9. sınıf, Eşlik ve BenzerlikMAT.9.4.2

Eşlik ve benzerlik koşulları

Eşlik ve Benzerlik Koşulları

Kazanım: İki üçgenin eş veya benzer olması için gerekli olan asgari koşullarla ilgili çıkarım yapabilme.

Tahtada aç Yazılı hazırla

Sorular ve çözümleri

Her sorunun altında adım adım çözüm var. Çoktan seçmelide doğru şık, çözümü açınca işaretlenir.

Zorluk

Cevap biçimi

Soru türü

Şekil

48 soru gösteriliyor

Soru 1KavramÇoktan seçmeli5 puanOrta

Şekilde

{ABC}

üçgeni ile bu üçgene bir geometrik dönüşüm uygulanarak elde edilen

{A'B'C'}

üçgeni verilmiştir. Şekilde hiçbir uzunluk ve açı ölçüsü yazılmamıştır.Buna göre bir öğrenci, hiçbir ölçüm yapmadan aşağıdakilerden hangisini kesin olarak söyleyebilir?

A $\displaystyle ABC \cong A'B'C'$
B $İki üçgen benzerdir ama eş oldukları söylenemez.$
C $Eşliği söyleyebilmek için en az üç ölçüm yapılmalıdır.$
D $İki üçgenin alanları farklıdır.$
E $\displaystyle A \text{ ile } A' \text{ noktaları çakışıktır.}$

Çözümü göster

ADoğru cevap

1
Geometrik dönüşümler kenar uzunluklarını ve açı ölçülerini korur (MAT.9.4.1).
2
Bir şeklin dönüşüm altındaki görüntüsünde karşılıklı kenar uzunlukları ve açı ölçüleri eşit olduğundan şekil ile görüntüsü tanımı gereği eştir.
3
Bu sonuç ölçümden değil dönüşümün kendisinden geldiği için tek bir ölçü verilmeden yazılabilir: ${ABC \cong A'B'C'}$

Yanlış şıklar neden yanlış?

B)Benzerlik oranı 1 olan benzer üçgenler eştir; dönüşüm uzunlukları koruduğu için oran zaten 1'dir (kılavuz, 9. yanılgı).
C)Asgari koşullar ölçüm yapılan durumlar içindir; burada eşlik dönüşümün kendisinden gelir, ölçümden değil.
D)Dönüşüm alanı korur (MAT.9.4.1); görüntünün döndürülmüş görünmesi alanı değiştirmez.
E)Eşlik noktaların yerinin aynı olmasını gerektirmez; şekilde görüntü zaten başka bir yerdedir.

Soru 2KavramÇoktan seçmeli6 puanOrta

Şekilde

{ABC}

{DEF}

üçgenlerinin kenarları çentiklerle işaretlenmiştir. Aynı sayıda çentik taşıyan kenarların uzunlukları eşittir.Buna göre bu iki üçgenin eşliği aşağıdakilerden hangisiyle doğru gösterilir?

A $\displaystyle ABC \cong DEF$
B $\displaystyle ABC \cong EFD$
C $\displaystyle ABC \cong FDE$
D $\displaystyle ABC \cong EDF$
E $\displaystyle ABC \cong DFE$

Çözümü göster

BDoğru cevap

1
Eşlik yazımında karşılıklı köşeler aynı sırada yazılır; bu yüzden önce hangi köşenin hangisine karşılık geldiği bulunur.
2
Tek çentikli kenarlar ${[AB]}$ ile ${[EF]}$ , çift çentikliler ${[BC]}$ ile ${[FD]}$ , üç çentikliler ${[CA]}$ ile ${[DE]}$ 'dir.
3
${A}$ köşesinin kenarları tek ve üç çentiklidir; ${E}$ köşesinin kenarları da tek ve üç çentiklidir, yani ${A \leftrightarrow E}$ olur. Aynı okuma ile ${B \leftrightarrow F}$ ve ${C \leftrightarrow D}$ bulunur.
4
Karşılıklı köşeler sırayla yazılınca ${ABC \cong EFD}$ elde edilir.

Yanlış şıklar neden yanlış?

A)Köşeler alfabetik sırayla eşlenmiş; çentikler okunmamış. Bölümün en sık yapılan yazım hatası (kılavuz, 3. yanılgı).
C)Eşleme bir basamak ters yöne kaydırılmış: bu yazım ${A}$ ile ${F}$ 'yi eşler, oysa ${A}$ köşesinin kenarları tek ve üç çentiklidir, ${F}$ köşesininki tek ve çift.
D)İlk harf doğru bulunmuş ama kalan ikisi alfabetik bırakılmış; kısmi eşleşme tuzağı.
E)Yalnız son iki harf yer değiştirilmiş; ${A}$ ile ${D}$ eşlenemez çünkü ${D}$ köşesinin kenarları üç ve çift çentiklidir.

Soru 3İşlemKısa cevap3 puanKolay

{KLM \cong PRS}

olduğu bilinmektedir.

{|KL| = 11}

cm,

{|LM| = 7}

cm ve

{|MK| = 9}

cm'dir.Buna göre

{|RS|}

kaç cm'dir?

Çözümü göster

Cevap: $\displaystyle 7$

1
Eşlik yazımında karşılıklı köşeler aynı sırada yazılır: ${K \leftrightarrow P}$ , ${L \leftrightarrow R}$ , ${M \leftrightarrow S}$ .
2
${[RS]}$ kenarının uçları ${R}$ ve ${S}$ olduğuna göre karşılığı, uçları ${L}$ ve ${M}$ olan ${[LM]}$ kenarıdır.
3
${|RS| = |LM| = 7}$

Soru 4KavramAçık uçlu10 puanZor

Şekilde birim kareli bir zemin üzerinde

{ABC}

üçgeni ile

{A'B'C'}

üçgeni verilmiştir.

{A'B'C'}

üçgeni,

{ABC}

üçgenine bir ya da birden çok geometrik dönüşüm uygulanarak elde edilmiştir.

a)
${ABC}$ üçgenini ${A'B'C'}$ üçgenine taşıyan tek bir dönüşüm yazınız ve iki üçgenin eş olduğunu bu dönüşümle açıklayınız.(4 puan)
b)
Bir öğrenci, iki eş üçgen arasındaki dönüşümün her zaman tek olduğunu söylemektedir. ${ABC}$ üçgenini ${A'B'C'}$ üçgenine taşıyan ikinci ve farklı bir dönüşüm dizisi yazarak öğrencinin yanıldığını gösteriniz.(6 puan)

Çözümü göster

a) bölümü

1
Karşılıklı köşelerin yerleri karşılaştırılır: ${A(1, 1)}$ ile ${A'(7, 1)}$ , ${B(4, 2)}$ ile ${B'(10, 2)}$ , ${C(2, 4)}$ ile ${C'(8, 4)}$ .
2
Her köşe 6 birim sağa, 0 birim yukarı gitmiştir; bütün noktalar aynı yönde ve aynı miktarda kaydığı için dönüşüm bir ötelemedir.
3
Öteleme kenar uzunluklarını ve açı ölçülerini koruduğundan şekil ile görüntüsü eştir, yani ${ABC \cong A'B'C'}$ olur.
4
Aranan dönüşüm: $6 birim sağa öteleme$

