10. sınıf, Veriden OlasılığaMAT.10.7.1

Koşullu olasılık

Koşullu Olasılık

Kazanım: Koşullu olasılık ile çıkarım yapabilme.

Tahtada aç Yazılı hazırla

Sorular ve çözümleri

Her sorunun altında adım adım çözüm var. Çoktan seçmelide doğru şık, çözümü açınca işaretlenir.

Zorluk

Cevap biçimi

Soru türü

Şekil

33 soru gösteriliyor

Soru 1İşlemÇoktan seçmeli3 puanKolay

Biri kırmızı, diğeri mavi olan hilesiz iki sayı küpü birlikte atılıyor.Üst yüzlere gelen sayıların toplamının 9 olduğu bilindiğine göre kırmızı küpün üst yüzündeki sayının mavi küpün üst yüzündeki sayıdan büyük olma olasılık değeri kaçtır?

A $\displaystyle \dfrac{1}{18}$
B $\displaystyle \dfrac{1}{4}$
C $\displaystyle \dfrac{1}{3}$
D $\displaystyle \dfrac{1}{2}$
E $\displaystyle \dfrac{2}{3}$

Çözümü göster

DDoğru cevap

1
${B}$ : toplamın 9 olması, ${A}$ : kırmızı küpteki sayının büyük olması olayı olsun. Çıktılar (kırmızı, mavi) sırasıyla yazılır.
2
${B}$ bilindiği için örnek uzay ${(3, 6)}$ , ${(4, 5)}$ , ${(5, 4)}$ , ${(6, 3)}$ çıktılarına daralır; bunlardan ${A}$ 'ya ait olanlar ${(5, 4)}$ ve ${(6, 3)}$ çıktılarıdır.
3
${P(A \mid B) = \dfrac{2}{4} = \dfrac{1}{2}}$ bulunur.

Yanlış şıklar neden yanlış?

A)İstenen iki çıktı bütün örnek uzayın ${36}$ çıktısına bölünmüş; bilgi verildiği için payda daralan örnek uzayın ${4}$ çıktısıdır.
B)Toplamı 9 olan çıktılardan yalnız ${(6, 3)}$ sayılmış; ${(5, 4)}$ de istenen çıktıdır.
C)İstenen iki çıktı, istenmeyen iki çıktıyla değil üç çıktıyla karşılaştırılmış.
E)Toplamı 9 olan çıktılar üç sanılmış ve ikisi istenen çıktı sayılmış.

Soru 2İşlemKısa cevap6 puanOrta

Bir kutuda numaraları dışında özdeş 1, 2, 3, 4 ve 5 numaralı beş kart vardır. Kutudan rastgele bir kart çekilip numarası yazılıyor ve kart kutuya geri konmadan ikinci bir kart çekiliyor.İlk kartın numarasının çift sayı olduğu bilindiğine göre iki kartın numaraları toplamının tek sayı olma olasılık değerini bulunuz.

Çözümü göster

Cevap: $\displaystyle \dfrac{3}{4}$

1
Çıktılar (ilk kart, ikinci kart) sırasıyla yazılır. İlk kart geri konmadığı için ikinci kart kalan dört karttan biridir.
2
İlk kartın çift olduğu çıktılar ${(2, 1)}$ , ${(2, 3)}$ , ${(2, 4)}$ , ${(2, 5)}$ , ${(4, 1)}$ , ${(4, 2)}$ , ${(4, 3)}$ ve ${(4, 5)}$ olmak üzere ${8}$ tanedir.
3
İlk kart çift olduğundan toplamın tek olması için ikinci kart tek olmalıdır; bu ${8}$ çıktının ${6}$ tanesinde ikinci kart tektir.
4
İstenen olasılık değeri ${\dfrac{6}{8} = \dfrac{3}{4}}$ bulunur.

Soru 3Yeni nesilÇoktan seçmeli5 puanOrta

Bir oyunda hilesiz bir madenî para atılıyor. Para yazı (Y) gelirse eş bölmelerinde 1, 2 ve 3 yazan bir çark, tura (T) gelirse eş bölmelerinde 2, 4 ve 6 yazan başka bir çark çevriliyor. Oyunun olası tüm çıktıları ağaç şemasında gösterilmiştir ve bu altı çıktı eş olasılıklıdır.Çarkın gösterdiği sayının

{4}

'ten küçük olduğu bilindiğine göre paranın tura gelmiş olma olasılık değeri kaçtır?

A $\displaystyle \dfrac{1}{2}$
B $\displaystyle \dfrac{1}{4}$
C $\displaystyle \dfrac{1}{6}$
D $\displaystyle \dfrac{1}{3}$
E $\displaystyle \dfrac{3}{4}$

Çözümü göster

BDoğru cevap

1
${B}$ : çarkın ${4}$ 'ten küçük sayı göstermesi, ${A}$ : paranın tura gelmesi olayı olsun.
2
Ağaç şemasına göre ${B}$ 'nin çıktıları Y1, Y2, Y3 ve T2 olur; örnek uzay bu dört çıktıya daralır ve bunlardan yalnız T2 ${A}$ 'ya aittir.
3
${P(A \mid B) = \dfrac{1}{4}}$ bulunur.

Yanlış şıklar neden yanlış?

A)Verilen bilgi kullanılmamış; bu, paranın tura gelme olasılık değeridir.
C)İstenen tek çıktı olan T2 bütün örnek uzayın altı çıktısına bölünmüş.
D)Olay ile koşul yer değiştirmiş: tura geldiği bilindiğine göre çarkın ${4}$ 'ten küçük sayı gösterme olasılığı bulunmuş.
E)Daralan örnek uzayda yazı gelen çıktılar sayılmış.

Soru 4SözelÇoktan seçmeli5 puanOrta

Ali, Berk, Can ve Deniz yan yana dizilmiş dört sandalyeye kurayla oturacaktır. Dört kişinin bütün oturuş düzenleri eş olasılıklıdır.Ali ile Berk'in yan yana oturduğu bilindiğine göre Can'ın uçtaki iki sandalyeden birine oturmuş olma olasılık değeri kaçtır?

