konukonu

Bütün konular

Menü
9. sınıf, SayılarMAT.9.1.3

Sayı kümeleri

Sayı Kümeleri ve İşlem Özellikleri

Kazanım: Farklı sayı kümelerinin özellikleri hakkında muhakeme yapabilme.

Tahtada açYazılı hazırla

Sorular ve çözümleri

Her sorunun altında adım adım çözüm var. Çoktan seçmelide doğru şık, çözümü açınca işaretlenir.

Zorluk
Cevap biçimi
Soru türü
Şekil
38 soru gösteriliyor
Soru 1KavramÇoktan seçmeli3 puanKolay, zorluk 2 / 10
Aşağıdaki işlemlerden hangisinin sonucu doğal sayılar kümesinin elemanı değildir?
  1. A12+7\displaystyle 12 + 7
  2. B12⋅7\displaystyle 12 \cdot 7
  3. C84:7\displaystyle 84 : 7
  4. D12−7\displaystyle 12 - 7
  5. E7−12\displaystyle 7 - 12
Çözümü göster

EDoğru cevap

  1. 1
    Doğal sayılar kümesi N={0,1,2,3,…}{\mathbb{N} = \{0, 1, 2, 3, \ldots\}} olduğundan negatif bir sayı bu kümenin elemanı olamaz.
  2. 2
    12+7=19{12 + 7 = 19}, 12⋅7=84{12 \cdot 7 = 84}, 84:7=12{84 : 7 = 12} ve 12−7=5{12 - 7 = 5} işlemlerinin sonuçlarının hepsi doğal sayıdır.
  3. 3
    7−12=−5{7 - 12 = -5} sonucu negatiftir, yani doğal sayı değildir.
  4. 4
    Doğal sayılar kümesi çıkarma işlemine göre kapalı olmadığından aranan işlem 7−12{7 - 12} işlemidir.

Yanlış şıklar neden yanlış?

  • A)Toplamda sonucun büyümesini kümeden çıkmak sanır; oysa doğal sayılar toplama işlemine göre kapalıdır.
  • B)Çarpımın büyük çıkmasına bakar; çarpma işlemi de doğal sayılarda kapalıdır.
  • C)Bölmenin sonucunun hiçbir zaman doğal sayı olmayacağını sanır; oysa 84:7=12{84 : 7 = 12} bir doğal sayıdır.
  • D)Çıkarma işaretini görür görmez sonucun negatif olacağını düşünür, hangi sayının hangisinden çıkarıldığını okumaz.
Soru 2KavramÇoktan seçmeli5 puanOrta, zorluk 4 / 10
Şekilde sayı doğrusu üzerinde işaretlenen A{A} noktası 5{\sqrt{5}} sayısına karşılık gelmektedir.Buna göre 5{\sqrt{5}} sayısı aşağıdaki sayı kümelerinden hangisinin elemanıdır?
A noktasının sayı doğrusundaki yeri Sıfır ile beş arasında ölçeklenmiş bir sayı doğrusu. A noktası 2 ile 3 arasında, 3'e göre 2'ye daha yakın bir yerde işaretlenmiştir. 0 1 2 3 4 5 A
  1. AN\displaystyle \mathbb{N}
  2. BR∖Q\displaystyle \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}
  3. CZ\displaystyle \mathbb{Z}
  4. DQ\displaystyle \mathbb{Q}
  5. EZ+\displaystyle \mathbb{Z}^{+}
Çözümü göster

BDoğru cevap

  1. 1
    5{5} sayısı bir tam kare değildir, bu yüzden 5{\sqrt{5}} hiçbir tam sayıya eşit değildir.
  2. 2
    Tam kare olmayan bir doğal sayının karekökü hiçbir kesir biçiminde yazılamaz; bu tür sayılara irrasyonel sayı denir.
  3. 3
    İrrasyonel sayılar, rasyonel olmayan gerçek sayılardır; kümesi R∖Q{\mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}} ile gösterilir.

Yanlış şıklar neden yanlış?

