10. sınıf, SayılarMAT.10.3.1

Asal çarpanlar ve bölenler

Bir Doğal Sayının Asal Çarpanları, Bölenleri

Kazanım: Bir doğal sayı ile asal çarpanları ve bölenleri arasındaki ilişkilere dair çıkarım yapabilme.

Tahtada aç Yazılı hazırla

Sorular ve çözümleri

Her sorunun altında adım adım çözüm var. Çoktan seçmelide doğru şık, çözümü açınca işaretlenir.

Zorluk

Cevap biçimi

Soru türü

Şekil

27 soru gösteriliyor

Soru 1KavramKısa cevap4 puanKolay

Tabloda

{5}

sayısının ilk dört kuvvetinin pozitif tam sayı bölenleri ve bu bölenlerin sayısı verilmiştir. Bir sayının pozitif tam sayı bölenlerine kısaca pozitif bölenleri denir.Tablodaki örüntüye göre

{5^7}

sayısının kaç tane pozitif böleni vardır?

Çözümü göster

Cevap: $\displaystyle 8$

1
Tabloda ${5^1}$ 'in ${2}$ , ${5^2}$ 'nin ${3}$ , ${5^3}$ 'ün ${4}$ , ${5^4}$ 'ün ${5}$ pozitif böleni vardır; her satırda bölen sayısı üsten bir fazladır.
2
${5^7}$ sayısının pozitif bölenleri ${1, 5, 5^2, \ldots, 5^7}$ sayılarıdır; üsler ${0}$ 'dan ${7}$ 'ye kadar ${8}$ tanedir.
3
Buna göre ${5^7}$ sayısının ${8}$ pozitif böleni vardır.

Soru 2KavramÇoktan seçmeli5 puanOrta

Bir öğrenci bazı sayıların pozitif tam sayı bölenlerini sayarak tabloyu hazırlamıştır. Bir sayının pozitif tam sayı bölenlerinin sayısına kısaca bölen sayısı denir. Öğrenci tabloya bakarak beş varsayım yazmıştır.Buna göre aşağıdaki varsayımlardan hangisi tablodaki bütün sayılar için doğrudur?

A $Çift sayıların bölen sayısı çifttir$
B $Bölen sayısı 6 olan sayılar çifttir$
C $Bölen sayısı tek olan sayılar tam karedir$
D $Tek sayıların bölen sayısı tektir$
E $Tam karelerin bölen sayısı 3 ya da 5 olur$

Çözümü göster

CDoğru cevap

1
Tabloda bölen sayısı tek olan sayılar ${16}$ , ${25}$ ve ${36}$ 'dır; üçü de tam karedir: ${16 = 4^2}$ , ${25 = 5^2}$ , ${36 = 6^2}$ . Öteki dört sayının bölen sayısı çifttir ve hiçbiri tam kare değildir.
2
Öteki varsayımların her birinin tabloda karşıt örneği vardır: ${16}$ ile ${36}$ çifttir ama bölen sayıları tektir; ${45}$ tektir ama bölen sayısı ${6}$ 'dır; ${36}$ tam karedir ama bölen sayısı ${9}$ 'dur.
3
Tablodaki bütün sayılar için doğru olan varsayım $Bölen sayısı tek olan sayılar tam karedir$ olur.

Yanlış şıklar neden yanlış?

A)16 ve 36 çift sayıdır ama bölen sayıları 5 ve 9 olur.
B)45 tek sayıdır ve bölen sayısı 6 olur.
D)25 için tutar ama 45 tek sayıdır ve bölen sayısı 6 olur.
E)16 ve 25 için tutar ama 36 tam karedir ve bölen sayısı 9 olur.

Soru 3KavramÇoktan seçmeli5 puanOrta

Bir öğrenci pozitif tam sayı bölenlerinin sayısıyla ilgili şu genellemeye ulaşmıştır:"

{p}

{q}

{r}

farklı asal sayılar ve

{a}

{b}

{c}

pozitif tam sayılar olmak üzere

{p^a \cdot q^b \cdot r^c}

sayısının pozitif tam sayı bölenlerinin sayısı

{(a + 1) \cdot (b + 1) \cdot (c + 1)}

olur."Buna göre

{360}

sayısının pozitif tam sayı bölenlerinin sayısı kaçtır?

A $\displaystyle 24$
B $\displaystyle 12$
C $\displaystyle 9$
D $\displaystyle 8$
E $\displaystyle 6$

Çözümü göster

ADoğru cevap

1
${360 = 36 \cdot 10 = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 2 \cdot 5 = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5^1}$ olur; farklı asal çarpanlar ${2}$ , ${3}$ , ${5}$ ve üsleri sırasıyla ${3}$ , ${2}$ , ${1}$ 'dir.
2
Genellemeye göre bölenlerin sayısı ${(3 + 1) \cdot (2 + 1) \cdot (1 + 1) = 4 \cdot 3 \cdot 2}$ olur.
3
Buna göre ${360}$ sayısının ${24}$ pozitif tam sayı böleni vardır.

Yanlış şıklar neden yanlış?

B)Asal çarpan 5 unutulmuş; yalnız 2 ve 3 için üsler bir artırılıp çarpılmış.
C)Üsler bir artırılmış ama çarpılmak yerine toplanmış: 4 + 3 + 2.
D)Bölen sayısının yalnız farklı asal çarpanların sayısına bağlı olduğu sanılmış: 2 üssü 3.
E)Üsler toplanmış: 3 + 2 + 1; her üsse 1 eklenip çarpılmamış.

