9. sınıf, Eşlik ve BenzerlikMAT.9.4.4

Tales, Öklid ve Pisagor teoremleri

Tales, Öklid ve Pisagor Teoremleri

Kazanım: Tales, Öklid ve Pisagor teoremlerini ispatlayabilme.

Tahtada aç Yazılı hazırla

Sorular ve çözümleri

Her sorunun altında adım adım çözüm var. Çoktan seçmelide doğru şık, çözümü açınca işaretlenir.

Zorluk

Cevap biçimi

Soru türü

Şekil

36 soru gösteriliyor

Soru 1İşlemKısa cevap4 puanKolay

{ABC}

üçgeninde

{D}

noktası

{[AB]}

kenarı,

{E}

noktası

{[AC]}

kenarı üzerindedir ve

{[DE]}

ile

{[BC]}

paraleldir.

{|AD| = 8}

birim,

{|DB| = 6}

birim ve

{|AE| = 12}

birim olduğuna göre

{|EC|}

kaç birimdir?

Çözümü göster

Cevap: $\displaystyle 9$

1
${[DE]}$ ile ${[BC]}$ paralel olduğundan Temel Orantı Teoremi'ne göre ${\dfrac{|AD|}{|DB|} = \dfrac{|AE|}{|EC|}}$ yazılır.
2
Verilenler yerine konursa ${\dfrac{8}{6} = \dfrac{12}{|EC|}}$ olur.
3
İçler dışlar çarpımından ${8 \cdot |EC| = 6 \cdot 12 = 72}$ elde edilir.
4
Buradan ${|EC| = 9}$ birim olarak bulunur.

Soru 2KavramÇoktan seçmeli3 puanKolay

Bir üçgenin kenar uzunlukları

{4}

birim,

{6}

birim ve

{7}

birimdir.Buna göre bu üçgenin en uzun kenarının karşısındaki açı için aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

A $geniş açıdır$
B $dik açıdır$
C $üçgenin en küçük açısıdır$
D $böyle bir üçgen çizilemez$
E $dar açıdır$

Çözümü göster

EDoğru cevap

1
En uzun kenar ${7}$ birimdir; öbür iki kenar ${4}$ ve ${6}$ birimdir.
2
Pisagor teoreminin genişletilmiş hâline göre en uzun kenarın karşısındaki açının türü, o kenarın karesi ile öbür iki kenarın karelerinin toplamı karşılaştırılarak belirlenir.
3
${4^2 + 6^2 = 16 + 36 = 52}$ ve ${7^2 = 49}$ olduğundan ${7^2 < 4^2 + 6^2}$ olur.
4
En uzun kenarın karesi öbür ikisinin karelerinin toplamından küçük olduğuna göre bu açı $dar açıdır$ .

Yanlış şıklar neden yanlış?

A)Karşılaştırmanın yönü ters okunmuş; en uzun kenarın karesi toplamdan küçük olduğu hâlde açı geniş sanılmış.
B) ${4^2 + 6^2}$ toplamı ${49}$ sanılmış; toplam ile karenin eşit çıktığı düşünülmüş.
C)Kenar-açı sıralaması ters okunmuş; en uzun kenarın karşısında en küçük açının bulunduğu sanılmış.
D)Üçgen eşitsizliği yanlış uygulanmış; ${4 + 6 = 10 > 7}$ olduğu için üçgen çizilebilir.

Soru 3İşlemÇoktan seçmeli3 puanKolay

Şekilde

{ABC}

dik üçgeninde dik açı

{A}

köşesindedir.

{A}

köşesinden

{[BC]}

hipotenüsüne inen dikmenin ayağı

{H}

noktasıdır.

{|BH| = 4}

birim ve

{|HC| = 16}

birim olduğuna göre

{|AH|}

kaç birimdir?

A $\displaystyle 8$
B $\displaystyle 10$
C $\displaystyle 12$
D $\displaystyle 20$
E $\displaystyle 64$

Çözümü göster

ADoğru cevap

1
Öklid teoremine göre bir dik üçgende hipotenüse ait yüksekliğin karesi, bu yüksekliğin hipotenüs üzerinde ayırdığı parçaların uzunluklarının çarpımına eşittir: ${|AH|^2 = |BH| \cdot |HC|}$ .
2
Verilenler yerine konursa ${|AH|^2 = 4 \cdot 16 = 64}$ olur.
3
Uzunluk pozitif olduğundan ${|AH| = \sqrt{64} = 8}$ birim olarak bulunur.

Yanlış şıklar neden yanlış?

B) ${4}$ ile ${16}$ sayılarının ortalaması alınmış.
C) ${16 - 4}$ farkı hesaplanmış; bağıntının çarpma olduğu gözden kaçmış.
D) ${|BC| = 4 + 16}$ toplamı cevap sanılmış.
E) ${|AH|^2 = 4 \cdot 16 = 64}$ bulunup karekök alınmamış; bağıntının kareli olduğu unutulmuş.

Soru 4SözelKısa cevap6 puanOrta

Bir bahçe kapısı

{ABCD}

dikdörtgeni biçimindedir;

{|AB| = 80}

cm ve

{|AD| = 60}

cm'dir. Kapıyı sağlamlaştırmak için

{A}

{C}

köşeleri arasına düz bir destek çubuğu kaynaklanacaktır.Buna göre bu çubuğun uzunluğu kaç cm olmalıdır?

Çözümü göster

Cevap: $\displaystyle 100$

1
${ABCD}$ bir dikdörtgen olduğundan ${B}$ köşesindeki açı diktir; ${ABC}$ bir dik üçgendir.
2
Destek çubuğu ${[AC]}$ , bu dik üçgenin hipotenüsüdür. Pisagor teoreminden ${|AC|^2 = |AB|^2 + |BC|^2}$ yazılır.
3
Dikdörtgende karşılıklı kenarlar eş olduğundan ${|BC| = |AD| = 60}$ cm'dir.
4
${|AC|^2 = 80^2 + 60^2 = 6400 + 3600 = 10000}$ olduğundan ${|AC| = 100}$ cm olarak bulunur.

Soru 5İşlemÇoktan seçmeli5 puanOrta

Şekilde

{[AD]}

{[BE]}

{[CF]}

doğru parçaları birbirine paraleldir.

{A}

{B}

{C}

noktaları bir kesen;

{D}

{E}

{F}

noktaları öteki kesen üzerindedir.

{|AB| = 6}

birim,

{|BC| = 9}

birim ve

{|DF| = 20}

birim olduğuna göre

{|EF|}

kaç birimdir?

