konukonu

Bütün konular

Menü
10. sınıf, Geometrik ŞekillerMAT.10.1.2

Üçgende yardımcı elemanlar

Üçgende Yardımcı Elemanlar

Kazanım: Üçgenin yardımcı elemanlarının özellikleri ile ilgili çıkarım yapabilme.

Tahtada açYazılı hazırla

Sorular ve çözümleri

Her sorunun altında adım adım çözüm var. Çoktan seçmelide doğru şık, çözümü açınca işaretlenir.

Zorluk
Cevap biçimi
Soru türü
Şekil
60 soru gösteriliyor
Soru 1İşlemKısa cevap4 puanKolay, zorluk 3 / 10
Şekildeki ABC üçgeninde D noktası [BC]{[BC]} kenarı üzerindedir ve [AD]{[AD]}, BAC açısının açıortayıdır.∣AB∣=9{|AB| = 9} birim, ∣AC∣=15{|AC| = 15} birim ve ∣BD∣=6{|BD| = 6} birim olduğuna göre ∣DC∣{|DC|} kaç birimdir?
İç açıortayı çizilmiş üçgen ABC üçgeninde A köşesinden BC kenarındaki D noktasına AD doğru parçası çizilmiştir; A köşesinde oluşan iki açının ikisine de α yazılmıştır. AB kenarına 9, AC kenarına 15, BD parçasına 6 yazılmıştır. DC parçasının üzerinde sayı yoktur. α α 9 15 6 A B C D
Çözümü göster

Cevap: 10\displaystyle 10

  1. 1
    [AD]{[AD]} iç açıortay olduğundan karşı kenarda ayırdığı parçaların uzunlukları oranı, açıyı oluşturan kenarların uzunlukları oranına eşittir: ∣BD∣∣DC∣=∣AB∣∣AC∣{\dfrac{|BD|}{|DC|} = \dfrac{|AB|}{|AC|}}.
  2. 2
    6∣DC∣=915{\dfrac{6}{|DC|} = \dfrac{9}{15}} olduğundan ∣DC∣=6⋅159=10{|DC| = \dfrac{6 \cdot 15}{9} = 10} birim olur.
Soru 2KavramÇoktan seçmeli3 puanKolay, zorluk 3 / 10
Köşesi O olan bir açının açıortayı üzerinde bir P noktası alınmıştır. P noktasından açının kollarına çizilen dikmelerin ayakları M ve N noktalarıdır.Buna göre aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur?
  1. A∣OP∣=∣PM∣\displaystyle |OP| = |PM|
  2. B∣PM∣=∣PN∣\displaystyle |PM| = |PN|
  3. C∣OM∣=∣PM∣\displaystyle |OM| = |PM|
  4. D∣MN∣=∣OP∣\displaystyle |MN| = |OP|
  5. E∣OP∣=2∣PM∣\displaystyle |OP| = 2|PM|
Çözümü göster

BDoğru cevap

  1. 1
    OMP ve ONP dik üçgenlerinde [OP]{[OP]} ortak kenardır, m(MOP^)=m(NOP^){\text{m}(\widehat{MOP}) = \text{m}(\widehat{NOP})} ve m(OMP^)=m(ONP^)=90∘{\text{m}(\widehat{OMP}) = \text{m}(\widehat{ONP}) = 90^{\circ}}dir.
  2. 2
    İki üçgen eş olduğundan karşılıklı dik kenarlar eşittir; açıortay üzerindeki nokta açının kollarına eşit uzaklıktadır. Açının ölçüsü verilmediği için öteki eşitlikler kesin değildir; kesinlikle doğru olan ∣PM∣=∣PN∣{|PM| = |PN|} olur.

Yanlış şıklar neden yanlış?

  • A)OMP dik üçgeninde [OP]{[OP]} hipotenüstür ve [PM]{[PM]} dik kenarından her zaman uzundur.
  • C)Yalnız açının ölçüsü 90∘{90^{\circ}} iken doğrudur; açının ölçüsü verilmemiştir.
  • D)Açıortay üzerindeki noktanın özelliği dikmelerin eşitliğidir; [MN]{[MN]} ile [OP]{[OP]} genelde eşit değildir.
  • E)Yalnız açının ölçüsü 60∘{60^{\circ}} iken doğrudur; açının ölçüsü verilmemiştir.
Soru 3KavramÇoktan seçmeli5 puanOrta, zorluk 6 / 10
Yazılımla çizilen üç üçgenin her birinde D noktası [BC]{[BC]} kenarı üzerindedir ve [AD]{[AD]}, BAC açısının açıortayıdır. Ölçülen uzunluklar birim cinsinden tabloda verilmiştir.Tablodaki üç üçgenin üçünde de sağlanan eşitlik aşağıdakilerden hangisidir?
Açıortayı çizilen üç üçgenin ölçümleri Beş sütunlu tablo; sütunlar üçgen, AB, AC, BD ve DC uzunlukları. 1. üçgen: 6, 9, 4, 6. 2. üçgen: 10, 4, 5, 2. 3. üçgen: 12, 12, 7, 7. Üçgen |AB| |AC| |BD| |DC| 1. 6 9 4 6 2. 10 4 5 2 3. 12 12 7 7
  1. A∣BD∣=∣DC∣\displaystyle |BD| = |DC|
  2. B∣BD∣⋅∣AC∣=∣DC∣⋅∣AB∣\displaystyle |BD| \cdot |AC| = |DC| \cdot |AB|
  3. C∣BD∣⋅∣AB∣=∣DC∣⋅∣AC∣\displaystyle |BD| \cdot |AB| = |DC| \cdot |AC|
  4. D∣AB∣+∣BD∣=∣AC∣+∣DC∣\displaystyle |AB| + |BD| = |AC| + |DC|
  5. E∣AB∣−∣AC∣=∣BD∣−∣DC∣\displaystyle |AB| - |AC| = |BD| - |DC|
Çözümü göster

BDoğru cevap

  1. 1
    3. üçgende ∣AB∣=∣AC∣=12{|AB| = |AC| = 12} ve ∣BD∣=∣DC∣=7{|BD| = |DC| = 7} olduğu için beş eşitliğin beşi de sağlanır; eşitlikleri ayırt eden 1. ve 2. üçgendir.
  2. 2
    1. üçgende ∣BD∣=4{|BD| = 4} ile ∣DC∣=6{|DC| = 6} eşit değildir; ∣AB∣+∣BD∣=10{|AB| + |BD| = 10} ile ∣AC∣+∣DC∣=15{|AC| + |DC| = 15}, ∣AB∣−∣AC∣=−3{|AB| - |AC| = -3} ile ∣BD∣−∣DC∣=−2{|BD| - |DC| = -2} ve 4⋅6=24{4 \cdot 6 = 24} ile 6⋅9=54{6 \cdot 9 = 54} de eşit değildir.
  3. 3
    Çapraz çarpım 1. üçgende 4⋅9=6⋅6=36{4 \cdot 9 = 6 \cdot 6 = 36}, 2. üçgende 5⋅4=2⋅10=20{5 \cdot 4 = 2 \cdot 10 = 20}, 3. üçgende 7⋅12=7⋅12{7 \cdot 12 = 7 \cdot 12} verir. Üçünde de sağlanan eşitlik ∣BD∣⋅∣AC∣=∣DC∣⋅∣AB∣{|BD| \cdot |AC| = |DC| \cdot |AB|} olur.

Yanlış şıklar neden yanlış?

  • A)Yalnız 3. üçgende sağlanır; ikizkenar üçgende açıortay karşı kenarı ortadan böler, her üçgende bölmez.
  • C)Oran ters kurulmuş; 1. üçgende 4⋅6=24{4 \cdot 6 = 24}, 6⋅9=54{6 \cdot 9 = 54} olur.
  • D)Yalnız 3. üçgende sağlanır; 1. üçgende toplamlar 10{10} ve 15{15} olur.
  • E)Yalnız 3. üçgende sağlanır; 2. üçgende farklar 6{6} ve 3{3} olur.
Soru 4SözelÇoktan seçmeli5 puanOrta, zorluk 5 / 10
Üçgen biçimindeki bir arazi, B köşesindeki açının açıortayı boyunca çekilen [BD]{[BD]} çitiyle iki parçaya ayrılmıştır; D noktası [AC]{[AC]} kenarı üzerindedir. D noktasının [BC]{[BC]} kenarına uzaklığı ∣DE∣=4{|DE| = 4} metredir ([DE]⊥[BC]{[DE] \perp [BC]}).∣AB∣=10{|AB| = 10} m ve ∣BC∣=15{|BC| = 15} m olduğuna göre arazinin alanı kaç metrekaredir?
Açıortay boyunca ikiye ayrılan üçgen biçimli arazi ABC üçgeninde B köşesinden AC kenarındaki D noktasına BD doğru parçası çizilmiştir; B köşesinde oluşan iki açının ikisine de α yazılmıştır. D noktasından BC kenarına DE dikmesi inilmiştir. AB kenarına 10 m, DE dikmesine 4 m yazılmıştır. α α 10 m 4 m A B C D E
  1. A20\displaystyle 20
  2. B30\displaystyle 30
  3. C50\displaystyle 50
  4. D75\displaystyle 75
  5. E100\displaystyle 100
Çözümü göster

CDoğru cevap

  1. 1
    D noktası B köşesindeki açının açıortayı üzerinde olduğundan açının iki koluna eşit uzaklıktadır; D noktasının [AB]{[AB]} kenarına uzaklığı da 4{4} metredir.
  2. 2
    ABD üçgeninde [AB]{[AB]} tabanına ait yükseklik 4{4} m olduğundan alanı 10⋅42=20{\dfrac{10 \cdot 4}{2} = 20} metrekare, DBC üçgeninde [BC]{[BC]} tabanına ait yükseklik 4{4} m olduğundan alanı 15⋅42=30{\dfrac{15 \cdot 4}{2} = 30} metrekaredir.
  3. 3
    Arazinin alanı 20+30=50{20 + 30 = 50} metrekaredir.

Yanlış şıklar neden yanlış?

  • A)Yalnız ABD parçasının alanı bulunmuş; DBC parçası eklenmemiş.
  • B)Yalnız DBC parçasının alanı bulunmuş; ABD parçası eklenmemiş.
  • D)B köşesindeki açı dik sanılmış ve alan 10⋅15/2{10 \cdot 15 / 2} ile bulunmuş.
  • E)İki parçanın alanı taban ile yüksekliğin çarpımı alınıp ikiye bölünmeden toplanmış.
Soru 5İşlemKısa cevap10 puanİleri, zorluk 10 / 10
Şekildeki ABC üçgeninde [AB]⊥[BC]{[AB] \perp [BC]}, D noktası [BC]{[BC]} kenarı üzerindedir ve [AD]{[AD]}, BAC açısının açıortayıdır.∣AB∣=15{|AB| = 15} birim ve ∣BD∣=10{|BD| = 10} birim olduğuna göre ∣DC∣{|DC|} kaç birimdir?
B köşesi dik olan ve A köşesinden açıortay çizilmiş üçgen ABC dik üçgeninde B köşesindeki açı dik açıdır. A köşesinden BC kenarındaki D noktasına AD doğru parçası çizilmiştir; A köşesinde oluşan iki açının ikisine de α yazılmıştır. AB kenarına 15, BD parçasına 10 yazılmıştır. α α 15 10 A B C D
Çözümü göster

