konukonu

Bütün konular

Menü
9. sınıf, Geometrik ŞekillerMAT.9.3.1

Üçgende açı ve kenar

Üçgende Açı ve Kenarla İlgili Özellikler ve Bu Özellikler Arasındaki İlişkiler

Kazanım: Üçgende açı ve kenarla ilgili özellikleri, üçgenin açıları ve kenarları arasındaki ilişkileri doğrulayabilme veya ispatlayabilme.

Tahtada açYazılı hazırla

Sorular ve çözümleri

Her sorunun altında adım adım çözüm var. Çoktan seçmelide doğru şık, çözümü açınca işaretlenir.

Zorluk
Cevap biçimi
Soru türü
Şekil
66 soru gösteriliyor
Soru 1KavramÇoktan seçmeli5 puanOrta, zorluk 5 / 10
Şekilde bir ABC üçgeni verilmiştir. Bir öğretmen, bir üçgenin iç açılarının ölçüleri toplamının 180∘{180^{\circ}} olduğunu tahtada ispatlayacaktır. İspata başlamadan önce şekle bir yardımcı çizim ekleyecektir.Buna göre bu ispatı yürütebilmek için aşağıdaki yardımcı çizimlerden hangisi yapılmalıdır?
ABC üçgeni ve üç iç açısı Dar açılı bir ABC üçgeni. A köşesi üstte, B solda, C sağdadır; üç iç açının her biri birer yayla işaretlenmiştir. Şekilde ölçü yazmıyor. A B C
  1. AA'dan [BC]'ye inen dikme
  2. BA'daki açının açıortayı
  3. CA'dan geçen, [BC]'ye paralel doğru
  4. DB'den [AC]'ye inen dikme
  5. E[AB] ile [AC]'nin orta noktalarından geçen doğru
Çözümü göster

CDoğru cevap

  1. 1
    Paralel postülatına göre A noktasından [BC]{[BC]}'ye yalnız bir paralel doğru çizilebilir; bu doğru çizildiğinde [AB]{[AB]} ve [AC]{[AC]} kenarları birer kesen olur.
  2. 2
    Kesenlerin oluşturduğu iç ters açılar sayesinde B ve C köşelerindeki açıların ölçüleri A köşesine taşınır.
  3. 3
    A köşesinde yan yana gelen üç açı bir doğru açı oluşturduğundan ölçüleri toplamı 180∘{180^{\circ}} olur; ispat biter.
  4. 4
    Dikme, açıortay ve orta noktaları birleştiren doğru yeni bir açı eşitliği vermez; şekli böler ama ispatı yürütmez.
  5. 5
    Yapılması gereken yardımcı çizim: A'dan geçen, [BC]'ye paralel doğru

Yanlış şıklar neden yanlış?

  • A)Dikme iki dik açı üretir ama üçgenin açılarını birbirine bağlamaz; çizim şekli böler, ispatı yürütmez (kılavuz, 9. yanılgı).
  • B)Açıortay A'daki açıyı ikiye böler; iki yeni bilinmeyen doğar, hiçbir açı eşitliği kazanılmaz.
  • D)Yükseklik çizmek şekli güzelleştirir ama yeni bir açı eşitliği vermez; yardımcı çizim istenen yere değil, işe yarayan yere çizilir.
  • E)Orta noktaları birleştiren doğru [BC]'ye paraleldir, ama üçgenin açılarını A köşesine taşımaz: kesenleri üçgenin köşelerinden geçmez.
Soru 2KavramÇoktan seçmeli5 puanOrta, zorluk 5 / 10
Şekilde KLM üçgeninin [LM]{[LM]} kenarı M'nin ötesine uzatılmış ve uç N ile adlandırılmıştır. Bir öğrenci, M köşesindeki dış açının ölçüsünün ona komşu olmayan iki iç açının ölçüleri toplamına eşit olduğunu şöyle ispatlamıştır:I. m(K^)+m(L^)+m(KM^L)=180∘\text{m}(\widehat{K}) + \text{m}(\widehat{L}) + \text{m}(K\widehat{M}L) = 180^{\circ} (Gerekçe: bir üçgenin iç açılarının ölçüleri toplamı)II. m(KM^N)+m(KM^L)=180∘{\text{m}(K\widehat{M}N) + \text{m}(K\widehat{M}L) = 180^{\circ}} (Gerekçe: ?)III. m(KM^N)=m(K^)+m(L^){\text{m}(K\widehat{M}N) = \text{m}(\widehat{K}) + \text{m}(\widehat{L})} (Gerekçe: I ve II numaralı adımlar)Buna göre II. adımın gerekçesi aşağıdakilerden hangisidir?
KLM üçgeni ve M köşesindeki dış açı KLM üçgeninde K köşesi üstte, M solda, L sağdadır. LM kenarı M'nin ötesine uzatılmış ve uç N ile adlandırılmıştır. K ile L köşelerindeki iç açılar ve M köşesinde MK kenarı ile MN ışını arasında kalan dış açı birer yayla işaretlenmiştir. Şekilde ölçü yazmıyor. K L M N
  1. ATers açıların ölçüleri eşittir.
  2. BÜçgenin dış açılarının ölçüleri toplamı 360 derecedir.
  3. Cİç ters açıların ölçüleri eşittir.
  4. DDış açı ile komşu iç açı tümlerdir.
  5. EN, M ve L doğrusal olduğundan iki açı bütünlerdir.
Çözümü göster

EDoğru cevap

  1. 1
    II. adımdaki iki açı M köşesinde ortak kenarı [MK]{[MK]} olan komşu açılardır.
  2. 2
    N, M ve L noktaları aynı doğru üzerinde olduğundan [MN]{[MN]} ile [ML]{[ML]} ışınları ters yönlüdür; bu iki ışının oluşturduğu açı bir doğru açıdır.
  3. 3
    Doğru açının ölçüsü 180∘{180^{\circ}} olduğundan komşu iki açı bütünlerdir.
  4. 4
    Aranan gerekçe: N, M ve L doğrusal olduğundan iki açı bütünlerdir.

Yanlış şıklar neden yanlış?

  • A)Ters açı iki doğrunun kesişmesinde doğar; burada iki açı komşudur ve ölçüleri eşit değil, toplamları sabittir.
  • B)Doğru bir bilgi ama bu adımın gerekçesi değil: II. adım tek bir köşede iki açıdan söz ediyor, üç dış açıdan değil.
  • C)İç ters açı iki paralel ile bir kesende adlandırılır; bu şekilde paralel iki doğru yok.
  • D)Kılavuzun 1. yanılgısı: dış açı ile komşu iç açı bütünlerdir, tümler değil; tümlerlik ölçüleri toplamının 90 derece olması demektir.
Soru 3KavramAçık uçlu10 puanOrta, zorluk 6 / 10
Şekilde ABC üçgeni ile A noktasından geçen ve [BC]{[BC]} kenarına paralel olan PQ doğrusu çizilmiştir. Bir öğrenci, üçgenin iç açılarının ölçüleri toplamının 180∘{180^{\circ}} olduğunu ispatlamak için şu üç adımı yazmış, sonra durup "ispat bitti" demiştir:I. PQ doğrusu [BC]{[BC]}'ye paraleldir ve [AB]{[AB]} bu iki doğrunun bir kesenidir.II. Buna göre m(PA^B)=m(AB^C){\text{m}(P\widehat{A}B) = \text{m}(A\widehat{B}C)}'dir.III. P, A ve Q doğrusal olduğundan m(PA^B)+m(BA^C)+m(QA^C)=180∘\text{m}(P\widehat{A}B) + \text{m}(B\widehat{A}C) + \text{m}(Q\widehat{A}C) = 180^{\circ}dir.
ABC üçgeni ve A'dan geçen, tabana paralel yardımcı doğru ABC üçgeninde A köşesi üstte, B solda, C sağdadır. A köşesinden geçen ve BC kenarına paralel olan bir doğru çizilmiştir; bu doğrunun sol ucu P, sağ ucu Q ile adlandırılmıştır. Şekilde ölçü yazmıyor. A B C P Q
  1. a)
    İspatın tamamlanabilmesi için yazılması gereken adımı gerekçesiyle birlikte yazınız.(6 puan)
  2. b)
    Eksik adım yazıldığında III. adımdaki eşitliğin hangi eşitliğe dönüştüğünü yazınız ve öğrencinin neden "ispat bitti" diyemeyeceğini bir cümleyle açıklayınız.(4 puan)
Çözümü göster

a) bölümü

  1. 1
    II. adımda yalnız [AB]{[AB]} keseni kullanılmıştır; üçgenin C köşesindeki açısı henüz A köşesine taşınmamıştır.
  2. 2
    PQ ile [BC]{[BC]} paralel, [AC]{[AC]} ise bu iki doğrunun ikinci kesenidir.
  3. 3
    İç ters açıların ölçüleri eşit olduğundan eksik adım şudur: m(QA^C)=m(AC^B){\text{m}(Q\widehat{A}C) = \text{m}(A\widehat{C}B)}

b) bölümü

  1. 1
    III. adımdaki toplamın üç terimi de A köşesindeki açılardır; bu hâliyle eşitlik üçgenin açıları hakkında hiçbir şey söylemez.
  2. 2
    II. adım birinci terimi m(AB^C){\text{m}(A\widehat{B}C)}'ye, eksik adım üçüncü terimi m(AC^B){\text{m}(A\widehat{C}B)}'ye çevirir.
  3. 3
    İkisi birlikte yazılınca eşitlik m(AB^C)+m(BA^C)+m(AC^B)=180∘\text{m}(A\widehat{B}C) + \text{m}(B\widehat{A}C) + \text{m}(A\widehat{C}B) = 180^{\circ} hâline gelir ve ispat ancak o zaman biter.
Soru 4KavramÇoktan seçmeli5 puanOrta, zorluk 5 / 10
Şekildeki ABC üçgeninin her köşesinde birer dış açı alınmıştır; A, B ve C köşelerindeki bu dış açıların ölçüleri sırasıyla x{x}, y{y} ve z{z} ile gösterilmiştir. Bir öğrenci x+y+z{x + y + z} toplamını bulmak için şunları yazmıştır:I. Her köşede dış açı ile ona komşu iç açı bütünlerdir.II. Üç köşe için yazılan bu üç eşitlik toplanırsa 3⋅180∘=540∘{3 \cdot 180^{\circ} = 540^{\circ}} elde edilir; bu toplam hem üç dış açının hem üç iç açının ölçülerini içerir.Buna göre öğrencinin III. adımda yazması gereken eşitlik aşağıdakilerden hangisidir?
ABC üçgeninin üç dış açısı ABC üçgeninde A köşesi üstte, B solda, C sağdadır. BC kenarı iki yönde de uzatılmıştır: B'nin solunda D, C'nin sağında E noktası vardır. BA kenarı A'nın ötesine uzatılmış ve uç F ile adlandırılmıştır. Her köşede bir dış açı işaretlidir: A köşesinde x, B köşesinde y, C köşesinde z. x y z A B C D E F
  1. Ax+y+z=540∘\displaystyle x + y + z = 540^{\circ}
  2. Bx+y+z=540∘−90∘\displaystyle x + y + z = 540^{\circ} - 90^{\circ}
  3. Cx+y+z=540∘3\displaystyle x + y + z = \dfrac{540^{\circ}}{3}
  4. Dx+y+z=540∘−360∘\displaystyle x + y + z = 540^{\circ} - 360^{\circ}
  5. Ex+y+z=540∘−180∘\displaystyle x + y + z = 540^{\circ} - 180^{\circ}
Çözümü göster

EDoğru cevap

  1. 1
    Her köşede dış açı ile komşu iç açının ölçüleri toplamı 180∘{180^{\circ}}dir; üç köşe için toplam 3⋅180∘=540∘{3 \cdot 180^{\circ} = 540^{\circ}} eder.
  2. 2
    Bu 540∘{540^{\circ}}, üç dış açının ölçüleri toplamı ile üç iç açının ölçüleri toplamının birleşimidir.
  3. 3
    Bir üçgenin iç açılarının ölçüleri toplamı 180∘{180^{\circ}} olduğundan dış açıların toplamı için bu değer 540∘{540^{\circ}}den çıkarılır.
  4. 4
    Yazılması gereken eşitlik: x+y+z=540∘−180∘{x + y + z = 540^{\circ} - 180^{\circ}}

Yanlış şıklar neden yanlış?

  • A)İç açıları düşmeyi unutmak: 540∘{540^{\circ}} toplamı dış açılarla birlikte iç açıları da içeriyor.
  • B)Kılavuzun 1. yanılgısı: dış açı ile komşu iç açıyı tümler sanan öğrenci 180∘{180^{\circ}} yerine 90∘{90^{\circ}} düşer.
  • C)Üç köşeye bölerek ortalama almak; toplam sorulurken bir köşenin payı hesaplanmış olur.
  • D)Bulunacak sonucu veri sanmak: 360∘{360^{\circ}} ispatın sonucudur, çıkarılacak değer değil.
Soru 5İşlemÇoktan seçmeli3 puanKolay, zorluk 3 / 10
Şekildeki ABC üçgeninde [BC]{[BC]} kenarı C'nin ötesine uzatılarak D noktası elde edilmiştir. m(A^)=70∘{\text{m}(\widehat{A}) = 70^{\circ}} ve m(B^)=45∘{\text{m}(\widehat{B}) = 45^{\circ}}dir.Buna göre x{x} kaç derecedir?
ABC üçgeni ve C köşesindeki dış açı ABC üçgeninde A köşesi üstte, B solda, C sağdadır. BC kenarı C'nin ötesine uzatılmış, uç D ile adlandırılmıştır. A köşesindeki açının ölçüsü 70 derece, B köşesindeki açının ölçüsü 45 derecedir. C köşesinde, CA kenarı ile CD ışını arasında kalan dış açı x ile gösterilmiştir. 70° 45° x A B C D
  1. A65\displaystyle 65
  2. B105\displaystyle 105
  3. C110\displaystyle 110
  4. D115\displaystyle 115
  5. E125\displaystyle 125
Çözümü göster

DDoğru cevap

  1. 1
    Üçgenin iç açılarının ölçüleri toplamı 180∘{180^{\circ}} olduğundan m(AC^B)=180∘−70∘−45∘=65∘{\text{m}(A\widehat{C}B) = 180^{\circ} - 70^{\circ} - 45^{\circ} = 65^{\circ}}dir.
  2. 2
    B, C ve D doğrusal olduğundan x{x} ile m(AC^B){\text{m}(A\widehat{C}B)} bütünlerdir.
  3. 3
    x=180−65=115{x = 180 - 65 = 115}

Yanlış şıklar neden yanlış?