Soru 4KavramÇoktan seçmeli5 puanOrta

Bir öğrenci tabloda verilen sayılara bakarak şu genellemeyi yazmıştır:"

{k}

tane farklı asal çarpanı olan her pozitif tam sayının pozitif tam sayı bölenlerinin sayısı

{2^k}

olur."Tablonun "Bölen" sütunu sayının pozitif tam sayı bölenlerinin sayısını göstermektedir. Öğrenci genellemesini aşağıdaki sayılarla sınamak istemektedir.Buna göre bu sayılardan hangisi genellemeyi karşılamaz?

A $\displaystyle 21$
B $\displaystyle 33$
C $\displaystyle 35$
D $\displaystyle 50$
E $\displaystyle 55$

Çözümü göster

DDoğru cevap

1
Tablodaki beş sayıda her asal çarpanın üssü ${1}$ 'dir; ${k = 2}$ için ${4}$ , ${k = 3}$ için ${8}$ bölen vardır ve genelleme bu sayılarda tutar.
2
${21 = 3 \cdot 7}$ , ${33 = 3 \cdot 11}$ , ${35 = 5 \cdot 7}$ ve ${55 = 5 \cdot 11}$ sayılarının her birinin iki farklı asal çarpanı ve ${2 \cdot 2 = 4}$ pozitif böleni vardır; bu sayılar genellemeyi karşılar.
3
${50 = 2^1 \cdot 5^2}$ sayısının iki farklı asal çarpanı vardır ama pozitif bölen sayısı ${(1 + 1) \cdot (2 + 1) = 6}$ olur; ${2^2 = 4}$ değildir.
4
Genellemeyi karşılamayan sayı ${50}$ olur.

Yanlış şıklar neden yanlış?

A)21 = 3 · 7 sayısının iki farklı asal çarpanı ve dört pozitif böleni vardır; genellemeyi karşılar.
B)33 = 3 · 11 sayısının dört pozitif böleni vardır; genellemeyi karşılar.
C)35 = 5 · 7 sayısının dört pozitif böleni vardır; genellemeyi karşılar.
E)55 = 5 · 11 sayısının dört pozitif böleni vardır; genellemeyi karşılar.

Soru 5Yeni nesilKısa cevap6 puanOrta

Bir sayı bulma oyununda bir öğrenci aklından bir pozitif tam sayı tutmuş ve iki ipucu vermiştir: tuttuğu sayı

{300}

'den küçüktür ve bu sayının tam olarak üç tane pozitif tam sayı böleni vardır.Oyuncular birkaç örnek denedikten sonra "Tam olarak üç pozitif tam sayı böleni olan sayılar bir asal sayının karesidir." genellemesine ulaşmıştır.Buna göre öğrencinin tutmuş olabileceği kaç farklı sayı vardır?

Çözümü göster

Cevap: $\displaystyle 7$

1
Tam olarak üç pozitif tam sayı böleni olan sayı, ${p}$ asal olmak üzere ${p^2}$ biçimindedir; bölenleri ${1}$ , ${p}$ ve ${p^2}$ sayılarıdır.
2
${p^2 < 300}$ olmalıdır; ${17^2 = 289 < 300}$ ve ${19^2 = 361 > 300}$ olduğundan ${p \le 17}$ olur.
3
${17}$ 'ye eşit ya da ondan küçük asal sayılar ${2}$ , ${3}$ , ${5}$ , ${7}$ , ${11}$ , ${13}$ ve ${17}$ 'dir; karşılık gelen sayılar ${4}$ , ${9}$ , ${25}$ , ${49}$ , ${121}$ , ${169}$ ve ${289}$ olur.
4
Buna göre öğrencinin tutmuş olabileceği ${7}$ farklı sayı vardır.

Soru 6KavramÇoktan seçmeli9 puanİleri

Bir sınıfta sayılar şu yöntemle kodlanmaktadır: sayının asal çarpanları küçükten büyüğe yazılır ve her asal sayının hemen sağına o asal çarpanın üssü yazılır. Üs

{1}

olsa da yazılır; rakamların arasında boşluk bırakılmaz. Örneğin

{18 = 2^1 \cdot 3^2}

olduğundan

{18}

'in kodu

{2132}

olur. Tabloda dört sayı ve kodları verilmiştir.Bir öğrenci bu yöntem için şu üç önermeyi yazmıştır:I.

{1}

'den büyük her doğal sayının yalnız bir kodu vardır.II. Kodu

{2231}

olan birden çok doğal sayı vardır.III. Asal çarpanlarına ayrılış tek türlü olduğundan her kod yalnız bir sayıya karşılık gelir.Buna göre bu önermelerden hangileri doğrudur?

A $I ve II$
B $Yalnız I$
C $Yalnız II$
D $I ve III$
E $I, II ve III$

Çözümü göster

Soru 7KavramÇoktan seçmeli3 puanKolay

Bir öğrenci

{100}

sayısının pozitif tam sayı bölenlerini

{1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50}

{100}

olarak yazmıştır.Buna göre

{100}

sayısının pozitif ve negatif bütün tam sayı bölenlerinin sayısı kaçtır?