Puanlama ölçütü

Dönüşümü 6 birim sağa öteleme olarak yazar2 puan
Eşliği ötelemenin uzunluk ve açıyı korumasına bağlar2 puan

b) bölümü

1
İki paralel doğruya göre ardışık yansıma bir ötelemedir ve öteleme miktarı, doğrular arası uzaklığın iki katıdır (MAT.9.4.1).
2
İstenen öteleme 6 birim olduğuna göre doğrular arası uzaklık ${6 : 2 = 3}$ birim olmalıdır.
3
Örneğin düşey duran ve aralarında 3 birim bulunan iki doğru seçilir; ilkine göre yansıyan üçgen ikincisine göre yansıtılınca ${A'B'C'}$ üçgeni elde edilir.
4
Böylece aynı görüntüye iki farklı yoldan ulaşılmıştır; öğrencinin iddiası yanlıştır çünkü eşlik, hangi dönüşümün uygulandığını belirlemez: $Aralarındaki uzaklık 3 birim olan iki düşey doğruya göre ardışık yansıma$

Puanlama ölçütü

İkinci bir dizi olarak iki paralel doğruya göre ardışık yansımayı yazar2 puan
Doğrular arası uzaklığı 3 birim olarak hesaplar2 puan
Eşliğin uygulanan dönüşümü belirlemediğini yazar2 puan

Soru 5KavramÇoktan seçmeli4 puanKolay

Şekilde

{ABC}

{DEF}

üçgenlerinin kenar uzunlukları verilmiştir.Buna göre bu iki üçgenin eş olduğu aşağıdaki koşulların hangisinden söylenir?

A $Kenar-Açı-Kenar (K.A.K.)$
B $Açı-Kenar-Açı (A.K.A.)$
C $Kenar-Kenar-Kenar (K.K.K.)$
D $Açı-Açı-Açı (A.A.A.)$
E $Verilenler eşlik için yeterli değildir.$

Çözümü göster

CDoğru cevap

1
Şekilde yalnız kenar uzunlukları verilmiştir: ${|AB| = |DE| = 8}$ , ${|BC| = |EF| = 6}$ , ${|CA| = |FD| = 7}$ cm.
2
Üç kenar uzunluğu bilinen tek bir üçgen çizilebildiğinden, karşılıklı üç kenarı eşit olan iki üçgen eştir.
3
Bu koşulun adı $Kenar-Kenar-Kenar (K.K.K.)$ eşliğidir.

Yanlış şıklar neden yanlış?

A)Şekilde hiçbir açı ölçüsü verilmemiştir; K.A.K. iki kenarın yanında aralarındaki açıyı ister.
B)Şekilde hiçbir açı ölçüsü verilmemiştir.
D)A.A.A. bir eşlik koşulu değildir; üç açısı bilinen sonsuz tane üçgen çizilebilir (kılavuz, 1. yanılgı).
E)Üç kenar uzunluğu bir üçgeni tek biçimde belirler; verilenler yeterlidir.

Soru 6KavramAçık uçlu10 puanZor

Bir öğrenci, eşlik koşullarını incelerken şu önermeyi yazmıştır:

İki üçgenin ikişer kenar uzunluğu ile bu kenarlardan birinin karşısındaki açının ölçüsü eşitse bu iki üçgen eştir.

Şekilde verilen iki üçgende

{|AB| = |DE| = 7}

birim,

{|BC| = |EF| = 5}

birim ve

{\text{m}(B\widehat{A}C) = \text{m}(E\widehat{D}F) = 40^{\circ}}

'dir.

a)
Şekildeki iki üçgeni kullanarak öğrencinin önermesinin doğru olmadığını gösteriniz.(5 puan)
b)
Öğrencinin önermesinde tek bir sözcük değiştirilerek önerme doğru hâle getirilebilir. Düzeltilmiş önermeyi yazınız.(5 puan)

Çözümü göster

Soru 7KavramÇoktan seçmeli6 puanOrta

Şekilde

{ABC}

{DEF}

üçgenlerinde

{|AB| = |DE| = 7}

cm'dir. Aynı sayıda yayla işaretlenen açıların ölçüleri eşittir; yani

{\text{m}(B\widehat{A}C) = \text{m}(E\widehat{D}F)}

{\text{m}(A\widehat{B}C) = \text{m}(D\widehat{E}F)}

'dir. Bu verilerle iki üçgenin eş olduğu Açı-Kenar-Açı (A.K.A.) koşulundan söylenir.Bir öğrenci bu koşulla ilgili şunu iddia etmektedir:

Eşit olan kenar, eşit açıların arasında olmalıdır; arasında olmasaydı eşlik kurulamazdı.

Buna göre öğrencinin iddiası için aşağıdakilerden hangisi söylenebilir?

A $Doğrudur; A.K.A. koşulu kenarın iki açının arasında olmasını şart koşar.$
B $Doğrudur; kenar arada olmazsa K.K.A. durumu doğar ve eşlik kurulamaz.$
C $Yanlıştır; iki açı eşitse üçüncü açı da eşit olur, bu yüzden karşılıklı herhangi bir kenarın eşitliği yeter.$
D $Yanlıştır; iki açının eşitliği tek başına eşlik için yeterlidir.$
E $Yanlıştır; bu verilerle üçgenlerin yalnız benzer olduğu söylenebilir.$

Çözümü göster

Soru 8KavramÇoktan seçmeli5 puanOrta

Şekilde

{ABC}

{DEF}

üçgenlerinde aynı sayıda yayla işaretlenen açıların ölçüleri eşittir. Ayrıca

{DEF}

üçgeninin her kenarı,

{ABC}

üçgeninin karşılıklı kenarının

{1{,}5}

katı uzunluktadır.Buna göre bu iki üçgen için aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

A $Benzerdirler; eş değildirler.$
B $Eştirler; üç açısı eşit olan üçgenler eştir.$
C $Eştirler; kenar oranı eşliği bozmaz.$
D $Ne eş ne benzerdirler.$
E $Benzerdirler ve benzerlik oranları 1'dir.$

Çözümü göster

Soru 9KavramÇoktan seçmeli8 puanZor

Şekilde

{ABC}

{DEF}

üçgenlerinde

{|AB| = |DE| = 9}

cm ve

{|CA| = |FD| = 7}

cm'dir.

{A}

{D}

köşelerindeki açılar yayla gösterilmiş, ölçüleri verilmemiştir. Bu hâliyle iki üçgenin eş olduğu söylenemez.Buna göre aşağıdaki bilgilerden hangisi tek başına verilirse iki üçgenin eş olduğu kesin olarak söylenebilir?

A $\displaystyle \text{m}(A\widehat{B}C) = \text{m}(D\widehat{E}F)$
B $Her iki üçgen de ikizkenardır.$
C $\displaystyle \text{m}(B\widehat{A}C) = \text{m}(E\widehat{D}F)$
D $\displaystyle \text{m}(A\widehat{C}B) = \text{m}(D\widehat{F}E)$
E $BC kenarının uzunluğu 7 cm'dir.$

Çözümü göster

Soru 10KavramAçık uçlu10 puanZor

Şekildeki

{ABC}

ikizkenar üçgeninde

{|CA| = |CB|}

'dir.

{C}

köşesinden

{[AB]}

kenarına çizilen

{[CH]}

bir kenarortaydır, yani

{|AH| = |HB|}

'dir.

a)
${ACH}$ ve ${BCH}$ üçgenlerinin eş olduğunu, kullandığınız eşlik koşulunu adlandırarak gösteriniz.(4 puan)
b)
(a) şıkkındaki eşlikten yararlanarak ${[CH]}$ kenarortayının aynı zamanda yükseklik olduğunu gösteriniz.(6 puan)

Çözümü göster

Soru 11KavramÇoktan seçmeli6 puanOrta

Şekilde

{ABCD}

paralelkenarı ile

{[AC]}

köşegeni verilmiştir. Paralelkenarın tanımı gereği

{[AB] \mathrel{/\!\!/} [DC]}

{[AD] \mathrel{/\!\!/} [BC]}

'dir. Bu paralelliklerden doğan ters açılar şekilde aynı sayıda yayla işaretlenmiştir.Bir öğrenci, yalnız bu açı eşitliklerini ve köşegeni kullanarak

{ABC}

ile

{CDA}

üçgenlerinin eş olduğunu göstermek istemektedir.Buna göre öğrencinin kullanması gereken eşlik koşulu aşağıdakilerden hangisidir?