  • A)C köşesindeki iç açının ölçüsü; dış açı yerine ona komşu iç açıyı yazmak (kılavuz, 1. yanılgı).
  • B)Toplama hatası; verilen iki ölçünün toplamı 105 değildir.
  • C)180∘−70∘{180^{\circ} - 70^{\circ}} işlemi: dış açıyı A köşesindeki açının bütünleri sanmak.
  • E)Toplamı yanlış hesaplamak; yakın ama fazla bir değer.
Soru 6İşlemÇoktan seçmeli5 puanOrta, zorluk 5 / 10
Şekilde [PQ]/ ⁣ ⁣/[RS]{[PQ] \mathrel{/\!\!/} [RS]}, A∈[PQ]{A \in [PQ]} ve C∈[RS]{C \in [RS]}'dir. A ile C noktaları, iki doğrunun arasında kalan B noktası üzerinden birleştirilmiştir. m(PA^B)=42∘{\text{m}(P\widehat{A}B) = 42^{\circ}} ve m(RC^B)=63∘{\text{m}(R\widehat{C}B) = 63^{\circ}}dir.Buna göre x{x} kaç derecedir?
İki paralel doğru arasında kırık doğru Üstte P ve Q uçlu, altta R ve S uçlu iki paralel doğru vardır. Üst doğru üzerinde A, alt doğru üzerinde C noktası bulunur. A ile C, iki doğrunun arasında kalan B noktası üzerinden kırık bir yolla birleştirilmiştir. A köşesinde, üst doğrunun sol kolu ile AB arasındaki açı 42 derece; C köşesinde, alt doğrunun sol kolu ile CB arasındaki açı 63 derecedir. B köşesindeki ABC açısı x ile gösterilmiştir. 42° 63° x P A Q R C S B
  1. A21\displaystyle 21
  2. B42\displaystyle 42
  3. C75\displaystyle 75
  4. D105\displaystyle 105
  5. E117\displaystyle 117
Çözümü göster
Soru 7KavramAçık uçlu15 puanZor, zorluk 7 / 10
Şekildeki ABDC dörtgeninde D köşesi şeklin içine doğru girinti yapmaktadır; B ile C birleştirilmemiştir. m(A^)=30∘{\text{m}(\widehat{A}) = 30^{\circ}}, m(AB^D)=40∘{\text{m}(A\widehat{B}D) = 40^{\circ}} ve m(DC^A)=50∘{\text{m}(D\widehat{C}A) = 50^{\circ}}dir.
Ok biçimli ABDC dörtgeni Girintili bir dörtgen: A köşesi üstte, B solda, C sağdadır; D noktası bu üçünün arasında, aşağı doğru girinti yapan köşedir. Çizili kenarlar AB, BD, DC ve CA'dır; B ile C birleştirilmemiştir. A köşesindeki açının ölçüsü 30 derece, B köşesindeki ABD açısının ölçüsü 40 derece, C köşesindeki DCA açısının ölçüsü 50 derecedir. D köşesindeki BDC açısı x ile gösterilmiştir. 30° 40° 50° x A B C D
  1. a)
    A ile D'yi birleştiren [AD]{[AD]} doğru parçasını çiziniz. Oluşan iki üçgenden yararlanarak x{x} ölçüsünü bulunuz.(6 puan)
  2. b)
    Köşelerdeki açıların ölçüleri sırasıyla a{a}, b{b} ve c{c} olsaydı x{x} ölçüsünün hangi ifadeye eşit olacağını yazınız; (a) şıkkındaki çizimle gerekçelendiriniz.(9 puan)
Çözümü göster
Soru 8KavramAçık uçlu15 puanZor, zorluk 8 / 10
Ok biçimli bir dörtgende girinti yapan tek bir köşe bulunur. Şekildeki ABDEC beşgeninde ise D ve E köşelerinin ikisi de şeklin içine doğru girinti yapmaktadır. Köşelerdeki açıların ölçüleri m(A^)=30∘{\text{m}(\widehat{A}) = 30^{\circ}}, m(AB^D)=40∘{\text{m}(A\widehat{B}D) = 40^{\circ}} ve m(EC^A)=50∘{\text{m}(E\widehat{C}A) = 50^{\circ}}dir. Ayrıca x=140∘{x = 140^{\circ}}dir.
İki girintili ABDEC beşgeni Beş köşeli, iki girintili bir şekil. A köşesi üstte, B solda alttadır; B'den yukarı sağa doğru D köşesine, D'den sağa doğru E köşesine, E'den aşağı sağa doğru C köşesine gidilir, C'den A'ya dönülür. D ile E, A'nın altında kalan girinti köşeleridir. A köşesindeki açının ölçüsü 30 derece, B köşesindeki ABD açısının ölçüsü 40 derece, C köşesindeki ECA açısının ölçüsü 50 derecedir. D köşesindeki BDE açısı x, E köşesindeki DEC açısı y ile gösterilmiştir. 30° 40° 50° x y A B C D E
  1. a)
    A ile D'yi ve A ile E'yi birleştiriniz. Oluşan üç üçgenden yararlanarak y{y} ölçüsünü bulunuz.(6 puan)
  2. b)
    Köşelerdeki açıların ölçüleri a{a}, b{b} ve c{c} iken x+y{x + y} toplamının hangi ifadeye eşit olduğunu yazınız.(5 puan)
  3. c)
    Tek girintili şekilde bulunan x=a+b+c{x = a + b + c} bağıntısı ile buradaki bağıntı arasındaki farkı yazınız ve farkın sebebini bir cümleyle açıklayınız.(4 puan)
Çözümü göster
Soru 9KavramÇoktan seçmeli5 puanOrta, zorluk 5 / 10
Şekildeki DEF üçgeninde ∣DE∣=∣DF∣{|DE| = |DF|}'dir. Bir öğrenci, bu üçgenin taban açılarının ölçüsünü bulmak için aşağıdaki adımları yazmıştır:I. m(DE^F)+m(EF^D)+m(FD^E)=180∘\text{m}(D\widehat{E}F) + \text{m}(E\widehat{F}D) + \text{m}(F\widehat{D}E) = 180^{\circ} (Gerekçe: iç açıların ölçüleri toplamı)II. m(DE^F)=m(EF^D){\text{m}(D\widehat{E}F) = \text{m}(E\widehat{F}D)} (Gerekçe: [DE]{[DE]} ile [DF]{[DF]} eş olduğundan taban açıları eştir)III. m(FD^E)=2⋅m(DE^F){\text{m}(F\widehat{D}E) = 2 \cdot \text{m}(D\widehat{E}F)} (Gerekçe: II. adımdaki eşitlik)IV. 4⋅m(DE^F)=180∘{4 \cdot \text{m}(D\widehat{E}F) = 180^{\circ}} (Gerekçe: I ve III. adımlar)Buna göre ilk hatalı adım hangisidir?
İkizkenar DEF üçgeni DEF üçgeninde D köşesi üstte, E solda, F sağdadır. DE ile DF kenarları birer çentikle eş olarak işaretlenmiştir; E ve F köşelerindeki taban açıları birer yayla gösterilmiştir. Şekilde ölçü yazmıyor. D E F
  1. AI\displaystyle \text{I}
  2. BII\displaystyle \text{II}
  3. CIII\displaystyle \text{III}
  4. DIV\displaystyle \text{IV}
  5. EAdımların hepsi doğrudur
Çözümü göster
Soru 10İşlemÇoktan seçmeli3 puanKolay, zorluk 3 / 10
Şekildeki ABC üçgeninde ∣AB∣=∣AC∣{|AB| = |AC|} ve m(A^)=44∘{\text{m}(\widehat{A}) = 44^{\circ}}dir.Buna göre x{x} kaç derecedir?
İkizkenar ABC üçgeni ABC üçgeninde A köşesi üstte, B solda, C sağdadır. AB ile AC kenarları birer çentikle eş olarak işaretlenmiştir. A köşesindeki açının ölçüsü 44 derecedir; B köşesindeki taban açısı x ile gösterilmiştir. 44° x A B C
  1. A68\displaystyle 68
  2. B70\displaystyle 70
  3. C72\displaystyle 72
  4. D74\displaystyle 74
  5. E136\displaystyle 136
Çözümü göster
Soru 11İşlemÇoktan seçmeli5 puanOrta, zorluk 5 / 10
Şekilde ABC bir eşkenar üçgendir. D noktası [BC]{[BC]}'nin altında olacak biçimde seçilmiş, ∣CD∣=∣CB∣{|CD| = |CB|} ve m(BC^D)=40∘{\text{m}(B\widehat{C}D) = 40^{\circ}} alınmıştır.Buna göre m(AB^D){\text{m}(A\widehat{B}D)} kaç derecedir?
Eşkenar ABC üçgeni ve ona bitişik ikizkenar BCD üçgeni Üstte eşkenar ABC üçgeni vardır: A tepede, B solda, C sağdadır ve üç kenarı da birer çentiklidir. BC kenarının altında, C köşesinden çıkan CD kenarı yine aynı çentikle işaretlenmiştir; D noktası B ile birleştirilmiştir. C köşesinde BC ile CD arasındaki açının ölçüsü 40 derecedir. B köşesi hem A hem D ile birleştirilmiştir. 40° A B C D
  1. A70\displaystyle 70
  2. B100\displaystyle 100
  3. C110\displaystyle 110
  4. D120\displaystyle 120
  5. E130\displaystyle 130
Çözümü göster
Soru 12İşlemÇoktan seçmeli7 puanZor, zorluk 7 / 10
Şekilde A, D, E ve C noktaları doğrusaldır; B noktası bu doğrunun dışındadır. Şekilde aynı çentikle işaretlenen kenarların uzunlukları eşittir ve m(A^)=24∘{\text{m}(\widehat{A}) = 24^{\circ}}dir.Buna göre x{x} kaç derecedir?
İkizkenar üçgen zinciri A, D, E ve C noktaları soldan sağa doğru aynı doğru üzerindedir; B noktası bu doğrunun üstündedir ve dördüne de birer doğru parçasıyla birleştirilmiştir. AD, DB ve BE kenarları birer çentikle eş olarak işaretlenmiştir. A köşesindeki açının ölçüsü 24 derecedir. B köşesinde BD ile BE arasındaki açı x ile gösterilmiştir. 24° x A D E C B
  1. A48\displaystyle 48
  2. B72\displaystyle 72
  3. C84\displaystyle 84
  4. D96\displaystyle 96
  5. E132\displaystyle 132
Çözümü göster
Soru 13İşlemKısa cevap6 puanOrta, zorluk 4 / 10
Şekildeki ABC üçgeninde D∈[AC]{D \in [AC]} ve [BD]{[BD]}, B köşesindeki açının açıortayıdır. m(A^)=50∘{\text{m}(\widehat{A}) = 50^{\circ}} ve m(AC^B)=66∘{\text{m}(A\widehat{C}B) = 66^{\circ}}dir.Buna göre x{x} kaç derecedir?
ABC üçgeni ve B köşesinin açıortayı ABC üçgeninde A köşesi üstte, B solda, C sağdadır. B köşesinden çıkan BD doğru parçası AC kenarını D noktasında keser ve B köşesindeki açıyı iki eş açıya böler; iki parça da birer yayla işaretlenmiştir. A köşesindeki açının ölçüsü 50, C köşesindeki açının ölçüsü 66 derecedir. D köşesinde ADB açısı x ile gösterilmiştir. 50° 66° x A B C D
Çözümü göster
Soru 14Yeni nesilÇoktan seçmeli7 puanZor, zorluk 8 / 10
Üçgen biçimindeki bir kâğıdın A köşesi, [DE]{[DE]} boyunca katlanarak şeklin içindeki K noktasına getirilmiştir. Burada D∈[AB]{D \in [AB]}, E∈[AC]{E \in [AC]} ve m(A^)=60∘{\text{m}(\widehat{A}) = 60^{\circ}}dir. Şekilde kâğıdın katlanmadan önceki ve katlandıktan sonraki hâli verilmiştir.Buna göre m(BD^K)+m(CE^K){\text{m}(B\widehat{D}K) + \text{m}(C\widehat{E}K)} toplamı kaç derecedir?
Üçgen biçimli kâğıdın katlanması İki panel yan yana verilmiştir. Solda ABC üçgeni vardır: A tepede, B solda, C sağdadır; A köşesindeki açının ölçüsü 60 derecedir. AB kenarı üzerinde D, AC kenarı üzerinde E noktası işaretlenmiş ve DE kesikli çizgiyle gösterilmiştir. Sağda aynı kâğıdın DE boyunca katlanmış hâli vardır: A köşesi üçgenin içindeki K noktasına gelmiştir. Kıvrım çizgisi DE her iki panelde de kesiklidir. 60° A B C D E Önce B C D E K Sonra
  1. A60\displaystyle 60
  2. B120\displaystyle 120
  3. C180\displaystyle 180
  4. D240\displaystyle 240
  5. E300\displaystyle 300
Çözümü göster
Soru 15SözelÇoktan seçmeli5 puanOrta, zorluk 5 / 10
Katlanır bir merdivenin iki kolu eşit uzunluktadır. Merdiven düz bir zemine açıldığında yandan görünüşü şekildeki gibi bir üçgen olur; kolların tepedeki açısının ölçüsü 34∘{34^{\circ}}dir.Buna göre bir kolun zeminle yaptığı açının ölçüsü x{x} kaç derecedir?
Katlanır merdivenin yandan görünüşü Yere dayalı katlanır bir merdivenin yandan görünüşü bir üçgen olarak çizilmiştir. Tepe noktası A, kolların yere değdiği noktalar B ve C'dir. İki kol birer çentikle eş uzunlukta işaretlenmiştir. Tepedeki açının ölçüsü 34 derecedir; sol kolun yerle yaptığı açı x ile gösterilmiştir. 34° x A B C
  1. A34\displaystyle 34
  2. B56\displaystyle 56
  3. C73\displaystyle 73
  4. D90\displaystyle 90
  5. E146\displaystyle 146
Çözümü göster
Soru 16KavramÇoktan seçmeli7 puanZor, zorluk 7 / 10
Şekilde ∣AB∣=∣AC∣{|AB| = |AC|} ve m(A^)=40∘{\text{m}(\widehat{A}) = 40^{\circ}}dir. [BA]{[BA]} kenarı A'nın ötesine uzatılarak F noktası elde edilmiş, [AP]{[AP]} ışını da FA^C{F\widehat{A}C} dış açısını iki eş açıya bölecek biçimde çizilmiştir.Bir öğrenci "ikizkenar üçgende tepe açısının dış açıortayı tabanı keser" demiştir. Buna göre aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
İkizkenar üçgende tepe açısının dış açıortayı ABC üçgeninde A tepede, B solda, C sağdadır; AB ile AC kenarları birer çentikle eş işaretlenmiştir ve A köşesindeki açının ölçüsü 40 derecedir. BA kenarı A'nın ötesine uzatılarak F noktası elde edilmiştir. A köşesinden çıkan AP ışını, FAC dış açısını iki eş açıya böler; iki parça da çift yayla işaretlenmiştir. 40° A B C F P
  1. AÖnerme doğrudur; dış açıortay tabanı keser.
  2. BÖnerme yalnız tepe açısı geniş olduğunda doğrudur.
  3. CÖnerme yalnız eşkenar üçgende doğrudur.
  4. DÖnerme yanlıştır; dış açıortay tabana paraleldir.
  5. EÖnerme yalnız tepe açısı dar olduğunda doğrudur.
Çözümü göster
Soru 17KavramÇoktan seçmeli5 puanOrta, zorluk 6 / 10
Bir öğrenci dinamik geometri yazılımında bir ABC üçgeni çizmiş; her açının ölçüsünü ve o açının karşısındaki kenarın uzunluğunu tabloya yazmıştır. Sonra köşeleri sürükleyerek yirmi ayrı üçgende aynı ölçümü tekrarlamış, her seferinde büyük açının karşısında daha uzun kenar bulmuştur.Öğrenci şu üç iddiayı yazıyor:I. Tablodaki üçgende büyük açının karşısındaki kenar daha uzundur.II. Her üçgende büyük açının karşısındaki kenar daha uzundur.III. Ölçüsü 61∘{61^{\circ}} olan bir açının karşısındaki kenar her üçgende 6,7{6{,}7} cm'dir.Buna göre bu iddiaların hangileri ölçümlerle destekleniyor, ancak kanıtlanmıyor?
Bir üçgenin açı ve kenar ölçümleri Üç sütunlu tablo: Köşe, Açı ölçüsü, Karşı kenar. A köşesinde açı 42 derece, karşısındaki kenar 5,1 santimetre; B köşesinde açı 61 derece, karşısındaki kenar 6,7 santimetre; C köşesinde açı 77 derece, karşısındaki kenar 7,4 santimetredir. Köşe Açı ölçüsü Karşı kenar A 42° 5,1 cm B 61° 6,7 cm C 77° 7,4 cm
  1. AYalnız I
  2. BYalnız II
  3. CYalnız III
  4. DI ve II
  5. EII ve III
Çözümü göster
Soru 18İşlemÇoktan seçmeli5 puanOrta, zorluk 6 / 10
Şekildeki ABC üçgeninde kenar uzunlukları santimetre cinsinden verilmiştir.Buna göre açıların ölçüleri arasındaki sıralama aşağıdakilerden hangisidir?
Kenar uzunlukları verilen ABC üçgeni ABC üçgeninde A solda, B sağda, C üsttedir. AB kenarı 7 santimetre, BC kenarı 4 kök 3 santimetre, CA kenarı 6 santimetredir. 7 cm 4 3 cm 6 cm A B C
  1. Am(A^)<m(B^)<m(C^)\displaystyle \text{m}(\widehat{A}) < \text{m}(\widehat{B}) < \text{m}(\widehat{C})
  2. Bm(C^)<m(A^)<m(B^)\displaystyle \text{m}(\widehat{C}) < \text{m}(\widehat{A}) < \text{m}(\widehat{B})
  3. Cm(B^)<m(C^)<m(A^)\displaystyle \text{m}(\widehat{B}) < \text{m}(\widehat{C}) < \text{m}(\widehat{A})
  4. Dm(B^)<m(A^)<m(C^)\displaystyle \text{m}(\widehat{B}) < \text{m}(\widehat{A}) < \text{m}(\widehat{C})
  5. Em(A^)<m(C^)<m(B^)\displaystyle \text{m}(\widehat{A}) < \text{m}(\widehat{C}) < \text{m}(\widehat{B})
Çözümü göster
Soru 19İşlemÇoktan seçmeli7 puanZor, zorluk 7 / 10
Şekilde ABC ve ACD üçgenlerinin ortak kenarı [AC]{[AC]}'dir. Açı ölçüleri şekilde verilmiştir.Buna göre şekildeki beş kenardan hangisi en uzundur?