A $\displaystyle 8$
B $\displaystyle 10$
C $\displaystyle 12$
D $\displaystyle 14$
E $\displaystyle 15$

Çözümü göster

CDoğru cevap

1
${[AD]}$ , ${[BE]}$ ve ${[CF]}$ paralel olduğundan Tales teoremine göre ${\dfrac{|AB|}{|BC|} = \dfrac{|DE|}{|EF|}}$ yazılır.
2
Verilenlerle ${\dfrac{|DE|}{|EF|} = \dfrac{6}{9} = \dfrac{2}{3}}$ bulunur.
3
${D}$ , ${E}$ , ${F}$ aynı kesen üzerinde olduğundan ${|DE| + |EF| = |DF| = 20}$ birimdir.
4
${|DE| = 2t}$ ve ${|EF| = 3t}$ alınırsa ${2t + 3t = 20}$ olur ve ${t = 4}$ bulunur.
5
Buradan ${|EF| = 3 \cdot 4 = 12}$ birim olarak bulunur.

Yanlış şıklar neden yanlış?

A) ${8}$ , ${|DE|}$ uzunluğudur; sorulan parça yerine öteki parça yazılmış.
B) ${|DF|}$ ikiye bölünmüş; paralel doğruların keseni eşit parçalara ayırdığı sanılmış.
D) ${20 - 6}$ hesaplanmış; Tales teoreminin uzunlukları bir kesenden ötekine birebir taşıdığı sanılmış.
E) ${|AC| = 6 + 9}$ toplamı cevap sanılmış; yanlış kesen üzerinde kalınmış.

Soru 6KavramÇoktan seçmeli5 puanOrta

Şekilde

{ABC}

dik üçgeninde dik açı

{A}

köşesindedir.

{A}

köşesinden

{[BC]}

hipotenüsüne inen dikmenin ayağı

{H}

olmak üzere

{|BH| = p}

{|HC| = k}

{|BC| = a}

{|AC| = b}

{|AB| = c}

{|AH| = h}

birimdir.Bir öğrenci

{h^2 = p \cdot k}

eşitliğini, iki üçgenin benzerliğinden yararlanarak ispatlamak istiyor.Buna göre öğrencinin kurması gereken benzerlik aşağıdakilerden hangisidir?

A $\displaystyle ABH \sim ACH$
B $\displaystyle HBA \sim ABC$
C $\displaystyle ABH \sim CAH$
D $\displaystyle HAC \sim ABC$
E $\displaystyle ABH \sim ABC$

Çözümü göster

Soru 7İşlemKısa cevap4 puanKolay

Şekilde

{ABC}

dik üçgeninde dik açı

{A}

köşesindedir.

{A}

köşesinden

{[BC]}

hipotenüsüne inen dikmenin ayağı

{H}

noktasıdır.

{|HC| = 4}

birim ve

{|BC| = 25}

birim olduğuna göre

{|AC|}

kaç birimdir?

Çözümü göster

Soru 8İşlemÇoktan seçmeli5 puanOrta

Şekilde

{[AB]}

ile

{[CD]}

paraleldir;

{A}

{E}

{D}

noktaları ile

{B}

{E}

{C}

noktaları doğrusaldır.

{|AB| = 8}

birim,

{|CD| = 12}

birim ve

{|AD| = 15}

birim olduğuna göre

{|AE|}

kaç birimdir?

A $\displaystyle 6$
B $\displaystyle 9$
C $\displaystyle 10$
D $\displaystyle 12$
E $\displaystyle 15$

Çözümü göster

Soru 9KavramÇoktan seçmeli5 puanOrta

Şekilde

{ABC}

dik üçgeninde dik açı

{A}

köşesindedir.

{A}

köşesinden inen dikmenin ayağı

{H}

olmak üzere

{|BH| = p}

{|HC| = k}

{|BC| = a}

{|AC| = b}

{|AB| = c}

{|AH| = h}

birimdir.Bir öğrenci Pisagor teoreminin

{b^2 + c^2 = a^2}

eşitliğini, Öklid teoreminden elde ettiği iki bağıntıyı taraf tarafa toplayarak ispatlamak istiyor.Buna göre öğrencinin toplaması gereken iki bağıntı aşağıdakilerden hangisidir?

A $\displaystyle h^2 = p \cdot k \quad \text{ve} \quad a = p + k$
B $\displaystyle b^2 = k \cdot a \quad \text{ve} \quad h^2 = p \cdot k$
C $\displaystyle c^2 = p \cdot a \quad \text{ve} \quad h^2 = p \cdot k$
D $\displaystyle b^2 = k \cdot a \quad \text{ve} \quad c^2 = p \cdot a$
E $\displaystyle b^2 = p \cdot a \quad \text{ve} \quad c^2 = k \cdot a$

Çözümü göster

Soru 10Yeni nesilAçık uçlu10 puanOrta

Güneşli bir günde, yere dik tutulan

{100}

cm uzunluğundaki bir çubuğun gölgesinin uzunluğu

{200}

cm olarak ölçülmüştür.Aynı anda, yere dik duran bir direğin gölgesi yerde

{400}

cm ilerledikten sonra yere dik bir duvara çarpmakta ve duvarda

{60}

cm yükselmektedir. Güneş ışınları birbirine paraleldir.

a)
Çubuğun uzunluğunun gölgesinin uzunluğuna oranını bulunuz.(2 puan)
b)
Duvar olmasaydı, duvarda yükselen ${60}$ cm'lik gölge parçasının yerde kaplayacağı uzunluğu bulunuz.(5 puan)
c)
Direğin boyunu bulunuz.(3 puan)

Çözümü göster

Soru 11KavramÇoktan seçmeli5 puanOrta

Şekilde

{ABC}

dik üçgeninde dik açı

{A}

köşesindedir ve

{A}

köşesinden

{[BC]}

hipotenüsüne inen dikmenin ayağı

{H}

noktasıdır.Bir öğrenci

{|BH| = |HC|}

olduğunu şöyle ispatlamaya çalışıyor:1. adım:

{\text{m}(B\widehat{A}H) = \text{m}(A\widehat{C}H)}

{\text{m}(A\widehat{H}B) = \text{m}(A\widehat{H}C) = 90^{\circ}}

olur.2. adım: İki açısı eş olduğundan

{ABH \sim ACH}

yazılır.3. adım: Benzerlikten

{\dfrac{|BH|}{|CH|} = \dfrac{|AH|}{|AH|}}

elde edilir.4. adım: Sağ taraf

{1}

olduğundan

{|BH| = |HC|}

bulunur.Buna göre bu ispatta ilk hata hangi adımda yapılmıştır?

A $1. adım$
B $2. adım$
C $3. adım$
D $4. adım$
E $Hata yoktur.$

Çözümü göster

Soru 12Yeni nesilÇoktan seçmeli7 puanZor

Düz bir sulama kanalının aynı yanında

{A}

{B}

noktaları bulunmaktadır.