  • A)Sayı doğrusunda yeri olan her sayıyı doğal sayı sanır.
  • C)5{\sqrt{5}} sayısının 2{2} ile 3{3} arasında olmasına bakıp en yakın tam sayıya yuvarlar.
  • D)Hesap makinesinin verdiği ondalık gösterime bakıp her ondalık sayının kesir biçiminde yazılabileceğini sanır.
  • E)Sayının pozitif olmasını tam sayı olmakla karıştırır.
Soru 3KavramÇoktan seçmeli3 puanKolay, zorluk 3 / 10
Tam sayılar kümesinde arada olma özelliği yoktur.Buna göre bu durumu gösteren karşıt örnek aşağıdakilerden hangisidir?
  1. A1 ile 5 arasında 3 sayısı vardır.
  2. B6 ile 7 arasında hiçbir tam sayı yoktur.
  3. C2 ile 8 arasında beş tane tam sayı vardır.
  4. DHer tam sayı aynı zamanda bir rasyonel sayıdır.
  5. ETam sayılar kümesinin en büyük elemanı yoktur.
Çözümü göster

BDoğru cevap

  1. 1
    Arada olma özelliği, kümedeki herhangi iki sayı arasında yine aynı kümeden bir sayı bulunmasını ister.
  2. 2
    Bir özelliği çürütmek için tek bir karşıt örnek yeterlidir; özelliğin sağlandığı örnekler ise onu kanıtlamaz.
  3. 3
    Ardışık iki tam sayı seçildiğinde aralarında başka bir tam sayı bulunamaz.
  4. 4
    Buna göre aranan karşıt örnek 6 ile 7 arasında hiçbir tam sayı yoktur. ifadesidir.

Yanlış şıklar neden yanlış?

  • A)Arada bir tam sayı bulmayı özelliğin kanıtı sanır; oysa özellik herhangi iki sayı için istenir.
  • C)Sayarak doğruladığını sanır; tek bir çiftin sağlanması özelliği kanıtlamaz.
  • D)Doğru bir bilgidir ama karşıt örneği başka bir önerme için kurar.
  • E)Doğru bir bilgidir ama sınanan önerme arada olma değil sınırlılıktır.
Soru 4SözelKısa cevap4 puanKolay, zorluk 3 / 10
Bir okulun bahçesine kare biçiminde bir çiçeklik yapılacaktır. Çiçekliğin alanı 20{20} metrekare olacaktır.Buna göre çiçekliğin bir kenarının uzunluğu hangi ardışık iki doğal sayı arasındadır?
Çözümü göster

Cevap: (4,5)\displaystyle (4, 5)

  1. 1
    Karenin alanı bir kenarının karesine eşit olduğundan kenar uzunluğu 20{\sqrt{20}} metredir.
  2. 2
    20{20} sayısı 16{16} ile 25{25} tam kareleri arasındadır: 16<20<25{16 < 20 < 25}
  3. 3
    Karekök alma sıralamayı koruduğu için 16<20<25{\sqrt{16} < \sqrt{20} < \sqrt{25}} olur.
  4. 4
    Buna göre kenar uzunluğu (4,5){(4, 5)} aralığındadır.
Soru 5KavramÇoktan seçmeli5 puanOrta, zorluk 4 / 10
a{a} ve b{b} gerçek sayıları için a<b{a < b} olduğu biliniyor.I. a+7<b+7{a + 7 < b + 7}II. −5a<−5b{-5a < -5b}III. a2<b2{a^2 < b^2}Buna göre yukarıdaki önermelerden hangileri her zaman doğrudur?
  1. AYalnız I
  2. BYalnız II
  3. CI ve II
  4. DI ve III
  5. EI, II ve III
Çözümü göster

ADoğru cevap

  1. 1
    I. Eşitsizliğin iki tarafına aynı sayıyı eklemek sıralamayı korur, bu yüzden a+7<b+7{a + 7 < b + 7} her zaman doğrudur.
  2. 2
    II. Negatif bir sayıyla çarpmak eşitsizliğin yönünü çevirir: a<b{a < b} iken −5a>−5b{-5a > -5b} olur, önerme yanlıştır.
  3. 3
    III. a=−3{a = -3} ve b=2{b = 2} seçilirse a<b{a < b} olduğu hâlde a2=9{a^2 = 9} ve b2=4{b^2 = 4} bulunur, yani a2>b2{a^2 > b^2} olur; önerme yanlıştır.
  4. 4
    Buna göre her zaman doğru olan önerme Yalnız I'dir.

Yanlış şıklar neden yanlış?