Ortak [AC] kenarlı iki üçgen A altta, C üsttedir ve AC doğru parçası düşey olarak çizilidir. B noktası AC'nin solunda, D noktası sağındadır; ikisi de A ve C ile birleştirilmiştir. Soldaki ABC üçgeninde B köşesindeki açı 78, C köşesindeki BCA açısı 44 derecedir. Sağdaki ACD üçgeninde A köşesindeki CAD açısı 60, D köşesindeki açı 45 derecedir. 78° 44° 60° 45° A B C D
  1. A[AB]\displaystyle [AB]
  2. B[BC]\displaystyle [BC]
  3. C[CA]\displaystyle [CA]
  4. D[AD]\displaystyle [AD]
  5. E[DC]\displaystyle [DC]
Çözümü göster
Soru 20SözelKısa cevap8 puanZor, zorluk 8 / 10
Bir atölyede üç düz çubuk uç uca eklenerek üçgen biçiminde bir çerçeve yapılmıştır. Çubuklar tek tek değil, ikişer ikişer yan yana konarak ölçülmüştür: birinci ile ikinci çubuk birlikte 17{17} birim, ikinci ile üçüncü çubuk birlikte 13{13} birim, birinci ile üçüncü çubuk birlikte 16{16} birimdir.Buna göre çerçevenin en büyük açısının karşısındaki kenarın uzunluğu kaç birimdir?
Çözümü göster
Soru 21KavramÇoktan seçmeli5 puanOrta, zorluk 4 / 10
ABC ve DEF birer üçgendir.Buna göre aşağıdaki çıkarımlardan hangisi her zaman doğrudur?
  1. Am(A^)>m(B^) ise ∣BC∣>∣AC∣\displaystyle \text{m}(\widehat{A}) > \text{m}(\widehat{B}) \text{ ise } |BC| > |AC|
  2. Bm(A^)>m(B^) ise ∣AC∣>∣BC∣\displaystyle \text{m}(\widehat{A}) > \text{m}(\widehat{B}) \text{ ise } |AC| > |BC|
  3. C∣AB∣>∣AC∣ ise  m(B^)>m(C^)\displaystyle |AB| > |AC| \text{ ise } \ \text{m}(\widehat{B}) > \text{m}(\widehat{C})
  4. Dm(D^)>m(A^) ise ∣EF∣>∣BC∣\displaystyle \text{m}(\widehat{D}) > \text{m}(\widehat{A}) \text{ ise } |EF| > |BC|
  5. Em(A^)=m(B^) ise ∣AB∣=∣AC∣\displaystyle \text{m}(\widehat{A}) = \text{m}(\widehat{B}) \text{ ise } |AB| = |AC|
Çözümü göster
Soru 22İşlemKısa cevap8 puanZor, zorluk 7 / 10
Şekilde ABC üçgeninde D∈[BC]{D \in [BC]}'dir ve açı ölçüleri şekilde verilmiştir. Şekildeki beş doğru parçası [AB]{[AB]}, [BD]{[BD]}, [AD]{[AD]}, [DC]{[DC]} ve [AC]{[AC]} uzunluklarına göre küçükten büyüğe sıralanacaktır.Buna göre [DC]{[DC]} baştan kaçıncı sırada olur?
Tabanına çevriyan çizilmiş ABC üçgeni ABC üçgeninde A üstte, B solda, C sağdadır. A köşesinden çıkan AD doğru parçası BC kenarını, B ile C arasındaki D noktasında keser. B köşesindeki açı 70 derece, D köşesinde AD ile DC arasındaki açı 115 derece, C köşesindeki açı 30 derecedir. 70° 115° 30° A B C D
Çözümü göster
Soru 23İşlemÇoktan seçmeli3 puanKolay, zorluk 2 / 10
Aşağıdaki üçlülerden hangisi bir üçgenin kenar uzunlukları olabilir?
  1. A3 cm, 4 cm, 8 cm
  2. B6 cm, 7 cm, 12 cm
  3. C5 cm, 5 cm, 11 cm
  4. D2 cm, 6 cm, 9 cm
  5. E4 cm, 4 cm, 8 cm
Çözümü göster
Soru 24SözelKısa cevap6 puanOrta, zorluk 6 / 10
Bir öğrencinin uzunlukları 2{2}, 3{3}, 5{5}, 7{7} ve 8{8} birim olan beş çubuğu vardır. Öğrenci bu çubuklardan üçünü seçip uç uca ekleyerek üçgen yapmak istiyor; çubuklar kırılmıyor ve kısaltılmıyor.Buna göre öğrenci kaç farklı üçgen yapabilir?
Çözümü göster
Soru 25İşlemÇoktan seçmeli3 puanKolay, zorluk 3 / 10
Şekildeki ABC üçgeninde ∣AB∣=8{|AB| = 8} cm ve ∣AC∣=5{|AC| = 5} cm'dir.Buna göre ∣BC∣=x{|BC| = x} için aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
İki kenarı verilen ABC üçgeni ABC üçgeninde A solda, B sağda, C üsttedir. AB kenarı 8 santimetre, CA kenarı 5 santimetredir; BC kenarının uzunluğu x ile gösterilmiştir. 8 cm 5 cm x A B C
  1. A3<x<13\displaystyle 3 < x < 13
  2. B3≤x≤13\displaystyle 3 \leq x \leq 13
  3. C5<x<8\displaystyle 5 < x < 8
  4. D8<x<13\displaystyle 8 < x < 13
  5. Ex<13\displaystyle x < 13
Çözümü göster
Soru 26İşlemÇoktan seçmeli5 puanOrta, zorluk 6 / 10
Şekildeki KLM üçgeninde ∣KL∣=9{|KL| = 9} cm ve ∣KM∣=4{|KM| = 4} cm'dir. ∣LM∣=x{|LM| = x} uzunluğu santimetre cinsinden bir tam sayıdır.Buna göre x{x} kaç farklı değer alabilir?
İki kenarı verilen KLM üçgeni KLM üçgeninde K sağda, L solda, M üsttedir. KL kenarı 9 santimetre, MK kenarı 4 santimetredir; LM kenarının uzunluğu x ile gösterilmiştir. 9 cm 4 cm x K L M
  1. A5\displaystyle 5
  2. B6\displaystyle 6
  3. C7\displaystyle 7
  4. D8\displaystyle 8
  5. E9\displaystyle 9
Çözümü göster
Soru 27İşlemKısa cevap8 puanZor, zorluk 7 / 10
Şekilde ABC ve ACD üçgenlerinin ortak kenarı [AC]{[AC]}'dir. ∣AB∣=7{|AB| = 7} cm, ∣BC∣=4{|BC| = 4} cm, ∣AD∣=5{|AD| = 5} cm ve ∣DC∣=9{|DC| = 9} cm'dir. ∣AC∣=x{|AC| = x} uzunluğu santimetre cinsinden bir tam sayıdır.Buna göre x{x} kaç farklı değer alabilir?
Ortak kenarı bilinmeyen iki üçgen A solda, C sağdadır ve AC doğru parçası çizilidir. B noktası AC'nin üstünde, D noktası altındadır. AB 7, BC 4, AD 5, DC 9 santimetredir; ortak kenar olan CA'nın uzunluğu x ile gösterilmiştir. 7 cm 4 cm x 5 cm 9 cm A B C D
Çözümü göster
Soru 28İşlemÇoktan seçmeli9 puanİleri, zorluk 9 / 10
Şekildeki ABC üçgeninde ∣AB∣=5k{|AB| = 5k} cm, ∣AC∣=3k{|AC| = 3k} cm ve ∣BC∣=12{|BC| = 12} cm'dir. Burada k{k} bir pozitif tam sayıdır.Buna göre k{k} kaç farklı değer alabilir?
İki kenarı oranla verilen üçgen ABC üçgeninde A solda alttadır, B sağda, C üsttedir. AB kenarının uzunluğu 5k, CA kenarının uzunluğu 3k, BC kenarının uzunluğu 12 santimetredir. 5k 3k 12 cm A B C
  1. A3\displaystyle 3
  2. B4\displaystyle 4
  3. C5\displaystyle 5
  4. D6\displaystyle 6
  5. E7\displaystyle 7
Çözümü göster
Soru 29SözelKısa cevap6 puanOrta, zorluk 5 / 10
Üçgen biçimli bir tarlanın iki kenarının uzunlukları 7{7} m ve 10{10} m'dir. Tarlanın çevresi metre cinsinden bir tam sayıdır.Buna göre çevre en çok kaç metre olabilir?
Üçgen biçimli tarlanın kenarları Üçgen biçimli bir tarla ABC üçgeni olarak çizilmiştir: A solda, B sağda, C üsttedir. AB kenarı 7 metre, CA kenarı 10 metredir; BC kenarının uzunluğu x ile gösterilmiştir. 7 m 10 m x A B C
Çözümü göster
Soru 30İşlemÇoktan seçmeli9 puanİleri, zorluk 9 / 10
Şekildeki ABC üçgeninde ∣AB∣=8{|AB| = 8} cm, ∣AC∣=5{|AC| = 5} cm ve ∣BC∣=x{|BC| = x} cm'dir. x{x} bir tam sayıdır ve üçgende m(A^)>m(B^){\text{m}(\widehat{A}) > \text{m}(\widehat{B})} olduğu bilinmektedir.Buna göre x{x} kaç farklı değer alabilir?
Kenar uzunlukları arasında koşul aranan üçgen ABC üçgeninde A sağda, B solda, C üsttedir. AB kenarı 8 santimetre, CA kenarı 5 santimetredir; BC kenarının uzunluğu x ile gösterilmiştir. 8 cm 5 cm x A B C
  1. A5\displaystyle 5
  2. B6\displaystyle 6
  3. C7\displaystyle 7
  4. D8\displaystyle 8
  5. E9\displaystyle 9
Çözümü göster
Soru 31KavramÇoktan seçmeli5 puanOrta, zorluk 5 / 10
Şekildeki ABC üçgeninde ∣AB∣=9{|AB| = 9} cm ve ∣AC∣=7{|AC| = 7} cm'dir. Üçgenin içinde bir D noktası alınmış, D ile B ve D ile C birleştirilmiştir. Ölçümde ∣DB∣=5,2{|DB| = 5{,}2} cm ve ∣DC∣=4,0{|DC| = 4{,}0} cm bulunmuştur.Bir öğrenci şu önermeyi yazıyor: "Bir üçgenin içindeki her D noktası için ∣DB∣+∣DC∣<∣AB∣+∣AC∣{|DB| + |DC| < |AB| + |AC|}'dir."Buna göre bu ölçüm, önerme için aşağıdakilerden hangisini yapar?
Üçgenin içindeki bir noktadan iki köşeye çizilen parçalar ABC üçgeninde A solda, B sağda, C üsttedir. AB kenarı 9, CA kenarı 7 santimetredir. Üçgenin içindeki D noktası B ve C köşeleriyle birer doğru parçasıyla birleştirilmiştir. 9 cm 7 cm A B C D
  1. AÖnermeyi ispatlar; sayılar eşitsizliği sağlıyor.
  2. BÖnermeyle çelişir; soldaki toplam daha büyüktür.
  3. CYüz ölçüm yapılsaydı önerme ispatlanmış olurdu.
  4. DÖnerme yalnız ölçülen D noktası için doğrudur.
  5. EÖnermeyi destekler ama ispatlamaz.
Çözümü göster
Soru 32KavramAçık uçlu15 puanZor, zorluk 7 / 10
Şekilde ABC üçgeninin içinde bir D noktası alınmış, D ile B ve D ile C birleştirilmiştir. [BD]{[BD]} doğru parçası uzatılarak [AC]{[AC]} kenarını E noktasında kesmiştir.Bir öğrenci, üçgenin içindeki her D noktası için ∣DB∣+∣DC∣<∣AB∣+∣AC∣{|DB| + |DC| < |AB| + |AC|} olduğunu ölçerek değil ispatlayarak göstermek istiyor ve şu iki eşitsizliği yazıyor:I. ∣DC∣<∣DE∣+∣EC∣{|DC| < |DE| + |EC|}II. ∣BE∣<∣AB∣+∣AE∣{|BE| < |AB| + |AE|}
İç noktadan geçen uzatma çizgisi ABC üçgeninde A solda, B sağda, C üsttedir. Üçgenin içindeki D noktası B ve C köşeleriyle birleştirilmiştir. B'den D'ye giden doğru parçası uzatılmış ve AC kenarını E noktasında kesmiştir. A B C D E
  1. a)
    Öğrencinin yazdığı iki eşitsizlik hangi özellikten çıkar? Her iki eşitsizliğin hangi üçgende yazıldığını da belirterek yazınız.(5 puan)
  2. b)
    Bu iki eşitsizliği kullanarak ∣DB∣+∣DC∣<∣AB∣+∣AC∣{|DB| + |DC| < |AB| + |AC|} olduğunu gösteriniz.(10 puan)
Çözümü göster
Soru 33KavramKısa cevap4 puanKolay, zorluk 3 / 10
Bir ABC üçgeninde ∣AB∣=9{|AB| = 9} cm ve ∣AC∣=7{|AC| = 7} cm'dir. "Üçgenin içindeki her D noktası için ∣DB∣+∣DC∣<∣AB∣+∣AC∣{|DB| + |DC| < |AB| + |AC|}'dir" önermesi veriliyor.D noktası üçgenin içinden çıkıp A köşesiyle çakışacak biçimde alınırsa ∣AB∣+∣AC∣{|AB| + |AC|} toplamı ile ∣DB∣+∣DC∣{|DB| + |DC|} toplamı arasındaki fark kaç santimetre olur?
Çözümü göster
Soru 34KavramAçık uçlu10 puanOrta, zorluk 6 / 10
Bir öğrenci dinamik geometri yazılımında bir ABC üçgeni çizmiş, üçgenin içindeki D noktasını sürükleyerek yüz ölçüm yapmıştır. Her ölçümde ∣DB∣+∣DC∣{|DB| + |DC|} toplamını ∣AB∣+∣AC∣{|AB| + |AC|} toplamıyla karşılaştırmış; yüz ölçümün hepsinde soldaki toplam daha küçük çıkmıştır. Bu ölçümlerden dördü tabloda verilmiştir.Öğrenci ölçümlerin sonunda şu önermeyi yazıyor: "Bir üçgenin içindeki her D noktası için ∣DB∣+∣DC∣<∣AB∣+∣AC∣{|DB| + |DC| < |AB| + |AC|} olur."
Dört ölçümün sonucunu taşıyan tablo Üç sütunlu tablo: Ölçüm, DB ile DC uzunluklarının toplamı, AB ile AC uzunluklarının toplamı. Birinci ölçümde 11,3 ve 16; ikinci ölçümde 14,8 ve 16; üçüncü ölçümde 9,6 ve 16; dördüncü ölçümde 15,2 ve 16 santimetredir. Ölçüm |DB| + |DC| |AB| + |AC| 1 11,3 cm 16 cm 2 14,8 cm 16 cm 3 9,6 cm 16 cm 4 15,2 cm 16 cm
  1. a)
    Bu yüz ölçüm, önermenin üçgenin içindeki her nokta için doğru olduğunu kanıtlar mı? Cevabınızı gerekçesiyle yazınız.(6 puan)
  2. b)
    Aynı öğrenci başka bir önermeyi sınarken yüz ölçümün yalnız birinde eşitsizliğin sağlanmadığını görüyor. Bu tek ölçüm o önerme için ne söyler? Yazınız.(4 puan)
Çözümü göster
Soru 35Yeni nesilAçık uçlu10 puanOrta, zorluk 6 / 10
Bir vincin kolu A noktasında birleşen iki parçadan oluşur: ∣AB∣=5{|AB| = 5} m ve ∣AC∣=7{|AC| = 7} m uzunlukları değişmez. Kol, A noktasındaki açı büyütülerek açılır. Şekilde kolun iki konumu verilmiştir.
Vinç kolunun iki konumu İki panel yan yana verilmiştir. Her panelde bir vinç kolunun kesiti üçgen olarak çizilmiştir: A köşesinden çıkan iki kol 5 ve 7 metredir. Birinci konumda kollar arasındaki açı 40 derece, ikinci konumda 95 derecedir; kolların uçları arasındaki açıklık ikinci konumda daha büyüktür. 40° 5 m 7 m A B C 1. konum 95° 5 m 7 m A B C 2. konum
  1. a)
    A noktasındaki açının ölçüsü büyüdükçe uçlar arasındaki ∣BC∣{|BC|} uzaklığı artar mı, azalır mı? Hesap yapmadan, gerekçesiyle yazınız.(6 puan)
  2. b)
    Kol ne kadar açılırsa açılsın ∣BC∣{|BC|} uzaklığının ulaşamayacağı değer kaç metredir? Bu değeri yazınız ve nedenini açıklayınız.(4 puan)
Çözümü göster
Soru 36Yeni nesilÇoktan seçmeli9 puanİleri, zorluk 9 / 10
Şekilde A, B ve C kasabalarını birbirine bağlayan yollar gösterilmiştir. Yollar düz olup A ile B arası 12{12} km, B ile C arası 8{8} km'dir. A ile C arasındaki yolun uzunluğu ölçülmemiştir ve üç kasaba aynı doğru üzerinde değildir.Buna göre aşağıdaki ifadelerden hangisi kesinlikle yanlıştır?
Üç kasaba arasındaki yollar Üç kasaba A, B ve C bir üçgenin köşeleri olarak çizilmiştir: A solda, B sağda, C üsttedir. A ile B arasındaki yol 12 kilometre, B ile C arasındaki yol 8 kilometredir. A ile C arasındaki yolun uzunluğu soru işaretiyle gösterilmiştir. 12 km 8 km ? A B C
  1. AA ile C arası 20 km'dir.
  2. BA ile C arası 5 km'dir.
  3. CC kasabası A'ya B'den daha yakındır.
  4. DA ile C arası, B ile C arasının iki katıdır.
  5. EÜçgenin en uzun kenarı [AB] yoludur.
Çözümü göster
Soru 37KavramÇoktan seçmeli5 puanOrta, zorluk 4 / 10
Bir öğrenci "Bir üçgenin iç açılarından en çok biri dik ya da geniş olabilir." önermesini ispatlamak için şöyle başlıyor:I. Üçgenin iç açılarından ikisinin de ölçüsü 90∘{90^{\circ}} ya da daha büyük olsun.II. O hâlde yalnız bu iki açının ölçüleri toplamı en az 180∘{180^{\circ}} olur.Buna göre öğrencinin III. adımda yazması gereken cümle aşağıdakilerden hangisidir?
  1. AÜçüncü açının ölçüsü 90 dereceden azdır.
  2. BÜçüncü açının ölçüsü 0 dereceye eşittir.
  3. CÜçüncü açıya pozitif bir ölçü kalmaz.
  4. DÜçgenin dış açıları toplamı 360 derecedir.
  5. EBu iki açının ölçüleri birbirine eşittir.
Çözümü göster
Soru 38KavramÇoktan seçmeli3 puanKolay, zorluk 3 / 10
Bir öğrenci herhangi bir ABC üçgeni için şu üç adımı yazmıştır:I. m(A^)+m(B^)+m(C^)=180∘\text{m}(\widehat{A}) + \text{m}(\widehat{B}) + \text{m}(\widehat{C}) = 180^{\circ} (Gerekçe: bir üçgenin iç açılarının ölçüleri toplamı)II. m(C^)>0∘{\text{m}(\widehat{C}) > 0^{\circ}} (Gerekçe: bir açının ölçüsü pozitiftir)III. m(A^)+m(B^)=180∘−m(C^)\text{m}(\widehat{A}) + \text{m}(\widehat{B}) = 180^{\circ} - \text{m}(\widehat{C}) (Gerekçe: I. adım)Buna göre bu üç adım aşağıdaki ifadelerden hangisini ispatlar?
  1. AÜçgenin dış açıları toplamı 360 derecedir.
  2. Bİki iç açının toplamı 180 dereceden azdır.
  3. CHer iç açının ölçüsü 60 dereceden azdır.
  4. Dİki iç açının toplamı üçüncüsüne eşittir.
  5. EÜçgende en az iki açı dar açıdır.