A $\displaystyle \dfrac{2}{3}$
B $\displaystyle \dfrac{1}{6}$
C $\displaystyle \dfrac{1}{3}$
D $\displaystyle \dfrac{1}{2}$
E $\displaystyle \dfrac{5}{6}$

Çözümü göster

ADoğru cevap

1
${B}$ : Ali ile Berk'in yan yana oturması, ${A}$ : Can'ın bir uçta oturması olayı olsun.
2
Ali ile Berk birinci-ikinci, ikinci-üçüncü ya da üçüncü-dördüncü sandalyelerde iki sırayla oturabilir; kalan iki sandalyeye Can ile Deniz iki sırayla oturur. ${B}$ 'nin ${3 \cdot 2 \cdot 2 = 12}$ düzeni vardır.
3
Ali ile Berk uçtaki ikiliyi kullanıyorsa kalan ikilinin yalnız bir sandalyesi uçtadır ve Can orada ${2 + 2 = 4}$ düzende oturur; ortadaki ikiliyi kullanıyorsa kalan iki sandalye de uçtadır ve ${4}$ düzenin hepsinde Can uçtadır. ${A}$ ile ${B}$ 'nin ortak düzeni ${8}$ 'dir.
4
${P(A \mid B) = \dfrac{8}{12} = \dfrac{2}{3}}$ bulunur.

Yanlış şıklar neden yanlış?

B)Yalnız Ali ile Berk ortadayken Can'ın uçta olduğu 4 düzen sayılmış ve bütün 24 düzene bölünmüş.
C)Ali ile Berk'in yan yana olduğu ve Can'ın uçta olduğu 8 düzen bütün 24 düzene bölünmüş; payda daralan örnek uzaydır.
D)Verilen bilgi kullanılmamış; bu, Can'ın bir uçta oturma olasılık değeridir.
E)Can'ın uçta olmadığı 4 düzenin yalnız ikisi çıkarılmış: ${\dfrac{10}{12}}$ bulunmuş.

Soru 5KavramÇoktan seçmeli7 puanZor

Eş bölmelerinde 1, 2, 3 ve 4 yazan bir çark çevriliyor ve hilesiz bir sayı küpü atılıyor. Çarkın gösterdiği sayı ile küpün üst yüzündeki sayı toplanıyor.

{A}

: çarkın gösterdiği sayının çift olması,

{B}

: toplamın 6 olması olayı olsun.I.

{P(A \mid B) = \dfrac{1}{2}}

'dir.II.

{P(B \mid A)}

ile

{P(A \mid B)}

eşittir.III. Çarkın çift sayı gösterdiği bilinirse toplamın 6 olma olasılık değeri, hiçbir bilgi verilmediğindeki değerinden büyük olur.Buna göre yukarıdaki ifadelerden hangileri doğrudur?

A $Yalnız II$
B $I ve II$
C $Yalnız I$
D $I ve III$
E $I, II ve III$

Çözümü göster

CDoğru cevap

1
Çıktılar (çark, küp) sırasıyla yazılır; ${4 \cdot 6 = 24}$ çıktı eş olasılıklıdır.
2
${B}$ 'nin çıktıları ${(1, 5)}$ , ${(2, 4)}$ , ${(3, 3)}$ , ${(4, 2)}$ 'dir; bunlardan ikisinde çark çifttir. ${P(A \mid B) = \dfrac{2}{4} = \dfrac{1}{2}}$ olur, I doğrudur.
3
${A}$ 'nın ${2 \cdot 6 = 12}$ çıktısı vardır ve bunlardan ikisinde toplam 6 olur. ${P(B \mid A) = \dfrac{2}{12} = \dfrac{1}{6}}$ olur, II yanlıştır.
4
Bilgi verilmediğinde ${P(B) = \dfrac{4}{24} = \dfrac{1}{6}}$ 'dir; çarkın çift olduğu bilinince değer yine ${\dfrac{1}{6}}$ kalır, III yanlıştır.
5
Buna göre yalnız I doğrudur: $Yalnız I$

Yanlış şıklar neden yanlış?

A)Koşulun yönü önemsiz sanılmış ve I'deki değer yanlış sayılmış.
B)Olay ile koşul yer değiştirince olasılığın değişmediği sanılmış; ${P(B \mid A) = \dfrac{1}{6}}$ 'dir.
D)Bir bilgi verilince olasılığın arttığı sanılmış; iki değer de ${\dfrac{1}{6}}$ 'dir.
E)Koşulun yönü önemsiz ve bilginin olasılığı her zaman artırdığı sanılmış.

Soru 6KavramAçık uçlu20 puanİleri

Bir torbada renkleri dışında özdeş 2 sarı ve 3 yeşil top vardır. Torbadan rastgele bir top çekilip rengi yazılıyor, ardından ikinci bir top çekiliyor. Çıktıları sayarken aynı renkteki topları S1, S2 ve Y1, Y2, Y3 diye ayrı adlandırınız.Buna göre aşağıdaki soruları cevaplayınız.

a)
İlk top torbaya geri konmadan ikinci top çekilirse olası tüm çıktıları sayarak ikinci topun sarı olma olasılık değerini bulunuz.(4 puan)
b)
İlk top torbaya geri konduktan sonra ikinci top çekilirse ikinci topun sarı olma olasılık değerini bulunuz.(4 puan)
c)
İki durumda da ilk topun sarı olduğu bilindiğine göre ikinci topun sarı olma olasılık değerini ayrı ayrı bulunuz.(6 puan)
ç)
Ece "Top geri konmazsa ikinci çekiliş ilk topa bağlı olur; bu yüzden ikinci topun sarı olma olasılık değeri, top geri konduğundaki değerden farklıdır." diyor. Ece'nin iddiasını (a), (b) ve (c) maddelerindeki sonuçlarla değerlendiriniz.(6 puan)

Çözümü göster

Soru 7Yeni nesilÇoktan seçmeli5 puanOrta

Bir alışveriş merkezinin otoparkındaki 60 aracın yakıt türüne ve rengine göre sayıları tabloda verilmiştir. Araçlardan biri rastgele seçiliyor.Seçilen aracın beyaz olduğu bilindiğine göre elektrikli olma olasılık değeri kaçtır?