  • B)Toplamanın sıralamayı koruduğunu görmez, yalnız çarpmaya bakar.
  • C)Toplamada geçerli olan kuralı çarpmaya olduğu gibi taşır; negatif çarpanın yönü çevirdiğini gözden kaçırır.
  • D)Kare almanın sıralamayı her zaman koruduğunu sanır; tabanın negatif olabileceğini düşünmez.
  • E)Üç önermeyi de doğru kabul eder, hiçbirini karşıt örnekle sınamaz.
Soru 6SözelÇoktan seçmeli5 puanOrta, zorluk 5 / 10
Bir laboratuvarda ısıtılan bir sıvının sıcaklığı (°C) deney boyunca kesintisiz olarak yükselmiştir. Şekilde sıvının deney boyunca aldığı sıcaklık değerlerinin kümesi sayı doğrusu üzerinde gösterilmiştir; uç değerler bu kümeye dahil değildir.Buna göre sıvının sıcaklığı için aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur?
Sıvının sıcaklık aralığı Eksi dört ile altı arasında ölçeklenmiş bir sayı doğrusu. Eksi üç ile beş arasındaki bölge, iki ucu da içi boş yuvarlakla gösterilerek işaretlenmiştir. -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
  1. ASıcaklık, işaretli bölgedeki her gerçek sayı değerini almıştır.
  2. BSıcaklık yalnız tam sayı değerler almıştır.
  3. CSıcaklık en çok yedi farklı değer almıştır.
  4. DSıcaklık hiçbir zaman sıfır dereceye ulaşmamıştır.
  5. ESıcaklığın aldığı değerlerin hepsi rasyonel sayıdır.
Çözümü göster
Soru 7İşlemÇoktan seçmeli5 puanOrta, zorluk 5 / 10
2<x<5{2 < x < 5} olmak üzere −3x+4{-3x + 4} ifadesinin alabileceği değerlerin oluşturduğu küme aşağıdakilerden hangisidir?
  1. A(−15,−6)\displaystyle (-15, -6)
  2. B(10,19)\displaystyle (10, 19)
  3. C(−27,−18)\displaystyle (-27, -18)
  4. D[−11,−2]\displaystyle [-11, -2]
  5. E(−11,−2)\displaystyle (-11, -2)
Çözümü göster
Soru 8KavramAçık uçlu10 puanOrta, zorluk 6 / 10
A={x:x=3k, k∈Z}{A = \{x : x = 3k, \ k \in \mathbb{Z}\}} kümesi veriliyor.Buna göre aşağıdaki soruları cevaplayınız.
  1. a)
    A{A} kümesinin en küçük üç pozitif elemanını yazınız.(2 puan)
  2. b)
    A{A} kümesinden alınan herhangi iki elemanın toplamının yine A{A} kümesinin elemanı olduğunu gösteriniz.(3 puan)
  3. c)
    A{A} kümesinin bölme işlemine göre kapalı olmadığını bir karşıt örnekle gösteriniz.(3 puan)
  4. ç)
    A{A} kümesi çıkarma işlemine göre kapalı mıdır? Cevabınızı gerekçesiyle yazınız.(2 puan)
Çözümü göster
Soru 9KavramÇoktan seçmeli5 puanOrta, zorluk 6 / 10
İrrasyonel sayılar kümesi R∖Q{\mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}} ile gösterilmek üzere aşağıdaki önermeler veriliyor.I. İki irrasyonel sayının toplamı her zaman irrasyoneldir.II. Bir rasyonel sayı ile bir irrasyonel sayının toplamı her zaman irrasyoneldir.III. İki irrasyonel sayının çarpımı her zaman irrasyoneldir.Buna göre yukarıdaki önermelerden hangileri yanlıştır?
  1. AYalnız I
  2. BYalnız III
  3. CI ve II
  4. DI ve III
  5. EI, II ve III
Çözümü göster
Soru 10SözelKısa cevap4 puanKolay, zorluk 2 / 10
Bir kırtasiye, bir defter için uygulayacağı kâr oranını 27{\frac{2}{7}} ile 57{\frac{5}{7}} oranlarının tam ortasında seçecektir.Buna göre seçilecek kâr oranı kaçtır?
Çözümü göster
Soru 11Yeni nesilAçık uçlu15 puanZor, zorluk 8 / 10
Bir bilgisayar oyununda bir karakterin yatay konumu x{x} ile gösterilmektedir. Şekilde karakterin hareket edebildiği bölge sayı doğrusu üzerinde gösterilmiştir; uç noktalar bölgeye dahil değildir.Buna göre aşağıdaki soruları cevaplayınız.