A $\displaystyle 9$
B $\displaystyle 18$
C $\displaystyle 17$
D $\displaystyle 19$
E $\displaystyle 81$

Çözümü göster

Soru 8KavramÇoktan seçmeli7 puanZor

{a}

{b}

pozitif tam sayılar olmak üzere

{n = 2^a \cdot 3^b}

sayısı için şu önermeler yazılmıştır:I.

{n}

sayısının pozitif tam sayı bölenlerinin sayısı tek ise

{a}

{b}

sayılarının ikisi de tektir.II.

{n}

sayısının tek olan pozitif tam sayı bölenlerinin sayısı

{b + 1}

olur.III.

{n}

sayısının çift olan pozitif tam sayı bölenlerinin sayısı

{a \cdot (b + 1)}

olur.Buna göre bu önermelerden hangileri doğrudur?

A $Yalnız II$
B $Yalnız III$
C $I ve II$
D $II ve III$
E $I, II ve III$

Çözümü göster

Soru 9Yeni nesilÇoktan seçmeli5 puanOrta

Bir bahçıvan

{84}

fidanın hepsini, her sırada eşit sayıda fidan olacak biçimde sıralara dikecektir. Her sırada en az

{3}

fidan olacak ve bahçede en az

{2}

sıra bulunacaktır.Buna göre bahçıvan bir sıradaki fidan sayısını kaç farklı biçimde belirleyebilir?

A $\displaystyle 12$
B $\displaystyle 11$
C $\displaystyle 10$
D $\displaystyle 6$
E $\displaystyle 9$

Çözümü göster

Soru 10Yeni nesilKısa cevap8 puanZor

Bir belediye

{144}

metrekarelik dikdörtgen biçiminde bir oyun bahçesi yapacaktır. Bahçenin kenar uzunlukları metre cinsinden tam sayı olacak ve her kenar en az

{4}

metre olacaktır. Kare biçimli bahçe de dikdörtgen sayılır. Kenar uzunluklarının yeri önemli değildir: kenarları

{8}

metre ve

{18}

metre olan bahçe ile kenarları

{18}

metre ve

{8}

metre olan bahçe aynı plandır.Buna göre belediye kaç farklı bahçe planı yapabilir?

Çözümü göster

Soru 11Yeni nesilÇoktan seçmeli7 puanZor

Üzerinde

{1}

{2}

{3}

{3}

{5}

{5}

yazan altı kart vardır. Bu kartlardan bir ya da daha çok kart seçilir ve seçilen kartlardaki sayılar çarpılarak bir sayı oluşturulur. Tabloda bazı seçimler ve oluşan sayılar verilmiştir.Bir öğrenci şu varsayımda bulunmuştur: "Oluşan her sayı, altı kartın çarpımı olan

{450}

sayısının pozitif tam sayı bölenidir ve

{450}

sayısının her pozitif tam sayı böleni kartlarla oluşturulabilir." Bu varsayım doğrudur.Buna göre kartlarla kaç farklı sayı oluşturulabilir?

A $\displaystyle 63$
B $\displaystyle 18$
C $\displaystyle 17$
D $\displaystyle 8$
E $\displaystyle 31$

Çözümü göster

Soru 12Yeni nesilAçık uçlu20 puanİleri

Bir konser salonunda

{96}

sandalyenin hepsi, her sırada eşit sayıda sandalye olacak biçimde sıralara dizilecektir. Her sırada en az

{4}

, en çok

{16}

sandalye olacaktır. Tabloda bu koşullara uyan iki düzen verilmiştir.Aşağıdaki soruları cevaplayınız.

a)
${96}$ sayısını asal çarpanlarına ayırarak pozitif tam sayı bölenlerinin sayısını bulunuz.(4 puan)
b)
Koşullara uyan kaç farklı düzen vardır?(5 puan)
c)
Salon en çok ${10}$ sıra alabilmektedir. Bu koşul da eklenirse kaç farklı düzen kalır?(5 puan)
ç)
Bir görevli " ${96}$ sayısının ${12}$ pozitif tam sayı böleni olduğuna göre sandalyeler ${12}$ farklı düzende dizilebilir." demiştir. Bölen sayısını veren genellemenin bu problemdeki kullanışlılığını görevlinin sözü üzerinden değerlendiriniz.(6 puan)

Çözümü göster

Soru 13KavramKısa cevap6 puanOrta

Tabloda altı sayının farklı asal çarpanlarının üsleri ve pozitif tam sayı bölenlerinin sayısı verilmiştir. Bir sayının pozitif tam sayı bölenlerine kısaca pozitif bölenleri, bunların sayısına da bölen sayısı denir. Örneğin

{20 = 2^2 \cdot 5^1}

olduğundan tabloda

{20}

sayısının üsleri

{2}

ile

{1}

yazılmıştır. Tablonun son satırındaki bölen sayısı hücresi boş bırakılmıştır.Tablodaki örüntüye göre boş hücreye gelecek sayıyı ve üsler toplamı ile bölen sayısı arasında tablonun bütün satırlarında doğru olan bir varsayımı bir cümleyle yazınız.

