerden hangisi bu ispatı tamamlar?

A $\displaystyle \sqrt{1} < \sqrt{4} < \sqrt{9} \ \text{olduğundan}$
B $Grafik sağa doğru yükseldiğinden$
C $\displaystyle \text{Her}\ 0 \le a < b \ \text{için}\ \sqrt{a} < \sqrt{b} \ \text{olduğundan}$
D $\displaystyle \text{Her}\ x \ge 0 \ \text{için}\ \sqrt{x} \ge 0 \ \text{olduğundan}$
E $\displaystyle \sqrt{b} - \sqrt{a} = \dfrac{b - a}{\sqrt{b} + \sqrt{a}} > 0 \ \text{olduğundan}$

Çözümü göster

Soru 24KavramÇoktan seçmeli9 puanİleri

Şekilde

{f: [0, 40] \to \mathbb{R}}

{f(x) = \sqrt{x}}

şeklinde tanımlı

{f}

fonksiyonunun grafiği verilmiştir. Bir öğrenci grafiğe bakarak "

{f}

fonksiyonunun maksimum değeri

{6}

'dır." diyor. Sınıfta doğrulama yöntemleri için aşağıdaki önermeler yazılıyor.I. Grafik,

{f}

fonksiyonunun maksimum değerini

{x = 40}

noktasında aldığını doğrular.II. Grafik, maksimum değerin

{6}

olduğunu kanıtlar.III. Cebirsel yol, maksimum değeri

{2\sqrt{10}}

olarak kesin verir.Buna göre bu önermelerden hangileri doğrudur?

A $Yalnız I$
B $Yalnız III$
C $I ve III$
D $I ve II$
E $I, II ve III$

Çözümü göster

Soru 25KavramAçık uçlu15 puanZor

{A}

, aşağıdaki kuralın tanımlı olduğu en geniş gerçek sayı kümesi olmak üzere

{g}

fonksiyonu

{g: A \to \mathbb{R}}

{g(x) = -4\sqrt{x + 6} + 5}

şeklinde tanımlanıyor.Buna göre aşağıdaki soruları cevaplayınız.

a)
${A}$ kümesini bulunuz ve bu kümeyi hangi koşuldan belirlediğinizi yazınız.(4 puan)
b)
${f(x) = \sqrt{x}}$ karekök referans fonksiyonunun grafiğine hangi dönüşümler uygulanınca ${g}$ fonksiyonunun grafiği elde edilir? Her dönüşümün adını, varsa yönünü ve miktarını yazınız; dönüşümlerin sırasını yazmanız gerekmez ama dikey ötelemenin en son uygulandığını kabul ediniz.(7 puan)
c)
${A}$ kümesinin en küçük elemanında ${g}$ fonksiyonunun değerini bulunuz; grafiğin bu noktadaki ucunun dolu mu boş mu olduğunu gerekçesiyle yazınız ve grafiğin bu noktadan sonra hangi yönde ilerlediğini belirtiniz.(4 puan)

Çözümü göster

Soru 26KavramAçık uçlu20 puanİleri

{f(x) = \sqrt{x}}

karekök referans fonksiyonunun grafiğine, aşağıdaki çiftlerin her birinde verilen iki dönüşüm iki ayrı sırayla uygulanıyor: bir kez I, sonra II; bir kez de II, sonra I.1. çift: I.

{x}

ekseni boyunca pozitif yönde 2 birim öteleme, II.

{x}

eksenine göre simetri2. çift: I.

{y}

ekseni boyunca pozitif yönde 3 birim öteleme, II. 2 kat dikey germe3. çift: I.

{x}

ekseni boyunca negatif yönde 1 birim öteleme, II. 3 kat dikey germe4. çift: I.

{y}

ekseni boyunca negatif yönde 1 birim öteleme, II.

{x}

eksenine göre simetriŞekilde her çift için iki sıranın sonucunun yazılacağı boş bir tablo verilmiştir.Buna göre aşağıdaki soruları cevaplayınız.

a)
Şekildeki tabloyu, her çift için iki sıranın sonunda elde edilen fonksiyonların kurallarını yazarak doldurunuz.(8 puan)
b)
Sıranın sonucu değiştirdiği çiftleri belirleyiniz; dönüşümlerin sırası hakkında bir genelleme yazınız ve genellemenizin nedenini açıklayınız.(7 puan)
c)
${h(x) = -3\sqrt{x - 2} + 6}$ fonksiyonunun grafiğini ${f}$ fonksiyonunun grafiğinden elde eden iki ayrı dönüşüm sırası yazınız; bunlardan birinde dikey öteleme, dikey germe ile simetriden önce, ötekinde sonra gelsin.(5 puan)