{A}

noktasının kanala dik uzaklığı

{6}

{B}

noktasının kanala dik uzaklığı

{14}

m'dir. Bu dikmelerin kanal üzerindeki ayakları

{P}

{Q}

olmak üzere

{|PQ| = 15}

m'dir.Bir bahçıvan

{A}

noktasından yola çıkacak, kanal kıyısına uğrayıp su alacak ve

{B}

noktasına gidecektir.Buna göre bahçıvanın yürüyeceği en kısa yolun uzunluğu kaç metredir?

A $\displaystyle 17$
B $\displaystyle 20$
C $\displaystyle 21$
D $\displaystyle 25$
E $\displaystyle 35$

Çözümü göster

Soru 13KavramKısa cevap8 puanZor

Şekilde

{ABC}

üçgeninde

{|AB| = 7}

birim,

{|AC| = 24}

birimdir ve

{\text{m}(B\widehat{A}C) > 90^{\circ}}

olduğu bilinmektedir.

{|BC|}

uzunluğu bir tam sayı olduğuna göre bu uzunluk kaç farklı değer alabilir?

Çözümü göster

Soru 14Yeni nesilAçık uçlu15 puanZor

Şekilde

{ABC}

dik üçgeninde dik açı

{A}

köşesindedir.

{A}

köşesinden

{[BC]}

hipotenüsüne inen dikmenin ayağı

{H}

noktasıdır.

{|BH| = 18}

birim ve

{|HC| = 32}

birimdir.

a)
${|AH|}$ uzunluğunu bulunuz.(4 puan)
b)
${|AB|}$ uzunluğunu bulunuz.(4 puan)
c)
${ABC}$ üçgeninin alanını iki farklı yoldan hesaplayınız ve bulduğunuz iki değeri karşılaştırınız.(7 puan)

Çözümü göster

Soru 15Yeni nesilÇoktan seçmeli7 puanZor

Şekilde

{ABC}

dik üçgeninde dik açı

{A}

köşesindedir.

{D}

noktası

{[AB]}

{E}

noktası

{[AC]}

üzerindedir ve

{[DE]}

ile

{[BC]}

paraleldir.

{A}

köşesinden

{[BC]}

hipotenüsüne inen dikmenin ayağı

{H}

noktasıdır.

{|AD| = 9}

birim,

{|DB| = 6}

birim ve

{|AE| = 12}

birim olduğuna göre

{|AH|}

kaç birimdir?

A $\displaystyle 9$
B $\displaystyle 12$
C $\displaystyle 16$
D $\displaystyle 20$
E $\displaystyle 25$

Çözümü göster

Soru 16Yeni nesilAçık uçlu20 puanİleri

Düz bir arazide, boyları

{6}

m ve

{12}

m olan iki direk yere dik olarak dikilmiştir. Her direğin tepesinden öteki direğin dibine düz birer tel gerilmiştir. Teller

{K}

noktasında kesişmektedir ve

{K}

noktasının yere dik izdüşümü

{F}

noktasıdır.Şekilde

{A}

ile

{D}

direklerin tepeleri,

{B}

ile

{C}

ise dipleridir.

a)
${K}$ noktasının yerden yüksekliğini bulunuz.(5 puan)
b)
İki direk arasındaki uzaklık değişirse ${K}$ noktasının yerden yüksekliği değişir mi? Cevabınızı gerekçelendiriniz.(7 puan)
c)
Direklerin boyları ${b}$ ve ${c}$ metre iken ${K}$ noktasının yerden yüksekliği ${a}$ metre olsun. ${a}$ ile ${b}$ ve ${c}$ arasındaki bağıntıyı yazınız.(8 puan)

Çözümü göster

Soru 17Yeni nesilAçık uçlu20 puanİleri

Şekilde

{ABC}

dik üçgeninde dik açı

{A}

köşesindedir.

{A}

köşesinden inen dikmenin ayağı

{H}

olmak üzere

{|BH| = p}

{|HC| = k}

{|BC| = a}

{|AC| = b}

{|AB| = c}

{|AH| = h}

birimdir.Bir öğrenci üç ayrı ispat yapıyor:I. Pisagor teoremini, Öklid teoreminin

{b^2 = k \cdot a}

{c^2 = p \cdot a}

bağıntılarını taraf tarafa toplayarak ispatlıyor.II. Öklid teoreminin

{h^2 = p \cdot k}

bağıntısını, şekildeki üç dik üçgenin her birine Pisagor teoremini uygulayarak ispatlıyor.III. Öklid teoreminin

{h^2 = p \cdot k}

bağıntısını,

{ABH}

ile

{CAH}

üçgenlerinin A.A. benzerliğinden ispatlıyor.

a)
II. yolda yapılanı, yani ${h^2 = p \cdot k}$ bağıntısının Pisagor teoreminden nasıl elde edildiğini gösteriniz.(8 puan)
b)
I ile II birlikte kullanıldığında Pisagor teoreminin ispatlanmış olup olmadığına karar veriniz ve kararınızı gerekçelendiriniz.(7 puan)
c)
III. yolun bu sorunu neden ortadan kaldırdığını açıklayınız.(5 puan)

Çözümü göster

Soru 18Yeni nesilAçık uçlu20 puanİleri

Bir üçgenin en uzun kenarının uzunluğu

{c}

, öbür iki kenarının uzunlukları

{a}

{b}

birim olsun. Pisagor teoreminin genişletilmiş hâli şunu söyler:

{c}

kenarının karşısındaki açı geniş ise

{c^2 > a^2 + b^2}

, dik ise

{c^2 = a^2 + b^2}

, dar ise

{c^2 < a^2 + b^2}

olur.Şekilde kenar uzunlukları verilen iki üçgen görülmektedir.

a)
Birinci üçgenin en büyük açısının dar mı, dik mi, geniş mi olduğunu bulunuz.(3 puan)
b)
İkinci üçgen için aynı soruyu cevaplayınız.(3 puan)
c)
Bir öğrenci, bir üçgenin üç açısının da dar olduğunu anlamak için yalnız en uzun kenarı sınamanın yeterli olduğunu söylüyor. Bu iddianın doğru olup olmadığına karar veriniz ve kararınızı gerekçelendiriniz.(6 puan)
ç)
Kenar uzunlukları ${9}$ , ${12}$ ve ${x}$ birim olan bir üçgenin üç açısı da dardır. ${x}$ bir tam sayı olduğuna göre ${x}$ kaç farklı değer alabilir?(8 puan)

Çözümü göster

Soru 19KavramÇoktan seçmeli3 puanKolay

{ABC}

üçgeninde

{D}

noktası

{[AB]}

{E}

noktası

{[AC]}

kenarı üzerindedir ve

{[DE]}

ile

{[BC]}

paraleldir.Bir öğrenci, Temel Orantı Teoremi'nin ispatına şu adımla başlıyor:

{[DE]}

ile

{[BC]}

paralel olduğundan

{\text{m}(A\widehat{D}E) = \text{m}(A\widehat{B}C)}

olur.Buna göre bu adımın gerekçesi aşağıdakilerden hangisidir?