Cevap: 26\displaystyle 26

  1. 1
    [AD]{[AD]} iç açıortay olduğundan ∣AC∣∣DC∣=∣AB∣∣BD∣=1510=32{\dfrac{|AC|}{|DC|} = \dfrac{|AB|}{|BD|} = \dfrac{15}{10} = \dfrac{3}{2}} olur.
  2. 2
    ∣DC∣=2k{|DC| = 2k} alınırsa ∣AC∣=3k{|AC| = 3k} ve ∣BC∣=10+2k{|BC| = 10 + 2k} olur.
  3. 3
    ABC dik üçgeninde Pisagor teoreminden (3k)2=152+(10+2k)2{(3k)^2 = 15^2 + (10 + 2k)^2}, yani 9k2=225+100+40k+4k2{9k^2 = 225 + 100 + 40k + 4k^2} yazılır.
  4. 4
    Düzenlenince 5k2−40k−325=0{5k^2 - 40k - 325 = 0}, yani k2−8k−65=0{k^2 - 8k - 65 = 0} ve (k−13)(k+5)=0{(k - 13)(k + 5) = 0} bulunur.
  5. 5
    Uzunluk pozitif olduğundan k=13{k = 13} alınır; ∣DC∣=2k=26{|DC| = 2k = 26} birim olur.
Soru 6KavramÇoktan seçmeli7 puanZor, zorluk 7 / 10
Şekildeki ABC üçgeninde [AB]⊥[AC]{[AB] \perp [AC]}, D noktası [AC]{[AC]} kenarı üzerindedir ve [BD]{[BD]}, ABC açısının açıortayıdır. θ{\theta} şekilde gösterilen açıdır ve β=m(ABC^){\beta = \text{m}(\widehat{ABC})} olsun.I. ∣BC∣∣DC∣=tan⁡θ{\dfrac{|BC|}{|DC|} = \tan\theta}II. ∣AD∣∣DC∣=cos⁡β{\dfrac{|AD|}{|DC|} = \cos\beta}III. ∣AB∣∣AD∣=cot⁡θ{\dfrac{|AB|}{|AD|} = \cot\theta}Kenar uzunlukları ne olursa olsun bu biçimdeki her üçgende yukarıdaki eşitliklerden hangileri doğrudur?
A köşesi dik olan ve B köşesinden açıortay çizilmiş üçgen ABC dik üçgeninde A köşesindeki açı dik açıdır. B köşesinden AC kenarındaki D noktasına BD doğru parçası çizilmiştir; B köşesinde oluşan iki açının ikisine de α yazılmıştır. BDA açısı θ ile gösterilmiştir. α α θ A B C D
  1. AYalnız I
  2. BYalnız III
  3. CI ve III
  4. DI ve II
  5. EII ve III
Çözümü göster
Soru 7İşlemKısa cevap4 puanKolay, zorluk 3 / 10
Şekildeki ABC üçgeninde K noktası iç açıortayların kesim noktasıdır. K noktasından kenarlara çizilen dikmelerin ayakları D, E ve F noktalarıdır ([KD]⊥[BC]{[KD] \perp [BC]}, [KE]⊥[AC]{[KE] \perp [AC]}, [KF]⊥[AB]{[KF] \perp [AB]}).∣AF∣=4{|AF| = 4} birim, ∣BD∣=6{|BD| = 6} birim ve ∣CE∣=5{|CE| = 5} birim olduğuna göre ABC üçgeninin çevresi kaç birimdir?
İç açıortayların kesim noktasından kenarlara çizilen dikmeler ABC üçgeninin içindeki K noktasından BC kenarına KD, CA kenarına KE, AB kenarına KF dikmeleri çizilmiştir. AF parçasına 4, BD parçasına 6, CE parçasına 5 yazılmıştır. 4 6 5 A B C K D E F
Çözümü göster
Soru 8KavramÇoktan seçmeli5 puanOrta, zorluk 6 / 10
Yazılımla çizilen üç ABC üçgeninin her birinde A ve B köşelerindeki iç açıların açıortayları K noktasında kesişmektedir. ACB ve AKB açılarının ölçüleri tabloda verilmiştir.Bu ölçümlere göre her ABC üçgeninde m(AKB^){\text{m}(\widehat{AKB})} aşağıdakilerden hangisine eşittir?
Üç üçgende C açısı ile iç açıortayların oluşturduğu AKB açısı Üç sütunlu tablo; sütunlar üçgen, ACB açısının ölçüsü ve AKB açısının ölçüsü. 1. üçgen: 40° ve 110°. 2. üçgen: 60° ve 120°. 3. üçgen: 80° ve 130°. Üçgen ACB açısı AKB açısı 1. 40° 110° 2. 60° 120° 3. 80° 130°
  1. A180∘−m(ACB^)\displaystyle 180^{\circ} - \text{m}(\widehat{ACB})
  2. B2⋅m(ACB^)+30∘\displaystyle 2 \cdot \text{m}(\widehat{ACB}) + 30^{\circ}
  3. C90∘−m(ACB^)2\displaystyle 90^{\circ} - \dfrac{\text{m}(\widehat{ACB})}{2}
  4. Dm(ACB^)+70∘\displaystyle \text{m}(\widehat{ACB}) + 70^{\circ}
  5. E90∘+m(ACB^)2\displaystyle 90^{\circ} + \dfrac{\text{m}(\widehat{ACB})}{2}
Çözümü göster
Soru 9KavramAçık uçlu15 puanZor, zorluk 7 / 10
Şekildeki ABC üçgeninde ∣AB∣=9{|AB| = 9} birim, ∣BC∣=5{|BC| = 5} birim ve ∣AC∣=10{|AC| = 10} birimdir. C köşesindeki iç açının açıortayı [AB]{[AB]} kenarını P noktasında, C köşesindeki dış açının açıortayı AB doğrusunu R noktasında kesmektedir.Buna göre aşağıdaki soruları cevaplayınız.
Bir köşeden çizilen iç ve dış açıortay ABC üçgeninde C köşesinden AB kenarındaki P noktasına ve AB doğrusu üzerinde B'den sonra gelen R noktasına iki doğru parçası çizilmiştir. AC doğrusu C'nin ötesine uzatılmıştır. C köşesindeki iç açının iki parçasına α, dış açının iki parçasına β yazılmıştır; β açıları çift yayla işaretlidir. α α β β A P B R C
  1. a)
    m(PCR^){\text{m}(\widehat{PCR})} kaç derecedir? Gerekçesini yazınız.(5 puan)
  2. b)
    ∣BR∣{|BR|} kaç birimdir?(5 puan)
  3. c)
    [PR]{[PR]} doğru parçasının orta noktası M olduğuna göre ∣MC∣{|MC|} kaç birimdir?(5 puan)
Çözümü göster
Soru 10KavramÇoktan seçmeli5 puanOrta, zorluk 4 / 10
Bir öğrenci "Bir üçgenin kenarlarının üzerinde bulunduğu üç doğrunun üçüne de eşit uzaklıkta olan tek nokta, iç açıortayların kesim noktasıdır." varsayımında bulunmuştur. Bir ABC üçgeni için aşağıdaki üç nokta veriliyor.I. B ve C köşelerindeki dış açıların açıortayları ile A köşesindeki iç açının açıortayının kesim noktasıII. Kenar orta dikmelerin kesim noktasıIII. A ve C köşelerindeki dış açıların açıortayları ile B köşesindeki iç açının açıortayının kesim noktasıBu noktalardan hangileri her ABC üçgeninde öğrencinin varsayımını çürütmek için kullanılabilir?
  1. AYalnız I
  2. BYalnız II
  3. CYalnız III
  4. DI ve III
  5. EI, II ve III
Çözümü göster
Soru 11İşlemÇoktan seçmeli5 puanOrta, zorluk 6 / 10
Şekildeki ABC üçgeninde AB ve AC kenarları B ve C köşelerinin ötesine uzatılmıştır. B ve C köşelerindeki dış açıların açıortayları K noktasında kesişmektedir.m(BAC^)=70∘{\text{m}(\widehat{BAC}) = 70^{\circ}} olduğuna göre m(BKC^){\text{m}(\widehat{BKC})} kaç derecedir?
İki dış açıortayın kesim noktası ABC üçgeninde A köşesindeki açıya 70° yazılmıştır. AB ve AC kenarları B ve C'nin ötesine uzatılmıştır. B köşesindeki dış açının iki parçasına x, C köşesindeki dış açının iki parçasına y yazılmış; bu açıları ikiye bölen doğru parçaları BC kenarının altındaki K noktasında kesişmiştir. 70° x x y y A B C K
  1. A55\displaystyle 55
  2. B70\displaystyle 70
  3. C110\displaystyle 110
  4. D125\displaystyle 125
  5. E140\displaystyle 140
Çözümü göster
Soru 12İşlemKısa cevap8 puanZor, zorluk 7 / 10
Şekildeki ABC üçgeninde A ve B köşelerindeki iç açıların açıortayları K noktasında kesişmektedir. AK doğrusu [BC]{[BC]} kenarını D noktasında kesmektedir.∣AB∣=12{|AB| = 12} birim, ∣AC∣=8{|AC| = 8} birim, ∣BC∣=10{|BC| = 10} birim ve ∣AD∣=62{|AD| = 6\sqrt{2}} birim olduğuna göre ∣KD∣{|KD|} kaç birimdir?
İki iç açıortayın kesim noktası ABC üçgeninde A köşesindeki açının iki parçasına α, B köşesindeki açının iki parçasına β yazılmıştır. Açıyı ikiye bölen doğru parçaları K noktasında kesişir; A'dan geçen parça BC kenarındaki D noktasına kadar çizilmiştir. AB kenarına 12, AC kenarına 8 yazılmıştır. α α β β 12 8 A B C D K
Çözümü göster
Soru 13İşlemKısa cevap4 puanKolay, zorluk 3 / 10
Şekildeki ABC üçgeninde D noktası [BC]{[BC]} kenarının, E noktası [CA]{[CA]} kenarının orta noktasıdır. [AD]{[AD]} ile [BE]{[BE]} doğru parçaları G noktasında kesişmektedir.∣AG∣=8{|AG| = 8} birim olduğuna göre ∣AD∣{|AD|} kaç birimdir?
İki kenarortayı çizilmiş üçgen ABC üçgeninde D noktası BC kenarının, E noktası CA kenarının orta noktasıdır; eş parçalar eş çentiklerle işaretlenmiştir. AD ve BE doğru parçaları G noktasında kesişir. AG parçasına 8 yazılmıştır. 8 A B C D E G
Çözümü göster
Soru 14KavramÇoktan seçmeli5 puanOrta, zorluk 5 / 10
Bir öğrenci yazılımla bir ABC üçgeni çizmiş; [BE]{[BE]} ve [CD]{[CD]} kenarortaylarının kesim noktasını G olarak adlandırmıştır. Santimetre cinsinden yaptığı ölçümler şöyledir:∣BG∣=6,4{|BG| = 6{,}4}, ∣GE∣=3,2{|GE| = 3{,}2}, ∣CG∣=5,6{|CG| = 5{,}6}, ∣GD∣=2,8{|GD| = 2{,}8}Öğrenci bu ölçümlere dayanarak aşağıdaki varsayımlardan hangisinde bulunabilir?
  1. A∣BG∣=2∣GE∣∣CG∣=2∣GD∣\displaystyle |BG| = 2|GE| \quad |CG| = 2|GD|
  2. B∣BG∣=∣CG∣\displaystyle |BG| = |CG|
  3. C∣GE∣=∣GD∣\displaystyle |GE| = |GD|
  4. D∣BG∣+∣GE∣=∣CG∣+∣GD∣\displaystyle |BG| + |GE| = |CG| + |GD|
  5. E∣BG∣=∣GE∣\displaystyle |BG| = |GE|
Çözümü göster
Soru 15İşlemÇoktan seçmeli5 puanOrta, zorluk 6 / 10
Şekildeki ABC üçgeninde [AB]⊥[AC]{[AB] \perp [AC]} ve D noktası [BC]{[BC]} kenarının orta noktasıdır.m(ABC^)=35∘{\text{m}(\widehat{ABC}) = 35^{\circ}} olduğuna göre şekildeki x{x} kaç derecedir?
Dik üçgende hipotenüse çizilen doğru parçası ABC üçgeninde A köşesindeki açı dik açıdır ve B köşesindeki açıya 35° yazılmıştır. A köşesinden BC kenarının orta noktası D'ye AD doğru parçası çizilmiştir; BD ve DC eş çentiklidir. DAC açısı x ile gösterilmiştir. 35° x A B C D
  1. A35\displaystyle 35
  2. B45\displaystyle 45
  3. C55\displaystyle 55
  4. D70\displaystyle 70
  5. E110\displaystyle 110
Çözümü göster
Soru 16SözelÇoktan seçmeli7 puanZor, zorluk 8 / 10
Ön yüzü ABC ikizkenar üçgeni biçiminde olan bir çadırın yan kenarları ∣AB∣=∣AC∣=5{|AB| = |AC| = 5} m, taban kenarı ∣BC∣=6{|BC| = 6} metredir. Çadırın ön yüzüne, üçgenin ağırlık merkezi olan G noktasına bir lamba asılacaktır.Lambanın A tepe noktasına uzaklığı kaç metredir?
İkizkenar üçgen biçimli çadır girişi ABC ikizkenar üçgeninde AB ve AC kenarlarına 5 m yazılmıştır. A köşesinden BC kenarının orta noktası D'ye AD doğru parçası çizilmiş, BD ve DC eş çentiklerle işaretlenmiştir. G noktası AD üzerindedir. 5 m 5 m G A B C D
  1. A43\displaystyle \dfrac{4}{3}
  2. B53\displaystyle \dfrac{5}{3}
  3. C2\displaystyle 2
  4. D52\displaystyle \dfrac{5}{2}
  5. E83\displaystyle \dfrac{8}{3}
Çözümü göster
Soru 17KavramÇoktan seçmeli5 puanOrta, zorluk 6 / 10
Bir levha ağırlık merkezi dışındaki bir noktasından asılıp dengede durduğunda ağırlık merkezi, asılma noktasından geçen düşey doğrunun üzerindedir. Üçgen biçimindeki bir levhanın ağırlık merkezi kenarortaylarının kesim noktasıdır.Bir öğrenci "A köşesinden asılan üçgen levhada düşey doğru A açısını iki eş açıya bölüyorsa levha dengededir." varsayımında bulunmuş, sonra üç levhanın düşey doğrularını çizmiştir.I. levha A köşesinden asılmıştır; ∣AB∣<∣AC∣{|AB| < |AC|} ve düşey doğru A açısının açıortayıdır.II. levha A köşesinden asılmıştır; düşey doğru [BC]{[BC]} kenarını iki eş parçaya böler.III. levha [AB]{[AB]} kenarındaki P noktasından asılmıştır; düşey doğru iki kenarortayın kesim noktasından geçer.Buna göre hangi levhalar dengede asılmış olabilir?
Asılı üç üçgen levha Üç panel. I: A köşesinden asılı levha, düşey kesik doğru BC kenarını keser; AB kenarı AC'den kısa. II: A köşesinden asılı levha, düşey doğru BC'yi eş çentikli iki parçaya böler. III: AB üzerindeki P noktasından asılı levha, düşey doğru çizili iki kenarortayın kesim noktasından geçer. A B C I A B C II P A B C III
  1. AYalnız II
  2. BII ve III
  3. CI ve II
  4. DI ve III
  5. EI, II ve III
Çözümü göster
Soru 18Yeni nesilÇoktan seçmeli9 puanİleri, zorluk 9 / 10
Dik üçgen biçimindeki bir cam masa tablası tek ayak üzerinde durmaktadır; ayak, tablanın ağırlık merkezi olan G noktasının tam altındadır. Tablanın dik köşesi A'dır ([AB]⊥[AC]{[AB] \perp [AC]}) ve G noktasının dik kenarlara uzaklıkları ∣GE∣=30{|GE| = 30} cm ve ∣GF∣=40{|GF| = 40} cm'dir ([GE]⊥[AC]{[GE] \perp [AC]}, [GF]⊥[AB]{[GF] \perp [AB]}).Buna göre tablanın en uzun kenarı kaç santimetredir?