Çözümü göster

Soru 14KavramKısa cevap8 puanZor

Tabloda altı sayının pozitif tam sayı bölenlerinin sayısı verilmiştir. Bir sayının pozitif tam sayı bölenlerine kısaca pozitif bölenleri, bunların sayısına da bölen sayısı denir. Bir öğrenci tabloya bakarak şu varsayımı yazmıştır:"Bir sayı başka bir sayıdan büyükse o sayının bölen sayısı da daha çoktur."Buna göre bu varsayımın tablodaki bir karşıt örneğini, varsayımın tablonun bütün satırlarında doğru olacak biçimde düzeltilmiş hâlini ve düzeltilmiş varsayımı sınadığınız, tabloda bulunmayan iki sayıyı yazınız.

Çözümü göster

Soru 15KavramKısa cevap8 puanZor

Tabloda bir asal sayının kuvveti olan üç sayı, bu asalın üssü ve sayının pozitif tam sayı bölenlerinin sayısı verilmiştir. Bir sayının pozitif tam sayı bölenlerine kısaca pozitif bölenleri denir. Bir öğrenci tablodaki örüntüyü bulduktan sonra iki farklı asal çarpanı olan sayıları incelemiş ve

{52}

sayısının pozitif bölenlerini

{1, 2, 4, 13, 26}

{52}

olarak listelemiştir.

{p}

ile

{q}

farklı asal sayılar,

{a}

ile

{b}

pozitif tam sayılar olmak üzere

{p^a \cdot q^b}

sayısının pozitif bölenlerinin sayısını veren kuralı ve bu kuralın

{2^3 \cdot 11^2}

sayısında verdiği sonucu yazınız.

Çözümü göster

Soru 16KavramÇoktan seçmeli3 puanKolay

Bir öğrenci

{1}

'den büyük doğal sayıların pozitif tam sayı bölenlerini incelemektedir. Bir sayının pozitif tam sayı bölenlerine kısaca pozitif bölenleri, bunların sayısına da bölen sayısı denir. Öğrenci önce bir asal sayının kuvvetlerini incelemiş ve aşağıdaki beş ifadenin bu sayıların hepsi için doğru olduğunu görmüştür. Sonra iki farklı asal çarpanı olan sayıları incelemeye başlamıştır.Buna göre bu ifadelerden hangisi, iki farklı asal çarpanı olan sayılar için doğru değildir?

A $Bölen sayısı en büyük üssün 1 fazlasıdır$
B $Her bölen, sayının karesini de böler$
C $En büyük pozitif bölen sayının kendisidir$
D $Bölen sayısı en az 2 olur$
E $Asal çarpanların her biri bölendir$

Çözümü göster

Soru 17KavramKısa cevap8 puanZor

Bir pozitif tam sayının pozitif tam sayı bölenlerine kısaca pozitif bölenleri, bunların sayısına da bölen sayısı denir.Bölen sayısı tam olarak

{20}

olan en küçük pozitif tam sayıyı ve bu sayıdan küçük hiçbir pozitif tam sayının bölen sayısının

{20}

olamayacağının gerekçesini yazınız.

Çözümü göster

Soru 18KavramÇoktan seçmeli5 puanOrta

Bir sayının pozitif tam sayı bölenlerine kısaca pozitif bölenleri, bunların sayısına da bölen sayısı denir. İki farklı asal çarpanı olan bir sayının asal çarpanları küçükten büyüğe yazıldığında üsleri sıralı bir ikili oluşturur; örneğin

{2^3 \cdot 3^2}

sayısının üs dizilişi

{(3, 2)}

olur. Üslerin sırası önemlidir:

{(3, 2)}

ile

{(2, 3)}

farklı iki diziliştir.Buna göre iki farklı asal çarpanı olan ve bölen sayısı

{12}

olan sayıların kaç farklı üs dizilişi vardır?

A $\displaystyle 2$
B $\displaystyle 4$
C $\displaystyle 5$
D $\displaystyle 6$
E $\displaystyle 11$

Çözümü göster

Soru 19KavramKısa cevap6 puanOrta

{60}

sayısının pozitif tam sayı bölenleri, çarpımları

{60}

olan ikililer hâlinde eşleştirilerek tabloda verilmiştir. Bir sayının pozitif tam sayı bölenlerine kısaca pozitif bölenleri, bunların sayısına da bölen sayısı denir. Tablonun her satırı bir böleni ve onun eşini gösterir; örneğin

{4}

ile

{15}

aynı satırdadır ve

{4 \cdot 15 = 60}

olur.Buna göre bir sayının bölen sayısının hangi durumda tek olacağını, tablodaki eşleşmeyi gerekçe göstererek bir önerme olarak yazınız.

Çözümü göster

Soru 20KavramAçık uçlu10 puanOrta

Bir pozitif tam sayının pozitif tam sayı bölenlerine kısaca pozitif bölenleri denir. Bir sayının tam sayı bölenleri negatif bölenleri de içerir:

{d}

sayısı bir tam sayı böleni ise

{-d}

sayısı da o sayının tam sayı bölenidir.Aşağıdaki soruları cevaplayınız.

a)
${68}$ sayısının pozitif bölenlerini ve bu bölenlerin sayısını yazınız.(3 puan)
b)
Bir pozitif tam sayının tam sayı bölenlerinin sayısı hakkında bir önerme yazınız ve önermenizin ${68}$ sayısı için doğru olduğunu gösteriniz.(4 puan)
c)
Bir öğrenci " ${0}$ sayısı da her sayıyı böler; bu yüzden ${68}$ sayısının ${13}$ tam sayı böleni vardır." demiştir. Öğrencinin sözünü değerlendiriniz.(3 puan)

Çözümü göster

Soru 21KavramÇoktan seçmeli5 puanOrta

Bir sayının pozitif tam sayı bölenlerine kısaca pozitif bölenleri, bunların sayısına da bölen sayısı denir. Bir öğrenci bölen sayısını, sayının asal çarpanlara ayrılışındaki üslerden bulan kuralı kullanmaktadır. Öğrenci

{98}

sayısını

{98 = 2 \cdot 7 \cdot 7}

biçiminde yazmış, kuralı bu yazılışa uygulamış ve bölen sayısını

{8}

bulmuştur. Oysa

{98}

sayısının

{6}

pozitif böleni vardır.Buna göre öğrenci, kullandığı kuralın aşağıdaki koşullarından hangisini göz ardı etmiştir?