Karakterin hareket edebildiği bölge Eksi beş ile üç arasında ölçeklenmiş bir sayı doğrusu. Eksi dört ile iki arasındaki bölge, iki ucu da içi boş yuvarlakla gösterilerek işaretlenmiştir. -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3
  1. a)
    Karakterin konumunun alabileceği tam sayı değerlerini yazınız.(4 puan)
  2. b)
    Karakterin konumu kaç farklı gerçek sayı değeri alabilir? Cevabınızı gerekçelendiriniz.(3 puan)
  3. c)
    Karakterin puanı 2x+5{2x + 5} kuralıyla hesaplanmaktadır. Puanın alabileceği değerlerin aralığını yazınız.(4 puan)
  4. ç)
    Bir başka bölümde puan −3x{-3x} kuralıyla hesaplanmaktadır. Puanın alabileceği değerlerin aralığını yazınız ve kullandığınız sıralama özelliğini belirtiniz.(4 puan)
Çözümü göster
Soru 12KavramÇoktan seçmeli7 puanZor, zorluk 7 / 10
Aşağıda bir önerme ve bu önermenin ispatı verilmiştir.Önerme: x{x} ve y{y} gerçek sayılar olmak üzere x<y{x < y} ise x<x+y2<y{x < \frac{x + y}{2} < y} olur.Hipotez: x<y{x < y} olsun.Hüküm: x<x+y2<y{x < \frac{x + y}{2} < y} olur.1. adım: x<y{x < y} eşitsizliğinin iki tarafına x{x} eklenerek 2x<x+y{2x < x + y} elde edilir.2. adım: Her iki taraf 2{2} ile bölünerek x<x+y2{x < \frac{x + y}{2}} elde edilir.3. adım: x<y{x < y} eşitsizliğinin iki tarafına y{y} eklenerek x+y<2y{x + y < 2y} elde edilir.4. adım: Her iki taraf 2{2} ile bölünür ve yön çevrilerek x+y2>y{\frac{x + y}{2} > y} elde edilir.5. adım: 2 ve 4. adımlarda elde edilen eşitsizliklerden hükme ulaşılır.Buna göre ispatın hangi adımında ilk defa hata yapılmıştır?
  1. A1. adım
  2. B2. adım
  3. C3. adım
  4. D4. adım
  5. E5. adım
Çözümü göster
Soru 13KavramÇoktan seçmeli7 puanZor, zorluk 7 / 10
Şekilde gerçek sayılar kümesinin bazı alt kümeleri ve aralarındaki kapsama ilişkisi gösterilmiştir. Şekildeki bölgeler 1{1}'den 4{4}'e kadar numaralandırılmıştır; 4{4} numaralı bölge irrasyonel sayıları göstermektedir.Buna göre 16−25{\sqrt{16} - \sqrt{25}} ve 2⋅8{\sqrt{2} \cdot \sqrt{8}} işlemlerinin sonuçları sırasıyla hangi bölgelerde yer alır?
Sayı kümelerinin kapsama şeması İç içe dört dikdörtgen. En dıştaki gerçek sayılar kümesi R, içinde rasyonel sayılar Q, onun içinde tam sayılar Z, en içte doğal sayılar N. N bölgesi 1, Z ile N arasındaki bölge 2, Q ile Z arasındaki bölge 3, Q kutusunun dışında kalan irrasyonel sayılar bölgesi 4 ile numaralanmıştır. R Q Z N 1 2 3 4
  1. A1 ve 2
  2. B2 ve 1
  3. C2 ve 4
  4. D3 ve 1
  5. E4 ve 4
Çözümü göster
Soru 14KavramÇoktan seçmeli7 puanZor, zorluk 7 / 10
Şekilde a{a}, b{b} ve c{c} gerçek sayılarının sayı doğrusu üzerindeki yerleri gösterilmiştir.I. 1b>1c{\frac{1}{b} > \frac{1}{c}}II. 1a<1b{\frac{1}{a} < \frac{1}{b}}III. a⋅b<a⋅c{a \cdot b < a \cdot c}Buna göre yukarıdaki önermelerden hangileri doğrudur?
a, b ve c sayılarının sayı doğrusundaki yerleri Eksi beş ile beş arasında ölçeklenmiş bir sayı doğrusu. a noktası eksi üçte, b noktası birde, c noktası dörtte işaretlenmiştir. -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 a b c
  1. AYalnız I
  2. BYalnız II
  3. CI ve II
  4. DI ve III
  5. EI, II ve III
Çözümü göster
Soru 15Yeni nesilAçık uçlu20 puanİleri, zorluk 10 / 10
Şekilde bir kare ile bir dikdörtgen verilmiştir; kenar uzunlukları (cm) şekil üzerinde yazılıdır.Buna göre aşağıdaki soruları cevaplayınız.