Dik üçgen biçimli masa tablası ve ağırlık merkezi A köşesi dik olan ABC üçgeninin içindeki G noktasından AB kenarına GF, AC kenarına GE dikmeleri çizilmiştir. GF dikmesine 40 cm, GE dikmesine 30 cm yazılmıştır. 40 cm 30 cm A F B E C G
  1. A50\displaystyle 50
  2. B75\displaystyle 75
  3. C100\displaystyle 100
  4. D150\displaystyle 150
  5. E210\displaystyle 210
Çözümü göster
Soru 19KavramÇoktan seçmeli3 puanKolay, zorluk 3 / 10
Geniş açılı bir ABC üçgeninin yüksekliklerinin kesim noktası için aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
  1. AÜçgenin iç bölgesindedir
  2. BGeniş açının köşesindedir
  3. CEn uzun kenarın orta noktasındadır
  4. DBir kenarın üzerindedir
  5. EÜçgenin dış bölgesindedir
Çözümü göster
Soru 20İşlemÇoktan seçmeli5 puanOrta, zorluk 6 / 10
Şekildeki ABC üçgeninde [AB]{[AB]} kenarının orta noktası M'dir ve orta dikmesi [BC]{[BC]} kenarını D noktasında kesmektedir ([MD]⊥[AB]{[MD] \perp [AB]}).m(ABC^)=32∘{\text{m}(\widehat{ABC}) = 32^{\circ}} olduğuna göre şekildeki x{x} kaç derecedir?
Bir kenarın orta dikmesinin karşı kenarı kestiği nokta ABC üçgeninde AB kenarının orta noktası M'den AB'ye dik çizilen doğru BC kenarını D noktasında keser; AM ve MB eş çentiklidir, M'de dik açı işareti vardır. A ile D birleştirilmiştir. B köşesindeki açıya 32°, ADC açısına x yazılmıştır. 32° x A B C D
  1. A58\displaystyle 58
  2. B64\displaystyle 64
  3. C90\displaystyle 90
  4. D116\displaystyle 116
  5. E148\displaystyle 148
Çözümü göster
Soru 21SözelÇoktan seçmeli5 puanOrta, zorluk 6 / 10
Bir ilçedeki üç köy kareli haritada K, L ve M noktalarıyla gösterilmiştir. Üç köye eşit uzaklıkta bir sağlık ocağı kurulacak ve bunun için haritada P, R, S ve T noktaları işaretlenmiştir.Sağlık ocağı hangi noktaya ya da hangi köye kurulmalıdır?
Kareli haritada üç köy ve dört aday nokta Birim kareli zemin. K, L ve M köyleri bir üçgenin köşeleridir: K sol altta, L K'nin 8 kare sağında, M K'nin 6 kare yukarısında. Aday noktalar: P, K'den 2 sağ 2 yukarı; R, 4 sağ; S, 4 sağ 3 yukarı; T, 3 yukarı. K L M P R S T
  1. AP\displaystyle \text{P}
  2. BR\displaystyle \text{R}
  3. CT\displaystyle \text{T}
  4. DK\displaystyle \text{K}
  5. ES\displaystyle \text{S}
Çözümü göster
Soru 22KavramÇoktan seçmeli7 puanZor, zorluk 7 / 10
Şekildeki ABC üçgeninde [AD]{[AD]}, [BE]{[BE]} ve [CF]{[CF]} yükseklikleri H noktasında kesişmektedir ([AD]⊥[BC]{[AD] \perp [BC]}, [BE]⊥[AC]{[BE] \perp [AC]}, [CF]⊥[AB]{[CF] \perp [AB]}) ve m(ACB^)=50∘{\text{m}(\widehat{ACB}) = 50^{\circ}}dir.I. m(AHB^)=130∘{\text{m}(\widehat{AHB}) = 130^{\circ}}dir.II. H noktası ABC üçgeninin kenarlarına eşit uzaklıktadır.III. C noktası ABH üçgeninin yüksekliklerinin kesim noktasıdır.Buna göre yukarıdaki önermelerden hangileri doğrudur?
Üç yüksekliği çizilmiş dar açılı üçgen ABC üçgeninde A'dan BC'ye AD, B'den CA'ya BE, C'den AB'ye CF dikmeleri çizilmiş; üçü H noktasında kesişir. D, E ve F'de dik açı işareti vardır. C köşesindeki açıya 50° yazılmıştır. 50° A B C D E F H
  1. AI ve III
  2. BYalnız I
  3. CYalnız III
  4. DI ve II
  5. EI, II ve III
Çözümü göster
Soru 23Yeni nesilAçık uçlu20 puanİleri, zorluk 10 / 10
Bir kamp alanı, O köşesinde dik açı yapan iki düz çitle sınırlanmıştır. Kareli zeminde bir karenin kenarı 10 m'dir. Su kaynaklarından M çitlerden birinin, N ötekinin üzerindedir. Bir çadır iki çite eşit uzaklıkta ve iki su kaynağına eşit uzaklıkta kurulacaktır.Buna göre aşağıdaki soruları cevaplayınız.
Dik iki çit ve iki su kaynağı Birim kareli zemin. İki çit O köşesinden biri sağa, biri yukarı uzanır ve dik açı yapar. M kaynağı sağa uzanan çitin üzerinde O'dan 2 kare, N kaynağı yukarı uzanan çitin üzerinde O'dan 6 kare uzaktadır. O M N
  1. a)
    Çadırın yeri hangi iki doğrunun kesim noktasıdır? Gerekçesini yazınız.(5 puan)
  2. b)
    Çadırın çitlere uzaklığı kaç metredir?(8 puan)
  3. c)
    Çadırın M kaynağına uzaklığı kaç metredir?(7 puan)
Çözümü göster
Soru 24KavramAçık uçlu20 puanİleri, zorluk 10 / 10
İkizkenar üçgen biçimindeki bir levhada ∣AB∣=∣AC∣{|AB| = |AC|} ve taban kenarı ∣BC∣=24{|BC| = 24} cm'dir. D noktası [BC]{[BC]}'nin orta noktası ve ∣AD∣=h{|AD| = h} cm'dir. Levhanın ağırlık merkezi G, kenar orta dikmelerinin kesim noktası O ile gösteriliyor ve ∣GO∣=4{|GO| = 4} cm olarak ölçülüyor.Buna göre aşağıdaki soruları cevaplayınız.
  1. a)
    G ve O noktalarının AD doğrusu üzerinde olduğunu gerekçelendirerek D'ye uzaklıklarını h{h} cinsinden yazınız. (O'nun D'den A yönündeki konumunu y{y} ile gösteriniz; O, D'nin öteki yanındaysa y{y} negatiftir.)(6 puan)
  2. b)
    h{h}'nin alabileceği bütün değerleri bulunuz.(8 puan)
  3. c)
    Bir öğrenci h=12{h = 12} için O noktasının tabanın üzerine düştüğünü görüp "böyle bir levha olamaz" diyerek bu değeri atmıştır. Öğrencinin kararını değerlendiriniz.(6 puan)
Çözümü göster
Soru 25SözelKısa cevap4 puanKolay, zorluk 3 / 10
ABC üçgeni biçimindeki bir kâğıt, C köşesi B köşesinin üzerine gelecek biçimde katlanıp açılmıştır. Kat izi [BC]{[BC]} kenarını D noktasında, [AC]{[AC]} kenarını E noktasında kesmektedir ([DE]⊥[BC]{[DE] \perp [BC]}).∣AE∣=4{|AE| = 4} cm ve ∣EB∣=7{|EB| = 7} cm olduğuna göre ∣AC∣{|AC|} kaç cm'dir?
Katlanıp açılmış üçgen kâğıt ve kat izi ABC üçgeninde kesik çizgiyle gösterilen kat izi DE, BC kenarını D'de dik keser; BD ve DC eş çentiklidir. E noktası AC kenarı üzerindedir ve E ile B birleştirilmiştir. AE parçasına 4, EB parçasına 7 yazılmıştır. 7 4 A B C D E
Çözümü göster
Soru 26SözelÇoktan seçmeli7 puanZor, zorluk 7 / 10
ABC üçgeni biçimindeki bir kâğıt, A köşesi [BC]{[BC]} kenarı üzerindeki A' noktasına gelecek biçimde katlanıp açılmıştır. Kat izinin uç noktaları D noktası [AB]{[AB]}, E noktası [AC]{[AC]} üzerindedir ve kat izi [BC]{[BC]}'ye paraleldir. Daha sonra [BE]{[BE]} ile [CD]{[CD]} çizilmiş ve kesim noktaları K olarak adlandırılmıştır.∣BE∣=18{|BE| = 18} cm olduğuna göre ∣KE∣{|KE|} kaç cm'dir?
Tepe köşesi tabana katlanıp açılmış üçgen kâğıt ABC üçgeninde kesik çizgiyle gösterilen kat izi DE, BC kenarına paraleldir; D noktası AB, E noktası AC üzerindedir. A köşesinin BC üzerine geldiği nokta A', A ile kesik çizgiyle birleştirilmiştir. BE ve CD doğru parçaları K noktasında kesişir. A B C D E A' K
  1. A3\displaystyle 3
  2. B92\displaystyle \dfrac{9}{2}
  3. C6\displaystyle 6
  4. D9\displaystyle 9
  5. E12\displaystyle 12
Çözümü göster
Soru 27KavramÇoktan seçmeli5 puanOrta, zorluk 4 / 10
∣AB∣=∣AC∣{|AB| = |AC|} olan ABC ikizkenar üçgenleri ile eşkenar üçgenler için aşağıdaki önermeler veriliyor.I. İkizkenar üçgende ağırlık merkezi ile iç açıortayların kesim noktası aynı noktadır.II. İkizkenar üçgende [BC]{[BC]} tabanına ait kenarortay, BAC açısının açıortayıdır.III. Eşkenar üçgende ağırlık merkezi köşelere eşit uzaklıktadır.Bu önermelerden hangileri her zaman doğrudur?
  1. AII ve III
  2. BYalnız II
  3. CYalnız III
  4. DI ve II
  5. EI, II ve III
Çözümü göster
Soru 28İşlemÇoktan seçmeli7 puanZor, zorluk 8 / 10
Şekildeki ABC üçgeninde K noktası iç açıortayların kesim noktasıdır. K'den geçen ve [BC]{[BC]}'ye paralel olan doğru [AB]{[AB]}'yi E, [AC]{[AC]}'yi F noktasında kesmektedir.∣AB∣=9{|AB| = 9} cm, ∣AC∣=6{|AC| = 6} cm ve ∣BC∣=10{|BC| = 10} cm olduğuna göre ∣EF∣{|EF|} kaç cm'dir?
İç açıortayların kesim noktasından geçen paralel doğru ABC üçgeninde B köşesindeki açının iki parçasına α, C köşesindeki açının iki parçasına β yazılmıştır; bu açıları ikiye bölen doğru parçaları K noktasında kesişir. K'den geçen EF doğru parçası BC kenarına paraleldir; E noktası AB, F noktası AC üzerindedir. α α β β A B C K E F
  1. A4\displaystyle 4
  2. B5\displaystyle 5
  3. C6\displaystyle 6
  4. D152\displaystyle \dfrac{15}{2}
  5. E10\displaystyle 10
Çözümü göster
Soru 29KavramAçık uçlu15 puanZor, zorluk 8 / 10
Bir öğrenci yazılımla farklı üçgenler çizip her birinde kenar orta dikmelerin kesim noktası O'yu işaretlemiş ve "O noktası her üçgenin iç bölgesindedir." varsayımında bulunmuştur.Buna göre aşağıdaki soruları cevaplayınız.
Kareli zeminde geniş açılı üçgen Birim kareli zemin. KLM üçgeninde L, K'nin 8 kare sağında; M, K'nin 2 kare sağında ve 2 kare yukarısındadır. Zemin KL kenarının 3 kare altına kadar uzanır. K L M
  1. a)
    A köşesi dik olan bir ABC üçgeninde O noktasının yerini belirleyip gerekçesini yazınız.(5 puan)
  2. b)
    Şekildeki kareli zeminde verilen KLM üçgeninin O noktasını bulunuz ve O'nun üçgene göre yerini belirtiniz.(6 puan)
  3. c)
    Öğrencinin varsayımını (a) ve (b) maddelerine dayanarak değerlendiriniz.(4 puan)
Çözümü göster
Soru 30İşlemÇoktan seçmeli9 puanİleri, zorluk 9 / 10
Şekildeki ABC üçgeninde [AD]{[AD]} ve [BE]{[BE]} yükseklikleri H noktasında kesişmektedir ([AD]⊥[BC]{[AD] \perp [BC]}, [BE]⊥[AC]{[BE] \perp [AC]}).∣BD∣=4{|BD| = 4} cm, ∣HD∣=3{|HD| = 3} cm ve ∣AH∣=5{|AH| = 5} cm olduğuna göre ∣AC∣{|AC|} kaç cm'dir?
İki yüksekliği çizilmiş üçgen ABC üçgeninde A'dan BC kenarına AD, B'den AC kenarına BE dikmeleri çizilmiş ve H noktasında kesişmiştir; D ve E'de dik açı işareti vardır. A B C D E H
  1. A6\displaystyle 6
  2. B8\displaystyle 8
  3. C45\displaystyle 4\sqrt{5}
  4. D10\displaystyle 10
  5. E14\displaystyle 14
Çözümü göster
Soru 31KavramÇoktan seçmeli5 puanOrta, zorluk 4 / 10
Şekilde bir ABC üçgeninin içine, üçgenin üç kenarına da değen bir çember çizilmiştir. Çemberin merkezi K noktasıdır.Buna göre K noktası aşağıdakilerden hangilerinin kesim noktasıdır?
Üçgenin içine çizilmiş, üç kenara da değen çember ABC üçgeninin içinde, üç kenara da değen bir çember çizilmiştir. Çemberin merkezi K noktasıdır ve işaretlenmiştir. Üçgenin kenarlarına uzunluk yazılmamıştır. A B C K
  1. Aİç açıortayların
  2. BKenarortayların\displaystyle \text{Kenarortayların}
  3. CKenar orta dikmelerin
  4. DYu¨ksekliklerin\displaystyle \text{Yüksekliklerin}
  5. EDış açıortayların
Çözümü göster
Soru 32SözelKısa cevap6 puanOrta, zorluk 4 / 10
Üçgen biçimindeki bir parkın üç kenarı düz birer yürüyüş yoludur. Park yönetimi, üç yola da eşit uzaklıkta olacak biçimde bir aydınlatma direği dikmek istemektedir. Şekilde parkın kareli plan üzerindeki çizimi ile üç yola da değen çember verilmiştir; direk çemberin merkezi olan K noktasına dikilecektir. Planda bir karenin kenarı 10{10} metredir.Buna göre direğin yollara uzaklığı kaç metredir?
Kareli zeminde üçgen park ve üç yola da değen çember Birim kareli zemin. A, B ve C köşeleri bir üçgen oluşturur; B sol altta, C B'nin 12 kare sağında, A B'nin 6 kare sağında ve 8 kare yukarısındadır. Üç kenara da değen bir çember çizilmiştir; merkezi K noktası B'nin 6 kare sağında ve 3 kare yukarısındadır. A B C K
Çözümü göster