A $Üsler pozitif tam sayı olmalıdır$
B $Çarpanların hepsi asal olmalıdır$
C $Asal çarpanlar küçükten büyüğe yazılmalıdır$
D $Asal çarpanlar birbirinden farklı olmalıdır$
E $Çarpımın sonucu sayının kendisi olmalıdır$

Çözümü göster

Soru 22İşlemÇoktan seçmeli5 puanOrta

Bir sayının pozitif tam sayı bölenlerine kısaca pozitif bölenleri, bunların sayısına da bölen sayısı denir.Buna göre

{N = 6^3 \cdot 10^2}

sayısının bölen sayısı kaçtır?

A $\displaystyle 12$
B $\displaystyle 24$
C $\displaystyle 30$
D $\displaystyle 36$
E $\displaystyle 72$

Çözümü göster

Soru 23KavramÇoktan seçmeli5 puanOrta

Şekilde

{392}

sayısının bölenlerini gösteren bir ızgara verilmiştir. Bir sayının pozitif tam sayı bölenlerine kısaca pozitif bölenleri, bunların sayısına da bölen sayısı denir.

{392 = 2^3 \cdot 7^2}

olur. Izgaranın satır başlıkları

{2}

sayısının kuvvetleri, sütun başlıkları

{7}

sayısının kuvvetleridir; her hücreye o hücrenin satır başlığı ile sütun başlığındaki sayıların çarpımı yazılmıştır. Izgarada

{4}

satır ile

{3}

sütun vardır.Buna göre

{392}

sayısının bölen sayısının

{4 \cdot 3}

çarpımına eşit olmasının nedeni aşağıdakilerden hangisidir?

A $Her bölenin 2 ile 7 çarpanlarını taşıması$
B $Satır ve sütun sayılarının eşit olması$
C $Her bölenin ızgarada tam bir kez yazılması$
D $Her satırda 4, her sütunda 3 sayı bulunması$
E $Bölenlerin küçükten büyüğe sıralanması$

Çözümü göster

Soru 24KavramKısa cevap6 puanOrta

Şekilde

{441}

sayısının bölenlerini gösteren bir ızgara verilmiştir. Bir sayının pozitif tam sayı bölenlerine kısaca pozitif bölenleri, bunların sayısına da bölen sayısı denir.

{441 = 3^2 \cdot 7^2}

olur. Izgaranın satır başlıkları

{3}

sayısının kuvvetleri, sütun başlıkları

{7}

sayısının kuvvetleridir; her hücreye o hücrenin satır başlığı ile sütun başlığındaki sayıların çarpımı yazılır. Izgaranın üç hücresi boş bırakılmıştır.Boş hücrelere gelecek sayıları küçükten büyüğe ve

{441}

sayısının bölen sayısını yazınız.

Çözümü göster

Soru 25KavramÇoktan seçmeli7 puanZor

Şekilde

{225}

sayısının bölen diyagramı verilmiştir. Bir sayının pozitif tam sayı bölenlerine kısaca pozitif bölenleri denir. Diyagram şu kurala göre çizilmiştir: en alta

{1}

yazılır, bir düğümden yukarıya çıkan her ayrıt o düğümdeki sayıyı sayının asal çarpanlarından biriyle çarpar ve sayının her pozitif böleni diyagramda tam bir düğüm olarak yer alır.

{225 = 3^2 \cdot 5^2}

olduğundan diyagramda dokuz düğüm vardır ve

{1}

düğümünden yukarıya

{3}

ile

{5}

olmak üzere iki ayrıt çıkar.Aşağıdaki sayıların bölen diyagramları da aynı kurala göre çizilecektir. Buna göre bu sayılardan hangisinin diyagramında dokuz düğüm bulunduğu hâlde hiçbir düğümden yukarıya iki ayrıt çıkmaz?

A $\displaystyle 105$
B $\displaystyle 175$
C $\displaystyle 256$
D $\displaystyle 512$
E $\displaystyle 1089$

Çözümü göster

Soru 26Yeni nesilAçık uçlu15 puanZor

Bir mozaik atölyesi, eş birim karelerden kurulu dikdörtgen biçiminde bir pano yapacaktır. Panoda boşluk kalmayacak ve panonun her kenarında en az

{2}

birim kare bulunacaktır. Kare biçiminde bir pano da dikdörtgen sayılır. Panonun kenar uzunluklarının yeri önemli değildir: bir pano çeyrek tur döndürüldüğünde ötekiyle aynı biçime geliyorsa ikisi aynı plandır.Şekilde I, II ve III numaralı üç pano planı çizilmiştir. Her panelde açık gri çizgiler birim kareleri gösteren bir pencereyi, koyu çizgiler panonun kenarlarını gösterir. Pencere yalnız birim kareleri göstermek içindir; panonun kenar uzunluklarını sınırlamaz. Üç planda kullanılan birim kare sayısı aynıdır.Aşağıdaki soruları cevaplayınız.