A $Kenar-Kenar-Kenar (K.K.K.)$
B $Açı-Kenar-Açı (A.K.A.)$
C $Kenar-Açı-Kenar (K.A.K.)$
D $Açı-Açı-Açı (A.A.A.)$
E $Verilenler eşlik için yeterli değildir.$

Çözümü göster

Soru 12SözelKısa cevap6 puanOrta

Bir tasarımcı, kare biçimindeki

{ABCD}

levhasının üzerine iki düz kanal açmak istemektedir. Şekilde

{|AB| = 12}

cm'dir.

{E}

noktası

{[BC]}

kenarı üzerinde,

{F}

noktası

{[CD]}

kenarı üzerinde olmak üzere

{|BE| = |CF| = 5}

cm'dir. Kanallar

{[AE]}

{[BF]}

doğru parçaları boyunca açılacaktır.Buna göre iki kanalın kesiştiği noktada oluşan açının ölçüsü kaç derecedir?

Çözümü göster

Soru 13Yeni nesilÇoktan seçmeli8 puanZor

Şekildeki

{ABC}

ikizkenar üçgeninde

{|CA| = |CB| = 8}

cm ve

{\text{m}(A\widehat{C}B) = 40^{\circ}}

'dir.Bu üçgen,

{C}

köşesi etrafında saatin tersi yönünde

{100^{\circ}}

döndürülerek

{A'B'C}

üçgeni elde ediliyor. Dönme sonunda

{[CA']}

ışını,

{[CB]}

ışınının öte tarafına geçmektedir.Buna göre

{\text{m}(C\widehat{B}A')}

kaç derecedir?

A $\displaystyle 40$
B $\displaystyle 50$
C $\displaystyle 60$
D $\displaystyle 70$
E $\displaystyle 100$

Çözümü göster

Soru 14KavramÇoktan seçmeli5 puanOrta

Benzer üçgenlerin tanımı iki koşulu birlikte yazar: karşılıklı açılar eş ve karşılıklı kenarlar orantılıdır.Ancak iki üçgenin benzer olduğunu göstermek için bu koşulların tamamını tek tek denetlemek gerekmez; daha az veriyle de karar verilebilir.Buna göre aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

A $Karşılıklı üç kenarın orantılı olması tek başına benzerlik için yeterlidir.$
B $Benzerlik için hem üç açı hem üç kenar ayrı ayrı denetlenmelidir.$
C $İki açının eşitliği yetmez; üçüncü açının da eş olduğu gösterilmelidir.$
D $Kenar oranlarından ikisinin eşit olması benzerlik için yeterlidir.$
E $Karşılıklı açıların eş olması benzerlik için yeterli değildir, kenar oranı da gösterilmelidir.$

Çözümü göster

Soru 15KavramÇoktan seçmeli5 puanOrta

{ABC}

{DEF}

üçgenleri için

{ABC \sim DEF}

ve benzerlik oranı

{k}

'dır.Buna göre eşlik ile benzerlik arasındaki ilişki için aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

A $Her eş üçgen çifti benzerdir ama her benzer üçgen çifti eş değildir.$
B $Her benzer üçgen çifti eştir ama her eş üçgen çifti benzer değildir.$
C $Eşlik ile benzerlik aynı şeydir; ikisi de karşılıklı açıların eşitliğini ister.$
D $Benzerlik oranı 1'den büyükse üçgenler eştir.$
E $Eş üçgenlerin benzerlik oranı tanımsızdır.$

Çözümü göster

Soru 16SözelKısa cevap5 puanOrta

Bir mimar, tasarladığı üçgen biçimli çatı makasının

{1 : 50}

ölçekli maketini yapmıştır. Maketteki üçgenin çevresi

{96}

cm'dir.Buna göre gerçek çatı makasının çevresi kaç metredir?

Çözümü göster

Soru 17KavramÇoktan seçmeli4 puanKolay

Şekilde

{ABC}

{DEF}

üçgenlerinde aynı sayıda yayla işaretlenen açıların ölçüleri eşittir. İki üçgenin kenar uzunlukları hakkında hiçbir bilgi verilmemiştir.Buna göre bu iki üçgen için aşağıdakilerden hangisi kesin olarak söylenir?

A $\displaystyle \text{Eştirler.}$
B $\displaystyle \text{Benzerdirler.}$
C $Ne eş ne benzerdirler.$
D $Benzer olup olmadıkları ancak üçüncü açı da ölçülürse söylenir.$
E $Benzer olup olmadıkları ancak bir kenar oranı da bilinirse söylenir.$

Çözümü göster

Soru 18İşlemKısa cevap5 puanOrta

Şekilde verilen

{ABC}

{DEF}

üçgenleri benzerdir ve

{ABC \sim DEF}

biçiminde yazılmaktadır.Buna göre

{x}

kaç birimdir?

Çözümü göster

Soru 19KavramÇoktan seçmeli8 puanZor

Bir öğrenci, şekildeki iki üçgen için defterine şunları yazmıştır:

{\dfrac{|AB|}{|DE|} = \dfrac{4}{8} = \dfrac{1}{2}}

{\quad \dfrac{|BC|}{|EF|} = \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2}}

{\quad \text{m}(B\widehat{A}C) = \text{m}(E\widehat{D}F) = 40^{\circ}}

Öğrenci buradan

{ABC \sim DEF}

sonucunu çıkarmıştır. Oysa şekildeki üçgenler benzer değildir.Buna göre öğrencinin yaptığı hata aşağıdakilerden hangisidir?

A $\displaystyle \text{Oranları ters kurmuştur; doğrusu } \dfrac{|DE|}{|AB|} \text{ biçiminde yazılmalıydı.}$
B $Eş olan açı, oranı eşit olan iki kenarın arasında değildir.$
C $İki kenar oranı yetmez; üçüncü kenar oranı da yazılmalıydı.$
D $Açı ölçüsü iki üçgende de 40 derece olduğu için açı bilgisi kullanılamaz.$
E $Benzerlik için açıların değil yalnız kenarların incelenmesi gerekir.$

Çözümü göster

Soru 20KavramÇoktan seçmeli6 puanOrta

Bir öğrenci, eşlik ve benzerlik koşullarını öğrendikten sonra aşağıdaki beş önermeyi yazmıştır.I. Eş üçgenler benzerdir.II. Karşılıklı üç açısı eş olan iki üçgen benzerdir.III. Benzerlik oranı

{1}

olan iki benzer üçgen eştir.IV. Karşılıklı iki kenarı orantılı ve karşılıklı bir açısı eş olan iki üçgen benzerdir.V. Benzer üçgenler eştir.Buna göre bu önermelerden hangileri her zaman doğrudur?

A $Yalnız I ve III$
B $I, II ve III$
C $I, II, III ve IV$
D $II, IV ve V$
E $\displaystyle \text{Hepsi}$

Çözümü göster

Soru 21İşlemKısa cevap6 puanOrta

Şekilde

{ABC}

üçgeninde

{D}

noktası

{[AB]}

kenarı,

{E}

noktası

{[AC]}

kenarı üzerindedir ve

{[DE] \mathrel{/\!\!/} [BC]}

'dir.Buna göre

{|BC|}

kaç birimdir?