Soru 33KavramÇoktan seçmeli5 puanOrta, zorluk 5 / 10
Şekilde bir ABC üçgeninin üç köşesinden de geçen çember çizilmiş, çemberin merkezi O noktasıyla gösterilmiştir. Bu üçgende B köşesindeki açı geniştir ve O noktası üçgenin dış bölgesindedir.Buna göre bir üçgende kenar orta dikmelerin kesim noktasının üçgenin dış bölgesinde olması için aşağıdakilerden hangisi yeterlidir?
Üçgenin üç köşesinden geçen çember ve dışarıda kalan merkezi ABC üçgeninin üç köşesinden de geçen bir çember çizilmiştir. Üçgenin B köşesindeki açı geniştir. Çemberin merkezi O noktası üçgenin dış bölgesindedir ve işaretlenmiştir. A B C O
  1. AÜçgenin çeşitkenar olması
  2. BÜçgenin bir açısının geniş olması
  3. CÜçgenin bir açısının dik olması
  4. DBir kenarın öteki iki kenardan uzun olması
  5. EÜçgenin ikizkenar olması
Çözümü göster
Soru 34KavramAçık uçlu10 puanOrta, zorluk 6 / 10
Şekilde bir ABC eşkenar üçgeni ile bu üçgenin üç kenarına da değen çember ve üç köşesinden de geçen çember birlikte çizilmiştir. İki çemberin merkezi aynı noktadır ve O ile gösterilmiştir. D noktası [BC]{[BC]} kenarının orta noktasıdır. İçteki çemberin yarıçapı r{r}, dıştaki çemberin yarıçapı R{R} ile gösterilmiştir.Buna göre aşağıdaki soruları cevaplayınız.
Eşkenar üçgende iç teğet ve çevrel çember ABC eşkenar üçgeninde D noktası BC kenarının orta noktasıdır ve A ile D birleştirilmiştir. İçteki çember üç kenara da değmekte, dıştaki çember üç köşeden de geçmektedir. İki çemberin ortak merkezi O noktası AD doğru parçası üzerinde işaretlenmiştir. A B C D O
  1. a)
    Eşkenar üçgende [AD]{[AD]} doğru parçasının hangi yardımcı elemanlar olduğunu yazınız.(3 puan)
  2. b)
    r{r} ve R{R} uzunluklarını [AD]{[AD]} doğru parçası üzerindeki hangi parçaların gösterdiğini yazınız.(3 puan)
  3. c)
    R{R} uzunluğunun r{r} uzunluğunun 2{2} katı olduğunu gerekçelendiriniz.(4 puan)
Çözümü göster
Soru 35KavramÇoktan seçmeli5 puanOrta, zorluk 5 / 10
Şekilde bir ABC üçgeninin üç kenarına da değen çember ile üç köşesinden de geçen çember birlikte çizilmiştir. İçteki çemberin merkezi K, dıştaki çemberin merkezi O noktasıdır.I. K noktası üçgenin üç kenarına da eşit uzaklıktadır.II. O noktası [AC]{[AC]} kenarının orta noktasıdır.III. K noktası üçgenin üç köşesine de eşit uzaklıktadır.Şekilde verilenlere göre yukarıdaki önermelerden hangileri doğrudur?
Üç kenara değen çember ile üç köşeden geçen çember bir arada ABC üçgeninde A köşesi solda yukarıda, B köşesi solda aşağıda, C köşesi sağda aşağıdadır. İçteki çember üç kenara da değmekte ve merkezi K noktasıdır; dıştaki çember üç köşeden de geçmekte ve merkezi O noktasıdır. O noktası AC kenarının üzerindedir. A B C K O
  1. AYalnız I
  2. BYalnız III
  3. CI ve II
  4. DI ve III
  5. EI, II ve III
Çözümü göster
Soru 36İşlemKısa cevap6 puanOrta, zorluk 6 / 10
Şekildeki ABC üçgeninde [AB]⊥[BC]{[AB] \perp [BC]}'dir. Üçgenin üç kenarına da değen çemberin merkezi K noktasıdır. Çember [AB]{[AB]} kenarına E, [BC]{[BC]} kenarına D, [AC]{[AC]} kenarına ise F noktasında değmektedir.∣AB∣=9{|AB| = 9} birim, ∣BC∣=12{|BC| = 12} birim ve ∣AC∣=15{|AC| = 15} birim olduğuna göre çemberin yarıçapı kaç birimdir?
Dik üçgende iç teğet çember ve üç değme noktası ABC üçgeninde B köşesindeki açı diktir; A yukarıda, B sol altta, C sağ alttadır. Üç kenara da değen çemberin merkezi K noktasıdır. Çember AB kenarına E, BC kenarına D, AC kenarına F noktasında değmektedir; üç değme noktası da işaretlenmiştir. A B C K D E F
Çözümü göster
Soru 37KavramÇoktan seçmeli5 puanOrta, zorluk 5 / 10
Şekildeki üç panelin her birinde ayrı bir üçgen vardır: I. üçgen dar açılı, II. üçgen dik açılı, III. üçgen geniş açılıdır. Her üçgende A köşesinden karşı kenarın orta noktası D'ye [AD]{[AD]} doğru parçası çizilmiş ve bu parça üzerinde G noktası işaretlenmiştir. Ölçülen uzunluklar birim cinsinden şöyledir:I. üçgende ∣AG∣=8{|AG| = 8} ve ∣GD∣=4{|GD| = 4}, II. üçgende ∣AG∣=10{|AG| = 10} ve ∣GD∣=5{|GD| = 5}, III. üçgende ∣AG∣=6{|AG| = 6} ve ∣GD∣=3{|GD| = 3}.Buna göre üç üçgende de sağlanan bağıntı aşağıdakilerden hangisidir?
Kenarortayı çizilmiş üç ayrı üçgen Üç panel yan yana; üçgenlerin biçimleri farklıdır. I. üçgen dar açılı, II. üçgen dik açılı, III. üçgen geniş açılıdır. Her panelde A köşesinden karşı kenarın orta noktası D'ye bir doğru parçası çizilmiş ve bu parça üzerinde G noktası işaretlenmiştir. A D G I A D G II A D G III
  1. A∣AG∣=∣GD∣\displaystyle |AG| = |GD|
  2. B∣AG∣−∣GD∣=4\displaystyle |AG| - |GD| = 4
  3. C∣AG∣=3∣GD∣\displaystyle |AG| = 3|GD|
  4. D∣AG∣=2∣GD∣\displaystyle |AG| = 2|GD|
  5. E∣GD∣=2∣AG∣\displaystyle |GD| = 2|AG|
Çözümü göster
Soru 38KavramÇoktan seçmeli5 puanOrta, zorluk 6 / 10
Şekildeki beş panelin her birinde aynı ABC üçgeni ile bu üçgende çizilmiş bir doğru parçası verilmiştir. Kareli zeminde bir karenin kenarı 1{1} birimdir.Buna göre çizilen doğru parçasının kenarortay olduğu panel hangisidir?
Aynı üçgende çizilmiş beş ayrı doğru parçası Beş panelde de aynı ABC üçgeni var: C, B'nin 6 kare sağında; A, B'nin 1 kare sağında ve 3 kare yukarısında. Çizilen parçalar sırasıyla: I A'dan BC'ye, ayak B'den 1 kare; II A'dan, ayak 3 kare; III A'dan, ayak 4 kare; IV ayağı 3 karede olan düşey parça; V B'den AC kenarına dikme. A B C I A B C II A B C III A B C IV A B C V
  1. AI\displaystyle \text{I}
  2. BII\displaystyle \text{II}
  3. CIII\displaystyle \text{III}
  4. DIV\displaystyle \text{IV}
  5. EV\displaystyle \text{V}
Çözümü göster
Soru 39KavramÇoktan seçmeli5 puanOrta, zorluk 5 / 10
Bir öğrenci yazılımla dört ayrı ABC üçgeni çizmiş; her üçgende A köşesindeki iç açının açıortayını ve [BC]{[BC]} kenarının orta dikmesini çizerek bu iki doğrunun çakışıp çakışmadığını kaydetmiştir.I. üçgen: ∣AB∣=7{|AB| = 7} cm, ∣AC∣=7{|AC| = 7} cm, iki doğru çakışıyor.II. üçgen: ∣AB∣=6{|AB| = 6} cm, ∣AC∣=9{|AC| = 9} cm, iki doğru çakışmıyor.III. üçgen: ∣AB∣=5{|AB| = 5} cm, ∣AC∣=5{|AC| = 5} cm, iki doğru çakışıyor.IV. üçgen: ∣AB∣=8{|AB| = 8} cm, ∣AC∣=6{|AC| = 6} cm, iki doğru çakışmıyor.Bu dört örneğe göre A köşesindeki açının açıortayı ile [BC]{[BC]} kenarının orta dikmesi hangi durumda aynı doğrudur?
  1. A∣AB∣=∣AC∣ oldug˘unda\displaystyle |AB| = |AC| \text{ olduğunda}
  2. B∣AB∣>∣AC∣ oldug˘unda\displaystyle |AB| > |AC| \text{ olduğunda}
  3. CÜçgen dik açılı olduğunda
  4. DHer üçgende
  5. EHiçbir üçgende
Çözümü göster
Soru 40KavramÇoktan seçmeli5 puanOrta, zorluk 6 / 10
Bir öğrenci dört ayrı dik üçgen çizip her birinin üç kenarına da değen çemberin yarıçapını ölçmüştür. Dik kenarlar a{a} ve b{b}, hipotenüs c{c}, yarıçap ise r{r} ile gösterilmiştir. Ölçümler birim cinsinden şöyledir:I. üçgen: a=3{a = 3}, b=4{b = 4}, c=5{c = 5}, r=1{r = 1}.II. üçgen: a=5{a = 5}, b=12{b = 12}, c=13{c = 13}, r=2{r = 2}.III. üçgen: a=8{a = 8}, b=15{b = 15}, c=17{c = 17}, r=3{r = 3}.IV. üçgen: a=12{a = 12}, b=16{b = 16}, c=20{c = 20}, r=4{r = 4}.Bu dört ölçüme göre r{r} değerini veren bağıntı aşağıdakilerden hangisidir?
  1. Ar=c5\displaystyle r = \dfrac{c}{5}
  2. Br=c−b\displaystyle r = c - b
  3. Cr=a+b+c12\displaystyle r = \dfrac{a + b + c}{12}
  4. Dr=a−12\displaystyle r = \dfrac{a - 1}{2}
  5. Er=a+b−c2\displaystyle r = \dfrac{a + b - c}{2}
Çözümü göster
Soru 41İşlemKısa cevap6 puanOrta, zorluk 6 / 10
Şekildeki kareli zeminde bir ABC üçgeni çizilmiştir; bir karenin kenarı 1{1} birimdir. Zeminde üçgenin kenarlarından başka hiçbir çizgi yoktur. Üçgenin ağırlık merkezi G ile gösterilecektir.[BC]{[BC]} ve [AC]{[AC]} kenarlarının orta noktalarını bulup iki kenarortayı kareleri sayarak çizdiğinizde G noktası B köşesinin kaç kare sağında ve kaç kare yukarısında olur?
Kareli zeminde bir üçgen Birim kareli zemin. ABC üçgeninde B sol altta, C B'nin 8 kare sağında, A B'nin 2 kare solunda ve 6 kare yukarısındadır. Zeminde başka bir çizgi yoktur. A B C
Çözümü göster
Soru 42KavramAçık uçlu10 puanOrta, zorluk 5 / 10
Bir [PR]{[PR]} doğru parçası ile bu parçanın orta dikmesi olan d{d} doğrusu veriliyor.Buna göre aşağıdaki soruları cevaplayınız.
  1. a)
    d{d} doğrusu üzerinde alınan bir X noktasının P ve R noktalarına uzaklıkları için ne söylenebilir? Cevabınızı, d{d} üzerindeki bütün noktaları kapsayan bir önerme biçiminde yazınız.(3 puan)
  2. b)
    (a) maddesinde yazdığınız önermenin ters yönünü, yani uzaklıkların eşit olmasından yola çıkan önermeyi yazınız. Önermeniz, koşulu sağlayan bütün noktaları kapsasın.(4 puan)
  3. c)
    Bir üçgenin üç kenarının orta dikmelerinin tek bir noktada kesiştiğini (a) ve (b) maddelerindeki önermeleri kullanarak açıklayınız.(3 puan)
Çözümü göster
Soru 43KavramKısa cevap4 puanKolay, zorluk 3 / 10
Bir ABC üçgeninde B köşesindeki dış açının açıortayı ile C köşesindeki dış açının açıortayı P noktasında kesişmektedir.Buna göre P noktasının, üçgenin kenarlarının üzerinde bulunduğu üç doğruya uzaklıkları için ne söylenebilir? Cevabınızı bir cümleyle yazınız.
Çözümü göster
Soru 44KavramAçık uçlu20 puanİleri, zorluk 9 / 10
Bir fabrikanın deposunda iki düz taşıma bandı O noktasında kesişmektedir. Bantlara eşit uzaklıkta olacak biçimde bir sensör yerleştirilecektir.Buna göre aşağıdaki soruları cevaplayınız.
  1. a)
    Sensörün bantların arasındaki bölgede olması koşulu konmazsa, iki banda da eşit uzaklıkta olan noktalar nerelerde bulunur? Cevabınızı bir önerme biçiminde yazınız.(6 puan)
  2. b)
    Bantların arasındaki açının ölçüsü 60∘{60^{\circ}}dir ve sensör bu açının iç bölgesindeki açıortay üzerine yerleştirilecektir. Sensörün O noktasına uzaklığı en çok 40{40} metre olabilmekte, bantlara uzaklığının ise en az 9{9} metre olması istenmektedir. Sensörün bantlara uzaklığı en az ve en çok kaç metre olabilir? Çözümünüzü gösteriniz.(7 puan)
  3. c)
    Bir teknisyen "İki banda eşit uzaklıkta olan her nokta, bantların arasındaki açının açıortayı üzerindedir." önermesini yazmıştır. Bu önermeyi değerlendiriniz; yanlışsa bir karşı örnek vererek önermenin doğru biçimini yazınız.(7 puan)
Çözümü göster
Soru 45KavramÇoktan seçmeli5 puanOrta, zorluk 4 / 10
Köşesi O olan bir açı ve bu açının iç bölgesinde bir P noktası veriliyor. M noktası açının bir kolu, N noktası öteki kolu üzerindedir.I. ∣PM∣=∣PN∣{|PM| = |PN|} ise P noktası açının açıortayı üzerindedir.II. [PM]{[PM]} ve [PN]{[PN]} kollara dik ve ∣PM∣=∣PN∣{|PM| = |PN|} ise P noktası açının açıortayı üzerindedir.III. P noktası açının açıortayı üzerinde ve [PM]{[PM]} ile [PN]{[PN]} kollara dik ise ∣PM∣=∣PN∣{|PM| = |PN|} olur.Buna göre yukarıdaki önermelerden hangileri her zaman doğrudur?
  1. AYalnız II
  2. BYalnız III
  3. CII ve III
  4. DI ve II
  5. EI, II ve III
Çözümü göster
Soru 46SözelKısa cevap4 puanKolay, zorluk 3 / 10