Çözümü göster

Soru 27KavramAçık uçlu15 puanZor

Doğrusal referans fonksiyon

{f(x) = x}

için

{f(x - 3)}

kuralının grafiği,

{f}

fonksiyonunun grafiğinin hem

{x}

ekseni boyunca pozitif yönde 3 birim hem

{y}

ekseni boyunca negatif yönde 3 birim ötelenmiş hâlidir.Bir öğrenci aynı durumun karekök fonksiyonlarında da geçerli olup olmadığını araştırıyor.Buna göre aşağıdaki soruları cevaplayınız.

a)
${h(x) = \sqrt{x - 4}}$ ve ${p(x) = \sqrt{x} - 2}$ olmak üzere ${h(4)}$ , ${p(4)}$ , ${h(9)}$ ve ${p(9)}$ değerlerini hesaplayınız; karekök fonksiyonlarında yatay öteleme ile dikey öteleme hakkındaki hükmünüzü yazınız.(6 puan)
b)
${r}$ pozitif bir gerçek sayı olmak üzere ${\sqrt{x - r}}$ kuralının grafiğinin hiçbir ${c}$ gerçek sayısı için ${\sqrt{x} + c}$ kuralının grafiği olamayacağını, iki kuralın tanım kümelerini karşılaştırarak gösteriniz.(6 puan)
c)
Doğrusal referans fonksiyonda iki ötelemenin neden aynı grafiği verdiğini cebirsel olarak yazınız.(3 puan)

Çözümü göster

Ders kılavuzu

Dersi açmak için çengel sorular, kavramı somutlaştıran benzetmeler ve öğrencilerin sık yaptığı yanlışlar.

Derse giriş: çengel sorular

Kare bahçenin kenarı
Alanı verilen kare bir bahçenin kenarı kaç metredir? 16 m² için 4, 25 m² için 5. Alan arttıkça kenar da artar ama gittikçe yavaşlayarak. Kenar = √alan bağıntısı karekök fonksiyonudur; alan negatif olamayacağı için tanım kümesi doğal olarak [0, ∞)'dur.
$\displaystyle a = \sqrt{A}$
Parabolün yarısı
${y = x^2}$ grafiğini çizdirip ${y = x}$ doğrusuna göre yansıtın. Yan yatmış bir parabol çıkar; bu bir fonksiyon grafiği değildir. Yalnız üst yarısını alınca ${y = \sqrt{x}}$ grafiği kalır. Neden yarısı?
Hesap makinesinin hatası
Hesap makinesine √(-4) yazdırın: hata verir. Bu hata, karekök fonksiyonunun tanım kümesinin neden kısıtlı olduğunu gösterir. ${\sqrt{x - 3}}$ için hangi sayılar hata verir?

Benzetmeler

Karekök fonksiyonu
Yavaşlayan bir koşucudur: başta hızlı ilerler, sonra her adımda daha az yol alır. Grafik hep artar ama gittikçe yatıklaşır.
Başlangıç noktası
Bir yolun başlangıç kilometre taşıdır. ${a\sqrt{x - r} + k}$ grafiği ${(r, k)}$ noktasından başlar ve oradan tek yöne gider.
Tanım kümesi kısıtı
Bir kapıdaki boy sınırı gibidir: karekökün içi negatifse kapıdan geçilmez. Sınır çizgisi ${x - r = 0}$ olduğu yerdir.

Sık yapılan yanlışlar

${\sqrt{x - 3}}$ fonksiyonunun tanım kümesi ${x \ge -3}$ 'tür.
Kök içi ${x - 3 \ge 0}$ olmalıdır; bu ${x \ge 3}$ verir. İşaret ters okunmuştur.
Kök içini ayrı yazıp eşitsizliği adım adım çözdürün.
Karekök fonksiyonunun görüntü kümesi her zaman ${[0, \infty)}$ 'dur.
Öteleme ve ${a}$ katsayısı görüntü kümesini değiştirir. ${-2\sqrt{x} + 5}$ için görüntü kümesi ${(-\infty, 5]}$ 'tir.
Başlangıç noktasını bulup grafiğin yukarı mı aşağı mı gittiğine karar verdirin.
${\sqrt{x}}$ grafiği hem sağa hem sola uzanır.
Tanım kümesi ${[0, \infty)}$ olduğundan grafik yalnız sağa uzanır; sol tarafta hiç nokta yoktur.
Negatif x'ler için tabloda boş hücre bıraktırın.
${\sqrt{x}}$ bire bir değildir, çünkü ${x^2}$ değildir.
${\sqrt{x}}$ tanım kümesinde hep artandır; farklı girdiler farklı çıktı verir. Bire birdir.
Yatay doğru testini ${\sqrt{x}}$ grafiğinde uygulatın.
${\sqrt{x + 4}}$ grafiği 4 birim sağa ötelenmiştir.
Başlangıç ${x + 4 = 0}$ , yani ${x = -4}$ 'tedir; grafik 4 birim sola ötelenir.
Başlangıç noktasını her zaman kök içini sıfırlayarak buldurun.
${a\sqrt{x - r} + k = 0}$ denkleminin her zaman çözümü vardır.
${\sqrt{x - r} = -\dfrac{k}{a}}$ olur; sağ taraf negatifse karekök negatif olamayacağı için çözüm yoktur.
Önce kökü yalnız bıraktırıp sağ tarafın işaretine baktırın.