Çözümü göster

Soru 22KavramAçık uçlu10 puanZor

Şekilde

{ABC}

üçgeninde

{K}

noktası

{[AB]}

kenarının,

{L}

noktası

{[AC]}

kenarının orta noktasıdır. Eşit uzunluktaki parçalar aynı sayıda çentikle işaretlenmiştir.

a)
${AKL}$ ile ${ABC}$ üçgenlerinin benzer olduğunu, kullandığınız benzerlik koşulunu adlandırarak gösteriniz ve buradan ${|BC| = 2 \cdot |KL|}$ olduğunu yazınız.(5 puan)
b)
Aynı benzerlikten yararlanarak ${[KL] \mathrel{/\!\!/} [BC]}$ olduğunu gösteriniz.(5 puan)

Çözümü göster

Soru 23İşlemÇoktan seçmeli6 puanOrta

Şekilde

{[AB] \mathrel{/\!\!/} [DE]}

'dir.

{A}

{C}

{E}

noktaları doğrusal;

{B}

{C}

{D}

noktaları da doğrusaldır.Buna göre

{|DE|}

kaç birimdir?

A $\displaystyle 1{,}5$
B $\displaystyle 4$
C $\displaystyle 6$
D $\displaystyle 8$
E $\displaystyle 12$

Çözümü göster

Soru 24Yeni nesilÇoktan seçmeli10 puanİleri

Bir okulun girişine engelli rampası yapılmaktadır. Rampa yandan bakıldığında şekildeki

{ABC}

dik üçgeni biçimindedir:

{[AB]}

yer düzlemi,

{[BC]}

rampanın yüksekliği,

{[AC]}

ise üzerinde yürünen eğimli yüzeydir.Rampanın altına, yer düzlemine dik olacak biçimde bir destek çubuğu yerleştirilmiştir. Çubuğun tabanı

{[AB]}

üzerindeki

{D}

noktası, üst ucu ise eğimli yüzey üzerindeki

{E}

noktasıdır.Usta, eğimli yüzeye kaymaz bant çekecektir ve bandı

{E}

noktasından başlayıp rampanın üst ucu

{C}

'ye kadar yapıştıracaktır.Buna göre yapıştırılacak bandın uzunluğu kaç dm'dir?

A $\displaystyle 5$
B $\displaystyle 12$
C $\displaystyle 13$
D $\displaystyle 22$
E $\displaystyle 26$

Çözümü göster

Soru 25KavramÇoktan seçmeli3 puanKolay

Bir öğrenci iki üçgen çizmiştir. Birinci üçgende

{|AB| = 12}

cm,

{|BC| = 8}

cm ve

{\text{m}(B\widehat{A}C) = 35^{\circ}}

'dir. İkinci üçgende

{|DE| = 12}

cm,

{|EF| = 8}

cm ve

{\text{m}(E\widehat{D}F) = 35^{\circ}}

'dir. Üçgenlerin başka hiçbir ölçüsü verilmemiştir.Buna göre bu iki üçgen için aşağıdakilerden hangisi söylenebilir?

A $İki üçgen kesinlikle eştir.$
B $Üçüncü kenarları eşit uzunluktadır.$
C $İki üçgenin üç açısı da eşittir.$
D $Eş oldukları bu verilerle söylenemez.$
E $İki üçgen benzerdir, eş değildir.$

Çözümü göster

Soru 26KavramÇoktan seçmeli3 puanKolay

İki öğrenci birer üçgen çizmiştir. Üçgenleri karşılaştırdıklarında yalnız şunu bulmuşlardır: birinci üçgenin iki açısının ölçüleri, ikinci üçgenin iki açısının ölçülerine eşittir. Kenar uzunlukları hiç ölçülmemiştir.Buna göre bu iki üçgen için aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

A $Verilenler eşlik için yeterlidir.$
B $Açılar eşitse kenarlar da eşittir.$
C $İki üçgenin çevreleri eşittir.$
D $Bu iki üçgen benzer bile değildir.$
E $Eşlik için bir kenar eşitliği de gerekir.$

Çözümü göster

Soru 27KavramÇoktan seçmeli5 puanOrta

{ABC}

{DEF}

üçgenlerinde

{\dfrac{|AB|}{|DE|} = \dfrac{|BC|}{|EF|} = \dfrac{3}{2}}

{\text{m}(B\widehat{A}C) = \text{m}(E\widehat{D}F)}

olduğu bilinmektedir. Üçgenlerin başka hiçbir ölçüsü verilmemiştir.Buna göre bu iki üçgen için aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

A $\displaystyle \text{Benzerdirler, benzerlik oranı }\dfrac{3}{2}$
B $Benzerdirler; K.A.K. koşulu sağlanır.$
C $Benzer değildirler; üçüncü oran farklıdır.$
D $Benzer olup olmadıkları belirlenemez.$
E $Eştirler; üç açıları da eşittir.$

Çözümü göster

Soru 28Yeni nesilÇoktan seçmeli5 puanOrta

Bir sınıfta öğrenciler üçgen çiftleri çizip kesmiş, üst üste koymuş ve sonunda hangi ölçü türlerinin eşliği kesin olarak kurduğunu bir tabloda toplamıştır. Tablonun her satırında iki üçgene eşit olarak verilen üç ölçünün türü yazılıdır; "Kesin" sütununa ise bu ölçülerin iki üçgenin eş olduğunu kesin olarak söyleyip söylemediği yazılmıştır. Tabloda "karşı açı", eş açının verilen iki kenarın arasında olmadığını gösterir.Tablonun satırlarından birinin işareti yanlıştır.Buna göre işareti yanlış olan satır hangisidir?

A $\displaystyle \text{I}$
B $\displaystyle \text{II}$
C $\displaystyle \text{III}$
D $\displaystyle \text{IV}$
E $\displaystyle \text{V}$

Çözümü göster

Soru 29Yeni nesilÇoktan seçmeli7 puanZor

Bir öğrenci beş üçgen çiftinin kenar uzunluklarını santimetre cinsinden ölçmüş ve her çift için üçgenlerin benzer olup olmadığını tabloya yazmıştır. Her satırda iki üçgenin kenarları küçükten büyüğe sıralanmıştır.Tablonun satırlarından birinin işareti yanlıştır.Buna göre işareti yanlış olan satır hangisidir?

A $\displaystyle \text{I}$
B $\displaystyle \text{II}$
C $\displaystyle \text{III}$
D $\displaystyle \text{IV}$
E $\displaystyle \text{V}$

Çözümü göster

Soru 30Yeni nesilÇoktan seçmeli7 puanZor

Bir grup öğrenci benzerlik koşullarını denemek için dört deneme yapmış ve sonuçları tabloya yazmıştır. Tabloda "2 oran" iki kenarın oranlarının eşit olduğunu, "aradaki açı" eş açının bu iki kenarın arasında olduğunu, "karşı açı" ise eş açının bu kenarların arasında olmadığını gösterir.Öğrenciler denemelerden bir genelleme yazmak için beş taslak hazırlamıştır.I. İki üçgenin karşılıklı üçer kenarının oranı eşitse bu üçgenler benzerdir.II. İki üçgenin karşılıklı ikişer kenarının oranı eşitse bu üçgenler benzerdir.III. İki üçgenin karşılıklı ikişer açısı eşse bu üçgenler eştir.IV. İki üçgen şu üç durumdan birini sağlıyorsa benzerdir: üç kenarının oranı eşittir; ikişer açısı eştir; ikişer kenarının oranı eşit ve bu kenarların arasındaki açıları eştir.V. İki üçgenin karşılıklı ikişer kenarının oranı eşit ve karşılıklı bir açısı eşse bu üçgenler benzerdir.Buna göre dört denemenin dördünü birden açıklayan taslak hangisidir?