Çözümü göster
Soru 39KavramÇoktan seçmeli5 puanOrta, zorluk 5 / 10
Şekilde MNP üçgeninin [NP]{[NP]} kenarı P noktasının ötesine uzatılmış, uç R ile adlandırılmıştır; P köşesindeki dış açının ölçüsü x{x} ile gösterilmiştir. Bir öğrenci "Bir üçgende bir dış açının ölçüsü, kendisine komşu olmayan iç açıların her birinin ölçüsünden büyüktür." önermesini şöyle ispatlamaktadır:I. x=m(M^)+m(N^){x = \text{m}(\widehat{M}) + \text{m}(\widehat{N})} (Gerekçe: bir dış açının ölçüsü, kendisine komşu olmayan iki iç açının ölçüleri toplamına eşittir)II. m(M^)>0∘{\text{m}(\widehat{M}) > 0^{\circ}} ve m(N^)>0∘{\text{m}(\widehat{N}) > 0^{\circ}} (Gerekçe: bir açının ölçüsü pozitiftir)III. ? (Gerekçe: I. ve II. adımlar)Buna göre III. adıma yazılması gereken ifade aşağıdakilerden hangisidir?
MNP üçgeni ve P köşesindeki dış açı MNP üçgeninde M köşesi üstte, N solda, P sağdadır. NP kenarı P noktasının ötesine uzatılmış ve uç R ile adlandırılmıştır. M ile N köşelerindeki iç açılar birer yayla işaretlenmiştir. P köşesinde PM kenarı ile PR ışını arasında kalan dış açının ölçüsü x ile gösterilmiştir. Şekilde sayı yazmıyor. x M N P R
  1. Ax>m(M^)+m(N^)\displaystyle x > \text{m}(\widehat{M}) + \text{m}(\widehat{N})
  2. Bx<m(M^) ve x<m(N^)\displaystyle x < \text{m}(\widehat{M}) \text{ ve } x < \text{m}(\widehat{N})
  3. Cx+m(M^)=180∘\displaystyle x + \text{m}(\widehat{M}) = 180^{\circ}
  4. Dx>m(M^) ve x>m(N^)\displaystyle x > \text{m}(\widehat{M}) \text{ ve } x > \text{m}(\widehat{N})
  5. Ex=180∘−m(N^)\displaystyle x = 180^{\circ} - \text{m}(\widehat{N})
Çözümü göster
Soru 40KavramAçık uçlu10 puanOrta, zorluk 6 / 10
Şekilde ABC üçgeninin A köşesinden çıkan [AD]{[AD]} doğru parçası, [BC]{[BC]} kenarını B ile C arasındaki D noktasında kesmektedir. Açı ölçüleri şekilde verilmiştir.Buna göre aşağıdaki soruları cevaplayınız.
Tabanına çevriyan çizilmiş ABC üçgeni ABC üçgeninde A köşesi üstte, B solda, C sağdadır. A köşesinden çıkan AD doğru parçası BC kenarını, B ile C arasındaki D noktasında keser. B köşesindeki açının ölçüsü 54 derece, A köşesinde AB ile AD arasındaki açının ölçüsü 39 derece, C köşesindeki açının ölçüsü 47 derecedir. 54° 39° 47° A B C D
  1. a)
    AD^C{A\widehat{D}C} açısının ABD üçgeninin bir dış açısı olduğunu kullanarak ölçüsünü bulunuz; kullandığınız gerekçeyi de yazınız.(4 puan)
  2. b)
    Aynı gerekçeyi bu kez ACD üçgenine taşıyarak DA^C{D\widehat{A}C} açısının ölçüsünü bulunuz.(6 puan)
Çözümü göster
Soru 41KavramÇoktan seçmeli3 puanKolay, zorluk 3 / 10
Bir öğrenci "Bir üçgenin iç açılarının ölçüleri toplamının 180∘{180^{\circ}} olması bir tanımdır; bunun ispatı yapılmaz." demiştir. Oysa bu teorem sınıfta ispatlanmıştır: üçgenin bir köşesinden karşı kenara paralel bir doğru çizilmiş, sonra iç ters açıların ölçülerinin eşitliği kullanılmıştır.Buna göre bu ispattaki yardımcı çizimin yapılabilmesini sağlayan kabul aşağıdakilerden hangisidir?
  1. ADış bir noktadan tek bir paralel geçer.
  2. BDoğru açının ölçüsü 180 derecedir.
  3. CTers açıların ölçüleri eşittir.
  4. Dİkizkenarda taban açıları eştir.
  5. EDik açının ölçüsü 90 derecedir.
Çözümü göster
Soru 42SözelÇoktan seçmeli5 puanOrta, zorluk 5 / 10
Bir kamp çadırının kesiti şekildeki gibi bir üçgendir. İki direk eşit uzunluktadır ve şekilde birer çentikle işaretlenmiştir. Bir öğrenci, bir direğin yerle yaptığı açının ölçüsünü 66{66} derece bulmuştur. Öğrencinin bu hesapta kullandığı bilgilerden biri, bir üçgenin iç açılarının ölçüleri toplamının 180∘{180^{\circ}} olmasıdır.Buna göre öğrencinin kullandığı ikinci bilgi aşağıdakilerden hangisidir?
Kamp çadırının kesiti Bir kamp çadırının kesiti üçgen olarak çizilmiştir. Üstteki köşe A, direklerin yere değdiği noktalar B ve C ile gösterilmiştir. İki direk birer çentikle eş uzunlukta işaretlenmiştir. Tepedeki açının ölçüsü 48 derecedir; taban açılarında yay yoktur. 48° A B C
  1. ATepe açısı taban açılarından küçüktür.
  2. BTaban açıları şekilde altta duran açılardır.
  3. CDış açı komşu olmayan iki açıya eşittir.
  4. DBir dış açı ile komşu iç açı bütünlerdir.
  5. EEşit kenarların karşısındaki açılar eştir.
Çözümü göster
Soru 43KavramÇoktan seçmeli5 puanOrta, zorluk 5 / 10
Kenar uzunlukları a{a}, b{b} ve c{c} birim olan bir üçgende üçgen eşitsizliği üç kez yazılabilir: a<b+c{a < b + c}, b<a+c{b < a + c} ve c<a+b{c < a + b}. Bir öğrenci bu üç eşitsizliğin yalnız bir üst sınır değil bir alt sınır da verdiğini göstermek istiyor. Son iki eşitsizliği a{a} yalnız kalacak biçimde düzenliyor ve b−c<a{b - c < a} ile c−b<a{c - b < a} bağıntılarını elde ediyor.Buna göre bu iki bağıntı birlikte a{a} için aşağıdakilerden hangisini verir?
  1. Aa<∣b−c∣\displaystyle a < |b - c|
  2. B∣b−c∣<a\displaystyle |b - c| < a
  3. C∣b−c∣≤a\displaystyle |b - c| \leq a
  4. Db+c<a\displaystyle b + c < a
  5. E∣b−c∣<b+c\displaystyle |b - c| < b + c
Çözümü göster
Soru 44KavramÇoktan seçmeli5 puanOrta, zorluk 4 / 10
Üç uzunluğun bir üçgenin kenar uzunlukları olup olamayacağına karar verirken üçgen eşitsizliğinin üç kez yazılması gerekir. Bir öğretmen, uzunluklar küçükten büyüğe sıralandıktan sonra tek bir karşılaştırmanın yettiğini söylüyor: en kısa iki uzunluğun toplamı en uzun uzunluktan büyükse üçgen kurulabilir.Buna göre bu tek karşılaştırmanın yetmesinin gerekçesi aşağıdakilerden hangisidir?
  1. AHerhangi bir eşitsizliğin sağlanması yeter.
  2. BEşitsizlik yalnız en uzun kenar içindir.
  3. CÜç uzunluğun toplamı çevreye eşittir.
  4. DÖteki iki eşitsizlik kendiliğinden sağlanır.
  5. EEn kısa iki uzunluk birbirine eşittir.
Çözümü göster
Soru 45KavramKısa cevap4 puanKolay, zorluk 3 / 10
Uzunlukları 5{5} cm, 7{7} cm ve 12{12} cm olan üç çubuk uç uca eklenmiştir. Bir öğrenci bunlarla bir üçgen kurmaya çalışmış, çubukların üst üste yattığını görmüştür. Bu durumda 5{5} cm ile 7{7} cm uzunluğundaki çubukların birleştiği yerde bir açı oluşur.Buna göre bu açının ölçüsü kaç derecedir?
Çözümü göster
Soru 46KavramÇoktan seçmeli5 puanOrta, zorluk 6 / 10
Bir öğrenci kâğıda beş ayrı üçgen çizmiş, her üçgenin üç iç açısını iletkiyle ölçmüş ve ölçtüğü değerleri toplamıştır. Sonuçlar tabloda verilmiştir. Öğrenci, beş üçgenin üçünde toplamın 180∘{180^{\circ}} çıkmadığını görünce "Demek ki iç açıların ölçüleri toplamı her üçgende 180∘{180^{\circ}} değilmiş." demiştir.Buna göre öğrencinin bu çıkarımı için aşağıdakilerden hangisi söylenebilir?
Beş üçgende ölçülen iç açı toplamları İki sütunlu tablo: Üçgen, Ölçülen toplam. Birinci üçgende 180,0 derece, ikinci üçgende 179,6 derece, üçüncü üçgende 180,4 derece, dördüncü üçgende 180,0 derece, beşinci üçgende 179,8 derecedir. Üçgen Ölçülen toplam 1 180,0° 2 179,6° 3 180,4° 4 180,0° 5 179,8°
  1. ADoğrudur; ölçümler teoremi yanlışlar.
  2. BTeorem yalnız düzgün çizimlerde geçerlidir.
  3. CYanlıştır; sapmalar ölçme payından gelir.
  4. DOrtalama alınırsa teorem ispatlanmış olur.
  5. EBeş ölçüm teoremi ispatlamaya yeter.
Çözümü göster
Soru 47KavramÇoktan seçmeli5 puanOrta, zorluk 6 / 10
Şekilde ABC ve DEF üçgenleri aynı ölçekte çizilmiştir. Her üçgende bir açının ölçüsü ve o açının karşısındaki kenarın uzunluğu verilmiştir. Bir öğrenci şu çıkarımı yapıyor: "Büyük açının karşısındaki kenar daha uzundur; m(A^)>m(D^){\text{m}(\widehat{A}) > \text{m}(\widehat{D})} olduğuna göre ∣BC∣>∣EF∣{|BC| > |EF|} olmalıdır."Buna göre bu çıkarımın geçersiz olmasının sebebi aşağıdakilerden hangisidir?
Aynı ölçekte çizilmiş iki ayrı üçgen İki panel aynı ölçekte yan yana verilmiştir. Solda ABC üçgeni vardır: A köşesindeki açı 90 derece, karşısındaki BC kenarı 10 santimetredir. Sağda DEF üçgeni vardır: D köşesindeki açı 60 derece, karşısındaki EF kenarı 13 santimetredir. Sağdaki üçgen soldakinden büyüktür. 90° 10 cm A B C ABC üçgeni 60° 13 cm D E F DEF üçgeni
  1. ADoğrudur; büyük açı uzun kenar verir.
  2. Bİlişki yalnız aynı üçgenin içinde kurulur.
  3. CÇıkarım yalnız ikizkenarda bozulur.
  4. Dİki üçgenin açıları eşit olmalıydı.
  5. EŞekil yanlış çizildiği için bozulmuştur.
Çözümü göster
Soru 48KavramAçık uçlu15 puanZor, zorluk 8 / 10
Şekilde kenar uzunlukları santimetre cinsinden verilen bir ABC üçgeni vardır. Bir öğrenci "Her üçgende çevre, en uzun kenarın uzunluğunun iki katından büyüktür." önermesini yazmıştır.Buna göre aşağıdaki soruları cevaplayınız.
Üç kenarı verilen ABC üçgeni ABC üçgeninde A solda, B sağda, C üsttedir. AB kenarı 9 santimetre, BC kenarı 11 santimetre, CA kenarı 6 santimetredir. 9 cm 11 cm 6 cm A B C
  1. a)
    Şekildeki üçgenin çevresini bulunuz ve önermenin bu üçgende doğrulandığını gösteriniz.(5 puan)
  2. b)
    Kenar uzunlukları a{a}, b{b} ve c{c} birim olan ve en uzun kenarının uzunluğu a{a} olan her üçgende çevrenin 2a{2a} sayısından büyük olduğunu üçgen eşitsizliğini kullanarak gösteriniz.(10 puan)
Çözümü göster
Soru 49KavramÇoktan seçmeli3 puanKolay, zorluk 2 / 10
Bir öğrenci "Bir üçgende her dış açının ölçüsü, her iç açının ölçüsünden büyüktür." iddiasını yazmıştır. Bu iddianın yanlış olduğunu göstermek için tek bir karşı örnek yeterlidir.Buna göre iç açılarının ölçüleri aşağıdakilerden hangisi olan üçgen bu iddiaya karşı örnek olur?
  1. A50∘,60∘,70∘\displaystyle 50^{\circ}, 60^{\circ}, 70^{\circ}
  2. B40∘,65∘,75∘\displaystyle 40^{\circ}, 65^{\circ}, 75^{\circ}
  3. C30∘,70∘,80∘\displaystyle 30^{\circ}, 70^{\circ}, 80^{\circ}
  4. D20∘,60∘,100∘\displaystyle 20^{\circ}, 60^{\circ}, 100^{\circ}
  5. E35∘,60∘,85∘\displaystyle 35^{\circ}, 60^{\circ}, 85^{\circ}
Çözümü göster
Soru 50KavramÇoktan seçmeli3 puanKolay, zorluk 3 / 10
Şekildeki KPR üçgeninde ∣KP∣=∣KR∣{|KP| = |KR|}dir ve eş kenarlar birer çentikle işaretlenmiştir. Bir öğrenci "Şekilde altta duran iki açı taban açılarıdır; bu yüzden ölçüleri eşittir." demiştir.Buna göre bu üçgende ölçüleri kesinlikle eşit olan açılar aşağıdakilerden hangisidir?
Yatık duran ikizkenar KPR üçgeni KPR üçgeni yan yatık çizilmiştir: K köşesi solda altta, P köşesi sağda altta, R köşesi yukarıdadır. KP ile KR kenarları birer çentikle eş uzunlukta işaretlenmiştir. Şekilde ölçü yazmıyor. K P R
  1. Am(P^)=m(R^)\displaystyle \text{m}(\widehat{P}) = \text{m}(\widehat{R})
  2. Bm(K^)=m(P^)\displaystyle \text{m}(\widehat{K}) = \text{m}(\widehat{P})
  3. Cm(K^)=m(R^)\displaystyle \text{m}(\widehat{K}) = \text{m}(\widehat{R})
  4. DÜç açının ölçüsü de eşittir.
  5. EÖlçüleri eşit açı çifti yoktur.
Çözümü göster
Soru 51KavramAçık uçlu10 puanOrta, zorluk 4 / 10
Şekilde üç kenarının uzunlukları birbirine eşit olan bir EFG üçgeni verilmiştir. İkizkenar üçgenlerde eş kenarların karşısındaki açıların ölçülerinin eşit olduğu daha önce gösterilmiştir.Buna göre aşağıdaki soruları cevaplayınız.
Üç kenarı eş olan EFG üçgeni EFG üçgeninde F köşesi üstte, E solda, G sağdadır. Üç kenar da birer çentikle eş uzunlukta işaretlenmiştir. Şekilde ölçü ve açı yayı yoktur. E F G
  1. a)
    Bu gerekçeyi EFG üçgeninde iki kez kullanarak üç açının ölçülerinin eşit olduğunu gösteriniz.(6 puan)
  2. b)
    Üç açının ölçüsünün kaçar derece olduğunu bulunuz ve bu sonucu neyin verdiğini yazınız.(4 puan)
Çözümü göster
Soru 52KavramÇoktan seçmeli5 puanOrta, zorluk 5 / 10
Şekilde [AC]{[AC]} ile [BD]{[BD]} doğru parçaları E noktasında kesişmektedir; ayrıca [AB]{[AB]} ve [CD]{[CD]} çizilmiştir. Bir öğrenci, iç açıların ölçüleri toplamı teoremini ABE ve CDE üçgenlerinin ikisine birden uygulamak ve E köşesindeki iki açının ters açı olduğunu kullanmak istiyor.Buna göre bu şekilde her zaman doğru olan eşitlik aşağıdakilerden hangisidir?
E noktasında kesişen iki doğru parçası A solda üstte, B solda altta, C sağda altta, D sağda üsttedir. A ile C ve B ile D birer doğru parçasıyla birleştirilmiş; bu parçalar E noktasında kesişir. AB ve CD de çizilidir. Şekil çarpıktır: AB ile CD ne eşit ne paraleldir, E köşegenleri ortalamaz. Köşe açıları yayla işaretli, ölçü yazmıyor. A B C D E
  1. Am(A^)=m(C^)\displaystyle \text{m}(\widehat{A}) = \text{m}(\widehat{C})
  2. Bm(A^)+m(C^)=m(B^)+m(D^)\displaystyle \text{m}(\widehat{A}) + \text{m}(\widehat{C}) = \text{m}(\widehat{B}) + \text{m}(\widehat{D})
  3. Cm(A^)+m(B^)+m(C^)+m(D^)=180∘\displaystyle \text{m}(\widehat{A}) + \text{m}(\widehat{B}) + \text{m}(\widehat{C}) + \text{m}(\widehat{D}) = 180^{\circ}
  4. Dm(A^)+m(B^)=180∘\displaystyle \text{m}(\widehat{A}) + \text{m}(\widehat{B}) = 180^{\circ}
  5. Em(A^)+m(B^)=m(C^)+m(D^)\displaystyle \text{m}(\widehat{A}) + \text{m}(\widehat{B}) = \text{m}(\widehat{C}) + \text{m}(\widehat{D})
Çözümü göster
Soru 53SözelÇoktan seçmeli5 puanOrta, zorluk 6 / 10
Bir üçgenin çevresi 34{34} cm olup üç kenarının uzunlukları santimetre cinsinden birer tam sayıdır. Bir öğrenci, daha önce her üçgende çevrenin en uzun kenar uzunluğunun iki katından büyük olduğunu ispatlamıştır ve bu önermeyi burada kullanacaktır.Buna göre bu üçgenin en uzun kenarının uzunluğu en çok kaç santimetre olabilir?
  1. A11\displaystyle 11
  2. B15\displaystyle 15
  3. C16\displaystyle 16
  4. D17\displaystyle 17
  5. E18\displaystyle 18
Çözümü göster
Soru 54KavramAçık uçlu15 puanZor, zorluk 8 / 10