Bir kare ve bir dikdörtgen Solda bir kenarının uzunluğu kök 18 santimetre olan bir kare, sağda kenar uzunlukları kök 2 santimetre ve kök 8 santimetre olan bir dikdörtgen vardır. Ölçüler şekil üzerinde yazılıdır. √18 cm √8 cm √2 cm
  1. a)
    Karenin alanını santimetrekare cinsinden bulunuz.(4 puan)
  2. b)
    Dikdörtgenin alanını santimetrekare cinsinden bulunuz.(5 puan)
  3. c)
    Bulduğunuz iki alanın hangi sayı kümesinin elemanı olduğunu yazınız ve bu sonucun irrasyonel sayılar kümesinin hangi özelliğiyle ilgili olduğunu açıklayınız.(5 puan)
  4. ç)
    Karenin çevresi ile dikdörtgenin çevresinin toplamını santimetre cinsinden bulunuz. Bu toplam hangi sayı kümesinin elemanıdır?(6 puan)
Çözümü göster
Soru 16Yeni nesilÇoktan seçmeli9 puanİleri, zorluk 9 / 10
Şekilde dik kenarlarının uzunlukları (cm) verilen bir dik üçgen gösterilmiştir.Buna göre aşağıdakilerden hangisi yanlıştır?
İkizkenar dik üçgen Dik açısı sol altta olan bir dik üçgen. İki dik kenarının uzunluğu da kök 8 santimetredir; dik açı küçük bir kare ile gösterilmiştir. √8 cm √8 cm
  1. AHipotenüsün uzunluğu bir doğal sayıdır.
  2. BÜçgenin alanının sayı değeri bir rasyonel sayıdır.
  3. CÜçgenin çevresinin uzunluğu irrasyonel bir sayıdır.
  4. DHipotenüsün uzunluğu ile alanın sayı değeri birbirine eşittir.
  5. Eİki dik kenarın uzunlukları toplamı bir rasyonel sayıdır.
Çözümü göster
Soru 17Yeni nesilÇoktan seçmeli9 puanİleri, zorluk 9 / 10
Şekilde sayı doğrusu üzerinde işaretlenen A{A} noktası 2{\sqrt{2}}, B{B} noktası ise 50{\sqrt{50}} sayısına karşılık gelmektedir.Buna göre A{A} ile B{B} noktaları arasında kalan bölgede, n{n} bir tam sayı olmak üzere n{\sqrt{n}} biçiminde yazılabilen kaç tane irrasyonel sayı vardır?
A ve B noktalarının sayı doğrusundaki yerleri Sıfır ile sekiz arasında ölçeklenmiş bir sayı doğrusu. A noktası 1 ile 2 arasında, B noktası 7 ile 8 arasında işaretlenmiştir. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 A B
  1. A35\displaystyle 35
  2. B40\displaystyle 40
  3. C41\displaystyle 41
  4. D42\displaystyle 42
  5. E47\displaystyle 47
Çözümü göster
Soru 18Yeni nesilAçık uçlu20 puanİleri, zorluk 10 / 10
Bir fizik deneyinde ölçülen bir büyüklüğün alabileceği değerlerin kümesi A{A}, şekilde sayı doğrusu üzerinde gösterilmiştir. Ayrıca B={x∈Z:∣x−3∣≤4}{B = \{x \in \mathbb{Z} : |x - 3| \le 4\}} kümesi veriliyor.Buna göre aşağıdaki soruları cevaplayınız.
A kümesinin sayı doğrusunda gösterimi Bir ile sekiz arasında ölçeklenmiş bir sayı doğrusu. A kümesi ikiden yediye kadar olan bölgeyi kaplar; sol uçta içi dolu, sağ uçta içi boş yuvarlak vardır. 1 2 3 4 5 6 7 8 A
  1. a)
    B{B} kümesini liste yöntemiyle yazınız.(4 puan)
  2. b)
    A∩B{A \cap B} kümesini liste yöntemiyle yazınız.(4 puan)
  3. c)
    A{A} kümesinde kaç tane gerçek sayı vardır? Cevabınızı gerçek sayıların hangi özelliğine dayandırdığınızı belirterek açıklayınız.(4 puan)
  4. ç)
    40{\sqrt{40}} sayısının A{A} kümesinin elemanı olup olmadığını, bu sayının hangi ardışık iki tam sayı arasında olduğunu göstererek belirleyiniz.(4 puan)
  5. d)
    A{A} kümesinin çıkarma işlemine göre kapalı olup olmadığını bir örnekle inceleyiniz.(4 puan)
Çözümü göster