A $\displaystyle \text{I}$
B $\displaystyle \text{II}$
C $\displaystyle \text{III}$
D $\displaystyle \text{IV}$
E $\displaystyle \text{V}$

Çözümü göster

Soru 31KavramAçık uçlu20 puanİleri

Şekilde

{A}

noktasından çıkan

{[AX]}

ışını ile ışının üzerinde olmayan bir

{B}

noktası verilmiştir.

{B}

noktasından ışına indirilen dikmenin ayağı

{H}

olup

{|AH| = 9}

cm ve

{|BH| = 12}

cm'dir.İki öğrenci, iki kenar ile bu kenarların arasında olmayan bir açının verildiği kurulum hakkında şunları söylemektedir:Birinci öğrenci: Bu kurulum hiçbir zaman eşlik kurmaya yetmez.İkinci öğrenci: Bu kurulum her zaman eşlik kurmaya yeter.Buna göre aşağıdaki soruları cevaplayınız.

a)
${|AB|}$ uzunluğunun kaç cm olduğunu bulunuz.(3 puan)
b)
${[AX]}$ ışını üzerinde ${|BC| = 13}$ cm olacak biçimde kaç farklı ${C}$ noktası seçilebileceğini ve bu noktalar için ${|AC|}$ uzunluklarının kaç cm olduğunu bulunuz.(6 puan)
c)
${|BC| = 20}$ cm olsaydı ${[AX]}$ ışını üzerinde kaç farklı ${C}$ noktası seçilebilirdi ve ${|AC|}$ kaç cm olurdu?(5 puan)
ç)
(b) maddesinde bulunan iki üçgenin ${C}$ köşelerindeki açılarının bütünler olduğunu gösteriniz ve iki öğrencinin iddiasını değerlendiriniz.(6 puan)

Çözümü göster

Soru 32Yeni nesilAçık uçlu20 puanİleri

Bir sınıfta öğrenciler eşlik koşullarını denemek için dört deneme yapmıştır. Her denemede iki öğrenciye aynı ölçüler verilmiş, her biri bu ölçülerle bir üçgen çizmiş, üçgenler kesilip üst üste konmuş ve sonuç tabloya yazılmıştır. Uzunluklar santimetre cinsindendir.İkinci denemede verilen açı,

{5}

cm ve

{8}

cm uzunluğundaki kenarların arasındadır. Dördüncü denemede verilen iki açı,

{10}

cm uzunluğundaki kenarın iki ucundadır.Buna göre aşağıdaki soruları cevaplayınız.

a)
Üçüncü denemede verilen üç ölçünün ortak özelliğini ve iki üçgenin neden çakışmadığını yazınız.(5 puan)
b)
Dört denemeyi birden açıklayan genellemeyi kendi cümlenizle yazınız: iki üçgenin eş olduğu hangi ölçü üçlülerinden söylenir?(7 puan)
c)
Üçüncü denemenin sonucunu doğrulayan bir karşı örneği sayılarla veriniz: üç açısı da eşit olduğu hâlde eş olmayan iki üçgenin kenar uzunluklarını yazınız ve üç açılarının neden eşit olduğunu açıklayınız.(8 puan)

Çözümü göster

Soru 33KavramÇoktan seçmeli5 puanOrta

Bir öğrenci iki ayrı üçgen çizecektir. Her iki çizimde de iki kenarın uzunlukları

{9}

cm ve

{6}

cm olacak, ayrıca bir açının ölçüsü

{40^{\circ}}

olarak verilecektir. Açının yeri iki çizimde farklıdır.I.

{40^{\circ}}

'lik açı,

{6}

cm uzunluğundaki kenarın karşısındadır.II.

{40^{\circ}}

'lik açı,

{9}

cm uzunluğundaki kenarın karşısındadır.Buna göre bu iki durum için aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

A $Yalnız ikinci durumda üçgen tek olur.$
B $Yalnız birinci durumda üçgen tek olur.$
C $İki durumda da üçgen tek olur.$
D $İki durumda da iki üçgen çizilir.$
E $İki durumda da üçgen çizilemez.$

Çözümü göster

Soru 34KavramAçık uçlu15 puanZor

Elinizde yalnız bir cetvel ve bir açıölçer var. Şekilde bir

{ABC}

üçgeni verilmiştir ama üzerinde hiçbir ölçü yazılı değildir. Amacınız, boş bir kâğıda bu üçgene eş bir üçgen çizmektir.Buna göre aşağıdaki soruları cevaplayınız.

a)
Eş üçgeni çizebilmek için şekildeki üçgenin hangi üç ölçüsünü ölçersiniz? Seçtiğiniz üçlünün neden yeterli olduğunu, kullandığınız eşlik koşulunu adlandırarak yazınız.(5 puan)
b)
Ölçtüğünüz üç değeri kullanarak çizimi hangi sırayla yaparsınız? Adımları sırayla yazınız.(5 puan)
c)
Bir arkadaşınız üç açıyı ölçmeyi, bir başkası ise bir kenar ile ona komşu iki açıyı ölçmeyi öneriyor. Bu önerilerden hangisiyle eş üçgen çizilebilir? Çizilemeyen öneriyi bir karşı örnekle açıklayınız.(5 puan)

Çözümü göster

Soru 35KavramAçık uçlu15 puanZor

Şekildeki

{ABC}

ikizkenar üçgeninde

{|CA| = |CB|}

'dir.

{C}

köşesinden

{[AB]}

kenarına çizilen

{[CH]}

bir yüksekliktir; yani

{\text{m}(C\widehat{H}A) = \text{m}(C\widehat{H}B) = 90^{\circ}}

'dir. Şekilde

{H}

noktasının

{[AB]}

kenarını nasıl ayırdığı hakkında hiçbir işaret yoktur.Buna göre aşağıdaki soruları cevaplayınız.

a)
${ACH}$ ile ${BCH}$ üçgenlerinin eş olduğunu, kullandığınız eşlik koşulunu adlandırarak gösteriniz.(7 puan)
b)
(a) şıkkındaki eşlikten yararlanarak ${[CH]}$ yüksekliğinin hem açıortay hem de kenarortay olduğunu gösteriniz.(8 puan)

Çözümü göster

Soru 36KavramÇoktan seçmeli5 puanOrta

Bir üçgenin kenar uzunlukları ile açılarının ölçüleri arasından bazıları veriliyor. Verilen ölçüler yeterliyse üçgen tek biçimde belirlenir; yani bu ölçülerle çizilebilecek bütün üçgenler birbirine eş olur.Buna göre bir üçgenin tek biçimde belirlenebilmesi için verilen ölçüler hakkında aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur?

A $2 ölçü yeter, biri kenar olmalıdır.$
B $3 ölçü gerekir, biri kenar olmalıdır.$
C $3 ölçü gerekir, ikisi kenar olmalıdır.$
D $3 ölçü gerekir, kenar gerekmez.$
E $4 ölçü gerekir, ikisi kenar olmalıdır.$

Çözümü göster

Soru 37İşlemKısa cevap4 puanKolay

{ABC}

{DEF}

üçgenleri için

{ABC \cong DEF}

olduğu bilinmektedir.

{|AB| = 13}

cm,

{|EF| = 9}

cm ve

{DEF}

üçgeninin çevresi

{34}

cm'dir.Buna göre

{|CA|}

kaç cm'dir?