A $\displaystyle \dfrac{3}{20}$
B $\displaystyle \dfrac{1}{2}$
C $\displaystyle \dfrac{2}{5}$
D $\displaystyle \dfrac{3}{8}$
E $\displaystyle \dfrac{3}{10}$

Çözümü göster

Soru 8SözelKısa cevap6 puanOrta

Bir kargo şubesine bir günde gelen 80 paketin

{\%25}

'i yurt dışından, kalanı yurt içinden gönderilmiştir. Yurt dışından gelen paketlerin

{5}

'i, yurt içinden gelen paketlerin

{\dfrac{1}{6}}

'i hasarlıdır. Paketlerden biri rastgele seçiliyor.Seçilen paketin hasarlı olduğu bilindiğine göre yurt dışından gönderilmiş olma olasılık değerini bulunuz.

Çözümü göster

Soru 9Yeni nesilÇoktan seçmeli7 puanZor

Bir gençlik merkezinin yüzme ve basketbol kurslarına katılan öğrencilerin sınıflarına göre sayıları tabloda verilmiştir; her öğrenci yalnız bir kursa katılmaktadır ve tablodaki bir hücre okunamamaktadır. Kursiyerlerden biri rastgele seçildiğinde, seçilen kursiyerin yüzme kursuna katıldığı bilindiğine göre 10. sınıf öğrencisi olma olasılık değeri

{\dfrac{2}{5}}

'dir.Seçilen kursiyerin 10. sınıf öğrencisi olduğu bilindiğine göre yüzme kursuna katılmış olma olasılık değeri kaçtır?

A $\displaystyle \dfrac{2}{5}$
B $\displaystyle \dfrac{8}{17}$
C $\displaystyle \dfrac{8}{39}$
D $\displaystyle \dfrac{9}{17}$
E $\displaystyle \dfrac{17}{39}$

Çözümü göster

Soru 10Yeni nesilÇoktan seçmeli7 puanZor

Bir kitap fuarında 120 ziyaretçiyle anket yapılmıştır. Ziyaretçilerin yaş grubuna, fuara ilk kez mi yoksa tekrar mı geldiklerine ve fuardan kitap alıp almadıklarına göre sayıları tabloda verilmiştir. Ziyaretçilerden biri rastgele seçilecektir.Seçilen ziyaretçi hakkında aşağıdaki bilgilerden hangisi verilirse bu ziyaretçinin kitap almış olma olasılık değeri en büyük olur?

A $Fuara tekrar gelen biri olduğu$
B $Genç olduğu$
C $Fuara tekrar gelen bir genç olduğu$
D $Fuara ilk kez gelen biri olduğu$
E $İlk kez gelen bir yetişkin olduğu$

Çözümü göster

Soru 11SözelKısa cevap6 puanOrta

Bir çiftlikte 240 koyun ve 160 keçi vardır. Koyunların

{\dfrac{1}{4}}

'i, keçilerin

{\dfrac{3}{8}}

'ü siyah renklidir. Hayvanlardan biri rastgele seçiliyor.Seçilen hayvanın siyah olduğu bilindiğine göre keçi olma olasılık değerini bulunuz.

Çözümü göster

Soru 12Yeni nesilAçık uçlu20 puanİleri

Bir kafede bir günde içecek alan 150 müşterinin yaş grubuna ve aldığı içeceğe göre sayıları tabloda verilmiştir; her müşteri tek içecek almıştır. Müşterilerden biri rastgele seçilecektir.Buna göre aşağıdaki soruları cevaplayınız.

a)
Seçilen müşterinin kahve aldığı bilindiğine göre genç olma olasılık değerini bulunuz.(4 puan)
b)
Seçilen müşterinin genç olduğu bilindiğine göre kahve almış olma olasılık değerini bulunuz.(4 puan)
c)
Ertesi gün aynı müşteriler aynı içecekleri almış, yalnız çay alan gençlerin bir kısmı çay yerine kahve almıştır. (a) maddesindeki olasılık değerinin ${\dfrac{1}{3}}$ olması için kaç genç çaydan kahveye geçmiş olmalıdır?(6 puan)
ç)
Kafenin sahibi ilk günün tablosuna bakarak "Kahve alanların ${\dfrac{8}{11}}$ 'i yetişkindir. O hâlde rastgele seçilen bir yetişkinin kahve almış olma olasılık değeri de ${\dfrac{8}{11}}$ 'dir." diyor. Bu iddiayı değerlendiriniz.(6 puan)

Çözümü göster

Soru 13KavramÇoktan seçmeli5 puanOrta

Aşağıda beş durum ve her durumda iki olay verilmiştir.I. Bir torbadan geri konmadan art arda iki top çekiliyor.

{A}

: ilk topun kırmızı olması,

{B}

: ikinci topun kırmızı olması.II. Beş kişilik bir kulüpten kurayla önce başkan, kalanlardan başkan yardımcısı seçiliyor.

{A}

: başkanın Ece olması,

{B}

: başkan yardımcısının Can olması.III. Bir torbadan tek top çekiliyor.

{A}

: topun kırmızı olması,

{B}

: topun mavi olması.IV. Hilesiz bir sayı küpü bir kez atılıyor.

{A}

{3}

'ten büyük sayı gelmesi,

{B}

: 5 gelmesi.V. Hilesiz bir sayı küpü iki kez atılıyor.

{A}

: ilk atışta 6 gelmesi,

{B}

: ikinci atışta 6 gelmesi.Buna göre hangi durumda

{A}

{B}

bağımsız olaylardır?

A $\displaystyle \text{I}$
B $\displaystyle \text{II}$
C $\displaystyle \text{III}$
D $\displaystyle \text{IV}$
E $\displaystyle \text{V}$

Çözümü göster

Soru 14İşlemÇoktan seçmeli5 puanOrta

Bir torbada renkleri dışında özdeş 3 kırmızı ve 5 beyaz top vardır. Torbadan rastgele bir top çekiliyor ve top torbaya geri konmadan ikinci bir top çekiliyor.Buna göre birinci topun kırmızı, ikinci topun beyaz olma olasılık değeri kaçtır?