Üçgen biçimindeki bir kâğıt katlanarak üçgenin bazı yardımcı elemanları elde edilebilir. Bir köşenin iki kenarı üst üste gelecek biçimde katlanırsa kat izi o köşenin iç açıortayı olur. Bir kenarın iki ucu üst üste gelecek biçimde katlanırsa kat izi o kenarın orta dikmesi olur. Bir köşe karşı kenarın üzerine, kat izi o kenara dik olacak biçimde katlanırsa kat izi o köşeden inen yükseklik olur.Buna göre üçgenin dört yardımcı elemanından hangisi bu üç katlamanın hiçbiriyle elde edilemez? Nedenini de yazınız.
Çözümü göster
Soru 47KavramAçık uçlu20 puanİleri, zorluk 10 / 10
Şekildeki kareli zeminde bir ABC üçgeni verilmiştir; bir karenin kenarı 1{1} birimdir. Zeminde üçgenin kenarlarından başka hiçbir çizgi yoktur. Üçgenin [AB]{[AB]} ve [BC]{[BC]} kenarlarının orta dikmelerinin kesim noktası O ile gösterilecektir.Buna göre aşağıdaki soruları cevaplayınız.
Kareli zeminde çizilmiş bir ABC üçgeni Birim kareli zemin. ABC üçgeninde A solda yukarıda, B A'nın 6 kare sağında ve aynı yükseklikte, C B'nin 2 kare sağında ve 4 kare aşağısındadır. Zeminde başka bir çizgi yoktur. A B C
  1. a)
    Hiçbir çizim yapmadan, yalnız şekle bakarak O noktasının yerini tahmin ediniz ve tahmininizi "A köşesinin ... kare sağında ve ... kare aşağısında" biçiminde, üçgenin görünüşüne dayandırarak yazınız.(5 puan)
  2. b)
    [AB]{[AB]} ve [BC]{[BC]} kenarlarının orta dikmelerini kareleri sayarak kurunuz, O noktasının yerini yazınız ve O noktasının üç köşeye uzaklıklarını hesaplayarak karşılaştırınız.(8 puan)
  3. c)
    (b) maddesinde bulduğunuz sonucu (a) maddesindeki tahmininizle karşılaştırınız; O noktasının üçgene göre yerini belirtiniz ve bu yerin sebebini yazınız.(7 puan)
Çözümü göster
Soru 48KavramÇoktan seçmeli5 puanOrta, zorluk 5 / 10
Bir öğrenci yazılımla üç ayrı ABC üçgeni çizmiş, her birinde kenar orta dikmelerin kesim noktasını O ile adlandırmış ve santimetre cinsinden ölçüm yapmıştır. Ölçümler virgülden sonra bir basamağa yuvarlanmıştır.I. üçgen: ∣OA∣=∣OB∣=∣OC∣=3,6{|OA| = |OB| = |OC| = 3{,}6}; O noktasının kenarlara uzaklıkları 2,6{2{,}6}, 1,9{1{,}9} ve 0,7{0{,}7}.II. üçgen: ∣OA∣=∣OB∣=∣OC∣=4,7{|OA| = |OB| = |OC| = 4{,}7}; O noktasının kenarlara uzaklıkları 3,1{3{,}1}, 2,5{2{,}5} ve 1,3{1{,}3}.III. üçgen: ∣OA∣=∣OB∣=∣OC∣=4,1{|OA| = |OB| = |OC| = 4{,}1}; O noktasının kenarlara uzaklıkları 2,8{2{,}8}, 2,2{2{,}2} ve 1,0{1{,}0}.Öğrenci yalnız bu ölçümlere dayanarak aşağıdaki varsayımlardan hangisinde bulunabilir?
  1. AO noktası kenarlara eşit uzaklıktadır
  2. BO noktası kenarortayların üzerindedir
  3. CÜç üçgen de ikizkenardır
  4. DO noktası köşelere eşit uzaklıktadır
  5. EO noktası her üçgende iç bölgededir
Çözümü göster
Soru 49KavramÇoktan seçmeli3 puanKolay, zorluk 3 / 10
Bir ABC üçgeninde yüksekliklerin kesim noktası H ile gösterilmiştir. Üçgenin türü hakkında başka hiçbir bilgi verilmemiştir.Buna göre H noktasının üçgene göre yeri için aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
  1. AÜçgenin iç bölgesindedir
  2. BÜçgenin dış bölgesindedir
  3. CBir köşenin üzerindedir
  4. DBir kenarın orta noktasındadır
  5. EÜçgenin türüne bağlıdır
Çözümü göster
Soru 50KavramÇoktan seçmeli5 puanOrta, zorluk 4 / 10
Bir ABC üçgeninde ağırlık merkezi G ile kenar orta dikmelerin kesim noktası O aynı noktadır.Buna göre bu üçgen için aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
  1. AEşkenar üçgendir
  2. Bİkizkenar ama eşkenar değildir
  3. CDik üçgendir
  4. DGeniş açılı üçgendir
  5. EVerilenlerle belirlenemez
Çözümü göster
Soru 51KavramAçık uçlu15 puanZor, zorluk 7 / 10
Bir ABC üçgeninde [AC]{[AC]} kenarının orta dikmesi, AB doğrusunu D noktasında kesmektedir. ∣AC∣=16{|AC| = 16} cm, ∣AB∣=21{|AB| = 21} cm ve D noktasının [AC]{[AC]} kenarına uzaklığı 6{6} cm'dir.Buna göre aşağıdaki soruları cevaplayınız.
  1. a)
    ∣AD∣{|AD|} uzunluğunu gerekçesiyle bulunuz.(5 puan)
  2. b)
    ∣BD∣{|BD|} uzunluğunun alabileceği bütün değerleri bulunuz.(6 puan)
  3. c)
    Bir öğrenci (b) maddesinde bulunan iki değerden büyük olanını, "orta dikme kenarı keser, dışına çıkamaz." diyerek atmıştır. Öğrencinin kararını değerlendiriniz.(4 puan)
Çözümü göster
Soru 52KavramÇoktan seçmeli5 puanOrta, zorluk 6 / 10
Şekildeki ABC üçgeninde B köşesindeki açı geniştir. A köşesinden BC doğrusuna inen yüksekliğin ayağı D, B köşesinden [AC]{[AC]} kenarına inen yüksekliğin ayağı E, C köşesinden AB doğrusuna inen yüksekliğin ayağı F noktasıdır; üç yüksekliğin bulunduğu doğrular H noktasında kesişmektedir ([AD]⊥[DC]{[AD] \perp [DC]}, [BE]⊥[AC]{[BE] \perp [AC]}, [CF]⊥[AF]{[CF] \perp [AF]}).Buna göre geniş açılı her üçgen için aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
Geniş açılı üçgende üç yükseklik ve dışarıdaki kesim noktası ABC üçgeninde B köşesindeki açı geniştir. A'dan BC doğrusuna inen dikmenin ayağı D ve C'den AB doğrusuna inen dikmenin ayağı F, kenarların B'den sonraki uzantısındadır; B'den AC kenarına inen dikmenin ayağı E kenarın üzerindedir. Üç dikme doğrusu üçgenin dışındaki H noktasında kesişir. A B C D E F H
  1. AÜç yükseklik ayağı da uzantıdadır
  2. BÜç yükseklik ayağından ikisi uzantıdadır
  3. CYalnız bir yükseklik ayağı uzantıdadır
  4. DKesim noktası üçgenin iç bölgesindedir
  5. EKesim noktası geniş açının köşesindedir
Çözümü göster
Soru 53KavramÇoktan seçmeli5 puanOrta, zorluk 5 / 10
Bir metal işleri imalathanesinde üçgen biçiminde bir metal plaka hazırlanmaktadır. Plakada üç ayrı iş yapılacaktır: plakanın üç kenarına da eşit uzaklıkta bir delik açılacak, üç köşesine de eşit uzaklıkta bir vida takılacak ve plaka tek bir iple asıldığında dengede duracağı noktadan delinecektir. Bir cisim, ağırlık merkezinden geçen düşey bir doğru boyunca asıldığında dengede durur.Buna göre bu üç nokta sırasıyla hangi doğru ailelerinin kesim noktasıdır?
  1. AOrta dikme, iç açıortay, kenarortay
  2. BKenarortay, orta dikme, iç açıortay
  3. Cİç açıortay, orta dikme, kenarortay
  4. Dİç açıortay, kenarortay, orta dikme
  5. EOrta dikme, kenarortay, iç açıortay
Çözümü göster
Soru 54KavramÇoktan seçmeli3 puanKolay, zorluk 3 / 10
Bir dik üçgende hipotenüse ait kenarortay ile hipotenüse ait yükseklik hangi durumda aynı doğru parçasıdır?
  1. AHer dik üçgende
  2. BHiçbir dik üçgende
  3. CBir dik kenar hipotenüsün yarısı iken
  4. Dİkizkenar dik üçgende
  5. EVerilenlerle belirlenemez
Çözümü göster
Soru 55KavramÇoktan seçmeli3 puanKolay, zorluk 3 / 10
Bir ABC üçgeninin ağırlık merkezi G, [BC]{[BC]} kenarının orta noktası D noktasıdır. Üçgen hakkında verilen tek ölçü ∣GD∣=7{|GD| = 7} cm uzunluğudur.Buna göre aşağıdakilerden hangisi bu tek ölçüyle kesin olarak bulunabilir?
  1. AAD kenarortayının uzunluğu
  2. BAB kenarının uzunluğu
  3. CBC kenarının uzunluğu
  4. DA köşesinin BC kenarına en kısa uzaklığı
  5. EÜçgenin çevresi
Çözümü göster
Soru 56KavramÇoktan seçmeli5 puanOrta, zorluk 5 / 10
Bir öğrenci defterine kenar uzunlukları birbirinden farklı bir ABC üçgeni çizmiştir. Sonra pergelinin açıklığını ∣BC∣{|BC|} uzunluğunun yarısından büyük olacak biçimde ayarlamış ve açıklığı hiç değiştirmeden önce B merkezli, sonra C merkezli birer yay çizmiştir. İki yay S ve T noktalarında kesişmiştir. Öğrenci S ile T noktalarından geçen doğruyu çizmiştir.Buna göre öğrencinin çizdiği bu doğru, üçgenin hangi elemanıdır?
  1. AB köşesindeki açının açıortayı
  2. BA köşesinden geçen kenarortay
  3. CA köşesindeki açının açıortayı
  4. DBC kenarının orta dikmesi
  5. EA köşesinden BC kenarına inen yükseklik
Çözümü göster
Soru 57SözelÇoktan seçmeli5 puanOrta, zorluk 5 / 10
Bir ovada üç düz sulama kanalı ikişer ikişer kesişerek üçgen biçiminde bir bölgeyi sınırlamaktadır. Kanalların her birine olan en kısa uzaklıkları birbirine eşit olacak biçimde bir ölçüm istasyonu kurulacaktır. İstasyonun, kanalların sınırladığı üçgen bölgenin dışında kalması istenmektedir. Kanallar düz birer doğru olarak alınacaktır.Buna göre ölçüm istasyonu için uygun kaç farklı yer vardır?
  1. A1\displaystyle 1
  2. B2\displaystyle 2
  3. C3\displaystyle 3
  4. D4\displaystyle 4
  5. E6\displaystyle 6
Çözümü göster
Soru 58İşlemÇoktan seçmeli5 puanOrta, zorluk 5 / 10
Şekildeki ABC üçgeninde F noktası [AB]{[AB]} kenarının, N noktası [AC]{[AC]} kenarının orta noktasıdır. [AB]{[AB]} kenarının orta dikmesi [BC]{[BC]} kenarını D noktasında, [AC]{[AC]} kenarının orta dikmesi ise E noktasında kesmektedir. Şekilde [FD]⊥[AB]{[FD] \perp [AB]} ve [NE]⊥[AC]{[NE] \perp [AC]} olup ∣BD∣=9{|BD| = 9} birim, ∣DE∣=4{|DE| = 4} birim ve ∣EC∣=8{|EC| = 8} birimdir.Buna göre ADE üçgeninin çevresi kaç birimdir?
Kenar orta dikmelerinin BC kenarını kestiği noktalar ABC üçgeninde F, AB kenarının; N, AC kenarının orta noktasıdır ve eşit parçalar çentiklidir. F noktasından BC üzerindeki D noktasına, N noktasından BC üzerindeki E noktasına dik birer parça iner. A köşesi D ve E ile birleşiktir. BC üzerinde soldan sağa 9, 4 ve 8 yazılıdır. 9 4 8 A B C D E F N
  1. A17\displaystyle 17
  2. B21\displaystyle 21
  3. C22\displaystyle 22
  4. D29\displaystyle 29
  5. E38\displaystyle 38
Çözümü göster
Soru 59SözelÇoktan seçmeli5 puanOrta, zorluk 5 / 10
Bir bahçede A, B ve C noktalarında birer ağaç vardır. Üç ağaca da eşit uzaklıkta olacak biçimde bir fıskiye kurulacaktır. Bahçıvan önce bir P noktası işaretlemiş ve uzaklıkları ölçmüştür: P noktasının A ağacına uzaklığı 30{30} m, B ağacına uzaklığı 30{30} m, C ağacına uzaklığı ise 34{34} metredir.I. P noktası [AB]{[AB]} doğru parçasının orta dikmesi üzerindedir.II. P noktası ABC üçgeninin kenar orta dikmelerinin kesim noktasıdır.III. Fıskiyenin kurulacağı nokta [AB]{[AB]} doğru parçasının orta dikmesi üzerindedir.Buna göre yukarıdaki önermelerden hangileri doğrudur?
  1. AYalnız I
  2. BYalnız III
  3. CI ve II
  4. DI, II ve III
  5. EI ve III
Çözümü göster
Soru 60Yeni nesilÇoktan seçmeli9 puanİleri, zorluk 9 / 10
Üçgen biçimindeki ahşap bir raf duvara tek bir askıyla tutturulacaktır. Marangoz, rafın kenarortaylarının kesim noktası olan G noktasını işaretlemiş ve bu noktanın iki kenara olan uzaklıklarını ölçmüştür; [GM]⊥[BC]{[GM] \perp [BC]}, [GN]⊥[AB]{[GN] \perp [AB]}, ∣GM∣=26{|GM| = 26} cm ve ∣GN∣=20{|GN| = 20} cm'dir. Marangoz ayrıca A köşesinden [BC]{[BC]} kenarına, C köşesinden de [AB]{[AB]} kenarına dik birer destek çubuğu takacaktır.Buna göre bu iki destek çubuğunun uzunlukları toplamı kaç santimetredir?
Ağırlık merkezinden iki kenara inen dikmeler ABC üçgeninin içindeki G noktasından BC kenarına GM, AB kenarına GN dikmeleri çizilmiştir; M ve N noktalarında dik açı işareti vardır. GM parçasına 26, GN parçasına 20 yazılmıştır. Üçgenin kenarlarına uzunluk yazılmamıştır. 26 20 A B C G M N
  1. A46\displaystyle 46
  2. B69\displaystyle 69
  3. C92\displaystyle 92
  4. D98\displaystyle 98
  5. E138\displaystyle 138
Çözümü göster