Çözümü göster

Soru 38İşlemÇoktan seçmeli5 puanOrta

Bir köprü makasının yandan görünüşü şekildeki

{ABCD}

ikizkenar yamuğu biçimindedir:

{[AB]}

ile

{[DC]}

kenarları paralel,

{[AD]}

ile

{[BC]}

kenarları ise eşit uzunluktadır. Makasın içine, köşegenler boyunca iki destek çubuğu gerilmiştir; bu çubuklar

{P}

noktasında kesişmektedir.

{|AC| = 34}

cm ve

{|PD| = 22}

cm olduğuna göre

{|BP|}

kaç cm'dir?

A $\displaystyle 17$
B $\displaystyle 22$
C $\displaystyle 34$
D $\displaystyle 56$
E $\displaystyle 12$

Çözümü göster

Soru 39KavramÇoktan seçmeli5 puanOrta

{ABC}

üçgeninde

{\text{m}(B\widehat{A}C) = 50^{\circ}}

{\text{m}(A\widehat{B}C) = 60^{\circ}}

'dir.

{DEF}

üçgeninde ise

{\text{m}(E\widehat{D}F) = 50^{\circ}}

{\text{m}(D\widehat{E}F) = 65^{\circ}}

'dir.Buna göre bu iki üçgen için aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

A $Benzerdirler; A.A. koşulu sağlanır.$
B $Eştirler; üç açıları da eşittir.$
C $Benzerdirler; kenar oranları eşittir.$
D $Benzer değildirler; açıları eşlenmez.$
E $Benzerlik için kenar bilgisi gerekir.$

Çözümü göster

Soru 40KavramÇoktan seçmeli7 puanZor

Şekilde

{ABC}

{DEF}

üçgenlerinin kenar uzunlukları birim cinsinden verilmiştir. Bu iki üçgenin benzer olduğu bilinmektedir.Bir öğrenci bu benzerliği beş ayrı biçimde yazmıştır.I.

{ABC \sim EFD}

II.

{ABC \sim DEF}

III.

{ABC \sim FDE}

IV.

{ABC \sim DFE}

{ABC \sim EDF}

Buna göre bu yazımlardan hangisi doğrudur?

A $\displaystyle \text{I}$
B $\displaystyle \text{II}$
C $\displaystyle \text{III}$
D $\displaystyle \text{IV}$
E $\displaystyle \text{V}$

Çözümü göster

Soru 41SözelKısa cevap4 puanKolay

Bir okul, tören için üçgen biçimli bir flama diktirecektir. Flamanın en uzun kenarı

{300}

cm, en kısa kenarı ise

{175}

cm olacaktır. Terzi, kumaşı kesmeden önce flamanın

{1 : 25}

ölçekli örnek çizimini yapmıştır.Buna göre örnek çizimdeki üçgenin en kısa kenarı kaç cm olmalıdır?

Çözümü göster

Soru 42KavramÇoktan seçmeli5 puanOrta

Şekildeki

{ABCD}

dörtgeninde

{|AB| = |AD|}

{|CB| = |CD|}

'dir; eşit kenarlar aynı sayıda çentikle işaretlenmiştir. Bir uçurtmanın çatısı bu biçimde kurulmuş ve

{[AC]}

köşegeni boyunca bir çıta geçirilmiştir.Bir öğrenci

{ABC}

ile

{ADC}

üçgenlerinin eş olduğunu göstermiştir.Buna göre aşağıdakilerden hangisi bu eşliğin bir sonucu olarak yazılamaz?

A $\displaystyle \text{m}(A\widehat{B}C) = \text{m}(A\widehat{D}C)$
B $\displaystyle \text{m}(B\widehat{A}C) = \text{m}(D\widehat{A}C)$
C $Dörtgenin dört kenarı eşit uzunluktadır.$
D $\displaystyle \text{m}(B\widehat{C}A) = \text{m}(D\widehat{C}A)$
E $İki üçgenin çevreleri eşittir.$

Çözümü göster

Soru 43Yeni nesilKısa cevap6 puanOrta

Bir güvenlik kamerası bir avlunun köşesindeki

{P}

noktasına yerleştirilmiştir. Kameranın bir konumdaki görüş alanı bir üçgendir; bu üçgenin

{P}

köşesinden çıkan iki kenarının uzunluğu

{24}

m, karşı kenarının uzunluğu ise

{13}

m'dir.Kamera,

{P}

noktası etrafında tam görüş açısı kadar döndürülerek ikinci bir konuma getirilmiştir. Şekilde ilk konumdaki görüş alanı

{PAB}

, ikinci konumdaki görüş alanı ise

{PBC}

üçgenidir.Buna göre kameranın iki konumda birlikte taradığı

{PABC}

dörtgeninin çevresi kaç metredir?

Çözümü göster

Soru 44Yeni nesilÇoktan seçmeli5 puanOrta

Şekilde birim kareli bir zemin üzerinde

{ABC}

üçgeni ile

{K}

{L}

{M}

{N}

{P}

noktaları verilmiştir.Bir öğrenci bu noktalardan birini

{D}

olarak seçip

{ABD}

üçgenini çizecektir. Öğrencinin amacı

{ABD \cong ABC}

olmasıdır; yani

{A}

köşesi

{A}

köşesine,

{B}

köşesi

{B}

köşesine,

{D}

köşesi de

{C}

köşesine karşılık gelmelidir.Buna göre öğrencinin seçmesi gereken nokta aşağıdakilerden hangisidir?

A $\displaystyle \text{K}$
B $\displaystyle \text{L}$
C $\displaystyle \text{M}$
D $\displaystyle \text{N}$
E $\displaystyle \text{P}$

Çözümü göster

Soru 45KavramÇoktan seçmeli5 puanOrta

{ABC}

{DEF}

üçgenleri hakkında yalnız şu üç bilgi veriliyor:

{|AB| = |DE|}

{\text{m}(B\widehat{A}C) = \text{m}(E\widehat{D}F)}

{\text{m}(A\widehat{B}C) = \text{m}(D\widehat{E}F)}

.I. Bu iki üçgen eştir.II.

{|BC| = |EF|}

olur.III. Verilen üç bilgiden herhangi biri çıkarılsa bile eşlik yine kurulur.Buna göre yukarıdaki ifadelerden hangileri doğrudur?

A $Yalnız I$
B $Yalnız II$
C $I ve II$
D $II ve III$
E $I, II ve III$

Çözümü göster

Soru 46SözelÇoktan seçmeli7 puanZor

Kare biçimindeki bir kâğıdın bir kenarının uzunluğu

{12}

cm'dir.

{M}

noktası

{[BC]}

kenarının orta noktası olmak üzere kâğıt, şekildeki

{[AM]}

{[DM]}

çizgileri boyunca kesilerek üç parçaya ayrılmıştır:

{ABM}

{DCM}

{ADM}

üçgenleri.Buna göre bu üç parça için aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

A $Üç parça da eştir.$
B $ABM ile ADM parçaları eştir.$
C $Üç parça da benzerdir.$
D $ABM ile DCM benzerdir, eş değildir.$
E $ABM ile DCM eştir, ADM ikisine eş değil.$

Çözümü göster

Soru 47KavramÇoktan seçmeli5 puanOrta

İki öğrenci benzerlik koşulları hakkında birer genelleme yazmıştır.Birinci genelleme: İki üçgenin karşılıklı ikişer açısı eşse bu üçgenler benzerdir.İkinci genelleme: İki üçgenin karşılıklı birer açısı eşse bu üçgenler benzerdir.Buna göre bu iki genelleme için aşağıdakilerden hangisi söylenebilir?