a)
Panolarda kullanılan birim kare sayısını ve bu sayının asal çarpanlara ayrılışını yazınız.(5 puan)
b)
Üç plandan hangi ikisi aynı planı gösterir? Nedenini bir cümleyle yazınız.(4 puan)
c)
Bir öğrenci "Şekilde üç plan çizildiğine göre bu sayıdaki birim karelerle başka bir pano planı yapılamaz." demiştir. Öğrencinin sözünü, kenar uzunluklarının birim kare sayısıyla ilişkisini kullanarak değerlendiriniz; sözü yanlışsa şekilde bulunmayan bir planı kenar uzunluklarıyla yazınız.(6 puan)

Çözümü göster

Soru 27Yeni nesilAçık uçlu20 puanİleri

Bir takı atölyesinde iki kolye siparişi hazırlanmaktadır. Her kolyede aynı desen bloğu baştan sona hiç bölünmeden tekrarlanacaktır; öyleyse bir bloktaki boncuk sayısı ile blok sayısının çarpımı o kolyedeki boncuk sayısına eşit olur. I numaralı siparişte

{70}

, II numaralı siparişte

{66}

boncuk kullanılacaktır. Atölye her iki siparişte de bir blokta en az

{5}

, en çok

{20}

boncuk bulunmasını istemektedir. Bir sayının pozitif tam sayı bölenlerine kısaca pozitif bölenleri, bunların sayısına da bölen sayısı denir. Tabloda her iki sipariş için

{2}

boncukluk bir blok kullanılsaydı kaç blok oluşacağı verilmiştir.Bir görevli şunu söylemiştir:"

{70}

sayısının da

{66}

sayısının da bölen sayısı

{8}

olduğuna göre iki siparişte de blok uzunluğu için aynı sayıda seçenek vardır."Aşağıdaki soruları cevaplayınız.

a)
Her iki siparişte bir blokta bulunabilecek boncuk sayılarını ayrı ayrı yazınız.(6 puan)
b)
Görevlinin sözünün doğru olup olmadığını, (a) maddesinde bulduğunuz sayıları gerekçe göstererek yazınız.(5 puan)
c)
Görevlinin sözü yanlışsa, iki sipariş için de doğru olacak biçimde düzeltip yazınız.(4 puan)
ç)
Bölen sayısını veren genellemenin bu görevde tek başına yeterli olacağı bir durumu ve o durumda seçenek sayısının ne olacağını bir cümleyle yazınız.(5 puan)

Çözümü göster

Ders kılavuzu

Dersi açmak için çengel sorular, kavramı somutlaştıran benzetmeler ve öğrencilerin sık yaptığı yanlışlar.

Derse giriş: çengel sorular

Sınıfı sıralara dizmek
Sınıfta 36 öğrenci olduğunu söyleyin ve öğrencileri eşit sıralara kaç farklı biçimde dizebileceğinizi sorun: 1 sıra, 2 sıra, 3 sıra ... Her diziliş 36'nın bir bölenidir. Sonra aynı soruyu 37 öğrenci için sorun: yalnız iki diziliş vardır. Dersin sorusu: bir sayının kaç böleni olduğunu dizmeden nasıl bilebiliriz?
$\displaystyle 36 = 1 \cdot 36 = 2 \cdot 18 = 3 \cdot 12 = 4 \cdot 9 = 6 \cdot 6$
Bölenleri tek tek yazmak yorar
Tahtaya 720 yazın ve öğrencilerden bütün pozitif bölenlerini yazmalarını isteyin. Birkaç dakika sonra kimin kaç tane bulduğunu sorun; sayılar büyük olasılıkla farklı çıkar. Sonra 720'yi asal çarpanlarına ayırın ve bölen sayısını tek satırda bulun: 30. Kısa yolun neden işlediği dersin konusudur.
$\displaystyle 720 = 2^{4} \cdot 3^{2} \cdot 5$
Tek sayıda böleni olanlar
Öğrencilere 1'den 30'a kadar her sayının bölen sayısını buldurun. Hangilerinin tek sayıda böleni var? 1, 4, 9, 16, 25: hepsi tam kare. Bu bir rastlantı mı? Varsayımı tahtaya yazın ve dersin sonunda asal çarpanlarla açıklayın.

Benzetmeler

Asal çarpanlara ayırma
Bir yemeğin malzeme listesi gibidir. 360 = 2·2·2·3·3·5 yazınca sayının neyden yapıldığını görürüz; her böleni de bu malzemelerin bir kısmıyla yapılmış daha küçük bir yemek gibi düşünebiliriz.
Bölen sayısı formülü
Bir dolaptan kıyafet seçmeye benzer: 4 tişört ve 3 pantolon varsa 4·3 kombin vardır. 2'nin üssü için 0, 1, 2, 3 (4 seçenek), 3'ün üssü için 0, 1, 2 (3 seçenek) seçilir; her seçim bir bölen verir. "Hiç almamak" da bir seçenektir, +1 oradan gelir.
Asal sayı
Kırılamayan bir yapı taşıdır. Bir asal sayı yalnız 1 ve kendisinin çarpımı olarak yazılır; bütün doğal sayılar bu taşlardan tek bir biçimde kurulur.