Tahtada anlatım sırası9 adımı göster

1
Bahçe çengeliyle ${f(x) = \sqrt{x}}$ 'in tablosunu kurun: ${x = 0, 1, 4, 9, 16}$ .
Süreç bileşeni a: nitel özellikleri belirler.
2
Grafiği çizip tanım kümesi, görüntü kümesi, işaret, artanlık, minimum ve bire birliği okutun.
Süreç bileşeni b: özellikler ile temsiller arası ilişki.
3
Parabolün yarısı çengeliyle ${\sqrt{x}}$ ile ${x^2}$ arasındaki bağı gösterin.
4
Ötelemeyi ve ${a}$ katsayısını uygulayın; başlangıç noktasını işaretleyin.
$\displaystyle \sqrt{x} \to a\sqrt{x - r} + k$
Süreç bileşenleri c ve ç: dönüştürür ve ilişkiyi ifade eder.
5
Genel biçim için tanım kümesini ve görüntü kümesini tahmin ettirin.
Süreç bileşenleri d ve e: varsayım ve genelleme.
6
Tahminleri üç farklı fonksiyonun grafiğini çizerek sınatın; ${a < 0}$ durumuna özellikle bakın.
Süreç bileşeni f: kontrol eder.
7
Sıfır bulma: kökü yalnız bırakıp iki tarafın karesini alın; çözümü tanım kümesiyle kontrol edin.
Süreç bileşeni h: cebirsel doğrulama.
8
Önermeleri yazdırın: " ${a > 0}$ ise görüntü kümesi ${[k, \infty)}$ 'dur".
Süreç bileşeni g: önerme sunar.
9
Gerçek yaşam: serbest düşen bir cismin düşme süresi yüksekliğin karekökü ile orantılıdır; grafiğin yorumunu yaptırın.
Süreç bileşenleri ğ ve ı.

Ödev ve çalışma kâğıdı

Her antrenman tek bir beceriyi bol tekrarla çalıştırır. Hangisinden kaç kalem istediğini seç; kâğıt ve çözümlü cevap anahtarı tarayıcında hazırlanır.

Ödev kâğıdı oluştur

Her alıştırmadan kaç kalem istediğini seç. Kalemler hazır havuzdan rastgele gelir; iki sınıfa iki ayrı kâğıt verebilirsin. Çözümlü cevap anahtarı da hazır.

Alıştırmalar

${g(x) = a\sqrt{x - r} + k}$ grafiği ${(r, k)}$ noktasından başlar; ${a > 0}$ ise görüntü kümesi ${[k, \infty)}$ , ${a < 0}$ ise ${(-\infty, k]}$ olur.
1. 1) ${g(x) = 2 \sqrt{x - 2} + 9}$ fonksiyonunun görüntü kümesi nedir?= $\displaystyle \left[9, \infty\right)$
2. 2) ${g(x) = -2\sqrt{x - 1} + 1}$ fonksiyonunun görüntü kümesi nedir?= $\displaystyle \left(-\infty, 1\right]$
3. 3) ${g(x) = 3 \sqrt{x + 6} - 8}$ fonksiyonunun görüntü kümesi nedir?= $\displaystyle \left[-8, \infty\right)$
/ 40
${f(x) = \sqrt{ x}}$ grafiği ${r}$ birim sağa ötelenirse ${x}$ yerine ${x - r}$ , sola ötelenirse ${x + r}$ yazılır.
1. 1) ${f(x) = \sqrt{ x}}$ grafiği 2 birim sağa ve 1 birim yukarı ötelenirse hangi fonksiyonun grafiği elde edilir?= $\displaystyle \sqrt{x - 2} + 1$
2. 2) ${f(x) = \sqrt{ x}}$ grafiği 2 birim sola ve 7 birim aşağı ötelenirse hangi fonksiyonun grafiği elde edilir?= $\displaystyle \sqrt{x + 2} - 7$
3. 3) ${f(x) = \sqrt{ x}}$ grafiği 6 birim sağa ve 7 birim yukarı ötelenirse hangi fonksiyonun grafiği elde edilir?= $\displaystyle \sqrt{x - 6} + 7$
/ 40
${x}$ yerine verilen sayıyı yazınız; karekökün içini hesaplayıp kökünü alınız.
1. 1) ${g(x) = 3 \sqrt{x - 6} - 5}$ olduğuna göre ${g(22)}$ kaçtır?= $\displaystyle 7$
2. 2) ${f(x) = \sqrt{x + 2}}$ olduğuna göre ${f(23)}$ kaçtır?= $\displaystyle 5$
3. 3) ${g(x) = \sqrt{x + 2} + 2}$ olduğuna göre ${g(-1)}$ kaçtır?= $\displaystyle 3$
/ 40
${g(x) = 0}$ yazıp karekökü yalnız bırakınız; iki tarafın karesini alınız.
1. 1) ${g(x) = 3 \sqrt{x - 6} - 12}$ fonksiyonunun sıfırı kaçtır?= $\displaystyle 22$
2. 2) ${g(x) = 2 \sqrt{x + 3} - 2}$ fonksiyonunun sıfırı kaçtır?= $\displaystyle -2$
3. 3) ${g(x) = \sqrt{x - 3} - 1}$ fonksiyonunun sıfırı kaçtır?= $\displaystyle 4$
/ 40