A $\displaystyle \dfrac{15}{56}$
B $\displaystyle \dfrac{15}{64}$
C $\displaystyle \dfrac{15}{28}$
D $\displaystyle \dfrac{5}{7}$
E $\displaystyle \dfrac{3}{8}$

Çözümü göster

Soru 15İşlemKısa cevap4 puanKolay

Bir kutuda numaraları dışında özdeş,

{1}

'den

{12}

'ye kadar numaralanmış 12 kart vardır. Kutudan rastgele bir kart çekilip numarası yazılıyor, kart kutuya geri konuyor ve ikinci bir kart çekiliyor. Kart geri konduğu için iki çekiliş birbirini etkilemez.Birinci kartın numarasının

{3}

'ün katı, ikinci kartın numarasının

{8}

'den büyük olma olasılık değerini bulunuz.

Çözümü göster

Soru 16KavramÇoktan seçmeli7 puanZor

Hilesiz bir sayı küpü bir kez atılıyor.

{A}

: üst yüze

{4}

'ten küçük sayı gelmesi,

{B}

: üst yüze çift sayı gelmesi olayı olsun.I.

{P(A \cap B) = \dfrac{1}{6}}

'dir.II.

{P(A \mid B) = P(A)}

eşitliği sağlanır.III. Üst yüze

{4}

'ten küçük sayı geldiği bilinirse çift sayı gelme olasılık değeri, hiçbir bilgi verilmediğindeki değerinden küçük olur.Buna göre yukarıdaki ifadelerden hangileri doğrudur?

A $Yalnız I$
B $Yalnız III$
C $I ve II$
D $I ve III$
E $I, II ve III$

Çözümü göster

Soru 17SözelÇoktan seçmeli7 puanZor

Birbirinden uzak iki şehirdeki hava durumu ölçümlerine göre yarın birinci şehirde yağış olma olasılık değeri

{\dfrac{2}{5}}

, ikinci şehirde yağış olma olasılık değeri

{\dfrac{1}{3}}

'dir. İki şehrin yağışı birbirini etkilememektedir.Buna göre yarın iki şehirden en az birinde yağış olma olasılık değeri kaçtır?

A $\displaystyle \dfrac{11}{15}$
B $\displaystyle \dfrac{2}{15}$
C $\displaystyle \dfrac{3}{5}$
D $\displaystyle \dfrac{7}{15}$
E $\displaystyle \dfrac{2}{5}$

Çözümü göster

Soru 18KavramAçık uçlu15 puanZor

Bir kutuda numaraları dışında özdeş,

{1}

'den

{12}

'ye kadar numaralanmış 12 kart vardır ve kutudan rastgele bir kart çekilecektir.

{A}

: kartın numarasının çift sayı olması,

{B}

: numaranın

{3}

'ün katı olması,

{C}

: numaranın

{5}

'ten küçük olması,

{D}

: numaranın

{6}

'dan küçük olması olayı olsun.Buna göre aşağıdaki soruları cevaplayınız.

a)
${P(A)}$ , ${P(B)}$ ve ${P(A \cap B)}$ değerlerini bularak ${A}$ ile ${B}$ 'nin bağımsız olup olmadığını gösteriniz.(4 puan)
b)
${A}$ ile ${C}$ bağımsız mıdır? Gösteriniz.(3 puan)
c)
${A}$ ile ${D}$ bağımsız mıdır? Gösteriniz.(3 puan)
ç)
Mert "Aynı kartla ilgili iki olay birbirini etkiler; bu yüzden aynı çekilişin iki olayı hiçbir zaman bağımsız olamaz." diyor. Mert'in iddiasını önceki maddelerin sonuçlarıyla değerlendiriniz.(5 puan)

Çözümü göster

Soru 19SözelKısa cevap4 puanKolay

Bir basketbol antrenmanında Ada'nın bir serbest atışı basket yapma olasılık değeri

{\dfrac{3}{4}}

, Bora'nınki

{\dfrac{2}{3}}

'dir. İkisi birer serbest atış yapıyor ve birinin atışı ötekinin atışını etkilemiyor.İkisinin de atışını basket yapamama olasılık değerini bulunuz.

Çözümü göster

Soru 20SözelÇoktan seçmeli5 puanOrta

Bir bilgi yarışmasında Ece'nin bir soruyu doğru cevaplama olasılık değeri

{\dfrac{3}{5}}

, Can'ınki

{\dfrac{1}{4}}

'dir. İkisi aynı soruyu birbirini duymadan cevaplıyor, yani birinin cevabı ötekini etkilemiyor.Buna göre ikisinden yalnız birinin soruyu doğru cevaplama olasılık değeri kaçtır?

A $\displaystyle \dfrac{17}{20}$
B $\displaystyle \dfrac{3}{20}$
C $\displaystyle \dfrac{9}{20}$
D $\displaystyle \dfrac{7}{10}$
E $\displaystyle \dfrac{11}{20}$

Çözümü göster

Soru 21SözelÇoktan seçmeli5 puanOrta

Bir okçuluk kulübünde üç sporcunun hedefin ortasını vurma olasılık değerleri sırasıyla

{\dfrac{1}{2}}

{\dfrac{2}{3}}

{\dfrac{3}{4}}

'tür. Üçü birer atış yapıyor ve atışlar birbirini etkilemiyor.Buna göre sporculardan en az birinin hedefin ortasını vurma olasılık değeri kaçtır?

A $\displaystyle \dfrac{1}{24}$
B $\displaystyle \dfrac{23}{24}$
C $\displaystyle \dfrac{1}{4}$
D $\displaystyle \dfrac{11}{24}$
E $\displaystyle \dfrac{23}{12}$

Çözümü göster

Soru 22SözelÇoktan seçmeli7 puanZor

Bir okulun voleybol takımı ve basketbol takımı aynı gün farklı turnuvalarda birer maç yapacaktır. Voleybol takımının maçı kazanma olasılık değeri

{\dfrac{3}{4}}

, basketbol takımınınki

{\dfrac{2}{5}}

'dir ve maçların sonuçları birbirini etkilemez.Günün sonunda iki takımdan yalnız birinin kazandığı bilindiğine göre kazanan takımın voleybol takımı olma olasılık değeri kaçtır?