Şekilde ABC üçgeninin B ve C köşelerindeki açıların açıortayları üçgenin içindeki N noktasında kesişmektedir. A köşesindeki açının ölçüsü şekilde verilmiştir.Buna göre aşağıdaki soruları cevaplayınız.
İki açıortayın kesiştiği N noktası ABC üçgeninde A üstte, B solda, C sağdadır; A köşesindeki açı 50 derecedir. B ve C köşelerinden çıkan açıortaylar üçgenin içindeki N noktasında kesişir. B köşesindeki iki eş açı tek yayla, C köşesindeki iki eş açı çift yayla işaretlidir. N köşesindeki BNC açısı x ile gösterilmiştir. 50° x A B C N
  1. a)
    Şekildeki x{x} ölçüsünü bulunuz; her adımın gerekçesini de yazınız.(6 puan)
  2. b)
    A köşesindeki açının ölçüsü α{\alpha} olan her üçgende aynı yolu izleyerek x{x} ölçüsünün hangi ifadeye eşit olduğunu gösteriniz.(9 puan)
Çözümü göster
Soru 55İşlemKısa cevap8 puanZor, zorluk 8 / 10
Şekilde ABC üçgeninin B köşesindeki açının açıortayı ile C köşesindeki dış açının açıortayı, üçgenin dışındaki P noktasında kesişmektedir; [BC]{[BC]} kenarı C noktasının ötesine T noktasına kadar uzatılmıştır. Daha önce iki iç açıortayın kesiştiği noktadaki açının ölçüsünün 90+α2{90 + \dfrac{\alpha}{2}} olduğu, iç açı toplamı teoremi iki kez kullanılarak gösterilmişti.Aynı yol bu şekle uyarlandığında x{x} kaç derece bulunur?
İç açıortay ile dış açıortayın kesişmesi ABC üçgeninde A üstte, B solda, C sağdadır; A köşesindeki açı 64 derecedir. BC kenarı C ötesine uzatılmış, uç T adını almıştır. B köşesinin açıortayı ile C köşesindeki dış açının açıortayı, üçgenin sağ dışındaki P noktasında kesişir. Eş açılar yaylıdır; BPC açısı x ile gösterilmiştir. 64° x A B C T P
Çözümü göster
Soru 56KavramÇoktan seçmeli5 puanOrta, zorluk 6 / 10
Üçgen biçimli bir kâğıdın A köşesi, [DE]{[DE]} boyunca katlanarak [BC]{[BC]} kenarı üzerindeki A′{A'} noktasına getirilmiştir; burada D∈[AB]{D \in [AB]} ve E∈[AC]{E \in [AC]}'dir. Şekilde kâğıdın katlanmadan önceki ve sonraki hâli verilmiş, kıvrım çizgisi kesikli gösterilmiştir. Bir öğrenci katlamanın ürettiği eşlikler için şunları yazıyor:I. ∣AD∣=∣A′D∣{|AD| = |A'D|}II. ∣BD∣=∣DA′∣{|BD| = |DA'|}III. m(AD^E)=m(A′D^E){\text{m}(A\widehat{D}E) = \text{m}(A'\widehat{D}E)}Buna göre bu ifadelerden hangileri her zaman doğrudur?
Üçgen biçimli kâğıdın tabana katlanması İki panel yan yana verilmiştir. Solda ABC üçgeni vardır: A tepede, B solda, C sağdadır ve A köşesindeki açı 60 derecedir. AB üzerinde D, AC üzerinde E işaretlenmiş, DE kesikli çizilmiştir. Sağda kâğıdın DE boyunca katlanmış hâli vardır: A köşesi BC kenarı üzerindeki A üssü noktasına oturmuştur. 60° A B C D E Önce B C D E A' Sonra
  1. AYalnız I
  2. BI ve II
  3. CI ve III
  4. DII ve III
  5. EI, II ve III
Çözümü göster
Soru 57KavramÇoktan seçmeli5 puanOrta, zorluk 6 / 10
Şekilde ABC üçgeninin [AB]{[AB]} kenarı B noktasının ötesine uzatılmış, uç T ile adlandırılmıştır. Ölçüler şekilde verilmiştir. Bir öğrenci m(C^){\text{m}(\widehat{C})} ölçüsünü bulmak için şu adımları yazmıştır:I. m(AB^C)+m(CB^T)=180∘{\text{m}(A\widehat{B}C) + \text{m}(C\widehat{B}T) = 180^{\circ}} (Gerekçe: A, B ve T doğrusal olduğundan bu iki açı bütünlerdir)II. m(CB^T)=m(A^)+m(AB^C){\text{m}(C\widehat{B}T) = \text{m}(\widehat{A}) + \text{m}(A\widehat{B}C)} (Gerekçe: bir dış açının ölçüsü, kendisine komşu olmayan iki iç açının ölçüleri toplamına eşittir)III. 130∘=55∘+m(AB^C){130^{\circ} = 55^{\circ} + \text{m}(A\widehat{B}C)} (Gerekçe: II. adım)IV. m(C^)=180∘−55∘−75∘=50∘{\text{m}(\widehat{C}) = 180^{\circ} - 55^{\circ} - 75^{\circ} = 50^{\circ}} (Gerekçe: iç açıların ölçüleri toplamı)Buna göre ilk hatalı adım hangisidir?
ABC üçgeni ve B köşesindeki dış açı ABC üçgeninde A köşesi üstte, B solda altta, C sağdadır. AB kenarı B noktasının ötesine uzatılmış ve uç T ile adlandırılmıştır. A köşesindeki açının ölçüsü 55 derecedir. B köşesinde BC kenarı ile BT ışını arasında kalan dış açının ölçüsü 130 derecedir. 55° 130° A B C T
  1. AI\displaystyle \text{I}
  2. BII\displaystyle \text{II}
  3. CIII\displaystyle \text{III}
  4. DIV\displaystyle \text{IV}
  5. EAdımların hepsi doğrudur
Çözümü göster
Soru 58KavramAçık uçlu15 puanZor, zorluk 7 / 10
İç açıların ölçüleri toplamı teoremi, üçgenin bir köşesinden karşı kenara paralel bir doğru çizilerek ispatlanmıştı. Şekilde aynı fikir başka bir köşeye taşınmıştır: [BC]{[BC]} kenarı C noktasının ötesine D noktasına kadar uzatılmış ve C noktasından [AB]{[AB]} kenarına paralel olan [CE]{[CE]} ışını çizilmiştir.Buna göre aşağıdaki soruları cevaplayınız.
C köşesinden çizilen paralel ışın ABC üçgeninde A köşesi üstte, B solda, C sağdadır. BC kenarı C noktasının ötesine uzatılmış, uç D ile adlandırılmıştır. C noktasından AB kenarına paralel olan bir ışın çizilmiş, ucu E ile adlandırılmıştır. Şekilde ölçü yazmıyor. A B C D E
  1. a)
    AC^E{A\widehat{C}E} ile EC^D{E\widehat{C}D} açılarının hangi iç açılara eşit olduğunu, her biri için gerekçesini yazarak belirtiniz.(6 puan)
  2. b)
    Bu iki eşitliği kullanarak C köşesindeki dış açının ölçüsünün, kendisine komşu olmayan iki iç açının ölçüleri toplamına eşit olduğunu gösteriniz.(5 puan)
  3. c)
    Aynı ispat, paralel ışın C köşesi yerine B köşesinden çizilerek de yapılabilir mi? Cevabınızı gerekçesiyle yazınız.(4 puan)
Çözümü göster
Soru 59KavramÇoktan seçmeli5 puanOrta, zorluk 6 / 10
Şekilde ABC üçgeninin içinde bir D noktası alınmış, D noktası B ve C köşeleriyle birleştirilmiştir. Ayrıca A noktasından D üzerinden geçen doğru parçası [BC]{[BC]} kenarını E noktasında kesmektedir. Açı ölçüleri şekilde verilmiştir. Bir öğrenci dış açı teoremini önce ABD, sonra ACD üçgeninde kullanmak istiyor.Buna göre x{x} ile y{y} arasındaki bağıntı aşağıdakilerden hangisidir?
Üçgenin içindeki D noktası ve uzatma ABC üçgeninde A üstte, B solda, C sağdadır. İçerideki D noktası B ve C ile birleştirilmiştir. A noktasından D üzerinden geçen parça BC kenarını E noktasında keser. B köşesindeki ABD açısı 20, C köşesindeki DCA açısı 25 derecedir. A köşesindeki açı y, BDC açısı x ile gösterilmiştir. y 20° 25° x A B C D E
  1. Ax=y−45∘\displaystyle x = y - 45^{\circ}
  2. Bx=180∘−y\displaystyle x = 180^{\circ} - y
  3. Cx=y+90∘\displaystyle x = y + 90^{\circ}
  4. Dx=y+45∘\displaystyle x = y + 45^{\circ}
  5. Ex=2y+45∘\displaystyle x = 2y + 45^{\circ}
Çözümü göster
Soru 60KavramÇoktan seçmeli5 puanOrta, zorluk 6 / 10
Ok biçimli bir şekilde, A ile D birleştirilip [AD]{[AD]} doğru parçası D noktasının ötesine uzatılarak x=a+b+c{x = a + b + c} bağıntısı ispatlanmıştı: uzatma ışını x{x} açısını iki parçaya böler ve her parça bir üçgende dış açı olduğundan iki iç açının ölçüleri toplamına eşittir. Şekilde ise D noktası ABC üçgeninin dışına, B ile C noktalarını birleştiren doğrunun öte yanına alınmıştır.Buna göre bu şekilde aynı ispatın yürümemesinin sebebi aşağıdakilerden hangisidir?
D köşesi dışarıda kalan ABDC dörtgeni Dörtgenin A köşesi üstte, B solda, C sağdadır; D köşesi B ile C noktalarını birleştiren doğrunun altında, yani ABC üçgeninin dışındadır. Çizili kenarlar AB, BD, DC ve CA olup B ile C birleştirilmemiştir. A köşesindeki açı a, ABD açısı b, DCA açısı c, BDC açısı x ile gösterilmiştir. a b c x A B C D
  1. AUzatma ışını iki kolun arasında kalmaz.
  2. Bİç açı toplamı teoremi geçersiz olur.
  3. CDış açı bağıntısı dar açıda geçerlidir.
  4. DA ile D birleştirilemez.
  5. EŞekilde üçgen kalmadığı için ispat yürümez.
Çözümü göster
Soru 61KavramAçık uçlu20 puanİleri, zorluk 10 / 10
Şekilde dışbükey bir ABCD dörtgeni ile [AC]{[AC]} ve [BD]{[BD]} köşegenleri verilmiştir. Üçgen eşitsizliği yalnız üçgenler için yazılır; buradaki amaç aynı eşitsizliği dörtgene taşıyarak köşegen uzunlukları toplamı ile çevreyi karşılaştırmaktır.Buna göre aşağıdaki soruları cevaplayınız.
Köşegenleri çizilmiş ABCD dörtgeni Dışbükey bir ABCD dörtgeni çizilmiştir: A solda üstte, B solda altta, C sağda altta, D sağda üsttedir. Dört kenarın yanı sıra AC ve BD köşegenleri de çizilmiştir. Şekilde ölçü yazmıyor. A B C D
  1. a)
    Üçgen eşitsizliğini ABC ve ACD üçgenlerinde kullanarak ∣AC∣{|AC|} uzunluğu için iki eşitsizlik yazınız.(5 puan)
  2. b)
    Aynı yolu [BD]{[BD]} köşegeni için tekrarlayarak iki eşitsizlik daha yazınız.(4 puan)
  3. c)
    Dört eşitsizliği taraf tarafa toplayarak köşegen uzunlukları toplamının dörtgenin çevresinden küçük olduğunu gösteriniz.(7 puan)
  4. ç)
    Çevresi 30{30} birim olan dışbükey bir dörtgende köşegen uzunlukları toplamı birim cinsinden bir tam sayı ise en çok kaç olabilir?(4 puan)
Çözümü göster
Soru 62KavramÇoktan seçmeli7 puanZor, zorluk 8 / 10
Şekilde [PQ]/ ⁣ ⁣/[RS]{[PQ] \mathrel{/\!\!/} [RS]}'dir. Üst doğru üzerindeki A noktasından çıkan yol, iki doğrunun arasındaki B ve C noktalarında kırılarak alt doğru üzerindeki D noktasına iner. Açılar şekilde gösterilmiştir. Tek kırılmalı bir yolda, kırılma noktasından çizilen paralel doğru yardımıyla kırılma açısının iki açının ölçüleri toplamına eşit olduğu gösterilmişti.Aynı yol iki kırılma noktası için izlendiğinde elde edilen bağıntı aşağıdakilerden hangisidir?
İki paralel doğru arasında iki kırılmalı yol Üstte P ve Q, altta R ve S uçlu iki paralel doğru vardır. Yol, üstteki A noktasından B ve C kırılma noktaları üzerinden alttaki D noktasına iner. Üst doğrunun sol kolu ile AB arasındaki açı alfa, B köşesindeki açı x, C köşesindeki açı y, DC ile alt doğrunun sağ kolu arasındaki açı betadır. α x y β P A Q R D S B C
  1. Ax+y=α+β\displaystyle x + y = \alpha + \beta
  2. Bx=y\displaystyle x = y
  3. Cx+y+α+β=360∘\displaystyle x + y + \alpha + \beta = 360^{\circ}
  4. Dx−y=α+β\displaystyle x - y = \alpha + \beta
  5. Ex+β=y+α\displaystyle x + \beta = y + \alpha
Çözümü göster
Soru 63KavramAçık uçlu20 puanİleri, zorluk 9 / 10
Şekilde tepe açısının ölçüsü α{\alpha} derece olan bir ikizkenar LMN üçgeni verilmiştir; ∣LM∣=∣LN∣{|LM| = |LN|}'dir. İkizkenar üçgenlerde taban açılarının ölçüleri sayıyla verildiğinde nasıl bulunduğu daha önce gösterilmişti; burada aynı yol harfle yürütülecektir.Buna göre aşağıdaki soruları cevaplayınız.
Tepe açısı harfle verilen ikizkenar üçgen LMN üçgeninde L köşesi üstte, M solda, N sağdadır. LM ile LN kenarları birer çentikle eş uzunlukta işaretlenmiştir. L köşesindeki açının ölçüsü alfa ile gösterilmiştir; taban açılarında yay ya da ölçü yoktur. α L M N
  1. a)
    Taban açılarının ölçüsünü α{\alpha} cinsinden bulunuz; kullandığınız gerekçeleri de yazınız.(6 puan)
  2. b)
    Bu bağıntının bir üçgen vermesi için α{\alpha} sayısının hangi aralıkta olması gerektiğini yazınız ve nedenini açıklayınız.(7 puan)
  3. c)
    α=120{\alpha = 120} alındığında taban açılarının ölçüsünü bulunuz ve böyle bir üçgenin çizilip çizilemeyeceğini söyleyiniz.(7 puan)
Çözümü göster
Soru 64Yeni nesilÇoktan seçmeli5 puanOrta, zorluk 6 / 10
Bir doğa parkındaki A, B ve C gözlem kuleleri şekildeki gibi bir üçgenin köşelerindedir. A ile B arası 12{12} km, C ile A arası 7{7} km olup B ile C arasındaki uzaklık x{x} km ve bir tam sayıdır. Ayrıca bu üçgende en büyük açının C köşesindeki açı olduğu bilinmektedir.Buna göre aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur?
Üç gözlem kulesi arasındaki uzaklıklar A, B ve C gözlem kuleleri bir üçgenin köşeleri olarak çizilmiştir: A solda, B sağda, C üsttedir. A ile B arası 12 kilometre, C ile A arası 7 kilometredir. B ile C arasındaki uzaklık x ile gösterilmiştir. 12 km 7 km x A B C
  1. AÜçgen ikizkenardır.
  2. Bx c¸ift sayıdır.\displaystyle x \text{ çift sayıdır.}
  3. C5<x<12\displaystyle 5 < x < 12
  4. Dx=11\displaystyle x = 11
  5. EEn kısa kenar 7 km olandır.
Çözümü göster
Soru 65KavramÇoktan seçmeli3 puanKolay, zorluk 3 / 10
Bir öğrenci defterine bir üçgen çizmiş, üç iç açısını iletkiyle ölçmüş ve ölçüleri 64∘{64^{\circ}}, 58∘{58^{\circ}} ve 68∘{68^{\circ}} bulmuştur. Bu üç ölçünün toplamı 190∘{190^{\circ}} etmektedir.Buna göre aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
  1. Aİç açı toplamı teoremi bu üçgende geçmez.
  2. BÜçgen büyük çizildiği için toplam artmıştır.
  3. CToplam 190 derece olan üçgenler vardır.
  4. DÖlçüm doğru, teorem yaklaşıktır.
  5. EÖlçümlerden en az biri hatalıdır.
Çözümü göster
Soru 66KavramAçık uçlu20 puanİleri, zorluk 9 / 10
Şekilde ABC üçgeninin içinde bir D noktası alınmış ve D noktası üç köşeye de birleştirilmiştir. ∣DA∣+∣DB∣+∣DC∣{|DA| + |DB| + |DC|} toplamına T{T}, üçgenin çevresine c{c} diyelim. Üçgenin içindeki her D noktası için ∣DB∣+∣DC∣<∣AB∣+∣AC∣{|DB| + |DC| < |AB| + |AC|} olduğu daha önce ispatlanmıştı.Buna göre aşağıdaki soruları cevaplayınız.
İç noktadan üç köşeye çizilen parçalar ABC üçgeninde A solda, B sağda, C üsttedir. Üçgenin içindeki D noktası A, B ve C köşelerinin üçüne de birer doğru parçasıyla birleştirilmiştir. Şekilde ölçü yazmıyor. A B C D
  1. a)
    Üçgen eşitsizliğini DAB, DBC ve DCA üçgenlerinde kullanıp elde ettiğiniz üç eşitsizliği toplayarak T{T} toplamının c2{\dfrac{c}{2}} sayısından büyük olduğunu gösteriniz.(7 puan)
  2. b)
    İspatlanmış olan eşitsizliği üç köşe için de yazıp toplayarak T{T} toplamının c{c} sayısından küçük olduğunu gösteriniz.(7 puan)
  3. c)
    İki sonucu birleştirerek T{T} toplamının hangi aralıkta olduğunu yazınız.(6 puan)
Çözümü göster