Ders kılavuzu

Dersi açmak için çengel sorular, kavramı somutlaştıran benzetmeler ve öğrencilerin sık yaptığı yanlışlar.

Derse giriş: çengel sorular

  • Üç köy, tek su deposu

    Tahtaya birbirinden uzak üç nokta koyun ve üç köy olduğunu söyleyin. Belediye tek bir su deposu kuracak ve borular eşit uzunlukta olsun istiyor. Depo nereye kurulmalı? Önce iki köyü ele aldırın: iki köye eşit uzaklıktaki noktalar nerede durur? Öğrenciler birkaç nokta işaretlediğinde bu noktaların bir doğru üzerinde dizildiğini görürler. Üçüncü köy eklenince iki doğru tek bir noktada kesişir. Dersin ilk sorusu budur: bu nokta her üçgende var mıdır, varsa hep üçgenin içinde midir?

    ∣PA∣=∣PB∣=∣PC∣\displaystyle |PA| = |PB| = |PC|

  • Kartonu tek parmakta dengelemek

    Kartondan kesilmiş bir üçgeni sınıfa gösterin ve tek parmak ucunda dengelenebilecek noktayı tahmin ettirin. Tahminleri kartonun üzerine işaretletin, sonra deneyin. Denge noktası, bir köşeyi karşı kenarın orta noktasına bağlayan çizgilerin kesiştiği yerdedir. İlginç olan şudur: o nokta köşeye değil kenara daha yakındır. Neden tam ortada değil de orada durduğu, kenarortayın 2'ye 1 oranının konusudur.