Soru 19SözelÇoktan seçmeli3 puanKolay, zorluk 3 / 10
Bir büyüklüğün alabileceği bütün değerleri yazmak için bazen doğal sayılar yeterlidir, bazen daha geniş bir sayı kümesine ihtiyaç duyulur.Aşağıdaki büyüklüklerden hangisinin alabileceği bütün değerleri yazmak için tam sayılar kümesi yeterli olduğu hâlde doğal sayılar kümesi yeterli değildir?
  1. ABodrum katlı bir binanın kat numaraları
  2. BBir okuldaki öğrenci sayısı
  3. CBir pizzadan bir kişiye düşen pay
  4. DBir ürünün lira cinsinden fiyatı
  5. EKare bir karonun köşegen uzunluğu
Çözümü göster
Soru 20KavramÇoktan seçmeli3 puanKolay, zorluk 3 / 10
Aşağıdaki önermelerin hepsi doğrudur.Buna göre hangisinin doğru olduğunu göstermek için tek bir örnek vermek yeterlidir?
  1. AHer tam sayı bir rasyonel sayıdır.
  2. Bİki çift sayının toplamı her zaman çifttir.
  3. CBazı irrasyonellerin karesi rasyoneldir.
  4. DBir tam sayının karesi negatif olamaz.
  5. EHer rasyonel sayının karesi rasyoneldir.
Çözümü göster
Soru 21KavramÇoktan seçmeli3 puanKolay, zorluk 3 / 10
Her a,b∈A{a, b \in A} için a⋅b∈A{a \cdot b \in A} oluyorsa A{A} kümesi çarpma işlemine göre kapalıdır.Buna göre aşağıdaki kümelerden hangisi çarpma işlemine göre kapalıdır?
  1. A{0,1,2}\displaystyle \{0, 1, 2\}
  2. B{−1,0,1}\displaystyle \{-1, 0, 1\}
  3. C{1,2,4}\displaystyle \{1, 2, 4\}
  4. D{0,1,3}\displaystyle \{0, 1, 3\}
  5. E{−1,1,2}\displaystyle \{-1, 1, 2\}
Çözümü göster
Soru 22SözelKısa cevap4 puanKolay, zorluk 3 / 10
Ece, 25{\frac{2}{5}} ile 35{\frac{3}{5}} arasına yerleştirilebilecek rasyonel sayıları kesirlerin paydasını büyüterek arıyor. Paydası 10{10} olan kesirlerle bu iki sayı arasında 1{1} sayı, paydası 20{20} olan kesirlerle 3{3} sayı buluyor.Buna göre Ece paydası 40{40} olan kesirlerle bu iki sayı arasında kaç sayı bulur?
Çözümü göster
Soru 23SözelÇoktan seçmeli5 puanOrta, zorluk 4 / 10
Bir koşu kulübünde Ada ile Efe'nin 5{5} kilometrelik koşu dereceleri dakika cinsinden karşılaştırılıyor. Ada'nın derecesi Efe'nin derecesinden büyük değildir. Efe'nin derecesi de Ada'nın derecesinden büyük değildir.Buna göre iki derecenin eşit olduğu sonucuna sıralama bağıntısının hangi özelliği kullanılarak ulaşılır?
  1. AYansıma\displaystyle \text{Yansıma}
  2. BKars¸ılas¸tırılabilirlik\displaystyle \text{Karşılaştırılabilirlik}
  3. CGec¸is¸me\displaystyle \text{Geçişme}
  4. DToplamayla korunma
  5. ETers simetri
Çözümü göster
Soru 24KavramÇoktan seçmeli5 puanOrta, zorluk 6 / 10
Ece, N{\mathbb{N}}, Z{\mathbb{Z}}, Q{\mathbb{Q}} ve R{\mathbb{R}} sayı kümelerinin bazı özelliklerini tabloya yazıyor. Tabloda N, Z, Q ve R harfleri bu dört kümeyi gösterir. İlk dört satırda "var" kümenin o işleme göre kapalı olduğunu, "yok" kapalı olmadığını; son satırda "var" kümede arada olma özelliğinin bulunduğunu, "yok" bulunmadığını bildirir. Bölme işleminde bölen sıfırdan farklı alınmıştır.Ece'nin tablosundaki hücrelerden yalnız biri yanlıştır.Buna göre yanlış olan hücre hangisidir?
Ece'nin kapalılık ve arada olma tablosu Beş satırlı, dört sütunlu tablo. Sütunlar N, Z, Q ve R kümeleridir. Toplama ve çarpma satırlarında dört küme de var. Çıkarma satırında N yok, öteki üçü var. Bölme satırında N, Z ve Q yok, R var. Arada olma satırında N ve Z yok, Q ve R var. N Z Q R Toplama var var var var Çıkarma yok var var var Çarpma var var var var Bölme yok yok yok var Arada olma yok yok var var