Sık yapılan yanlışlar

Bölen sayısı, üslerin çarpımıdır.
Her asal için üs 0'dan başlayarak seçilir. 2³ için 2'nin üssü 0, 1, 2, 3 olabilir: 4 seçenek, 3 değil.
2³ sayısının bölenlerini (1, 2, 4, 8) yazdırıp sayın; formülle karşılaştırın.
$\displaystyle 2^{a} \cdot 3^{b} \Rightarrow (a + 1)(b + 1)$
Sayıyı asal olmayan çarpanlara ayırmak da yeter (ör. 36 = 4·9 ise bölen sayısı 2·2).
Formül yalnız asal çarpanlarla çalışır. 4 ve 9 asal değildir; 36 = 2²·3² yazılınca bölen sayısı 3·3 = 9 olur.
Aynı sayıyı iki ayrı biçimde ayırtın ve sonuçları bölenleri sayarak sınatın.
1 asal sayıdır.
Asal sayının tam olarak iki pozitif böleni vardır. 1'in tek böleni vardır; asal da değildir, asal çarpana da katılmaz.
Asal sayının tanımını "tam iki pozitif bölen" diye yazdırın ve 1, 2, 9 için sınatın.
Tam sayı bölenleri pozitif bölenlerle aynıdır.
Her pozitif bölenin bir de negatifi vardır; tam sayı bölen sayısı pozitif bölen sayısının 2 katıdır.
12'nin tam sayı bölenlerini sayı doğrusuna yerleştirin; simetriye dikkat çekin.
Asal olmayan bölen sayısı bulunurken 1 de çıkarılır.
1 asal değildir, bu yüzden asal olmayan bölenlerin içinde kalır. Yalnız asal çarpanların sayısı kadar çıkarılır.
360'ın 24 böleninden 2, 3, 5 çıkarılınca 21 kaldığını bölen listesiyle gösterin.
Tek bölen sayısı, bölen sayısının yarısıdır.
Tek bölende 2'nin üssü 0 olmak zorundadır; oran 2'nin üssüne bağlıdır. 24 = 2³·3'ün 8 böleninin yalnız 2'si tektir.
Tek ve çift bölenleri ayrı sütunlara yazdırıp asal çarpan biçimiyle ilişkilendirin.

Tahtada anlatım sırası9 adımı göster

1
Sıralara dizme çengelini anlatın ve 36'nın bölenlerini çiftler hâlinde yazdırın.
Süreç bileşeni a: varsayımda bulunur.
2
Asal sayıyı "tam iki pozitif böleni olan sayı" diye tanımlayın; 1'in neden asal olmadığını konuşun.
3
Bölme merdiveniyle (ya da çarpan ağacıyla) 360'ı asal çarpanlarına ayırın.
$\displaystyle 360 = 2^{3} \cdot 3^{2} \cdot 5$
4
2³·3² sayısının bölenlerini tabloya dizin: satırda 2'nin üssü (0-3), sütunda 3'ün üssü (0-2). Hücre sayısını formüle bağlayın.
$\displaystyle (3 + 1)(2 + 1) = 12$
Süreç bileşeni b: örüntüyü geneller.
5
Formülü yazın ve 2-3 sayıda bölenleri sayarak sınatın.
$\displaystyle a^{x} \cdot b^{y} \cdot c^{z} \Rightarrow (x + 1)(y + 1)(z + 1)$
Süreç bileşeni c: genellemeyi örneklerle sınar.
6
Aynı tabloda tek bölenleri (2'nin üssü 0), çift bölenleri ve 6'nın katı olanları boyatın; her biri için formülü öğrencilere buldurun.
7
Tam kare bölen için üslerin çift seçildiğini gösterin; tek sayıda bölen çengeline dönüp tam karelerin neden tek sayıda böleni olduğunu açıklayın.
Süreç bileşeni ç: önerme sunar.
8
Tam sayı bölenleri ve asal olmayan bölenleri ekleyin; 1'in yerini bir kez daha vurgulayın.
9
Gerçek yaşam sorusuyla kapatın: 72 öğrenciyi en az 4 kişilik eşit gruplara kaç farklı biçimde ayırabiliriz?
Süreç bileşeni d: önermelerin kullanışlılığını değerlendirir.

Ödev ve çalışma kâğıdı

Her antrenman tek bir beceriyi bol tekrarla çalıştırır. Hangisinden kaç kalem istediğini seç; kâğıt ve çözümlü cevap anahtarı tarayıcında hazırlanır.

Ödev kâğıdı oluştur

Her alıştırmadan kaç kalem istediğini seç. Kalemler hazır havuzdan rastgele gelir; iki sınıfa iki ayrı kâğıt verebilirsin. Çözümlü cevap anahtarı da hazır.