A $Ters açıların eşliği$
B $İç ters açıların eşliği$
C $A.A. benzerlik ölçütü$
D $Yöndeş açıların eşliği$
E $Temel Orantı Teoremi$

Çözümü göster

Soru 20KavramKısa cevap4 puanKolay

Pisagor teoreminin alan ispatlarından birinde şöyle bir ayrışım kullanılır: bir karenin içine, dik kenarlarının uzunlukları

{8}

{6}

birim olan dört eş dik üçgen, hipotenüsleri karenin kenarları üzerine oturacak biçimde yerleştirilir; geriye ortada bir kare kalır.Bu ayrışımda büyük karenin bir kenarı

{10}

birimdir.Buna göre ortada kalan karenin alanı kaç birim karedir?

Çözümü göster

Soru 21KavramÇoktan seçmeli3 puanKolay

{ABC}

dik üçgeninde dik açı

{A}

köşesindedir.

{A}

köşesinden

{[BC]}

hipotenüsüne inen dikmenin ayağı

{H}

olmak üzere

{|BH| = p}

{|HC| = k}

{|BC| = a}

{|AC| = b}

{|AB| = c}

{|AH| = h}

birimdir.Bir öğrenci, Öklid teoreminin bir bağıntısını ispatlamak için

{ABH \sim CBA}

benzerliğini kuruyor ve bu benzerlikte karşılıklı kenarların oranını yazıyor.Buna göre öğrencinin elde ettiği bağıntı aşağıdakilerden hangisidir?

A $\displaystyle h^2 = p \cdot k$
B $\displaystyle b^2 = k \cdot a$
C $\displaystyle b^2 = p \cdot a$
D $\displaystyle a^2 = b^2 + c^2$
E $\displaystyle c^2 = p \cdot a$

Çözümü göster

Soru 22KavramÇoktan seçmeli5 puanOrta

Şekilde, kenar uzunluğu

{a + b}

birim olan bir karenin içine dik kenarlarının uzunlukları

{a}

{b}

birim olan dört eş dik üçgen yerleştirilmiştir. Üçgenlerin hipotenüsleri, ortada kenar uzunluğu

{c}

birim olan bir kare oluşturur.Bu ayrışım Pisagor teoreminin bir ispatında kullanılır: ortadaki karenin alanı iki farklı yoldan yazılır.Buna göre bu iki yolu birbirine eşitleyen eşitlik aşağıdakilerden hangisidir?

A $\displaystyle (a+b)^2 - 4 \cdot a \cdot b = c^2$
B $\displaystyle (a+b)^2 - 2 \cdot \dfrac{a \cdot b}{2} = c^2$
C $\displaystyle (a+b)^2 - 4 \cdot \dfrac{a \cdot b}{2} = c^2$
D $\displaystyle (a+b)^2 + 4 \cdot \dfrac{a \cdot b}{2} = c^2$
E $\displaystyle (a+b)^2 - 4 \cdot \dfrac{a \cdot b}{2} = c$

Çözümü göster

Soru 23KavramÇoktan seçmeli5 puanOrta

Öklid teoremi ile Pisagor teoremi birbirinden elde edilebilir. Dik üçgende hipotenüse inen yüksekliğin ayırdığı parçalar

{p}

{k}

, hipotenüs

{a}

, dik kenarlar

{b}

{c}

birim olsun. Öklid teoreminin

{b^2 = k \cdot a}

{c^2 = p \cdot a}

bağıntıları taraf tarafa toplanırsa Pisagor teoremi çıkar. Buna karşılık yüksekliğin oluşturduğu üç dik üçgenin her birine Pisagor teoremi uygulanırsa Öklid teoreminin

{h^2 = p \cdot k}

bağıntısı çıkar.Bir sınıfta Öklid teoremi henüz ispatlanmamıştır.Buna göre bu sınıfta Pisagor teoremini ispatlamak için aşağıdaki yollardan hangisi kullanılabilir?

A $Kare ayrışımıyla alanları karşılaştırmak$
B $Öklid bağıntılarını taraf tarafa toplamak$
C $Üç dik üçgene Pisagor teoremini uygulamak$
D $Üçgenin çevresini iki yoldan yazmak$
E $Üçgeni bir kenarı etrafında döndürmek$

Çözümü göster

Soru 24KavramÇoktan seçmeli5 puanOrta

{ABC}

üçgeninde

{D}

noktası

{[AB]}

{E}

noktası

{[AC]}

kenarı üzerindedir ve

{[DE]}

ile

{[BC]}

paraleldir. Bir öğrenci Temel Orantı Teoremi'ni şöyle ispatlıyor:1. adım:

{[DE]}

ile

{[BC]}

paralel olduğundan yöndeş açılardan

{\text{m}(A\widehat{D}E) = \text{m}(A\widehat{B}C)}

{\text{m}(A\widehat{E}D) = \text{m}(A\widehat{C}B)}

olur.2. adım: İki açısı eş olduğundan

{ADE \sim ABC}

olur.3. adım: Benzerlikten

{\dfrac{|AD|}{|AB|} = \dfrac{|AE|}{|AC|}}

yazılır.Öğrenci buradan

{\dfrac{|AD|}{|DB|} = \dfrac{|AE|}{|EC|}}

eşitliğine ulaşmak istemektedir.Buna göre 3. adımdan sonra yazılması gereken adım aşağıdakilerden hangisidir?

A $Orantıda içler dışlar çarpımı alınır$
B $Üçgen eşitsizliği uygulanır$
C $Ters açıların eşliği kullanılır$
D $Bütün, parçaların toplamı olarak yazılır$
E $Yeni bir paralel doğru daha çizilir$

Çözümü göster

Soru 25KavramÇoktan seçmeli5 puanOrta

Bir marangoz, dikdörtgen olmayan bir kereste panosunun karşılıklı iki kenarını birleştiren, birbirine paralel dört kesim çizgisi çiziyor. Şekilde görüldüğü gibi kesim çizgileri arasındaki uzaklıklar eşit değildir.Marangozun bu kurulum için yazdığı ifadeler şunlardır:I. Kesim çizgileri bir kenarı eş parçalara ayırıyorsa öteki kenarı da eş parçalara ayırır.II. Kesim çizgileri arasındaki uzaklıklar eşit değilse çizgilerin bir kenarda ayırdığı parçalar da eş olmaz.III. Kesim çizgilerinin bir kenarda ayırdığı parçaların uzunlukları, öteki kenarda ayırdığı parçaların uzunluklarına eşittir.Buna göre bu ifadelerden hangileri doğrudur?