  1. AÇıkarma satırı, N sütunu
  2. BBölme satırı, Z sütunu
  3. CArada olma satırı, Z sütunu
  4. DBölme satırı, Q sütunu
  5. EBölme satırı, R sütunu
Çözümü göster
Soru 25İşlemÇoktan seçmeli5 puanOrta, zorluk 5 / 10
7{\sqrt{7}} ile 8{\sqrt{8}} sayıları arasında bulunan rasyonel sayı aşağıdakilerden hangisidir?
  1. A2710\displaystyle \dfrac{27}{10}
  2. B152\displaystyle \dfrac{15}{2}
  3. C152\displaystyle \sqrt{\dfrac{15}{2}}
  4. D52\displaystyle \dfrac{5}{2}
  5. E3\displaystyle 3
Çözümü göster
Soru 26KavramÇoktan seçmeli5 puanOrta, zorluk 6 / 10
Ece, "Bir rasyonel sayı ile bir irrasyonel sayının çarpımı her zaman irrasyoneldir." varsayımında bulunuyor ve varsayımını tablodaki örneklerle karşılaştırıyor.Ece, varsayımına rasyonel sayıyla ilgili bir koşul ekleyerek onu her zaman doğru olan bir genellemeye çevirmek istiyor. Tablodaki çarpımı irrasyonel olan satırların hepsi bu genellemenin içinde kalmalıdır.Buna göre Ece hangi koşulu eklemelidir?
Rasyonel ve irrasyonel sayıların çarpımları Üç sütunlu tablo: rasyonel sayı, irrasyonel sayı ve çarpım. Satırlar: 2 ile kök 3, çarpım 2 kök 3; 0 ile kök 7, çarpım 0; eksi 5 ile kök 2, çarpım eksi 5 kök 2; 3 ile pi, çarpım 3 pi. Rasyonel İrrasyonel Çarpım 2 √3 2√3 0 √7 0 −5 √2 −5√2 3 π 3π
  1. ARasyonel sayı pozitif olmalıdır.
  2. BRasyonel sayı sıfırdan farklı olmalıdır.
  3. CRasyonel sayı bir tam sayı olmalıdır.
  4. DRasyonel sayı negatif olmamalıdır.
  5. ERasyonel sayı birden büyük olmalıdır.
Çözümü göster
Soru 27KavramÇoktan seçmeli5 puanOrta, zorluk 5 / 10
Bir sınıfta iki önerme tartışılıyor.P: İki irrasyonel sayının farkı her zaman irrasyoneldir.R: İki rasyonel sayının toplamı her zaman rasyoneldir.Ali: 5−5=0{\sqrt{5} - \sqrt{5} = 0} örneğini veriyor.Bora: 12+13=56{\frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{5}{6}} ve 4+15=215{4 + \frac{1}{5} = \frac{21}{5}} örneklerini veriyor.Cem: a{a}, b{b}, c{c}, d{d} tam sayılar, b≠0{b \neq 0} ve d≠0{d \neq 0} olmak üzere ab+cd=a⋅d+b⋅cb⋅d{\dfrac{a}{b} + \dfrac{c}{d} = \dfrac{a \cdot d + b \cdot c}{b \cdot d}} yazıyor. Bu kesrin payının bir tam sayı, paydasının sıfırdan farklı bir tam sayı olduğunu belirtiyor.I. Ali'nin örneği P önermesinin yanlış olduğunu göstermeye yeter.II. Bora'nın örnekleri R önermesinin ispatıdır.III. Cem'in yazdıkları R önermesinin ispatıdır.Buna göre yukarıdaki ifadelerden hangileri doğrudur?
  1. AYalnız I
  2. BYalnız III
  3. CI ve II
  4. DI ve III
  5. EI, II ve III
Çözümü göster
Soru 28KavramÇoktan seçmeli5 puanOrta, zorluk 4 / 10
Deniz bir sayı kümesi için şu varsayımda bulunuyor: "Kümeden hangi sayıyı seçersem seçeyim, kümede o sayıdan büyük olan sayıların en küçüğü vardır." Örneğin Z{\mathbb{Z}} kümesinde 4{4}'ten büyük olan sayıların en küçüğü 5{5}'tir.Buna göre Deniz'in varsayımı doğal sayılar, tam sayılar, rasyonel sayılar ve gerçek sayılar kümelerinden hangilerinde doğrudur?
  1. AYalnız doğal sayılarda
  2. BRasyonel ve gerçek sayılarda
  3. CDoğal, tam ve rasyonel sayılarda
  4. DDoğal ve tam sayılarda
  5. EDört kümenin hepsinde
Çözümü göster
Soru 29KavramÇoktan seçmeli5 puanOrta, zorluk 6 / 10