Alıştırmalar

Sayıyı asal çarpanlarına ayırınız. ${p^x \cdot q^y}$ biçimindeki sayının pozitif bölen sayısı ${(x + 1)(y + 1)}$ 'dir.
1. 1)18 sayısının pozitif bölen sayısı kaçtır?= $\displaystyle 6$
2. 2)600 sayısının pozitif bölen sayısı kaçtır?= $\displaystyle 24$
3. 3)14 sayısının pozitif bölen sayısı kaçtır?= $\displaystyle 4$
/ 35
Önce pozitif bölen sayısını bulunuz. Her pozitif bölenin bir de negatifi olduğundan tam sayı bölen sayısı bunun 2 katıdır.
1. 1)30 sayısının kaç tam sayı böleni vardır?= $\displaystyle 16$
2. 2)24 sayısının kaç tam sayı böleni vardır?= $\displaystyle 16$
3. 3)2000 sayısının kaç tam sayı böleni vardır?= $\displaystyle 40$
/ 39
Bir sayının katı olan bölende o sayının asal çarpanlarının üsleri en az 1 olur; kalan üsler serbesttir.
1. 1)120 sayısının pozitif bölenlerinden kaç tanesi 6'nın katıdır?= $\displaystyle 6$
2. 2)90 sayısının pozitif bölenlerinden kaç tanesi 10'un katıdır?= $\displaystyle 3$
3. 3)900 sayısının pozitif bölenlerinden kaç tanesi 15'in katıdır?= $\displaystyle 12$
/ 36
Önce pozitif bölen sayısını bulunuz, sonra asal bölenleri çıkarınız. 1 asal değildir; çıkarılmaz.
1. 1)60 sayısının asal olmayan kaç pozitif böleni vardır?= $\displaystyle 9$
2. 2)48 sayısının asal olmayan kaç pozitif böleni vardır?= $\displaystyle 8$
3. 3)100 sayısının asal olmayan kaç pozitif böleni vardır?= $\displaystyle 7$
/ 39
Tek bölende 2'nin üssü 0 olur; çift bölende 2'nin üssü en az 1 olur. Öteki asalların üsleri serbesttir.
1. 1)300 sayısının kaç pozitif tek böleni vardır?= $\displaystyle 6$
2. 2)120 sayısının kaç pozitif çift böleni vardır?= $\displaystyle 12$
3. 3)162 sayısının kaç pozitif tek böleni vardır?= $\displaystyle 5$
/ 40
Tam kare bölende her asalın üssü çift seçilir: 0, 2, 4, ... Seçenek sayılarını çarpınız.
1. 1)96 sayısının pozitif bölenlerinden kaç tanesi tam karedir?= $\displaystyle 3$
2. 2)80 sayısının pozitif bölenlerinden kaç tanesi tam karedir?= $\displaystyle 3$
3. 3)405 sayısının pozitif bölenlerinden kaç tanesi tam karedir?= $\displaystyle 3$
/ 39
Pozitif bölen sayısını ${(x + 1)(y + 1)}$ biçiminde yazıp verilen sayıya eşitleyiniz.
1. 1) ${2^{4} \cdot 3^x}$ sayısının ${30}$ pozitif böleni olduğuna göre ${x}$ kaçtır?= $\displaystyle 5$
2. 2) ${3^{5} \cdot 5^x}$ sayısının ${18}$ pozitif böleni olduğuna göre ${x}$ kaçtır?= $\displaystyle 2$
3. 3) ${2^{4} \cdot 3^x}$ sayısının ${15}$ pozitif böleni olduğuna göre ${x}$ kaçtır?= $\displaystyle 2$
/ 40

Kâğıt başlığı

Çalışma boşluğu

Yok8 mm15 mm25 mm

Ad, sınıf, süre satırıCevap anahtarında kısa çözüm

0 kalem

İndirmek için en az bir kalem seç.

Kazanım künyesi

10. sınıf Asal çarpanlar ve bölenler için 27 çözümlü soru: soruları sayfada çöz, takıldığında adım adım çözümü aç; seçtiğin sorulardan test, yaprak test ya da yazılı kâğıdı hazırla ve cevap anahtarıyla PDF olarak indir; ödev için alıştırma (çalışma) kâğıdı çıkar; derste soruları akıllı tahtada tek tek aç; ders kılavuzunda derse giriş, kavram yanılgıları ve tahta akışı var. 1. dönem yazılısına ve ortak sınava hazırlıkta kullanılır.

Kod: MAT.10.3.1
Kapsadığı konular: asal sayılar, asal çarpanlara ayırma, bölen sayısı, pozitif bölenler
Dönem ve hafta: 1. dönem, 11. haftalar, 4 ders saati
Süreç bileşenleri: a)Bir doğal sayının asal çarpanları ve bölenleri hakkında varsayımlarda bulunur.
b)Farklı örneklerden elde ettiği örüntüleri listeleyerek bir doğal sayının asal çarpanları ve bölenleri hakkındaki varsayımlarına yönelik örüntüleri geneller.
c)Oluşturduğu genellemelerin varsayımlarını karşılayıp karşılamadığını örneklerle sınar.
ç)Bir doğal sayının asal çarpanları ve bölenleri ile ilgili ulaştığı sonuçlara yönelik matematiksel önermeler sunar.
d)Elde ettiği önermelerin gerçek yaşam durumları içeren problemlerdeki kullanışlılığını değerlendirir.
Ders kitabında: 3. Tema — SAYILAR, 3.1 Bir Doğal Sayının Asal Çarpanları-bölenleri

Asal çarpanlar ve bölenler

Sorular ve çözümleri

Ders kılavuzu

Derse giriş: çengel sorular

Benzetmeler

Sık yapılan yanlışlar

Ödev ve çalışma kâğıdı

Ödev kâğıdı oluştur

Test PDF'i

Test PDF'i hazırla

Kazanım künyesi