A $\displaystyle \dfrac{9}{11}$
B $\displaystyle \dfrac{3}{4}$
C $\displaystyle \dfrac{9}{20}$
D $\displaystyle \dfrac{11}{20}$
E $\displaystyle \dfrac{2}{11}$

Çözümü göster

Soru 23SözelKısa cevap8 puanZor

Bir cimnastikçi zor bir hareketi üç kez deneyecektir. Hareketi birinci denemede başarma olasılık değeri

{\dfrac{1}{2}}

, ikincide

{\dfrac{1}{3}}

, üçüncüde

{\dfrac{1}{4}}

'dir ve bir denemenin sonucu ötekilerin sonucunu etkilememektedir.Cimnastikçinin üç denemenin yalnız birinde başarılı olduğu bilindiğine göre başarılı denemenin birinci deneme olma olasılık değerini bulunuz.

Çözümü göster

Soru 24KavramAçık uçlu20 puanİleri

{A}

{B}

aynı örnek uzayda iki olay ve

{P(B) > 0}

olsun. Koşullu olasılık

{P(A \mid B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(B)}}

biçiminde de hesaplanır.Buna göre aşağıdaki soruları cevaplayınız.

a)
${A}$ ile ${B}$ bağımsız ise ${P(A \mid B) = P(A)}$ olduğunu gösteriniz.(5 puan)
b)
Biri kırmızı, diğeri mavi iki hilesiz sayı küpü atılıyor. ${A}$ : kırmızı küpte ${3}$ 'ün katı gelmesi, ${B}$ : mavi küpte ${4}$ 'ten büyük sayı gelmesi olsun. ${P(A \mid B)}$ değerini çıktıları sayarak bulunuz.(4 puan)
c)
Olasılık değerleri sıfırdan farklı iki ayrık olayın bağımsız olamayacağını gösteriniz.(5 puan)
ç)
Selin "Bağımsız iki olay birbirini hiç etkilemez; birbirini hiç etkilemeyen olayların ortak çıktısı da olamaz. O hâlde bağımsız iki olay ayrıktır." diyor. Selin'in iddiasını (b) ve (c) maddelerini kullanarak değerlendiriniz.(6 puan)

Çözümü göster

Soru 25Yeni nesilÇoktan seçmeli5 puanOrta

Bir oyunda önce hilesiz bir sayı küpü atılıyor. Küp 1 ya da 2 gösterirse içinde 2 kırmızı ve 3 beyaz top bulunan 1. torbadan, başka bir sayı gösterirse içinde 4 kırmızı ve 1 beyaz top bulunan 2. torbadan rastgele bir top çekiliyor. Toplar renkleri dışında özdeştir. Oyunun dal olasılıklı ağacı şekilde verilmiştir; K kırmızı, B beyaz topu gösterir.Buna göre çekilen topun kırmızı olma olasılık değeri kaçtır?

A $\displaystyle \dfrac{3}{5}$
B $\displaystyle \dfrac{8}{15}$
C $\displaystyle \dfrac{2}{15}$
D $\displaystyle \dfrac{4}{5}$
E $\displaystyle \dfrac{2}{3}$

Çözümü göster

Soru 26SözelÇoktan seçmeli5 puanOrta

Bir basketbolcunun iki serbest atış hakkı vardır. İlk atışı basket olma olasılık değeri

{\dfrac{2}{3}}

'dir. İlk atış basket olursa oyuncu rahatladığı için ikinci atışın basket olma olasılık değeri

{\dfrac{3}{4}}

, ilk atış basket olmazsa

{\dfrac{1}{2}}

olur.Oyuncunun iki atıştan en az birinde basket yaptığı bilindiğine göre iki atışta da basket yapmış olma olasılık değeri kaçtır?

A $\displaystyle \dfrac{1}{3}$
B $\displaystyle \dfrac{1}{2}$
C $\displaystyle \dfrac{3}{4}$
D $\displaystyle \dfrac{3}{5}$
E $\displaystyle \dfrac{5}{6}$

Çözümü göster

Soru 27KavramÇoktan seçmeli7 puanZor

Bir fabrikanın A hattında bir günde 300, B hattında 200 ürün üretilmektedir. A hattının ürünlerinin

{\%4}

'ü, B hattının ürünlerinin

{\%6}

'sı hatalıdır. Günün ürünlerinden biri rastgele seçilecektir.I. Hatalı olduğu bilinen bir ürünün A hattından olma olasılık değeri

{\dfrac{1}{2}}

'dir.II. İki hattın üretimi iki katına çıkar ve hatalı oranları değişmezse, seçilen ürünün A hattının hatalı bir ürünü olma olasılık değeri değişmez.III. Yalnız B hattının üretimi yarıya iner ve hatalı oranları değişmezse, hatalı olduğu bilinen bir ürünün B hattından olma olasılık değeri değişmez.Buna göre yukarıdaki ifadelerden hangileri doğrudur?

A $Yalnız I$
B $Yalnız II$
C $I ve II$
D $I ve III$
E $I, II ve III$

Çözümü göster

Soru 28SözelÇoktan seçmeli5 puanOrta

Bir otoparkta

{1}

'den

{18}

'e kadar numaralanmış 18 park yeri üç sıraya dizilmiştir: birinci sırada 1-6, ikinci sırada 7-12, üçüncü sırada 13-18 numaralı yerler vardır. Otopark boşken gelen iki araç, kurayla seçilen iki farklı yere park ediyor; her yer çifti eş olasılıklıdır.İki aracın park ettiği yerlerin numaralarının ikisinin de asal sayı olduğu bilindiğine göre iki aracın aynı sırada olma olasılık değeri kaçtır?