Kâğıt başlığı

Çalışma boşluğu

Yok8 mm15 mm25 mm

Ad, sınıf, süre satırıCevap anahtarında kısa çözüm

0 kalem

İndirmek için en az bir kalem seç.

Kazanım künyesi

10. sınıf Karekök fonksiyonu için 27 çözümlü soru: soruları sayfada çöz, takıldığında adım adım çözümü aç; seçtiğin sorulardan test, yaprak test ya da yazılı kâğıdı hazırla ve cevap anahtarıyla PDF olarak indir; ödev için alıştırma (çalışma) kâğıdı çıkar; derste soruları akıllı tahtada tek tek aç; ders kılavuzunda derse giriş, kavram yanılgıları ve tahta akışı var. 1. dönem yazılısına ve ortak sınava hazırlıkta kullanılır.

Kod: MAT.10.4.3
Kapsadığı konular: kareköklü fonksiyon, karekök fonksiyonu grafiği, fonksiyonlar
Dönem ve hafta: 1. dönem, 17, 19. haftalar, 8 ders saati
Süreç bileşenleri: a)Karekök referans fonksiyonun nitel özelliklerini (tanım kümesi, görüntü kümesi, işareti, artanlığı-azalanlığı, maksimum-minimum noktaları, sıfırları, bire birliği, tekliği-çiftliği, örtenliği) matematiksel temsilleri kullanarak belirler.
b)Karekök referans fonksiyonun nitel özellikleri ile matematiksel temsilleri arasındaki ilişkileri belirler.
c)Karekök referans fonksiyonu grafik ve cebirsel temsili üzerinde yapılan işlemlerle diğer karekök fonksiyonlarına dönüştürür.
ç)Karekök referans fonksiyon ile elde ettiği karekök fonksiyonlarının grafik ve cebirsel temsilleri arasındaki ilişkiyi ifade eder.
d)Karekök referans fonksiyonun nitel özelliklerinden hareketle diğer karekök fonksiyonlarının nitel özellikleri hakkında varsayımlarda bulunur.
e)Varsayımlarına dayalı olarak karekök fonksiyonlarının nitel özelliklerine ilişkin örüntüleri (cebirsel, sayısal veya grafiksel) geneller.
f)Genellemelerinin varsayımlarını karşılayıp karşılamadığını kontrol eder.
g)Genellemelerinden elde ettiği önermeleri uygun sözel veya cebirsel dil ile sunar.
ğ)Elde ettiği önermelerin gerçek yaşam bağlamlarındaki kullanışlılığını değerlendirir.
h)Önermelerini grafiksel olarak doğrular veya cebirsel olarak ispatlar.
ı)İşe koştuğu doğrulama veya ispat yöntemlerinin farklı durumlardaki kullanışlılığını değerlendirir.
Ders kitabında: 4. Tema — Nicelikler ve Değişimler, 4.3 Karekök Fonksiyonu ve Nitel Özellikleri

Karekök fonksiyonu

Sorular ve çözümleri

Ders kılavuzu

Derse giriş: çengel sorular

Benzetmeler

Sık yapılan yanlışlar

Ödev ve çalışma kâğıdı

Ödev kâğıdı oluştur

Test PDF'i

Test PDF'i hazırla

Kazanım künyesi