Ders kılavuzu

Dersi açmak için çengel sorular, kavramı somutlaştıran benzetmeler ve öğrencilerin sık yaptığı yanlışlar.

Derse giriş: çengel sorular

  • Üç köşeyi yırtıp yan yana koymak

    Her öğrenciye bir kâğıt verin ve herkesin farklı bir üçgen çizip kesmesini isteyin; kimsenin üçgeni bir başkasınınkine benzemesin. Sonra üç köşeyi yırtıp bir doğru parçası üzerinde uç uca dizdirin. Otuz farklı üçgenin otuzunda da üç parça tam bir doğru açı kapatır. Sınıfa şunu sorun: bu otuz deneme, bunun her üçgende olacağını kanıtlar mı? Cevap hayırdır ve dersin tamamı bu hayırın üstüne kurulur. Ölçmek bir şeyin doğru olduğunu düşündürür, ispat onu garanti eder. Bölüm boyunca ikisini yan yana tutun.

    m(A^)+m(B^)+m(C^)=180∘\displaystyle \text{m}(\widehat{A}) + \text{m}(\widehat{B}) + \text{m}(\widehat{C}) = 180^{\circ}

  • Çizilemeyen üçgen

    Tahtaya üç uzunluk yazın: 2{2} cm, 3{3} cm, 10{10} cm. Bu üç uzunlukta çubukla bir üçgen kurmalarını isteyin. Denesinler; kimse kuramaz. Sonra 10{10}'u 4{4} yapın, yine denesinler. Bu kez olur. Soru şudur: sınır tam olarak nerede? Öğrenci sınırın 2+3=5{2 + 3 = 5} olduğunu kendisi bulur ve üçgen eşitsizliğini siz söylemeden önce kurar. Sınır değerini (5{5}) denetmeyi unutmayın: çubuklar üst üste yatar, üçgen çıkmaz. Eşitlik durumu üçgen vermez, bu ayrım sonra çok işe yarayacak.

    ∣b−c∣<a<b+c\displaystyle |b - c| < a < b + c

  • Kaç ölçüm yeter?

    Bir öğrenciye üçgenler çizdirip her birinde en uzun kenarın karşısındaki açıyı ölçtürün. Beş üçgende de en büyük açı çıkar. Sınıfa sorun: altıncıda çıkmama ihtimali var mı? Bu soru rahatsız edicidir ve öyle kalmalıdır. Matematikte bir önermeyi yüz örnek desteklemekle kanıtlamak aynı şey değildir; ama tek bir karşı örnek onu yıkmaya yeter. Bu asimetriyi tahtaya yazın ve bölüm boyunca orada bırakın.

    0<m(A^)<180∘\displaystyle 0 < \text{m}(\widehat{A}) < 180^{\circ}

  • Katlanan kâğıt eşitlik üretir

    Bir kâğıt üçgeni bir kenarı öteki kenarın üzerine gelecek biçimde katlatın ve katlama izini çizdirin. Katlanan parça ile yerinde kalan parça çakışır; demek ki katlama çizgisinin iki yanındaki açılar eşit, üst üste gelen kenarlar eşit uzunluktadır. Öğrenci bunu elinde tutarak görür. Ölçme sorularında katlama üç kez karşısına çıkacak ve her seferinde iş aynı iştir: katlamanın hangi eşitliği ürettiğini yazmak.

    ∣AD∣=∣AB′∣\displaystyle |AD| = |AB'|

  • Destekteki tahta

    Üçgen bir desteğin üzerine yatay bir tahta koyun ya da görselini çizin. Tahta ile zemin paraleldir. Öğrenciye sorun: tahtanın üçgenle yaptığı iki açı ile üçgenin iç açıları arasında ne ilişki var? Paralel iki doğrunun bir kesenle yaptığı açılar devreye girer ve tahtanın altında kalan üç açı tam bir doğru açı yapar. Bu, iç açılar toplamı teoreminin ispatının ta kendisidir; öğrenci ispatı teoremi duymadan önce görmüş olur.

    [DE]/ ⁣ ⁣/[KL]\displaystyle [DE] \mathrel{/\!\!/} [KL]

Benzetmeler

  • İç açılar toplamının 180 derece olması

    Üçgenin üç köşesini yırtıp yan yana dizmek, toplamın neden bir doğru açı olduğunu gösterir: üç parça bir doğruyu tam kapatır. Ama bu bir gösterimdir, ispat değil. İspatta makas yoktur; bir köşeden karşı kenara paralel çizilen doğru, o üç açıyı **aynı noktada** yan yana getirir. Yani ispat, makasın yaptığı işi çizimle yapar.