A $Yalnız I$
B $Yalnız II$
C $I ve II$
D $I ve III$
E $II ve III$

Çözümü göster

Soru 26Yeni nesilAçık uçlu15 puanZor

{ABC}

dik üçgeninde dik açı

{A}

köşesindedir.

{A}

köşesinden

{[BC]}

hipotenüsüne inen dikmenin ayağı

{H}

olmak üzere

{|BH| = p}

{|BC| = a}

{|AB| = c}

birimdir.

{ABH}

ile

{CBA}

üçgenlerinde

{B}

açısı ortaktır.Tabloda Öklid teoreminin

{c^2 = p \cdot a}

bağıntısının ispatı dört adımda verilmiştir. Birinci satırın gerekçesi yazılmış, öteki satırların gerekçe sütunu boş bırakılmıştır.Buna göre aşağıdaki soruları cevaplayınız.

a)
Tablonun 2. satırının gerekçe sütununa yazılması gereken kuralı yazınız.(4 puan)
b)
Tablonun 3. ve 4. satırlarının gerekçe sütununa yazılması gereken kuralları yazınız.(5 puan)
c)
"Bu ispat Pisagor teoremine dayanmaktadır." önermesinin doğru olup olmadığına karar veriniz ve kararınızı gerekçelendiriniz.(6 puan)

Çözümü göster

Soru 27KavramÇoktan seçmeli5 puanOrta

Şekilde

{ABC}

dik üçgeninde dik açı

{A}

köşesindedir ve

{A}

köşesinden

{[BC]}

hipotenüsüne inen dikmenin ayağı

{H}

noktasıdır. Öklid teoremi bu üçgende bir kez uygulanmıştır.Teorem ikinci kez, dik açısı

{H}

köşesinde olan

{ABH}

üçgeninde uygulanacaktır:

{H}

noktasından

{[AB]}

kenarına inen dikmenin ayağı

{K}

noktasıdır. Uzunluklar şekilde gösterilmiştir.Buna göre ikinci uygulamada

{h^2}

için yazılan bağıntı aşağıdakilerden hangisidir?

A $\displaystyle h^2 = m \cdot n$
B $\displaystyle h^2 = m \cdot (m+n)$
C $\displaystyle h^2 = n \cdot (m+n)$
D $\displaystyle h^2 = (m+n)^2 - n^2$
E $\displaystyle h = m \cdot (m+n)$

Çözümü göster

Soru 28Yeni nesilAçık uçlu10 puanOrta

Şekilde

{ABC}

dik üçgeninde dik açı

{A}

köşesindedir ve

{A}

köşesinden

{[BC]}

hipotenüsüne inen dikmenin ayağı

{H}

noktasıdır. Uzunluklar şekilde gösterilmiştir.Bir öğrenci Öklid teoreminin

{h^2 = p \cdot k}

bağıntısının ispatını yazmış, fakat adımların sırası karışmıştır:1. adım: Benzerlikten

{\dfrac{p}{h} = \dfrac{h}{k}}

yazılır.2. adım:

{[AH]}

ile

{[BC]}

dik olduğundan

{\text{m}(A\widehat{H}B) = \text{m}(A\widehat{H}C) = 90^{\circ}}

olur.3. adım: İçler dışlar çarpımından

{h^2 = p \cdot k}

bulunur.4. adım:

{\text{m}(B\widehat{A}H) + \text{m}(H\widehat{A}C) = 90^{\circ}}

{\text{m}(H\widehat{A}C) + \text{m}(A\widehat{C}H) = 90^{\circ}}

olduğundan

{\text{m}(B\widehat{A}H) = \text{m}(A\widehat{C}H)}

olur.5. adım: İki açısı eş olduğundan

{ABH \sim CAH}

olur.Buna göre aşağıdaki soruları cevaplayınız.

a)
Adımları doğru sıraya diziniz ve sıralamayı yazınız.(4 puan)
b)
İspatın hangi adımında A.A. benzerlik ölçütü kullanılmıştır? Adımın numarasını yazınız.(6 puan)

Çözümü göster

Soru 29KavramÇoktan seçmeli7 puanZor

Pisagor teoreminin alan ispatı iki ayrı düzenlemeyle yapılabilir. Şekilde ikinci düzenleme verilmiştir: kenar uzunluğu

{c}

birim olan bir karenin her kenarı, dik kenarlarının uzunlukları

{a}

{b}

birim olan bir dik üçgenin hipotenüsüdür. Dört eş üçgen kareye içeriden oturmakta ve ortada kenar uzunluğu

{b - a}

birim olan bir kare kalmaktadır. Burada

{b > a}

olduğu bilinmektedir.Buna göre bu düzenlemeden yazılan eşitlik aşağıdakilerden hangisidir?

A $\displaystyle c^2 = 4 \cdot a \cdot b + (b-a)^2$
B $\displaystyle c^2 = 4 \cdot \dfrac{a \cdot b}{2} + (b+a)^2$
C $\displaystyle c^2 = 4 \cdot \dfrac{a \cdot b}{2} - (b-a)^2$
D $\displaystyle c^2 = 4 \cdot \dfrac{a \cdot b}{2} + (b-a)^2$
E $\displaystyle c^2 = 4 \cdot \dfrac{a \cdot b}{2} + b^2 - a^2$

Çözümü göster

Soru 30Yeni nesilKısa cevap8 puanZor

Bir öğrenci şöyle bir genelleme yapıyor: "Bir üçgende bir kenara inen yüksekliğin uzunluğunun karesi, yüksekliğin ayağının o kenarda ayırdığı iki parçanın uzunluklarının çarpımına eşittir." Öğrenci bu genellemeyi Öklid teoreminden yola çıkarak bütün üçgenlere yaymıştır.Şekildeki

{ABC}

üçgeninde

{|AB| = 15}

birim,

{|AC| = 13}

birim ve

{|BC| = 14}

birimdir.

{A}

köşesinden

{[BC]}

kenarına inen dikmenin ayağı

{H}

noktasıdır.Buna göre bu üçgende

{|AH|^2}

değeri ile

{|BH| \cdot |HC|}

çarpımının farkı kaçtır?

Çözümü göster

Soru 31KavramÇoktan seçmeli5 puanOrta

Şekilde

{[AB]}

ile

{[DC]}

paralel olan

{ABCD}

yamuğu verilmiştir.