    ∣AG∣=2∣GD∣\displaystyle |AG| = 2|GD|

  • Üç yola eşit uzaklıkta bir kule

    Üçgen biçiminde bir ormanın üç kenarında üç yol olduğunu söyleyin. Yangın gözetleme kulesi üç yola da eşit uzaklıkta olacak. Su deposu sorusuyla karşılaştırın: orada köylere, yani köşelere eşit uzaklık isteniyordu; burada yollara, yani kenarlara. Aynı görünen iki soru iki farklı yardımcı elemana götürür. Öğrenciye hangisinin hangisine götürdüğünü dersin sonunda kendisi söyletin.

    ko¨s¸elere es¸it uzaklık≠kenarlara es¸it uzaklık\displaystyle \text{köşelere eşit uzaklık} \neq \text{kenarlara eşit uzaklık}

  • Yükseklik üçgenin dışına çıkabilir mi?

    Tahtaya bir geniş açılı üçgen çizin ve dar açılı köşelerinden birinden karşı kenara yükseklik indirmelerini isteyin. Çoğu öğrenci dikmeyi kenarın üzerine düşürmeye çalışır ve dik açı oluşturamaz. Kenarı uzatmadan yükseklik çizilemez. Buradan sorun: yükseklik bir doğru parçası mıdır, yoksa bir uzaklık mı? Cevap, bütün yükseklik sorularında kenarın neden uzatıldığını açıklar.

    m(A^)>90∘\displaystyle \text{m}(\widehat{A}) > 90^{\circ}

Benzetmeler

  • İç açıortay

    İki duvarın birleştiği bir köşede, iki duvara da hep aynı uzaklıkta yürüyen birini düşünün. İzlediği yol açıortaydır. Bu yüzden açıortay üzerindeki her nokta açının iki koluna eşit uzaklıktadır; uzaklık ölçülürken kola dik inilir.

  • Kenar orta dikme

    İki ev arasına, iki eve eşit uzaklıkta bir çeşme yapılacak. Bu şartı sağlayan bütün yerler, iki evi birleştiren parçanın tam ortasından ona dik geçen doğrudadır. Orta dikme bir köşeden geçmek zorunda değildir; onu belirleyen iki uç noktadır, karşıdaki köşe değil.

  • Kenarortay

    Üçgen biçimindeki bir pastayı bir köşeden kesip iki eşit parçaya bölmek için bıçak karşı kenarın tam ortasına inmelidir. Kenarortay alanı ikiye böler, çünkü iki parçanın tabanları eşit, yükseklikleri aynıdır. Açıyı ikiye bölmesi ise gerekmez.

  • Yükseklik

    Bir kenarı yer kabul edin ve karşı köşeden yere bir çekül sarkıtın. İpin uzunluğu o kenara ait yüksekliktir. Yer kısaysa ip yerin dışına düşer; o zaman yeri uzatırız. Yükseklik bir uzaklıktır, bu yüzden ayağı kenarın üzerinde olmak zorunda değildir.

  • Ağırlık merkezi

    Bir tahterevalli gibidir: kenarortayın köşe tarafında kalan kısım bir uçta tek bir köşeyi, kenar tarafındaki kısım ise iki köşeyi taşır. Denge, iki kat ağırlığa yakın durmayı gerektirir. Ağırlık merkezinin kenara daha yakın, köşeye daha uzak olması buradan gelir.

Sık yapılan yanlışlar

  • Açıortay karşı kenarı iki eşit parçaya böler.

    Açıortay açıyı ikiye böler, kenarı değil. Karşı kenarı, açının kollarının oranında böler. Kollar eşit değilse parçalar da eşit değildir; eşit parçalar yalnız ikizkenar üçgende, tepe açısının açıortayında ortaya çıkar.

    Kenarları 6 ve 9 olan bir üçgende açıortayı çizdirip karşı kenardaki iki parçayı ölçtürün. Ölçümler 2'ye 3 oranında çıkar. Sonra kenarları eşit bir üçgende aynı işi yaptırın ve iki durumu yan yana yazdırın.

    ∣AB∣∣AC∣=∣BD∣∣DC∣\displaystyle \dfrac{|AB|}{|AC|} = \dfrac{|BD|}{|DC|}

  • Açıortay teoreminde oran ∣AB∣∣AC∣=∣DC∣∣BD∣{\dfrac{|AB|}{|AC|} = \dfrac{|DC|}{|BD|}} biçimindedir.

    Her kol kendi tarafındaki parçayla eşleşir: [AB]{[AB]} kolu B{B} tarafındaki [BD]{[BD]} parçasıyla, [AC]{[AC]} kolu C{C} tarafındaki [DC]{[DC]} parçasıyla. Oranı ters kurmak uzun kolun karşısına kısa parçayı koyar.

    Oranı yazmadan önce aynı tarafta kalan kol ile parçayı aynı renkle boyatın. Paydaki iki uzunluğun ikisi de B{B} köşesine değmelidir; öğrenci bunu kendisi kontrol etsin.

    ∣AB∣∣BD∣=∣AC∣∣DC∣\displaystyle \dfrac{|AB|}{|BD|} = \dfrac{|AC|}{|DC|}

  • Kenarortay köşedeki açıyı ikiye böler.

    Kenarortay karşı kenarı ikiye böler; açıyı ikiye bölmesi ancak üçgen o köşeye göre ikizkenarsa olur. Genel üçgende kenarortay, açıortay ve yükseklik üç ayrı doğru parçasıdır.

    Çeşitkenar bir üçgende aynı köşeden üçünü birden çizdirin. Üç ayrı doğru parçası görülür. Ardından ikizkenar üçgende tepe köşesinden aynı işi yaptırın; üçü üst üste biner.

  • Ağırlık merkezi kenarortayı iki eşit parçaya böler.

    Ağırlık merkezi kenarortayı köşeden itibaren 2:1{2:1} oranında böler. Köşe tarafındaki parça, kenar tarafındakinin iki katıdır; yani nokta kenara daha yakındır.

    Kareli kâğıtta köşeleri tam sayı koordinatlı bir üçgen çizdirip üç kenarortayı çizdirin. Kesim noktasından köşeye ve kenara olan uzaklıkları kareleri sayarak karşılaştırtın.

    ∣AG∣=2∣GD∣\displaystyle |AG| = 2|GD|

  • Yükseklik her zaman üçgenin içinde kalır.

    Geniş açılı üçgende dar açılı köşelerden inen yükseklikler karşı kenarın uzantısına düşer ve üçgenin dışında kalır. Dik üçgende ise iki yükseklik dik kenarların kendisidir.

    Aynı tabanlı üç üçgen çizdirin: dar açılı, dik ve geniş açılı. Her birinde aynı köşeden yüksekliği indirtin ve ayağın nereye düştüğünü tablo hâlinde yazdırın.

  • İç açıortayların kesim noktası köşelere eşit uzaklıktadır.

    İç açıortaylar üzerindeki noktalar açının kollarına, yani kenarlara eşit uzaklıktadır. Köşelere eşit uzaklıktaki nokta kenar orta dikmelerinin kesim noktasıdır. İki nokta ancak eşkenar üçgende çakışır.

    Su deposu ve gözetleme kulesi çengel sorularını yan yana koyun. Hangi sorunun köşeyle, hangisinin kenarla ilgili olduğunu öğrenciye işaretletin ve iki noktayı aynı üçgende ayrı ayrı buldurup karşılaştırtın.

  • Kenar orta dikmesi karşı köşeden geçer.

    Kenar orta dikmesi bir kenarın orta noktasından o kenara dik çizilen doğrudur; karşı köşeden geçmesi gerekmez. Köşeden geçiyorsa, o köşe kenarın iki ucuna eşit uzaklıktadır, yani üçgen ikizkenardır.

    Çeşitkenar bir üçgende bir kenarın orta dikmesini çizdirin ve karşı köşenin doğrunun hangi yanında kaldığına baktırın. Sonra bu köşeyi doğrunun üzerine taşıyınca üçgenin ikizkenar olduğunu ölçtürün.

  • m(BKC^)=90∘+m(A^)2{\text{m}(\widehat{BKC}) = 90^{\circ} + \dfrac{\text{m}(\widehat{A})}{2}} bağıntısı dış açıortaylar için de geçerlidir.

    Bu bağıntı B{B} ve C{C} köşelerindeki iç açıortayların kesim noktası içindir. Dış açıortaylar üçgenin dışında, [BC]{[BC]} kenarının öbür yanında kesişir ve aynı açının ölçüsü 90∘−m(A^)2{90^{\circ} - \dfrac{\text{m}(\widehat{A})}{2}} olur.

    İki bağıntıyı ezberletmek yerine her seferinde BKC{BKC} üçgeninin iç açıları toplamından türettirin. İç açıortayda K{K}'deki açı geniş, dış açıortayda dar çıkar; sonucu bu gözle kontrol ettirin.

    90∘−m(A^)2\displaystyle 90^{\circ} - \dfrac{\text{m}(\widehat{A})}{2}

  • Dik üçgende bütün kenarortaylar hipotenüsün yarısına eşittir.

    Hipotenüsün yarısına eşit olan yalnız dik köşeden hipotenüse inen kenarortaydır: hipotenüsün orta noktası üç köşeye eşit uzaklıktadır. Dik kenarlara ait kenarortaylar daha uzundur ve Pisagor bağıntısıyla bulunur.

    Dik kenarları 6 ve 8 olan bir üçgende üç kenarortayı da hesaplatın. Yalnız birinin 5 çıktığını, ötekilerin bundan büyük olduğunu tabloda gösterin.

    ∣AD∣=∣BC∣2\displaystyle |AD| = \dfrac{|BC|}{2}

Tahtada anlatım sırası10 adımı göster
  1. 1
    Bir açı çizin ve açıortayını çizdirin. Açıortay üzerinde bir nokta seçip iki kola dikmeler indirtin ve dikmelerin uzunluklarını ölçtürün. Eşit çıkar. Başka bir nokta için tekrarlatın. Varsayımı öğrenciye yazdırın: açıortay üzerindeki her nokta iki kola eşit uzaklıktadır.

    Süreç bileşeni a ve b: varsayımda bulunur, örneklerden genellemeye gider.

  2. 2
    Aynı üçgende üç iç açıortayı çizdirin. Üçünün tek bir noktada kesiştiğini gösterin ve bu noktanın üç kenara eşit uzaklıkta olduğunu birinci adımdan çıkarttırın: iki açıortayın kesim noktası iki çift kola eşit uzaklıktaysa, üç kenara da eşit uzaklıktadır.

    m(BKC^)=90∘+m(A^)2\displaystyle \text{m}(\widehat{BKC}) = 90^{\circ} + \dfrac{\text{m}(\widehat{A})}{2}

  3. 3
    Açıortay teoremine geçin. Kenarları 6 ve 9 olan bir üçgende A{A} köşesinin açıortayını çizdirip [BC]{[BC]} üzerindeki parçaları ölçtürün. Oranı kollarla karşılaştırtın. Gerekçeyi alanla verin: ABD{ABD} ve ADC{ADC} üçgenlerinin D{D}'den inen yükseklikleri eşittir, çünkü D{D} açıortay üzerindedir.

    ∣AB∣∣AC∣=∣BD∣∣DC∣\displaystyle \dfrac{|AB|}{|AC|} = \dfrac{|BD|}{|DC|}

    Alan gerekçesi iki yolla yazılabilir: tabanlar [BD]{[BD]} ve [DC]{[DC]}, ya da tabanlar [AB]{[AB]} ve [AC]{[AC]}. İkisini eşitlemek teoremi verir.

  4. 4
    Dış açıortayı tanıtın: bir köşedeki dış açıyı ikiye bölen doğru. İç ve dış açıortayın birbirine dik olduğunu, iki komşu açının yarılarının toplamının 90∘{90^{\circ}} olmasından çıkarttırın. Sonra B{B} ve C{C}'deki dış açıortayların kesim noktası için BKC{BKC} açısını hesaplatın.

    m(BKC^)=90∘−m(A^)2\displaystyle \text{m}(\widehat{BKC}) = 90^{\circ} - \dfrac{\text{m}(\widehat{A})}{2}

  5. 5
    Kenar orta dikmeyi tanıtın. Bir parçanın orta dikmesi üzerinde nokta seçtirip iki uca olan uzaklıkları ölçtürün; eşit çıkar. Üç kenarın orta dikmelerini çizdirip tek noktada kesiştiklerini ve bu noktanın üç köşeye eşit uzaklıkta olduğunu gösterin.

    ∣PA∣=∣PB∣=∣PC∣\displaystyle |PA| = |PB| = |PC|

  6. 6
    Su deposu ile gözetleme kulesi sorularını tahtada yan yana yazın. Köşelere eşit uzaklık orta dikmelerle, kenarlara eşit uzaklık açıortaylarla bulunur. Öğrenciden iki noktanın hangi üçgende çakıştığını tahmin etmesini isteyin.