A $\displaystyle \dfrac{5}{153}$
B $\displaystyle \dfrac{5}{21}$
C $\displaystyle \dfrac{5}{17}$
D $\displaystyle \dfrac{1}{3}$
E $\displaystyle \dfrac{10}{21}$

Çözümü göster

Soru 29SözelAçık uçlu20 puanİleri

Bir kütüphanenin 400 üyesinin

{100}

'ü genç,

{300}

'ü yetişkindir. Geçen ay gençlerden 30 kişi, yetişkinlerden 10 kişi roman ödünç almıştır. Üyelerden biri rastgele seçilecektir.Buna göre aşağıdaki soruları cevaplayınız.

a)
Seçilen üyenin geçen ay roman ödünç aldığı bilindiğine göre genç olma olasılık değerini bulunuz.(4 puan)
b)
Seçilen üyenin genç olduğu bilindiğine göre geçen ay roman ödünç almış olma olasılık değerini bulunuz.(4 puan)
c)
Kütüphane görevlisi "Roman ödünç alanların çoğu genç; demek ki gençlerin çoğu roman ödünç alıyor." diyor. Görevlinin iddiasını (a) ve (b) maddeleriyle değerlendiriniz.(6 puan)
ç)
Bu ay üye sayıları ve roman ödünç alan genç sayısı değişmezken yetişkinlerden daha çok kişi roman ödünç alırsa (a) maddesindeki olasılık değeri küçülür. Bu değerin ${\dfrac{1}{2}}$ 'den küçük olması için bu ay en az kaç yetişkin roman ödünç almalıdır?(6 puan)

Çözümü göster

Soru 30KavramAçık uçlu20 puanİleri

Biri kırmızı, diğeri mavi olan hilesiz iki sayı küpü birlikte atılıyor.

{A}

: en az bir küpün üst yüzüne 6 gelmesi,

{B}

: üst yüzlere gelen sayıların toplamının 7 olması olayı olsun.Buna göre aşağıdaki soruları cevaplayınız.

a)
${P(A \mid B)}$ değerini ${B}$ 'nin çıktılarını listeleyerek bulunuz.(5 puan)
b)
Aynı değeri ${P(A \mid B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(B)}}$ biçimiyle hesaplayınız ve iki yolun neden aynı sonucu verdiğini açıklayınız.(6 puan)
c)
Berk "Bir deney hakkında bilgi verilince bir olayın olasılık değeri artar." diyor. ${P(A)}$ değerini bulup (a) maddesiyle karşılaştırınız, sonra Berk'in iddiasını bir karşıt örnekle değerlendiriniz.(9 puan)

Çözümü göster

Soru 31KavramAçık uçlu15 puanZor

Bir okulun teknoloji atölyesindeki kalibrasyonu yapılmamış bir dijital tartı, üzerine konan bir cismin kütlesini her tartımda gerçek kütlesinden 1, 2, 3 ya da 4 gram fazla göstermektedir. Bu sapma her tartımda değişebilmektedir: bir tartımda sapmanın 1 gram olma olasılık değeri

{\dfrac{2}{5}}

, 2 gram olma olasılık değeri

{\dfrac{3}{10}}

, 3 gram olma olasılık değeri

{\dfrac{1}{5}}

, 4 gram olma olasılık değeri

{\dfrac{1}{10}}

'dir.

{A}

: sapmanın 2 gramdan büyük olması,

{B}

: sapmanın 1 gramdan büyük olması olayı olsun.Koşullu olasılık için bir hesap yolu şudur: daralan kümedeki istenen çıktı sayısı, daralan kümedeki bütün çıktıların sayısına bölünür. Bu yola sayım biçimi diyelim.Buna göre aşağıdaki soruları cevaplayınız.

a)
Bir tartımda ${B}$ olayının gerçekleştiği bilindiğine göre ${A}$ olayının olasılık değerini sayım biçimiyle hesaplayınız.(4 puan)
b)
Aynı koşullu olasılığı ${P(A \mid B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(B)}}$ oran biçimiyle hesaplayınız.(5 puan)
c)
Sayım biçimi, çıktılar hakkında kökte yazılmayan bir koşulu sessizce varsayar. Bu koşulu bir cümleyle yazınız, daralan kümedeki olasılık değerlerini kullanarak koşulun bu deneyde sağlanmadığını gösteriniz ve (a) ile (b) maddelerinde bulunan iki sayının eşit olmamasının bu koşuldan geldiğini yazınız.(6 puan)

Çözümü göster

Soru 32SözelAçık uçlu15 puanZor

Bir okulun bilim şenliğinde üç öğrenci, kendi tasarladıkları paraşütlerle birer yumurta düşürme denemesi yapacaktır. Denemeler ayrı ayrı yapılmaktadır ve birinin sonucu ötekilerin sonucunu etkilememektedir.

{A}

: birinci paraşütteki yumurtanın kırılmadan yere inmesi,

{B}

: ikinci paraşütteki yumurtanın kırılmadan yere inmesi,

{C}

: üçüncü paraşütteki yumurtanın kırılmadan yere inmesi olayı olsun.

{P(A) = \dfrac{3}{5}}

{P(B) = \dfrac{3}{4}}

{P(C) = \dfrac{5}{6}}

olarak veriliyor.Buna göre aşağıdaki soruları cevaplayınız.

a)
Üç yumurtadan tam olarak ikisinin kırılmadan indiği durumların hepsini, birbirinden ayrık durumlar olarak listeleyiniz.(4 puan)
b)
Listelediğiniz durumların olasılık değerlerini bulunuz ve tam olarak iki yumurtanın kırılmadan inme olasılık değerini hesaplayınız.(5 puan)
c)
Tam olarak iki yumurtanın kırılmadan inmesi ile iki ya da üç yumurtanın kırılmadan inmesi olaylarının arasındaki fark tek bir durumdan gelmektedir. Bu durumu adlandırınız, olasılık değerini bulunuz ve iki olayın olasılık değerleri arasındaki bağıntıyı bir kural cümlesi olarak yazınız.(6 puan)

Çözümü göster

Soru 33Yeni nesilAçık uçlu20 puanİleri

İki aşamalı bir deneyde birinci aşamanın sonucu

{M}

ya da

{N}

, ikinci aşamanın sonucu

{K}

{L}

ya da

{T}

olmaktadır.

{P(M) = \dfrac{3}{5}}

{P(N) = \dfrac{2}{5}}

'dir.Birinci aşamada

{M}

çıktığı bilindiğine göre ikinci aşamada

{K}

{L}

{T}

çıkma olasılık değerleri sırasıyla

{\dfrac{1}{2}}

{\dfrac{1}{4}}

{\dfrac{1}{4}}

olur. Birinci aşamada

{N}

çıktığı bilindiğine göre bu üç değer sırasıyla

{\dfrac{1}{4}}

{\dfrac{3}{8}}

{\dfrac{3}{8}}

olur.