{P}

noktası

{[AD]}

{R}

noktası

{[BC]}

kenarı üzerindedir ve

{[PR]}

ile

{[AB]}

paraleldir.Bir öğrenci

{\dfrac{|AP|}{|PD|} = \dfrac{|BR|}{|RC|}}

eşitliğini Temel Orantı Teoremi ile ispatlamak istiyor. Teorem bir üçgende tanımlı olduğundan yamuğa doğrudan uygulanamaz.Buna göre öğrencinin şekle çizmesi gereken yardımcı çizgi aşağıdakilerden hangisidir?

A $AC köşegeni$
B $A köşesinden DC kenarına dikme$
C $P noktasından AB kenarına paralel doğru$
D $D köşesinden AB kenarına paralel doğru$
E $AB kenarının orta dikmesi$

Çözümü göster

Soru 32Yeni nesilÇoktan seçmeli5 puanOrta

Bir üçgende en uzun kenarın karşısındaki açının türü, o kenarın karesi ile öbür iki kenarın karelerinin toplamı karşılaştırılarak belirlenir: en uzun kenarın karesi daha büyükse açı geniş, eşitse dik, daha küçükse dardır.Tabloda üç üçgenin kenar uzunlukları ile bir öğrencinin en uzun kenarın karşısındaki açı için yazdığı hüküm verilmiştir.Buna göre öğrencinin hükmü hangi üçgenlerde yanlıştır?

A $Yalnız 2$
B $Yalnız 3$
C $1 ve 2$
D $1, 2 ve 3$
E $2 ve 3$

Çözümü göster

Soru 33KavramÇoktan seçmeli5 puanOrta

Şekilde

{ABC}

dik üçgeninde dik açı

{A}

köşesindedir ve

{A}

köşesinden

{[BC]}

hipotenüsüne inen dikmenin ayağı

{H}

noktasıdır. Hipotenüsün tamamı

{a}

birim olup öteki uzunluklar şekilde gösterilmiştir.Bir öğrenci Pisagor teoreminin

{b^2 + c^2 = a^2}

eşitliğini, Öklid teoreminden yararlanarak şöyle ispatlıyor:1. adım: Öklid teoreminden

{c^2 = p \cdot a}

yazılır.2. adım: Öklid teoreminden

{b^2 = k \cdot a}

yazılır.3. adım: Öklid teoreminden ayrıca

{h^2 = p \cdot k}

yazılır.4. adım: Birinci ve ikinci eşitlikler taraf tarafa toplanırsa

{b^2 + c^2 = (p + k) \cdot a}

olur.5. adım:

{p + k = a}

olduğundan

{b^2 + c^2 = a^2}

bulunur.Buna göre bu ispatta sonuca ulaşmak için gerekli olmayan adım hangisidir?

A $1. adım$
B $2. adım$
C $3. adım$
D $4. adım$
E $5. adım$

Çözümü göster

Soru 34Yeni nesilAçık uçlu20 puanİleri

Şekilde bir karenin içine üç eş dik üçgen yerleştirilmiştir. Üçgenlerin dik kenarlarının ve hipotenüslerinin uzunlukları ile karenin kenar uzunluğu şekilde harflerle gösterilmiştir. Ayrışım tamamlandığında ortada bir dörtgen kalacaktır.Bu ayrışım Pisagor teoreminin bir ispatında kullanılır; bu yüzden aşağıdaki maddelerde Pisagor teoremi kullanılamaz.Buna göre aşağıdaki soruları cevaplayınız.

a)
Ayrışımı tamamlayan dördüncü eş dik üçgeni şeklin üzerine çiziniz ve bu üçgenin dik kenarlarının uzunluklarını yazınız.(5 puan)
b)
Ayrışım tamamlandığında ortada kalan dörtgenin bir kare olduğunu gerekçelendiriniz.(7 puan)
c)
Ortadaki karenin alanını iki farklı yoldan yazarak ${c^2}$ ifadesini ${a}$ ve ${b}$ cinsinden bulunuz.(8 puan)

Çözümü göster

Soru 35Yeni nesilAçık uçlu15 puanZor

Şekilde

{ABC}

üçgeninde

{D}

noktası

{[AB]}

{E}

noktası

{[AC]}

kenarı üzerindedir ve

{[DE]}

ile

{[BC]}

paraleldir.

{[BE]}

{[CD]}

doğru parçaları da çizilmiştir. Kenar parçalarının uzunlukları şekilde harflerle gösterilmiştir.Temel Orantı Teoremi'nin bir ispatı benzerlik kullanmaz, üçgenlerin alanlarını kullanır. Bu ispatın dayandığı bilgi şudur: tabanları aynı doğru üzerinde olan ve tabana karşı köşesi ortak olan iki üçgenin alanlarının oranı, tabanlarının uzunluklarının oranına eşittir.Buna göre aşağıdaki soruları cevaplayınız.

a)
${ADE}$ üçgeninin alanının ${DBE}$ üçgeninin alanına oranını ${x}$ ve ${y}$ cinsinden yazınız.(4 puan)
b)
${DBE}$ ile ${ECD}$ üçgenlerinin alanlarının eşit olduğunu gerekçelendiriniz ve buradan ${\dfrac{x}{y} = \dfrac{z}{t}}$ eşitliğini elde ediniz.(5 puan)
c)
Bu ispatta benzerlik kavramı hiç kullanılmamıştır. Bunun bir eksiklik olup olmadığına karar veriniz ve kararınızı gerekçelendiriniz.(6 puan)

Çözümü göster

Soru 36Yeni nesilAçık uçlu20 puanİleri

Şekilde bir

{ABC}

üçgeni ile

{A}

köşesinden

{[BC]}

kenarına inen dikme verilmiştir; dikmenin ayağı

{H}

noktasıdır ve

{H}

noktası

{[BC]}

kenarı üzerindedir. Uzunluklar şekilde harflerle gösterilmiştir; ayrıca

{|BC| = a}

birimdir.Öklid teoremi,

{A}

köşesindeki açı dik olduğunda

{h^2 = p \cdot k}

olacağını söyler.Buna göre aşağıdaki soruları cevaplayınız.

a)
${ABH}$ ve ${ACH}$ dik üçgenlerinde Pisagor teoremini kullanarak ${b^2 + c^2 - a^2}$ farkını ${h}$ , ${p}$ ve ${k}$ cinsinden yazınız.(5 puan)
b)
${A}$ köşesindeki açının dik olması ile ${h^2 = p \cdot k}$ olmasının birbirine denk koşullar olup olmadığına karar veriniz ve kararınızı (a) maddesini kullanarak gerekçelendiriniz.(7 puan)
c)
"Kenar uzunlukları ${a}$ , ${b}$ ve ${c}$ olan bir üçgende ${b^2 + c^2 = a^2}$ ise ${a}$ kenarının karşısındaki açı diktir." önermesi Pisagor teoreminin kendisi midir? Kararınızı gerekçelendiriniz.(8 puan)

Çözümü göster

Ders kılavuzu

Dersi açmak için çengel sorular, kavramı somutlaştıran benzetmeler ve öğrencilerin sık yaptığı yanlışlar.