A $Birincisi doğru, ikincisi eksiktir.$
B $İkisi de doğrudur.$
C $Birincisi eksik, ikincisi doğrudur.$
D $İkisi de yanlıştır.$
E $İkincisi birincisinden dardır.$

Çözümü göster

Soru 48SözelAçık uçlu20 puanİleri

Bir duvar karosu deseni şöyle üretilmektedir: üçgen biçimli bir motif önce

{d}

doğrusuna göre yansıtılır, elde edilen görüntü de

{e}

doğrusuna göre yansıtılır. Şekilde

{d}

ile

{e}

doğruları

{K}

noktasında kesişmekte ve aralarındaki açının ölçüsü

{40^{\circ}}

olmaktadır.Motifin

{K}

noktasından en uzak köşesi

{A}

köşesidir;

{[KA]}

doğru parçası

{d}

doğrusuyla

{20^{\circ}}

'lik açı yapmaktadır ve

{A}

köşesi iki doğrunun arasındaki bölgededir.

{A}

köşesinin

{d}

doğrusuna göre görüntüsü

{A'}

{A'}

noktasının

{e}

doğrusuna göre görüntüsü ise

{A''}

olsun.Buna göre aşağıdaki soruları cevaplayınız.

a)
Yansımanın uzunlukları koruduğunu kullanarak motifin ${d}$ doğrusuna göre görüntüsünün özgün motife eş olduğunu, kullandığınız eşlik koşulunu adlandırarak gösteriniz.(4 puan)
b)
${\text{m}(A\widehat{K}A')}$ açısının ölçüsünü bulunuz, ${KAA'}$ üçgeninin ikizkenar olduğunu gösteriniz ve taban açılarının ölçüsünü yazınız.(5 puan)
c)
${\text{m}(A\widehat{K}A'')}$ açısının ölçüsünü bulunuz ve ${A''}$ noktasının, ${A}$ noktasının hangi dönüşüm altındaki görüntüsü olduğunu yazınız.(6 puan)
ç)
Bir öğrenci "İki yansımadan sonra motifin açıları ${80}$ derece artar." demektedir. Bu iddiayı değerlendiriniz.(5 puan)

Çözümü göster

Ders kılavuzu

Dersi açmak için çengel sorular, kavramı somutlaştıran benzetmeler ve öğrencilerin sık yaptığı yanlışlar.

Derse giriş: çengel sorular

Pipetten üçgen
Her öğrenciye ${5}$ , ${7}$ ve ${9}$ cm uzunluğunda üç pipet verin ve üçgen kurdurun. Bütün üçgenleri üst üste koyun: hepsi örtüşür. Sonra sorun: üç açısı ${50^{\circ}}$ , ${60^{\circ}}$ ve ${70^{\circ}}$ olan üçgenler de böyle örtüşür mü?
Fotoğrafı büyütmek
Telefonda fotoğrafı iki parmakla büyütünce yüzler bozulmaz; ama yalnız eni çekilirse yüzler uzar. Birincisi benzerliktir: açılar aynı kalır, uzunluklar aynı oranda büyür. İkincisi benzerlik değildir.
Kaç bilgi yeter?
Bir arkadaşınıza telefonda bir üçgeni tarif ettiğinizi düşünün; o da aynı üçgeni çizecek. En az kaç bilgi söylemeniz gerekir? Hangi bilgiler işe yarar, hangileri yaramaz?

Benzetmeler

Eşlik
Aynı kalıptan çıkmış iki kurabiyedir: biri döndürülse ya da ters çevrilse de üst üste konunca tam örtüşür.
Benzerlik
Bir arazi ile haritasıdır: biçim aynıdır, her uzunluk aynı oranda küçülmüştür, açılar değişmemiştir.
Harf sırası
${ABC \sim DEF}$ yazımı bir eşleştirme listesidir: birinci harf birinciyle, ikinci harf ikinciyle eşleşir. Liste yanlış okunursa yanlış kenarlar oranlanır.

Sık yapılan yanlışlar

Üç açısı eşit olan iki üçgen eştir.
Açılar eşitse üçgenler yalnız benzerdir; biri öbürünün büyütülmüşü olabilir. Eşlik için en az bir kenar da eşit olmalıdır.
Aynı açılarla iki farklı büyüklükte üçgen çizdirin ve kenarlarını ölçtürün.
İki kenar ve bir açı her zaman eşlik verir.
Açı iki kenarın arasındaysa (KAK) eşlik vardır. Açı kenarların arasında değilse iki farklı üçgen çizilebilir.
Pergelle aynı iki kenar ve aralarında olmayan aynı açıyla iki farklı üçgen kurdurun.
${ABC \sim DEF}$ ise ${|AB|}$ ile ${|EF|}$ karşılıklıdır.
Harf sırası eşlemeyi belirler: ${A \leftrightarrow D}$ , ${B \leftrightarrow E}$ , ${C \leftrightarrow F}$ . ${[AB]}$ kenarının karşılığı ${[DE]}$ kenarıdır.
Her soruda önce üç satırlık eşleme tablosunu yazdırın.
$\displaystyle \dfrac{|AB|}{|DE|} = \dfrac{|BC|}{|EF|} = \dfrac{|CA|}{|FD|}$
Benzerlik oranı ${k}$ ise çevrelerin oranı ${k^2}$ 'dir.
Çevre uzunlukların toplamıdır; her kenar ${k}$ ile çarpılınca toplam da ${k}$ ile çarpılır. Çevrelerin oranı ${k}$ 'dir.
Kenarları ${3}$ , ${4}$ , ${5}$ ve ${6}$ , ${8}$ , ${10}$ olan üçgenlerin çevrelerini hesaplatıp oranlatın.
Benzer üçgenlerde her kenara aynı sayı eklenir.
Benzerlikte kenarlar aynı sayıyla çarpılır; fark değil oran sabittir. ${3}$ , ${4}$ , ${5}$ kenarlarına ${2}$ eklenirse ${5}$ , ${6}$ , ${7}$ olur ve bu üçgen benzer değildir.
İki yolla yeni üçgen kurdurun (ekleme ve çarpma) ve açılarını açıölçerle karşılaştırtın.
Eş üçgenler aynı konumda ve aynı yönde durmalıdır.
Döndürülmüş ya da yansıtılmış bir üçgen de ilkine eştir; dönüşümler uzunluğu ve açıyı korur.
Bir üçgeni kesip ters çevirtin ve öbürünün üstüne koydurun.

Tahtada anlatım sırası9 adımı göster

1
Pipet çengeliyle başlayın. Öğrencilerden “üç kenar yeter mi, üç açı yeter mi?” sorusuna tahmin isteyin.
Süreç bileşeni a: eşlik ve benzerlik koşullarına ilişkin varsayımda bulunur.
2
KKK, KAK ve AKA durumlarını sırayla deneyin: her durumda iki öğrencinin çizimini üst üste koydurun.
Süreç bileşeni b: örneklerden örüntü arar.
3
KKA ve AAA durumlarını deneyin; iki farklı üçgen çıkan çizimleri tahtaya asın. Bu iki koşulun neden yetmediğini konuşun.
Süreç bileşeni c: varsayımlarını genellemeleriyle karşılaştırır.
4
Eşlik yazımını tanıtın: ${ABC \cong DEF}$ ve altına eşleme tablosu. Karşılık kenar ve açıları tablodan okutun.
Süreç bileşeni ç: önerme sunar.
5
Benzerliğe geçin: iki açısı eşit üçgenleri ölçtürüp kenar oranlarını hesaplatın. Oranların eşit çıktığını genellemeye dönüştürün.
$\displaystyle \dfrac{|AB|}{|DE|} = \dfrac{|BC|}{|EF|} = \dfrac{|CA|}{|FD|} = k$
Süreç bileşeni b: benzerlik koşullarını genelleştirir.
6
Benzerlik oranıyla eksik kenar buldurun. Oranı her zaman aynı sırayla (birinci üçgen / ikinci üçgen) yazdırın.
7
Çevre oranının neden benzerlik oranına eşit olduğunu öğrencilere açıklatın.
Süreç bileşeni c: genellemeleri karşılaştırır.
8
Yeni durum: bir ağacın boyunu gölgesinden, bir binanın yüksekliğini fotoğrafından bulma. Benzerliğin bir ölçüm aracı olduğunu konuşun.
Süreç bileşeni d: önermelerin yeni durumlara katkısını değerlendirir.
9
Kapanış: tahtaya “En az ne bilmeliyim?” tablosu kurun: eşlik için KKK, KAK, AKA; benzerlik için iki açı, oranlı iki kenar ve arasındaki açı ya da oranlı üç kenar.