{S}

: ikinci aşamada

{T}

sonucunun çıkmaması olayı olsun.Şekilde alanı 1 birim olan bir dikdörtgen tek bir düşey çizgiyle iki sütuna bölünmüştür: sol sütunun alanı

{P(M)}

, sağ sütunun alanı

{P(N)}

değerine eşittir. Bir bölgenin alanı, o bölgenin gösterdiği durumun olasılık değeridir. Kenarlardaki tik işaretleri sütunların yüksekliğini sekiz eşit parçaya böler.Buna göre aşağıdaki soruları cevaplayınız.

a)
Her sütunun içine, ikinci aşamanın ${K}$ , ${L}$ ve ${T}$ bölgelerini ayıran ikişer yatay doğru parçasını tik işaretlerini kullanarak çiziniz. Sonra hangi bölgenin hangi sonuca karşılık geldiğini bir cümleyle yazınız.(7 puan)
b)
${S}$ olayının gerçekleştiği bilindiğine göre ikinci aşamada ${K}$ çıkma olasılık değerini bulunuz. Koşulun bıraktığı bölgeleri, aralarındaki kesikler görünür kalacak biçimde ayrı ayrı şekil üzerinde tarayınız, taradığınız bölgelerin alanlarını hesaplayınız ve aradığınız değeri sadeleşmiş kesir olarak yazınız.(7 puan)
c)
Bu şekilde bazı olasılık değerleri çarpılarak, bazıları toplanarak kullanılır. Çarpmanın ve toplamanın her birinin hangi durumda kullanıldığını birer kural cümlesi hâlinde yazınız ve her kuralı kendi çiziminizden bir örnekle gösteriniz.(6 puan)

Çözümü göster

Ders kılavuzu

Dersi açmak için çengel sorular, kavramı somutlaştıran benzetmeler ve öğrencilerin sık yaptığı yanlışlar.

Derse giriş: çengel sorular

Yağmur ve şemsiye
Rastgele bir günde birinin şemsiye taşıma olasılığı düşüktür. Ama gökyüzünün kara bulutlarla kaplı olduğunu biliyorsak? Yeni bilgi olasılığı değiştirir. Koşullu olasılık, bilinen bir bilginin ışığında yeniden hesaplanan olasılıktır.
Tablodan iki soru
Sınıfın gözlük tablosunu tahtaya yazın. "Seçilen kişi kızsa gözlüklü olma olasılığı" ile "seçilen kişi gözlüklüyse kız olma olasılığı" aynı mı? İki sorunun paydası farklı gruptur; cevaplar da farklıdır.
Torbadan iki top
Torbada 4 kırmızı, 2 mavi top var. İlk çekilen top kırmızıysa ve geri konmazsa, ikinci çekilişte torbada ne değişti? Öğrencilere torbanın yeni hâlini çizdirin; koşul örnek uzayı küçültür.

Benzetmeler

Koşullu olasılık
Bir dürbünle bakmaktır: koşul görüş alanını daraltır, artık yalnız o bölgedeki sonuçlar sayılır.
Bağımsız olaylar
Birbirinin hesabına karışmayan iki komşudur. ${B}$ 'nin olması ${A}$ 'nın olasılığını değiştirmiyorsa ${P(A \mid B) = P(A)}$ olur.
Geri koymadan çekiliş
Bir pastadan dilim almak gibidir: alınan dilim geri gelmez, sonraki seçimde pasta küçülmüştür.

Sık yapılan yanlışlar

${P(A \mid B) = P(B \mid A)}$ 'dır.
Paydalar farklıdır. Gözlüklülerin içinde kızların oranı ile kızların içinde gözlüklülerin oranı genellikle farklıdır.
Aynı tablodan iki olasılığı hesaplatıp karşılaştırtın.
Koşullu olasılıkta payda yine bütün sınıftır.
Koşul örnek uzayı değiştirir; payda koşulu sağlayanların sayısıdır.
Önce "kimler arasından seçiyoruz?" sorusunu cevaplatın.
${P(A \cap B)}$ ile ${P(A \mid B)}$ aynıdır.
Birincisi bütün içinde ikisinin birlikte olmasıdır; ikincisi ${B}$ 'nin içinde ${A}$ 'nın olmasıdır. ${P(A \cap B) = P(B) \cdot P(A \mid B)}$ .
Tablonun bir hücresini iki farklı paydaya böldürün.
Geri koymadan çekilişte ikinci çekilişin olasılığı birinciyle aynıdır.
İlk çekilen top torbadan çıktığı için hem toplam hem renk sayısı değişir.
Torbanın her çekilişten sonraki hâlini tabloya yazdırın.
Koşul bilgisi olasılığı her zaman artırır.
Bilgi olasılığı artırabilir, azaltabilir ya da değiştirmeyebilir (bağımsızlık).
Üç durum için birer örnek hazırlatın.
Zarın çift geldiği biliniyorsa 4'ten büyük olma olasılığı ${\dfrac{2}{6}}$ 'dir.
Örnek uzay ${\{2, 4, 6\}}$ 'dır; 4'ten büyük olan yalnız 6'dır: ${\dfrac{1}{3}}$ .
Koşullu soruda örnek uzayı her zaman küme olarak yazdırın.

Tahtada anlatım sırası9 adımı göster

1
Yağmur çengeliyle bilginin olasılığı değiştirdiğini konuşun; öğrencilerden tahmin isteyin.
Süreç bileşeni a: varsayımda bulunur.
2
İki zar ya da torba deneyinde bütün çıktıları listeletin.
Süreç bileşeni b: olası çıktıları listeler.
3
Koşulu sağlayan çıktıları işaretletip yeni örnek uzayı belirleyin.
Süreç bileşeni c: çıktı sayılarını karşılaştırır.
4
Tablodan iki soru çengeliyle iki ayrı koşullu olasılık hesaplatın.
$\displaystyle P(A \mid B) = \dfrac{n(A \cap B)}{n(B)}$
5
Sayılardan olasılıklara geçip tanımı yazın.
$\displaystyle P(A \mid B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(B)}$
Süreç bileşeni ç: önerme sunar.
6
Çarpma kuralını tanımdan türetin ve geri koymadan çekilişte kullanın.
$\displaystyle P(A \cap B) = P(B) \cdot P(A \mid B)$
7
Bağımsızlık: koşulun olasılığı değiştirmediği bir örneği (iki ayrı zar) inceleyin.
8
Gerçek yaşam: sağlık, hava durumu ya da trafik verisiyle bir koşullu olasılık yorumlatın.
Süreç bileşeni d: gerçek yaşamda değerlendirir.
9
Kapanış: "P(A | B) ile P(B | A) aynı mı?" sorusunu bir örnekle cevaplatın.