    Süreç bileşeni c: genellemelerini varsayımlarıyla karşılaştırır.

  7. 7
    Kenarortayları çizdirin ve kesim noktasına G{G} adını verin. Kareli zeminde ∣AG∣{|AG|} ile ∣GD∣{|GD|} uzunluklarını karşılaştırtın. Oranın her kenarortayda 2:1{2:1} olduğunu gösterin ve bunu kartonu dengeleme deneyiyle bağlayın.

    ∣AG∣=2∣GD∣\displaystyle |AG| = 2|GD|

  8. 8
    Dik üçgende hipotenüse ait kenarortayı ele alın. Hipotenüsün orta noktasının üç köşeye eşit uzaklıkta olduğunu beşinci adımdan çıkarttırın: dik üçgende orta dikmelerin kesim noktası hipotenüsün orta noktasıdır.

    ∣AD∣=∣BC∣2\displaystyle |AD| = \dfrac{|BC|}{2}

  9. 9
    Yüksekliklere geçin. Dar açılı, dik ve geniş açılı birer üçgende üç yüksekliği çizdirin. Kesim noktasının dar açılıda içeride, dikte dik köşede, geniş açılıda dışarıda olduğunu gösterin. Geniş açılı üçgende kenarın uzatılması gerektiğini vurgulayın.

    Yükseklik bir uzaklıktır; ayağı kenarın uzantısına düşebilir.

  10. 10
    Dersi bir tabloyla kapatın: dört yardımcı eleman, her birinin tanımı, kesim noktası ve o noktanın özelliği. Tabloyu öğrenciler doldursun; boş bırakılan satır, en çok karıştırılan satırdır.

    Süreç bileşeni ç ve d: önerme sunar ve problemlerde değerlendirir.

Ödev ve çalışma kâğıdı

Her antrenman tek bir beceriyi bol tekrarla çalıştırır. Hangisinden kaç kalem istediğini seç; kâğıt ve çözümlü cevap anahtarı tarayıcında hazırlanır.

Ödev kâğıdı oluştur

Her alıştırmadan kaç kalem istediğini seç. Kalemler hazır havuzdan rastgele gelir; iki sınıfa iki ayrı kâğıt verebilirsin. Çözümlü cevap anahtarı da hazır.
Alıştırmalar

  • Şekillerde [AD]{[AD]}, A^{\widehat{A}} açısının iç açıortayıdır. x{x} değerini bulunuz.

    1. 1)x= ?{x = \,?}= 5\displaystyle 5 İç açıortayı çizilmiş üçgen ABC üçgeninde A köşesinden BC kenarındaki D noktasına AD doğru parçası çizilmiştir; A köşesindeki iki açı eş yaylarla işaretlidir. AB uzunluğuna 8, AC uzunluğuna 10, BD uzunluğuna 4, DC uzunluğuna x yazılmıştır. 8 10 4 x A B C D
    2. 2)x= ?{x = \,?}= 15\displaystyle 15 İç açıortayı çizilmiş üçgen ABC üçgeninde A köşesinden BC kenarındaki D noktasına AD doğru parçası çizilmiştir; A köşesindeki iki açı eş yaylarla işaretlidir. AB uzunluğuna x, AC uzunluğuna 18, BD uzunluğuna 10, DC uzunluğuna 12 yazılmıştır. x 18 10 12 A B C D
    3. 3)x= ?{x = \,?}= 12\displaystyle 12 İç açıortayı çizilmiş üçgen ABC üçgeninde A köşesinden BC kenarındaki D noktasına AD doğru parçası çizilmiştir; A köşesindeki iki açı eş yaylarla işaretlidir. AB uzunluğuna 15, AC uzunluğuna x, BD uzunluğuna 10, DC uzunluğuna 8 yazılmıştır. 15 x 10 8 A B C D
    / 40

  • Şekillerde G{G}, ABC{ABC} üçgeninin ağırlık merkezidir ve [AD]{[AD]} kenarortaydır. x{x} değerini bulunuz.

    1. 1)x= ?{x = \,?}= 8\displaystyle 8 Kenarortayı ve ağırlık merkezi işaretli üçgen ABC üçgeninde A köşesinden BC kenarının orta noktası D'ye AD kenarortayı çizilmiştir; BD ve DC parçaları eşit çentiklidir. G noktası ağırlık merkezidir. AG uzunluğuna 16, GD uzunluğuna x yazılmıştır. 16 x G A B C D
    2. 2)x= ?{x = \,?}= 4\displaystyle 4 Kenarortayı ve ağırlık merkezi işaretli üçgen ABC üçgeninde A köşesinden BC kenarının orta noktası D'ye AD kenarortayı çizilmiştir; BD ve DC parçaları eşit çentiklidir. G noktası ağırlık merkezidir. AG uzunluğuna x, GD uzunluğuna 2 yazılmıştır. x 2 G A B C D
    3. 3)x= ?{x = \,?}= 7\displaystyle 7 Kenarortayı ve ağırlık merkezi işaretli üçgen ABC üçgeninde A köşesinden BC kenarının orta noktası D'ye AD kenarortayı çizilmiştir; BD ve DC parçaları eşit çentiklidir. G noktası ağırlık merkezidir. AG uzunluğuna 14, GD uzunluğuna x yazılmıştır. 14 x G A B C D
    / 40

  • Şekillerde K{K}, B{B} ve C{C} köşelerindeki dış açıortayların kesim noktasıdır. x{x} kaç derecedir?

    1. 1)x= ?{x = \,?}= 65∘\displaystyle 65^{\circ} Dış açıortayların kesim noktası ABC üçgeninde AB ve AC kenarları B ve C'nin ötesine uzatılmıştır. B'deki dış açının iki parçası tek, C'deki dış açının iki parçası çift yayla işaretlidir; bu açıları ikiye bölen doğru parçaları BC'nin altındaki K noktasında kesişir. A açısına 50°, BKC açısına x yazılmıştır. 50° x A B C K
    2. 2)x= ?{x = \,?}= 40∘\displaystyle 40^{\circ} Dış açıortayların kesim noktası ABC üçgeninde AB ve AC kenarları B ve C'nin ötesine uzatılmıştır. B'deki dış açının iki parçası tek, C'deki dış açının iki parçası çift yayla işaretlidir; bu açıları ikiye bölen doğru parçaları BC'nin altındaki K noktasında kesişir. A açısına x, BKC açısına 70° yazılmıştır. x 70° A B C K
    3. 3)x= ?{x = \,?}= 65∘\displaystyle 65^{\circ} Dış açıortayların kesim noktası ABC üçgeninde AB ve AC kenarları B ve C'nin ötesine uzatılmıştır. B'deki dış açının iki parçası tek, C'deki dış açının iki parçası çift yayla işaretlidir; bu açıları ikiye bölen doğru parçaları BC'nin altındaki K noktasında kesişir. A açısına 50°, BKC açısına x yazılmıştır. 50° x A B C K
    / 30

  • Şekillerde K{K}, B{B} ve C{C} köşelerindeki iç açıortayların kesim noktasıdır. x{x} kaç derecedir?

    1. 1)x= ?{x = \,?}= 115∘\displaystyle 115^{\circ} İç açıortayların kesim noktası ABC üçgeninde B ve C köşelerindeki açıları ikiye bölen doğru parçaları K noktasında kesişir; B'deki iki açı tek, C'deki iki açı çift yayla işaretlidir. A açısına 50°, BKC açısına x yazılmıştır. 50° x K A B C
    2. 2)x= ?{x = \,?}= 50∘\displaystyle 50^{\circ} İç açıortayların kesim noktası ABC üçgeninde B ve C köşelerindeki açıları ikiye bölen doğru parçaları K noktasında kesişir; B'deki iki açı tek, C'deki iki açı çift yayla işaretlidir. A açısına x, BKC açısına 115° yazılmıştır. x 115° K A B C
    3. 3)x= ?{x = \,?}= 130∘\displaystyle 130^{\circ} İç açıortayların kesim noktası ABC üçgeninde B ve C köşelerindeki açıları ikiye bölen doğru parçaları K noktasında kesişir; B'deki iki açı tek, C'deki iki açı çift yayla işaretlidir. A açısına 80°, BKC açısına x yazılmıştır. 80° x K A B C
    / 36

  • Şekillerde m(A^)=90∘{\text{m}(\widehat{A}) = 90^{\circ}} ve D{D}, [BC]{[BC]} kenarının orta noktasıdır. x{x} değerini bulunuz.

    1. 1)x= ?{x = \,?}= 10\displaystyle 10 Dik üçgende hipotenüse ait kenarortay A köşesi dik olan ABC üçgeninde A'dan hipotenüsün orta noktası D'ye AD doğru parçası çizilmiştir; BD ve DC parçaları eşit çentiklidir. AB uzunluğuna 12, AC uzunluğuna 16, AD uzunluğuna x yazılmıştır. 12 16 x A B C D
    2. 2)x= ?{x = \,?}= 32\displaystyle 32 Dik üçgende hipotenüse ait kenarortay A köşesi dik olan ABC üçgeninde A'dan hipotenüsün orta noktası D'ye AD doğru parçası çizilmiştir; BD ve DC parçaları eşit çentiklidir. AB uzunluğuna 24, AC uzunluğuna x, AD uzunluğuna 20 yazılmıştır. 24 x 20 A B C D
    3. 3)x= ?{x = \,?}= 12\displaystyle 12 Dik üçgende hipotenüse ait kenarortay A köşesi dik olan ABC üçgeninde A'dan hipotenüsün orta noktası D'ye AD doğru parçası çizilmiştir; BD ve DC parçaları eşit çentiklidir. AB uzunluğuna x, AC uzunluğuna 16, AD uzunluğuna 10 yazılmıştır. x 16 10 A B C D
    / 21
Çalışma boşluğu
Kâğıt ayarları

0 kalem

İndirmek için en az bir kalem seç.

Test PDF'i

Bu kazanımın sorularından test ya da yazılı kâğıdı: soruları seç, kâğıdı ayarla, soru kâğıdını ve cevap anahtarını indir.

Test PDF'i hazırla

Soru kâğıdı ve cevap anahtarı tarayıcında hazırlanır; seçimlerin hiçbir sunucuya gönderilmez. İlk PDF'te motor indiği için birkaç saniye sürer, sonrakiler anında gelir.
Zorluğa göre seç

Her düzeyden kaç soru istediğini seç; düzeyin sorularından azını istersen o kadarı rastgele gelir. Seçim aşağıdaki listeye yansır, oradan elle de değiştirebilirsin.

Zorluk 3Kolay, 11 soru
Zorluk 4Orta, 6 soru
Zorluk 5Orta, 13 soru
Zorluk 6Orta, 13 soru
Zorluk 7Zor, 6 soru
Zorluk 8Zor, 3 soru
Zorluk 9İleri, 4 soru
Zorluk 10İleri, 4 soru
Kâğıttaki sorular 60 / 60

Kâğıda yalnız görünen ve işaretli sorular girer.

Kâğıt ayarları

60 soru, 417 puan

Kazanım künyesi

10. sınıf Üçgende yardımcı elemanlar için 60 çözümlü soru: soruları sayfada çöz, takıldığında adım adım çözümü aç; seçtiğin sorulardan test, yaprak test ya da yazılı kâğıdı hazırla ve cevap anahtarıyla PDF olarak indir; ödev için alıştırma (çalışma) kâğıdı çıkar; derste soruları akıllı tahtada tek tek aç; ders kılavuzunda derse giriş, kavram yanılgıları ve tahta akışı var. 1. dönem yazılısına ve ortak sınava hazırlıkta kullanılır.

Kod
MAT.10.1.2
Kapsadığı konular
açıortay, kenarortay, yükseklik, kenar orta dikme
Dönem ve hafta
1. dönem, 3, 4. haftalar, 10 ders saati
Süreç bileşenleri
  • a)Üçgende iç ve dış açıortayların, kenarortayların, kenar orta dikmelerin ve yüksekliklerin özelliklerine ilişkin varsayımda bulunur.
  • b)Farklı üçgen örneklerini inceleyerek varsayımlarına ilişkin örüntüleri geneller.
  • c)Üçgenin yardımcı elemanlarıyla ilgili genellemelerini varsayımlarıyla karşılaştırır.
  • ç)Elde ettiği genellemelerden hareketle yardımcı elemanların özelliklerine ilişkin önermeler sunar.
  • d)Üçgenin yardımcı elemanlarıyla ilgili önermeleri problemler bağlamında değerlendirir.
Ders kitabında
  • 1. Tema — Geometrik Şekiller, 1.2 Üçgende Yardımcı Elemanlar