Derse giriş: çengel sorular

Mısırlı ip gerenler
Eski Mısır'da tarla ölçenler ${12}$ eşit aralıklı düğümü olan bir iple ${3}$ , ${4}$ ve ${5}$ birimlik bir üçgen kurar ve tam bir dik açı elde ederdi. Bir iple sınıfta aynısını deneyin: neden hep dik açı çıkıyor?
$\displaystyle 3^2 + 4^2 = 5^2$
Tales ve piramit
Rivayete göre Tales, bir piramidin yüksekliğini kendi gölgesinin boyuna eşit olduğu anda piramidin gölgesini ölçerek bulmuştur. Bu fikir hangi geometri kuralına dayanır?
Kareleri kesip yerleştirmek
Bir dik üçgenin iki kısa kenarı üzerine çizilen iki kareyi kesip parçalayın ve uzun kenarın karesine yerleştirmeyi deneyin. Pisagor teoreminin yüzlerce ispatı vardır; bunların bir kısmı tam bu tür bir parçalamadır.

Benzetmeler

Pisagor ispatı
Bir yap-bozdur: aynı dört üçgen büyük karenin içine iki farklı biçimde yerleştirilir; boşta kalan alanların eşitliği teoremi verir.
Öklid bağıntıları
Dik üçgendeki yükseklik büyük üçgeni iki küçük kopyaya böler: üç üçgen aynı ailenin üç bedenidir. Bağıntılar bu üç benzer üçgenin oranlarıdır.
Tales
Defterdeki paralel çizgilerdir: eğik bir kalem çizgisini her zaman aynı oranda dilimlere ayırırlar.

Sık yapılan yanlışlar

Pisagor teoremi her üçgende geçerlidir.
${a^2 + b^2 = c^2}$ yalnız dik üçgende doğrudur; ${c}$ dik açının karşısındaki kenardır (hipotenüs).
Bir eşkenar üçgende teoremi denetletip yanlış çıktığını gösterin.
$\displaystyle a^2 + b^2 = c^2$
Hipotenüs verilince iki kenarın kareleri yine toplanır.
Hipotenüsün karesi öbür iki kenarın kareleri toplamıdır. Bir dik kenarı bulmak için çıkarma yapılır: ${b^2 = c^2 - a^2}$ .
Her soruda önce dik açının karşısındaki kenarı işaretletin.
Yükseklik için ${|AH|^2 = |AB| \cdot |AC|}$ olur.
Yükseklik bağıntısı hipotenüs üzerindeki iki parçayla kurulur: ${|AH|^2 = |BH| \cdot |HC|}$ .
${ABH}$ ve ${CAH}$ üçgenlerinin benzerliğinden bağıntıyı türettirin.
$\displaystyle |AH|^2 = |BH| \cdot |HC|$
Dik kenar için ${|AB|^2 = |BH| \cdot |HC|}$ olur.
Dik kenarın karesi, kendi izdüşümü ile hipotenüsün tamamının çarpımıdır: ${|AB|^2 = |BH| \cdot |BC|}$ .
Dik kenarı ve izdüşümünü aynı renkle boyatın; hipotenüsün tamamını ayrı bir renkle gösterin.
$\displaystyle |AB|^2 = |BH| \cdot |BC|$
Tales'te ${\dfrac{|AB|}{|BC|} = \dfrac{|DE|}{|DF|}}$ yazılır.
Oranın iki yanı aynı konumdaki parçalar olmalı: parça parçayla ya da bütün bütünle. ${\dfrac{|AB|}{|BC|} = \dfrac{|DE|}{|EF|}}$ ya da ${\dfrac{|AB|}{|AC|} = \dfrac{|DE|}{|DF|}}$ .
Paralel doğruların arasındaki parçaları aynı renkle eşleştirtin.
${\sqrt{a^2 + b^2} = a + b}$ olur.
Karekök toplamın üzerine dağılmaz: ${\sqrt{9 + 16} = 5}$ , ama ${3 + 4 = 7}$ .
Sayılarla deneterek iki tarafın farklı çıktığını gösterin.

Tahtada anlatım sırası9 adımı göster

1
İp gerenler çengeliyle başlayın: ${3}$ , ${4}$ , ${5}$ üçlüsünü iple kurdurun. Sonra ${6}$ , ${8}$ , ${10}$ ve ${5}$ , ${12}$ , ${13}$ üçlülerini kareleriyle birlikte tabloya yazdırın.
2
Pisagor için alan ispatını yapın: kenarı ${a + b}$ olan karenin içine dört dik üçgeni iki farklı biçimde yerleştirin ve boşta kalan alanları karşılaştırın.
$\displaystyle a^2 + b^2 = c^2$
Süreç bileşeni a: Pisagor teoremine ilişkin farklı ispatları kullanır.
3
İkinci ispat: hipotenüse yükseklik çizip üç benzer üçgen elde edin. Benzerliklerden Öklid bağıntılarını yazdırın, ikisini toplayarak Pisagor'u yeniden elde ettirin.
$\displaystyle |AB|^2 = |BH| \cdot |BC|, \quad |AC|^2 = |HC| \cdot |BC|$
Süreç bileşeni a: farklı ispatları kullanır.
4
Yükseklik bağıntısını aynı benzer üçgenlerden türettirin. Formülü kutu içine alın ve sözle okutun: yüksekliğin karesi, hipotenüs parçalarının çarpımıdır.
$\displaystyle |AH|^2 = |BH| \cdot |HC|$
5
Tales teoremini paralel üç doğru ve iki kesenle çizin. Kesenlerden birini kaydırınca oranın değişmediğini gösterin; ispatı benzer üçgenlerle yapın.
$\displaystyle \dfrac{|AB|}{|BC|} = \dfrac{|DE|}{|EF|}$
Süreç bileşeni a: Tales teoremine ilişkin ispatı kullanır.
6
Kısa alıştırma turu: Pisagor ile kenar, Öklid ile yükseklik ve dik kenar, Tales ile parça buldurun. Her soruda önce hangi bağıntının kullanılacağını söyletin.
7
Karekökü tam çıkmayan cevaplar: ${\sqrt{20} = 2\sqrt{5}}$ gibi sadeleştirmeleri hatırlatın.
8
Yeni durum: bir dikdörtgenin köşegeni, bir rampanın uzunluğu, gölgeyle yükseklik. Teoremlerin nerede kullanılabileceğini öğrencilere buldurun.
Süreç bileşeni b: ispat ve teoremleri yeni durumlara uyarlayarak değerlendirir.
9
Kapanış: “Ölçmek mi, ispatlamak mı?” sorusunu tartışın: ip ile kurulan dik açı ölçümdür; alan ispatı her dik üçgen için geçerlidir.