Ödev ve çalışma kâğıdı

Her antrenman tek bir beceriyi bol tekrarla çalıştırır. Hangisinden kaç kalem istediğini seç; kâğıt ve çözümlü cevap anahtarı tarayıcında hazırlanır.

Ödev kâğıdı oluştur

Her alıştırmadan kaç kalem istediğini seç. Kalemler hazır havuzdan rastgele gelir; iki sınıfa iki ayrı kâğıt verebilirsin. Çözümlü cevap anahtarı da hazır.

Alıştırmalar

Koşulu sağlayan sonuçları yeni örnek uzay olarak yazınız; geri konmadan çekilişte torbanın yeni hâlini kullanınız.
1. 1)Bir torbada 4 kırmızı ve 1 mavi top vardır. Geri konmadan art arda iki top çekiliyor. İlk topun kırmızı olduğu bilindiğine göre ikincinin de kırmızı olma olasılığı kaçtır?= $\displaystyle \frac{3}{4}$
2. 2)Bir zar atılıyor. Gelen sayının çift olduğu bilindiğine göre 3 sayısından büyük olma olasılığı kaçtır?= $\displaystyle \frac{2}{3}$
3. 3)Bir torbada 7 kırmızı ve 8 mavi top vardır. Geri konmadan art arda iki top çekiliyor. İlk topun kırmızı olduğu bilindiğine göre ikincinin de kırmızı olma olasılığı kaçtır?= $\displaystyle \frac{3}{7}$
/ 40
${P(A \mid B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(B)}}$ bağıntısını kullanınız.
1. 1) ${P(A \cap B) = \frac{3}{20}}$ ve ${P(B) = \frac{9}{20}}$ olduğuna göre ${P(A \mid B)}$ kaçtır?= $\displaystyle \frac{1}{3}$
2. 2) ${P(B) = \frac{2}{5}}$ ve ${P(A \mid B) = \frac{3}{5}}$ olduğuna göre ${P(A \cap B)}$ kaçtır?= $\displaystyle \frac{6}{25}$
3. 3) ${P(A \cap B) = \frac{1}{20}}$ ve ${P(B) = \frac{7}{20}}$ olduğuna göre ${P(A \mid B)}$ kaçtır?= $\displaystyle \frac{1}{7}$
/ 40
Koşul olan grup yeni örnek uzaydır: tabloda koşulun satırını ya da sütununu bulup paydaya o grubun toplamını yazınız.
1. 1)Bir sınıftan rastgele seçilen öğrencinin kız olduğu bilindiğine göre gözlüklü olma olasılığı kaçtır?= $\displaystyle \frac{1}{12}$
2. 2)Bir sınıftan rastgele seçilen öğrencinin gözlüklü olduğu bilindiğine göre kız olma olasılığı kaçtır?= $\displaystyle \frac{9}{32}$
3. 3)Bir sınıftan rastgele seçilen öğrencinin erkek olduğu bilindiğine göre gözlüksüz olma olasılığı kaçtır?= $\displaystyle \frac{15}{38}$
/ 40

Kâğıt başlığı

Çalışma boşluğu

Yok8 mm15 mm25 mm

Ad, sınıf, süre satırıCevap anahtarında kısa çözüm

0 kalem

İndirmek için en az bir kalem seç.

Kazanım künyesi

10. sınıf Koşullu olasılık için 33 çözümlü soru: soruları sayfada çöz, takıldığında adım adım çözümü aç; seçtiğin sorulardan test, yaprak test ya da yazılı kâğıdı hazırla ve cevap anahtarıyla PDF olarak indir; ödev için alıştırma (çalışma) kâğıdı çıkar; derste soruları akıllı tahtada tek tek aç; ders kılavuzunda derse giriş, kavram yanılgıları ve tahta akışı var. 2. dönem yazılısına ve ortak sınava hazırlıkta kullanılır.

Kod: MAT.10.7.1
Kapsadığı konular: olasılık, koşullu olasılık problemleri
Dönem ve hafta: 2. dönem, 33, 34. haftalar, 10 ders saati
Süreç bileşenleri: a)Bir olayın gerçekleşmesinin diğer bir olayın meydana gelmesine bağlı olduğu durumlara ilişkin mevcut olasılık bilgisini kullanarak varsayımda bulunur.
b)Bir olayın gerçekleşmesinin diğer bir olayın meydana gelmesine bağlı olduğu gerçek yaşam durumlarına ilişkin olası tüm çıktıları listeler.
c)Bir olayın gerçekleşmesinin diğer bir olayın meydana gelmesine bağlı olduğu ya da olmadığı durumlarda olası tüm çıktıların sayısı ile istenen durumların sayısını karşılaştırır.
ç)Bir olayın gerçekleşmesinin diğer bir olayın meydana gelmesine bağlı olduğu durumların olasılığını hesaplamaya yönelik matematiksel önerme sunar.
d)Bir olayın gerçekleşmesinin diğer bir olayın meydana gelmesine bağlı olduğu ya da olmadığı gerçek yaşam durumlarının olasılığını koşullu olasılık ile değerlendirir.
Ders kitabında: 7. Tema — Veriden Olasılığa, 7.1 Koşullu Olasılık

Koşullu olasılık

Sorular ve çözümleri

Ders kılavuzu

Derse giriş: çengel sorular

Benzetmeler

Sık yapılan yanlışlar

Ödev ve çalışma kâğıdı

Ödev kâğıdı oluştur

Test PDF'i

Test PDF'i hazırla

Kazanım künyesi