Ödev ve çalışma kâğıdı

Her antrenman tek bir beceriyi bol tekrarla çalıştırır. Hangisinden kaç kalem istediğini seç; kâğıt ve çözümlü cevap anahtarı tarayıcında hazırlanır.

Ödev kâğıdı oluştur

Her alıştırmadan kaç kalem istediğini seç. Kalemler hazır havuzdan rastgele gelir; iki sınıfa iki ayrı kâğıt verebilirsin. Çözümlü cevap anahtarı da hazır.

Alıştırmalar

Eş üçgenlerde karşılık gelen kenarlar eşittir. Harf sırasına göre eşleyiniz: ${ABC \cong DEF}$ ise ${|AB| = |DE|}$ , ${|BC| = |EF|}$ , ${|CA| = |FD|}$ .
1. 1) ${ABC \cong DEF}$ , ${|AB| = 12}$ , ${|EF| = 5}$ ve ${\text{Ç}(DEF) = 33}$ ise ${|CA|}$ kaçtır?= $\displaystyle 16$
2. 2) ${ABC \cong KLM}$ , ${|KL| = 10}$ , ${|BC| = 9}$ ve ${|MK| = 5}$ ise ${\text{Ç}(ABC)}$ kaçtır?= $\displaystyle 24$
3. 3) ${ABC \cong DEF}$ , ${|AB| = 3t + 6}$ ve ${|DE| = 21}$ ise ${t}$ kaçtır?= $\displaystyle 5$
/ 40
Eş ya da benzer üçgenlerde karşılık gelen açılar eşittir. Harflerin sırası hangi köşenin hangisine karşılık geldiğini gösterir.
1. 1) ${ABC \sim DEF}$ , ${\text{m}(\widehat{A}) = 81^{\circ}}$ ve ${\text{m}(\widehat{B}) = 27^{\circ}}$ ise ${\text{m}(\widehat{F})}$ kaç derecedir?= $\displaystyle 72^{\circ}$
2. 2) ${ABC \sim KLM}$ , ${\text{m}(\widehat{K}) = 52^{\circ}}$ ve ${\text{m}(\widehat{C}) = 74^{\circ}}$ ise ${\text{m}(\widehat{B})}$ kaç derecedir?= $\displaystyle 54^{\circ}$
3. 3) ${ABC \cong PRS}$ , ${\text{m}(\widehat{R}) = 76^{\circ}}$ ve ${\text{m}(\widehat{S}) = 28^{\circ}}$ ise ${\text{m}(\widehat{A})}$ kaç derecedir?= $\displaystyle 76^{\circ}$
/ 40
Benzer üçgenlerin çevrelerinin oranı, benzerlik oranına eşittir: ${\dfrac{\text{Ç}(ABC)}{\text{Ç}(DEF)} = \dfrac{|AB|}{|DE|}}$ .
1. 1) ${ABC \sim DEF}$ , ${|AB| = 6}$ , ${|DE| = 15}$ ve ${\text{Ç}(ABC) = 34}$ ise ${\text{Ç}(DEF)}$ kaçtır?= $\displaystyle 85$
2. 2) ${ABC \sim DEF}$ , ${|BC| = 6}$ , ${|EF| = 12}$ ve ${\text{Ç}(DEF) = 60}$ ise ${\text{Ç}(ABC)}$ kaçtır?= $\displaystyle 30$
3. 3)Kenarları ${4}$ , ${10}$ ve ${12}$ birim olan bir üçgene benzer olan ikinci üçgenin en kısa kenarı ${10}$ birimdir. İkinci üçgenin çevresi kaç birimdir?= $\displaystyle 65$
/ 40
Benzer üçgenlerde karşılık gelen kenarların oranı sabittir: ${ABC \sim DEF}$ ise ${\dfrac{|AB|}{|DE|} = \dfrac{|BC|}{|EF|} = \dfrac{|CA|}{|FD|}}$ .
1. 1) ${ABC \sim DEF}$ , ${|AB| = 3}$ , ${|BC| = 7}$ ve ${|DE| = 6}$ ise ${|EF|}$ kaçtır?= $\displaystyle 14$
2. 2) ${ABC \sim DEF}$ , ${|AB| = 10}$ , ${|DE| = 25}$ ve ${|EF| = 10}$ ise ${|BC|}$ kaçtır?= $\displaystyle 4$
3. 3) ${ABC \sim DEF}$ , ${\dfrac{|AB|}{|DE|} = \dfrac{3}{2}}$ ve ${|CA| = 9}$ ise ${|FD|}$ kaçtır?= $\displaystyle 6$
/ 40

Kâğıt başlığı

Çalışma boşluğu

Yok8 mm15 mm25 mm

Ad, sınıf, süre satırıCevap anahtarında kısa çözüm

0 kalem

İndirmek için en az bir kalem seç.

Kazanım künyesi

9. sınıf Eşlik ve benzerlik koşulları için 48 çözümlü soru: soruları sayfada çöz, takıldığında adım adım çözümü aç; seçtiğin sorulardan test, yaprak test ya da yazılı kâğıdı hazırla ve cevap anahtarıyla PDF olarak indir; ödev için alıştırma (çalışma) kâğıdı çıkar; derste soruları akıllı tahtada tek tek aç; ders kılavuzunda derse giriş, kavram yanılgıları ve tahta akışı var. 1. dönem yazılısına ve ortak sınava hazırlıkta kullanılır.

Kod: MAT.9.4.2
Kapsadığı konular: üçgenlerde eşlik, üçgenlerde benzerlik, benzerlik kuralları, eşlik kuralları
Dönem ve hafta: 1. dönem, 17, 19. haftalar, 8 ders saati
Süreç bileşenleri: a)İki üçgenin eş veya benzer olma koşullarına ilişkin varsayımlarda bulunur.
b)İncelediği örnekler üzerinden iki üçgenin eş veya benzer olma koşullarına ilişkin varsayımlarına dayalı örüntüleri geneller.
c)İki üçgenin eş veya benzer olma koşullarına ilişkin varsayımları ile elde ettiği genellemeleri karşılaştırır.
ç)Ulaştığı genellemelerden iki üçgenin eş veya benzer olma koşullarına ilişkin önermeler sunar.
d)İki üçgenin eş veya benzer olma koşullarına dair elde ettiği önermelerin farklı ve yeni durumların anlamlandırılmasına yönelik sunduğu katkıyı değerlendirir.
Ders kitabında: 4. Tema — Eşlik ve Benzerlik, 4.2 İki Üçgenin Eş veya Benzer Olması için Gerekli Olan Asgari Koşullar

Eşlik ve benzerlik koşulları

Sorular ve çözümleri

Ders kılavuzu

Derse giriş: çengel sorular

Benzetmeler

Sık yapılan yanlışlar

Ödev ve çalışma kâğıdı

Ödev kâğıdı oluştur

Test PDF'i

Test PDF'i hazırla

Kazanım künyesi