Ödev ve çalışma kâğıdı

Her antrenman tek bir beceriyi bol tekrarla çalıştırır. Hangisinden kaç kalem istediğini seç; kâğıt ve çözümlü cevap anahtarı tarayıcında hazırlanır.

Ödev kâğıdı oluştur

Her alıştırmadan kaç kalem istediğini seç. Kalemler hazır havuzdan rastgele gelir; iki sınıfa iki ayrı kâğıt verebilirsin. Çözümlü cevap anahtarı da hazır.

Alıştırmalar

Şekillerde ${[AB] \perp [AC]}$ ve ${[AH] \perp [BC]}$ 'dir. Hipotenüse ait yükseklik için: ${|AH|^2 = |BH| \cdot |HC|}$ (Öklid).
1. 1) ${[AB] \perp [AC]}$ , ${[AH] \perp [BC]}$ , ${|BH| = 4}$ , ${|HC| = 16}$ ve ${|AH| = x}$ ise ${x}$ kaçtır?= $\displaystyle 8$
2. 2) ${[AB] \perp [AC]}$ , ${[AH] \perp [BC]}$ , ${|BH| = 12}$ , ${|AH| = 18}$ ve ${|HC| = x}$ ise ${x}$ kaçtır?= $\displaystyle 27$
3. 3) ${[AB] \perp [AC]}$ , ${[AH] \perp [BC]}$ , ${|HC| = 3}$ , ${|AH| = 6}$ ve ${|BH| = x}$ ise ${x}$ kaçtır?= $\displaystyle 12$
/ 30
Şekillerde ${[AB] \perp [AC]}$ ve ${[AH] \perp [BC]}$ 'dir. Dik kenar için: ${|AB|^2 = |BH| \cdot |BC|}$ ve ${|AC|^2 = |HC| \cdot |BC|}$ (Öklid).
1. 1) ${[AB] \perp [AC]}$ , ${[AH] \perp [BC]}$ , ${|BH| = 9}$ , ${|HC| = 16}$ ve ${|AB| = x}$ ise ${x}$ kaçtır?= $\displaystyle 15$
2. 2) ${[AB] \perp [AC]}$ , ${[AH] \perp [BC]}$ , ${|BH| = 4}$ , ${|HC| = 12}$ ve ${|AC| = x}$ ise ${x}$ kaçtır?= $\displaystyle 8 \sqrt{3}$
3. 3) ${[AB] \perp [AC]}$ , ${[AH] \perp [BC]}$ , ${|AB| = 24}$ , ${|BH| = 18}$ ve ${|HC| = x}$ ise ${x}$ kaçtır?= $\displaystyle 14$
/ 36
Şekillerde ${[AB] \perp [BC]}$ 'dir. Dik üçgende dik kenarların kareleri toplamı hipotenüsün karesine eşittir: ${|AB|^2 + |BC|^2 = |AC|^2}$ (Pisagor).
1. 1) ${[AB] \perp [BC]}$ , ${|AB| = 9}$ , ${|BC| = 12}$ ve ${|AC| = x}$ ise ${x}$ kaçtır?= $\displaystyle 15$
2. 2) ${[AB] \perp [BC]}$ , ${|AB| = 8}$ , ${|AC| = 17}$ ve ${|BC| = x}$ ise ${x}$ kaçtır?= $\displaystyle 15$
3. 3) ${[AB] \perp [BC]}$ , ${|AB| = 5}$ , ${|BC| = 6}$ ve ${|AC| = x}$ ise ${x}$ kaçtır?= $\displaystyle \sqrt{61}$
/ 37
${d_1 \mathrel{/\!\!/} d_2 \mathrel{/\!\!/} d_3}$ doğrularını bir kesen ${A}$ , ${B}$ , ${C}$ ; öbürü ${D}$ , ${E}$ , ${F}$ noktalarında kesiyor. Tales: ${\dfrac{|AB|}{|BC|} = \dfrac{|DE|}{|EF|}}$ . Şekli kendiniz çiziniz.
1. 1) ${|AB| = 9}$ , ${|BC| = 6}$ ve ${|DE| = 12}$ ise ${|EF|}$ kaçtır?= $\displaystyle 8$
2. 2) ${|AB| = 20}$ , ${|BC| = 24}$ ve ${|DF| = 55}$ ise ${|DE|}$ kaçtır?= $\displaystyle 25$
3. 3) ${|AC| = 7}$ , ${|DE| = 2}$ ve ${|EF| = 12}$ ise ${|AB|}$ kaçtır?= $\displaystyle 1$
/ 40

Kâğıt başlığı

Çalışma boşluğu

Yok8 mm15 mm25 mm

Ad, sınıf, süre satırıCevap anahtarında kısa çözüm

0 kalem

İndirmek için en az bir kalem seç.

Kazanım künyesi

9. sınıf Tales, Öklid ve Pisagor teoremleri için 36 çözümlü soru: soruları sayfada çöz, takıldığında adım adım çözümü aç; seçtiğin sorulardan test, yaprak test ya da yazılı kâğıdı hazırla ve cevap anahtarıyla PDF olarak indir; ödev için alıştırma (çalışma) kâğıdı çıkar; derste soruları akıllı tahtada tek tek aç; ders kılavuzunda derse giriş, kavram yanılgıları ve tahta akışı var. 2. dönem yazılısına ve ortak sınava hazırlıkta kullanılır.

Kod: MAT.9.4.4
Kapsadığı konular: pisagor teoremi, öklid bağıntıları, tales teoremi, dik üçgen
Dönem ve hafta: 2. dönem, 20, 21. haftalar, 6 ders saati
Süreç bileşenleri: a)Tales, Öklid ve Pisagor teoremlerine ilişkin farklı ispatları kullanır.
b)Kullandığı matematiksel ispat ve teoremleri yeni durumlara uyarlayarak değerlendirir.
Ders kitabında: 4. Tema — Eşlik ve Benzerlik, 4.4 Tales, Öklid ve Pisagor Teoremleri

Tales, Öklid ve Pisagor teoremleri

Sorular ve çözümleri

Ders kılavuzu

Derse giriş: çengel sorular

Benzetmeler

Sık yapılan yanlışlar

Ödev ve çalışma kâğıdı

Ödev kâğıdı oluştur

Test PDF'i

Test PDF'i hazırla

Kazanım künyesi