  • Dış açıların toplamının 360 derece olması

    Üçgenin kenarları boyunca yürüdüğünüzü düşünün. Her köşede yönünüzü bir miktar değiştirirsiniz ve o miktar tam olarak dış açıdır. Başladığınız yere aynı yöne bakarak döndüğünüzde tam bir tur dönmüş olursunuz. Bir tur 360 derecedir; dolayısıyla üç dönüşün toplamı 360 derecedir.

  • Üçgen eşitsizliği

    İki kenarı gerilmiş bir ip gibi düşünün. Üçüncü kenar, iki ucu birleştiren doğru parçasıdır ve iki nokta arasındaki en kısa yol düz çizgidir. Bu yüzden iki kenarın toplamı üçüncüden kısa olamaz; kısa olsaydı ip yetişmezdi, eşit olsaydı üçgen düzleşip doğru parçasına dönerdi.

  • Açı ile karşısındaki kenarın birlikte büyümesi

    Bir makasın iki kolunu düşünün. Kolları açtıkça uçları arasındaki mesafe artar, kapattıkça azalır. Kollar iki kenar, uçlar arasındaki mesafe karşı kenardır. Açı ile karşı kenar bu yüzden aynı yönde hareket eder: biri büyürse öteki de büyür.

  • İspat tablosundaki gerekçe sütunu

    Her cümlenin bir bileti olmalı. İfadeler sütununa yazdığınız satır, gerekçe sütununda bir bilet göstermeden geçemez: ya bir teorem, ya bir tanım, ya önceki bir adım. Bileti olmayan satır ispatın içinde duramaz; o satır ancak bir tahmindir.

  • Doğrulama ile ispat arasındaki fark

    Yüz kişi bir olayı gördüyse o olayın olduğuna inanırsınız, ama bu bir kanun değildir. Ölçüm ve yazılım tanıktır: çok sayıda tanık önermeyi destekler, garanti etmez. İspat kanundur; bir kez kurulunca bütün üçgenler için geçerlidir. Buna karşılık tek bir karşı örnek, yüz tanığın hepsini geçersiz kılar.

Sık yapılan yanlışlar

  • Bir köşenin dış açısı, o köşedeki iç açının tümleridir.

    Dış açı ile komşu iç açı bütünlerdir, tümler değil: ikisinin ölçüleri toplamı 180 derecedir. Tümlerlik 90 derecede olur ve burada geçmez. Bu karışıklık en sık dik üçgen görüldüğünde doğar, çünkü orada iki dar açı gerçekten tümlerdir ve öğrenci kuralı yanlış yere taşır.

    Bir kenarı uzatıp iç ve dış açıyı aynı köşede birlikte işaretletin; ikisinin bir doğru açı kapattığını gösterin. Sonra dik üçgende iki dar açının tümlerliğini ayrı bir tahtaya yazın ve iki kuralın hangi açılar hakkında olduğunu öğrenciye söyletin.

    m(ACD^)+m(ACB^)=180∘\displaystyle \text{m}(\widehat{ACD}) + \text{m}(\widehat{ACB}) = 180^{\circ}

  • Bir önermeyi birkaç üçgende ölçüp doğrulamak, onu ispatlamaktır.

    Ölçüm sonlu sayıda örnek verir; önerme ise bütün üçgenler hakkındadır. Yüz üçgende tutan bir bağıntının yüz birincisinde tutmayacağını ölçüm dışlayamaz. Üstelik her ölçüm yuvarlamalıdır: 179,6 derece ile 180 derece cetvelde ayrılmaz. Bu kazanımın adı 'doğrulayabilme veya ispatlayabilme' der; ikisi ayrı iştir ve aynı cümlede geçmeleri onları eşitlemez.

    Tahtayı ikiye bölün: solda 'doğruladım', sağda 'ispatladım'. Her etkinlikten sonra öğrenciye hangi tarafa yazacağını sorun. Yazılımla ölçüm yaptırdığınızda sonucu sol tarafa yazdırın, sonra aynı önermeyi sağ tarafa geçirmek için ne gerektiğini sorun.

    ∣DB∣+∣DC∣<∣AB∣+∣AC∣\displaystyle |DB| + |DC| < |AB| + |AC|

  • Üç uzunlukla üçgen kurulup kurulmadığına bakmak için bir tane eşitsizliği kontrol etmek yeter.

    Üç eşitsizliğin üçü de sağlanmalıdır. Öğrenci genellikle rastgele seçtiği ikisini toplayıp üçüncüyle karşılaştırır; seçtiği ikisi en kısa iki kenar değilse eşitsizlik zaten kolayca sağlanır ve yanlış karara varır. Belirleyici olan, **en kısa iki kenarın toplamının en uzun kenarla** karşılaştırılmasıdır.

    Üç uzunluğu her seferinde önce sıralatın, sonra yalnız 'en kısa iki tanenin toplamı en uzundan büyük mü' sorusunu sordurun. Sıralamayı atlayan öğrenci 2, 3, 10 örneğinde 3 ile 10 toplayıp 2 ile karşılaştırır ve olur der; o örneği bilerek kullanın.

    2+3<10\displaystyle 2 + 3 < 10

  • Üçgen eşitsizliğinde eşitlik durumu da üçgen verir.

    İki kenarın toplamı üçüncüye eşitse üç nokta aynı doğru üzerine düşer ve şekil düzleşir; ortaya üçgen değil bir doğru parçası çıkar. Eşitsizlik bu yüzden kesindir, 'küçük eşittir' değildir. Aynı sebeple aralığın uçları da dışarıdadır.

    Üç çubukla tam eşitlik durumunu kurdurun ve sonucu gösterin: çubuklar üst üste yatar. Sonra en uzun çubuğu bir milimetre kısaltıp tekrar denetin; üçgen belirir. Sınırın iki yanını elle göstermek, kesin eşitsizliği ezberden çıkarır.

    a=b+c\displaystyle a = b + c

  • Aralık bulunca uç değerler de cevaba dâhildir.

    Üçgen eşitsizliğinin ürettiği aralık açıktır. Dört ile on sekiz arasındaki tam sayılar sorulduğunda öğrenci dördü ve on sekizi de sayarsa iki fazla bulur; bu, bölümün en çok puan kaybettiren tek hatasıdır. Açık aralığın gösterimi ve uçlarının dışarıda kalması dokuzuncu sınıfın birinci ünitesinde öğretilmiştir.

    Aralığı bulduktan sonra tam sayıları tek tek yazdırın ve iki ucu ayrıca sorgulattırın: 'x dört olsaydı üçgen çizilebilir miydi?' Cevabı çizerek verdirin. Sayma işini formülle değil listeyle yaptırmak bu hatayı kökten kaldırır.

    4<x<18\displaystyle 4 < x < 18

  • Bir üçgende büyük olan açının karşısındaki kenar, başka bir üçgendeki kenardan da uzundur.

    Açı-kenar ilişkisi **aynı üçgenin içinde** kurulur; iki ayrı üçgenin kenarlarını açılarına bakarak karşılaştırmak geçersizdir. Küçücük bir üçgenin seksen derecelik açısının karşısındaki kenar, kocaman bir üçgenin otuz derecelik açısının karşısındaki kenardan kısa olabilir. İlişki sıralama verir, ölçü vermez.

    İki farklı boyutta üçgen çizdirip açılarını ve kenarlarını ölçtürün; karşılaştırmanın nerede çalışıp nerede çalışmadığını tabloda gösterin. İki üçgeni birleştiren sorularda daima **ortak kenarı** buldurun; zincir ancak o kenar üzerinden kurulur.

    ∣AC∣>∣BC∣>∣AB∣\displaystyle |AC| > |BC| > |AB|

  • İkizkenar üçgende taban açıları, şekilde altta duran açılardır.

    Taban açılarını belirleyen şeklin duruşu değil, eşit kenarların yeridir: taban açıları eşit iki kenarın karşısındaki değil, eşit kenarların **taban ile yaptığı** açılardır ve tepe açısı eşit iki kenarın arasındadır. Üçgen döndürülünce altta duran açı değişir, taban açıları değişmez. Bu hata döndürülmüş ikizkenar şekillerde neredeyse her seferinde ortaya çıkar.

    Eşit kenarları çentikle işaretletmeden hiçbir açı yazdırmayın. Aynı ikizkenarı üç farklı duruşta çizdirip her seferinde tepe açısını gösterttirin; öğrenci tepe açısının hep aynı açı olduğunu kendisi doğrulasın.

    ∣AB∣=∣AC∣\displaystyle |AB| = |AC|

  • Katlamada eş olan yalnız açılardır.

    Katlama bir çakıştırmadır: katlanan parça ile yerinde kalan parça üst üste oturur, dolayısıyla hem açılar hem kenar uzunlukları eşleşir. Yalnız açı eşitliğini yazan öğrenci, sorunun istediği kenar bilgisini kaçırır ve çözümü yarıda kalır. Ters hata da vardır: yalnız kenarları eşleyip açıyı atlamak.

    Katlanmış kâğıdı açtırıp katlama çizgisinin iki yanını renkli kalemle boyatın. Eşleşen her açıyı ve her kenarı listelettirin; liste bitmeden soruya geçmeyin. Katlama sorusunun ilk adımı her zaman bu listedir.

    m(ADB^)=m(ADB′^)\displaystyle \text{m}(\widehat{ADB}) = \text{m}(\widehat{ADB'})

  • Yardımcı çizim istediğim yere çizilebilir, önemli olan şeklin güzel görünmesidir.

    Yardımcı çizim ispatın parçasıdır ve kendi gerekçesini taşımak zorundadır. 'Bu doğruyu AC kenarına paralel çiziyorum' cümlesi bir izindir; paralel postülatı böyle bir doğrunun var ve tek olduğunu söyler. Buna karşılık 'bu doğruyu açıyı ikiye bölecek biçimde çiziyorum' derken aynı anda 've tabanı ortadan kesiyor' varsaymak yasaktır; o, ispatlanması gereken bir şeydir. Çizim veri üretmez, var olan veriyi görünür kılar.

    Her yardımcı çizimden sonra öğrenciye tek soru sorun: bu doğruyu çizmeme izin veren şey nedir? Cevabı gerekçe sütununa yazdırın. Cevap veremiyorsa çizim silinir. Bu alışkanlık ispat ile çizim arasındaki sınırı öğrencinin kendi eline verir.

    [DE]/ ⁣ ⁣/[BC]\displaystyle [DE] \mathrel{/\!\!/} [BC]

  • Üçgenin iç açılarının toplamının 180 derece olması bir tanımdır, ispatlanmaz.

    Bu bir teoremdir ve ispatı paralel postülatına dayanır: bir doğruya dışındaki bir noktadan yalnız bir paralel çizilebilir. Postülat değişirse teorem de değişir. Öğrenciye bunu söylemek gerekmez ama 'neden ispatlıyoruz, zaten biliyoruz' sorusunun cevabı budur: bildiğimiz şey bir sonuçtur, ispat onun neye dayandığını gösterir.

    Teoremi yazarken 'Verilenler' ve 'İspatlanacak ifade' satırlarını ayrı ayrı yazdırın. İspatın hangi adımında paralel çizildiğini işaretletin ve o adımın gerekçesini öğrenciye söyletin. Teoremin dayandığı şeyi görmek, teoremi ezberden çıkarır.

    m(A^)+m(B^)+m(C^)=180∘\displaystyle \text{m}(\widehat{A}) + \text{m}(\widehat{B}) + \text{m}(\widehat{C}) = 180^{\circ}

  • Bir köşenin tek bir dış açısı vardır.

    Her köşede iki dış açı vardır; hangi kenarın uzatıldığına göre değişirler. İkisi ters açı oldukları için ölçüleri eşittir, dolayısıyla hesapta fark etmez; ama 'dış açıların ölçüleri toplamı 360 derecedir' cümlesinde her köşeden **yalnız biri** sayılır. Öğrenci altı dış açıyı toplayıp 720 bulursa hata burada değil, saymadadır.

    Bir köşede iki kenarı da uzatıp iki dış açıyı birlikte çizdirin, eşit olduklarını ters açı olmalarından çıkarttırın. Sonra teoremin cümlesini birlikte okuyun ve 'her köşeden bir tane' ifadesini altını çizdirerek yazdırın.

    x+y+z=360∘\displaystyle x + y + z = 360^{\circ}

  • Bir önermeyi yanlışlamak için de birçok örnek gerekir.

    Doğrulama ile yanlışlama simetrik değildir. 'Her üçgende şu olur' biçimindeki bir önermeyi yıkmak için tek bir karşı örnek yeter; çünkü önerme 'her' diyor ve bir tane bile istisna onu bitirir. Buna karşılık aynı önermeyi kanıtlamak için örnek saymak hiçbir zaman yetmez. Öğrenci genellikle ikisini de 'yeterince çok örnek' işi sanır.

    Bilerek yanlış bir önerme verin ve sınıftan tek bir karşı örnek isteyin. Bulunduğunda tartışmayı kapatın: 'bitti, önerme yanlış'. Sonra doğru bir önerme verin ve kaç örnekle biteceğini sorun; cevabın 'hiçbir sayıda' olduğunu öğrenci kendisi söylesin.

    m(A^)>m(B^)\displaystyle \text{m}(\widehat{A}) > \text{m}(\widehat{B})

Tahtada anlatım sırası18 adımı göster
  1. 1
    Üçgen bir destek üzerine konmuş yatay tahtayı çizin; tahta ile zemin paraleldir. Öğrenciye hangi açıların eşit olduğunu ve neden eşit olduğunu söyletin. Paralel iki doğrunun bir kesenle yaptığı açı adlarını burada tazeleyin: ters, iç ters, yöndeş. Bu adlar ortaokuldan gelir ve bölümün tamamı onların üstünde yürür.

    [DE]/ ⁣ ⁣/[KL]\displaystyle [DE] \mathrel{/\!\!/} [KL]

    Kitabın kendi açılışı. Ön Değerlendirme'nin 4. maddesi bu adları zaten sınıyor.

  2. 2
    Teoremi yazın ve altına iki satır açın: Verilenler, İspatlanacak ifade. Öğrenciye üçgeni çizdirip verilenleri kendi kelimeleriyle yazdırın. Bu iki satır bütün bölümde tekrarlanacak; teoremi okumakla ispata başlamak arasındaki ilk adım budur.

    m(A^)+m(B^)+m(C^)=180∘\displaystyle \text{m}(\widehat{A}) + \text{m}(\widehat{B}) + \text{m}(\widehat{C}) = 180^{\circ}

  3. 3
    İspatın yardımcı çizimini öğrenciye buldurun; söylemeyin. İpucu olarak birinci adımdaki tahtayı hatırlatın. Aranan çizim, bir köşeden karşı kenara paralel bir doğrudur. Bulunduğunda o doğruyu çizin ve hemen sorun: bu doğruyu çizmeme izin veren nedir?

    [DE]/ ⁣ ⁣/[BC]\displaystyle [DE] \mathrel{/\!\!/} [BC]

    Cevap paralel postülatıdır. Cevabı gerekçe olarak yazdırın; çizim gerekçesiz kalmasın.

  4. 4
    Üç sütunlu ispat tablosunu tahtaya kurun: Adım, İfadeler, Gerekçe. Birinci satırı birlikte doldurun, ikinciyi öğrenciye bıraktırın. Gerekçe sütunu boş kalan hiçbir satır tabloda duramaz. Tablo bittiğinde teoremin ispatı tamamlanmış olur.

    m(DAB^)=m(ABC^)\displaystyle \text{m}(\widehat{DAB}) = \text{m}(\widehat{ABC})

    Kitap bu tabloyu bölümde üç kez kullanıyor; öğrenci aracı bir kez öğrenirse üçünde de çalışır.

  5. 5
    Tablo bitince durun ve sorun: ispat tamamlandı mı? Öğrenciden gerekçesiyle cevap isteyin. Bu soru bölümün en değerli sorusudur ve cevabı 'evet' olduğunda bile sormaya değer: öğrenci hangi adımların neyi sağladığını geri sayarak anlatmalıdır.

    1. Uygulama'nın 7. adımı. Havuzun A bloğu bu soruyu üç ayrı biçimde ölçüyor.

  6. 6
    Bir kenarı uzatıp dış açıyı tanımlayın. Aynı köşede öteki kenarı da uzatıp ikinci dış açıyı çizdirin ve ikisinin neden eşit olduğunu söyletin. Sonra teoremin cümlesini yazarken 'her köşeden bir tane' ifadesinin altını çizdirin.

    m(ACD^)+m(ACB^)=180∘\displaystyle \text{m}(\widehat{ACD}) + \text{m}(\widehat{ACB}) = 180^{\circ}

  7. 7
    Dış açıların ölçüleri toplamının 360 derece olduğunu iç açılar toplamından türettirin. Üç köşede üç bütünlerlik yazdırın, toplayın, iç açılar toplamını çıkarın. Tabloyu yine üç sütunlu kurun; bu ikinci tekrar aracı yerleştirir.

    x+y+z=360∘\displaystyle x + y + z = 360^{\circ}

  8. 8
    Yürüyüş benzetmesini burada kullanın: üçgenin kenarları boyunca yürüyen biri her köşede dış açı kadar döner ve başlangıca aynı yöne bakarak döndüğünde tam bir tur atmış olur. Benzetme ispatın yerine geçmez; ispatın neden 360 verdiğini akılda tutar.

    Benzetmeyi tablodan SONRA verin. Önce verilirse öğrenci ispatı gereksiz görür.

  9. 9
    Üçüncü teoremi yazdırın: bir dış açının ölçüsü, kendisine komşu olmayan iki iç açının ölçüleri toplamına eşittir. İspatını bu kez tamamen öğrenciye yaptırın; siz yalnız gerekçe sütununu denetleyin. Üçüncü tabloda sınıf aracı kullanabiliyor olmalıdır.

    m(ACD^)=m(BAC^)+m(ABC^)\displaystyle \text{m}(\widehat{ACD}) = \text{m}(\widehat{BAC}) + \text{m}(\widehat{ABC})

  10. 10
    Ok biçimli dörtgeni çizin: iki kenarı içe kırılmış bir şekil. Öğrenciye içteki açının, üç dış açının toplamına eşit olduğu önermesini verin ve ispatlatın. Yardımcı çizim bir köşeden geçen bir doğrudur ve şekli iki üçgene ayırır. Bu, öğrendikleri teoremi ilk kez yeni bir şekle taşımalarıdır.

    x=a+b+c\displaystyle x = a + b + c

    Kazanımın (b) bileşeninin ilk gerçek uygulaması: ispatı uyarlamak.

  11. 11
    İkizkenar üçgene geçin. Eşit kenarları çentikle işaretletmeden hiçbir açı yazdırmayın. Aynı üçgeni üç farklı duruşta çizdirip her seferinde tepe açısını gösterttirin. Ardından eşkenar üçgende üç açının da 60 derece olduğunu buldurun.

    ∣AB∣=∣AC∣\displaystyle |AB| = |AC|

  12. 12
    Kâğıt üçgeni katlatın ve katlamanın ürettiği eşitlikleri listelettirin: hangi açılar eş, hangi kenarlar eş. Liste bitmeden soruya geçmeyin. Katlama bu bölümde üç kez karşılarına çıkacak ve her seferinde iş bu listedir.

    ∣AD∣=∣AB′∣\displaystyle |AD| = |AB'|

  13. 13
    Bölümün ikinci yarısına geçin. Üç farklı üçgen çizdirip açıölçerle açılarını, cetvelle kenarlarını ölçtürün ve tabloya yazdırın. Sonra tablodan genellemeyi kendileri yazsın: büyük açının karşısında büyük kenar bulunur. Genellemeyi siz söylemeyin.

    m(A^)>m(B^)>m(C^)\displaystyle \text{m}(\widehat{A}) > \text{m}(\widehat{B}) > \text{m}(\widehat{C})

  14. 14
    Tablo dolunca durun ve sorun: bu üç ölçüm genellemeyi kanıtladı mı? Tahtayı ikiye bölüp solda 'doğruladım', sağda 'ispatladım' başlıklarını açın. Bu ayrım bölümün sonuna kadar tahtada kalsın; her etkinlikten sonra hangi tarafa yazılacağını öğrenci söylesin.

    Kazanımın adındaki 'doğrulama veya ispat' ayrımı burada somutlaşır.

  15. 15
    İlişkinin iki yönlü olduğunu ayrıca yazdırın: kenarlardan açılara gidildiği gibi açılardan kenarlara da gidilir. Öğrenciye her iki yönde birer örnek yaptırın. Tek yön ezberleyen öğrenci sorunun yarısını çözemez.

    ∣AC∣>∣BC∣⇔m(B^)>m(A^)\displaystyle |AC| > |BC| \Leftrightarrow \text{m}(\widehat{B}) > \text{m}(\widehat{A})

  16. 16
    Çubuklarla üçgen eşitsizliğini keşfettirin. Önce kurulabilen bir üçlü, sonra kurulamayan bir üçlü, en sonunda tam eşitlik durumu. Üç uzunluğu her seferinde sıralatın ve yalnız en kısa iki tanenin toplamını en uzunla karşılaştırttırın.

    2+3<10\displaystyle 2 + 3 < 10

  17. 17
    Üçüncü kenarın aralığını yazdırın ve aralığın uçlarının neden dışarıda kaldığını sordurun. Aralıktaki tam sayıları formülle değil listeyle saydırın; iki ucu ayrıca sorgulattırın. Bu, bölümün en çok puan kaybettiren hatasının önündeki tek engeldir.

    ∣b−c∣<a<b+c\displaystyle |b - c| < a < b + c

  18. 18
    Kapanış: üçgenin iç bölgesinde bir nokta alıp köşelere birleştirin. Uzaklıklar toplamının çevreden küçük, çevrenin yarısından büyük olduğu önermesini verin. Önce birkaç noktada ölçtürün, sonra üçgen eşitsizliğini iki kez uygulayarak ispatlatın. Aynı önermenin iki yolla ele alınması, bölümün tamamının özetidir.

    ∣DB∣+∣DC∣<∣AB∣+∣AC∣\displaystyle |DB| + |DC| < |AB| + |AC|

    Ölçüm sol tarafa, ispat sağ tarafa yazılır. Tahtadaki ikili bölme burada kapanır.

Ödev ve çalışma kâğıdı

Her antrenman tek bir beceriyi bol tekrarla çalıştırır. Hangisinden kaç kalem istediğini seç; kâğıt ve çözümlü cevap anahtarı tarayıcında hazırlanır.

Ödev kâğıdı oluştur

Her alıştırmadan kaç kalem istediğini seç. Kalemler hazır havuzdan rastgele gelir; iki sınıfa iki ayrı kâğıt verebilirsin. Çözümlü cevap anahtarı da hazır.
Alıştırmalar

  • Aşağıda ABC{ABC} üçgeninin iki açısı verilmiştir. En uzun kenarın karşısındaki açının ölçüsünü bulunuz.

    1. 1)m(A^)=54∘{\text{m}(\widehat{A}) = 54^{\circ}}, m(B^)=96∘{\text{m}(\widehat{B}) = 96^{\circ}}= 96\displaystyle 96
    2. 2)m(A^)=63∘{\text{m}(\widehat{A}) = 63^{\circ}}, m(B^)=82∘{\text{m}(\widehat{B}) = 82^{\circ}}= 82\displaystyle 82
    3. 3)m(A^)=30∘{\text{m}(\widehat{A}) = 30^{\circ}}, m(B^)=33∘{\text{m}(\widehat{B}) = 33^{\circ}}= 117\displaystyle 117
    / 40

  • ABC{ABC} üçgeninde [BC]{[BC]} kenarı C{C} yönünde D{D} noktasına uzatılmıştır. Verilen iç açılara göre m(ACD^){\text{m}(\widehat{ACD})} değerini bulunuz.

    1. 1)m(A^)=104∘{\text{m}(\widehat{A}) = 104^{\circ}}, m(B^)=38∘{\text{m}(\widehat{B}) = 38^{\circ}}= 142\displaystyle 142
    2. 2)m(A^)=35∘{\text{m}(\widehat{A}) = 35^{\circ}}, m(B^)=75∘{\text{m}(\widehat{B}) = 75^{\circ}}= 110\displaystyle 110
    3. 3)m(A^)=49∘{\text{m}(\widehat{A}) = 49^{\circ}}, m(B^)=106∘{\text{m}(\widehat{B}) = 106^{\circ}}= 155\displaystyle 155
    / 40

  • Bir üçgenin her köşesinden birer dış açı alınmıştır. İkisi verilen bu dış açılardan üçüncüsünün ölçüsünü bulunuz.

    1. 1)125∘{125^{\circ}} ve 136∘{136^{\circ}}= 99\displaystyle 99
    2. 2)164∘{164^{\circ}} ve 163∘{163^{\circ}}= 33\displaystyle 33
    3. 3)120∘{120^{\circ}} ve 165∘{165^{\circ}}= 75\displaystyle 75
    / 40

  • ABC{ABC} üçgeninde [BC]{[BC]} kenarı C{C} yönünde D{D} noktasına uzatılmıştır. Verilenlere göre m(B^){\text{m}(\widehat{B})} değerini bulunuz.

    1. 1)m(ACD^)=143∘{\text{m}(\widehat{ACD}) = 143^{\circ}}, m(A^)=94∘{\text{m}(\widehat{A}) = 94^{\circ}}= 49\displaystyle 49
    2. 2)m(ACD^)=157∘{\text{m}(\widehat{ACD}) = 157^{\circ}}, m(A^)=59∘{\text{m}(\widehat{A}) = 59^{\circ}}= 98\displaystyle 98
    3. 3)m(ACD^)=164∘{\text{m}(\widehat{ACD}) = 164^{\circ}}, m(A^)=22∘{\text{m}(\widehat{A}) = 22^{\circ}}= 142\displaystyle 142
    / 40

  • Aşağıda ABC{ABC} üçgeninin iki açısı verilmiştir. m(C^){\text{m}(\widehat{C})} değerini bulunuz.

    1. 1)m(A^)=43∘{\text{m}(\widehat{A}) = 43^{\circ}}, m(B^)=21∘{\text{m}(\widehat{B}) = 21^{\circ}}= 116\displaystyle 116
    2. 2)m(A^)=53∘{\text{m}(\widehat{A}) = 53^{\circ}}, m(B^)=32∘{\text{m}(\widehat{B}) = 32^{\circ}}= 95\displaystyle 95
    3. 3)m(A^)=38∘{\text{m}(\widehat{A}) = 38^{\circ}}, m(B^)=58∘{\text{m}(\widehat{B}) = 58^{\circ}}= 84\displaystyle 84
    / 40

  • ∣AB∣=∣AC∣{|AB| = |AC|} olan ABC{ABC} ikizkenar üçgenlerinde taban açısı verilmiştir. Tepe açısının ölçüsünü bulunuz.

    1. 1)m(B^)=73∘{\text{m}(\widehat{B}) = 73^{\circ}}= 34\displaystyle 34
    2. 2)m(B^)=72∘{\text{m}(\widehat{B}) = 72^{\circ}}= 36\displaystyle 36
    3. 3)m(B^)=74∘{\text{m}(\widehat{B}) = 74^{\circ}}= 32\displaystyle 32
    / 40

  • ∣AB∣=∣AC∣{|AB| = |AC|} olan ABC{ABC} ikizkenar üçgenlerinde tepe açısı verilmiştir. m(B^){\text{m}(\widehat{B})} değerini bulunuz.

    1. 1)m(A^)=92∘{\text{m}(\widehat{A}) = 92^{\circ}}= 44\displaystyle 44
    2. 2)m(A^)=56∘{\text{m}(\widehat{A}) = 56^{\circ}}= 62\displaystyle 62
    3. 3)m(A^)=50∘{\text{m}(\widehat{A}) = 50^{\circ}}= 65\displaystyle 65
    / 40

  • d1/ ⁣ ⁣/d2{d_1 \mathrel{/\!\!/} d_2} doğruları bir kesenle kesilmiştir. Ölçüsü verilen iç açının karşı durumlu açısının ölçüsünü bulunuz.

    1. 1)43∘{43^{\circ}}= 137\displaystyle 137
    2. 2)143∘{143^{\circ}}= 37\displaystyle 37
    3. 3)88∘{88^{\circ}}= 92\displaystyle 92
    / 40

  • Aşağıda bir üçgenin iki kenar uzunluğu verilmiştir. Üçüncü kenar tam sayı ise kaç farklı değer alabileceğini bulunuz.

    1. 1)17{17} ve 13{13}= 25\displaystyle 25
    2. 2)17{17} ve 10{10}= 19\displaystyle 19
    3. 3)18{18} ve 17{17}= 33\displaystyle 33
    / 40

  • Aşağıda bir üçgenin iki kenar uzunluğu verilmiştir. Üçüncü kenar tam sayı ise en çok kaç birim olabileceğini bulunuz.

    1. 1)6{6} ve 4{4}= 9\displaystyle 9
    2. 2)18{18} ve 8{8}= 25\displaystyle 25
    3. 3)9{9} ve 11{11}= 19\displaystyle 19
    / 40
Çalışma boşluğu
Kâğıt ayarları

0 kalem

İndirmek için en az bir kalem seç.

Test PDF'i

Bu kazanımın sorularından test ya da yazılı kâğıdı: soruları seç, kâğıdı ayarla, soru kâğıdını ve cevap anahtarını indir.

Test PDF'i hazırla

Soru kâğıdı ve cevap anahtarı tarayıcında hazırlanır; seçimlerin hiçbir sunucuya gönderilmez. İlk PDF'te motor indiği için birkaç saniye sürer, sonrakiler anında gelir.
Zorluğa göre seç

Her düzeyden kaç soru istediğini seç; düzeyin sorularından azını istersen o kadarı rastgele gelir. Seçim aşağıdaki listeye yansır, oradan elle de değiştirebilirsin.

Zorluk 2Kolay, 2 soru
Zorluk 3Kolay, 9 soru
Zorluk 4Orta, 5 soru
Zorluk 5Orta, 13 soru
Zorluk 6Orta, 16 soru
Zorluk 7Zor, 8 soru
Zorluk 8Zor, 7 soru
Zorluk 9İleri, 5 soru
Zorluk 10İleri, 1 soru
Kâğıttaki sorular 66 / 66

Kâğıda yalnız görünen ve işaretli sorular girer.

Kâğıt ayarları

66 soru, 477 puan

Kazanım künyesi

9. sınıf Üçgende açı ve kenar için 66 çözümlü soru: soruları sayfada çöz, takıldığında adım adım çözümü aç; seçtiğin sorulardan test, yaprak test ya da yazılı kâğıdı hazırla ve cevap anahtarıyla PDF olarak indir; ödev için alıştırma (çalışma) kâğıdı çıkar; derste soruları akıllı tahtada tek tek aç; ders kılavuzunda derse giriş, kavram yanılgıları ve tahta akışı var. 1. dönem yazılısına ve ortak sınava hazırlıkta kullanılır.

Kod
MAT.9.3.1
Kapsadığı konular
üçgenler, üçgende açılar, üçgen eşitsizliği, açı kenar bağıntıları, iç açılar toplamı
Dönem ve hafta
1. dönem, 13, 14, 15. haftalar, 12 ders saati
Süreç bileşenleri
  • a)Üçgende iç ve dış açıların ölçülerinin toplamına, açılara karşılık gelen kenarlarla ilgili özelliklere ve kenarların uzunlukları arasındaki ilişkilere dair farklı doğrulama veya ispatları kullanır.
  • b)Yapılan doğrulama veya ispatları yeni durumlara uyarlayarak değerlendirir.
Ders kitabında
  • 3. Tema — Geometrik Şekiller, 3.1 Üçgende Açı ve Kenarlarla İlgili Özellikler