Ece, 1{1}'den büyük sayılar için x<x<x2{\sqrt{x} < x < x^2} sıralamasının doğru olduğunu biliyor. Aynı sıralamanın, şekilde sayı doğrusu üzerinde yeri gösterilen x{x} sayısı için de geçerli olduğunu varsayıyor.Buna göre şekildeki x{x} sayısı için doğru sıralama aşağıdakilerden hangisidir?
x sayısının sayı doğrusundaki yeri Eksi ikiden üçe kadar numaralı sayı doğrusu. x noktası sıfır ile bir arasında, bire sıfırdan biraz daha yakın bir yerde işaretlenmiştir. -2 -1 0 1 2 3 x
  1. Ax2<x<x<1x\displaystyle x^2 < x < \sqrt{x} < \dfrac{1}{x}
  2. Bx<x<x2<1x\displaystyle \sqrt{x} < x < x^2 < \dfrac{1}{x}
  3. Cx<x2<x<1x\displaystyle x < x^2 < \sqrt{x} < \dfrac{1}{x}
  4. D1x<x2<x<x\displaystyle \dfrac{1}{x} < x^2 < x < \sqrt{x}
  5. Ex2<x<x<1x\displaystyle x^2 < \sqrt{x} < x < \dfrac{1}{x}
Çözümü göster
Soru 30İşlemKısa cevap6 puanOrta, zorluk 6 / 10
Şekilde a{a} ve b{b} gerçek sayılarının alabileceği değerler sayı doğrusu üzerinde gösterilmiştir; uç noktalar dahil değildir. a{a} ile b{b} birbirinden bağımsız olarak değişmektedir.Buna göre a−b{a - b} farkının alabileceği değerlerin kümesini aralık olarak yazınız.
a ve b sayılarının alabileceği değerler Eksi beşten dörde kadar numaralı sayı doğrusu. Üstteki a bandı eksi 2 ile 3 arasını, alttaki b bandı eksi 4 ile eksi 1 arasını kaplar; dört uç da içi boş yuvarlakla gösterilmiştir. -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 a b
Çözümü göster
Soru 31Yeni nesilÇoktan seçmeli5 puanOrta, zorluk 6 / 10
Kenar uzunluğu 1{1} metre olan kare biçimli bir masa örtüsünün bir köşegeni, en küçük bölmesi 1{1} milimetre olan bir şerit metreyle ölçülüyor ve 141,4{141{,}4} santimetre okunuyor. Şekilde örtü ve ölçülen köşegen gösterilmiştir.I. Şerit metrede okunan 141,4{141{,}4} sayısı bir rasyonel sayıdır.II. Köşegenin gerçek uzunluğu metre cinsinden irrasyonel bir sayıdır.III. Bölmeleri daha küçük bir ölçüm aleti kullanılırsa köşegenin gerçek uzunluğu sonlu basamaklı bir ondalık sayıyla tam olarak yazılabilir.Buna göre yukarıdaki ifadelerden hangileri doğrudur?
Kare biçimli masa örtüsü ve köşegeni Kenar uzunluğu 1 metre olan bir kare ve bir köşegeni. Alt ve sağ kenarın yanında 1 m yazar; sağ alt köşede dik açı işareti vardır. 1 m 1 m
  1. AYalnız I
  2. BYalnız II
  3. CI ve II
  4. DI ve III
  5. EI, II ve III
Çözümü göster
Soru 32KavramÇoktan seçmeli7 puanZor, zorluk 7 / 10
Bir öğrenci aşağıdaki önermeyi ispatladığını düşünüyor.Önerme: a{a} ve b{b} sıfırdan farklı gerçek sayılar olmak üzere a<b{a < b} ise 1b<1a{\frac{1}{b} < \frac{1}{a}} olur.1. adım: İki tarafa −a{-a} eklenirse 0<b−a{0 < b - a} olur.2. adım: İki taraf a⋅b{a \cdot b} ile bölünürse 0<b−aa⋅b{0 < \frac{b - a}{a \cdot b}} olur.3. adım: b−aa⋅b=1a−1b{\frac{b - a}{a \cdot b} = \frac{1}{a} - \frac{1}{b}} olduğundan 0<1a−1b{0 < \frac{1}{a} - \frac{1}{b}} olur.4. adım: İki tarafa 1b{\frac{1}{b}} eklenirse 1b<1a{\frac{1}{b} < \frac{1}{a}} olur.Buna göre öğrencinin ispatı için aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
  1. Aİlk hata 1. adımdadır.
  2. Bİlk hata 2. adımdadır.
  3. Cİlk hata 3. adımdadır.
  4. Dİlk hata 4. adımdadır.
  5. Eİspat hatasızdır.
Çözümü göster
Soru 33KavramÇoktan seçmeli7 puanZor, zorluk 8 / 10
K={x:x=4k+1, k∈Z}{K = \{x : x = 4k + 1, \ k \in \mathbb{Z}\}} kümesi veriliyor. Bir öğrenci K{K} kümesinden seçtiği sayılarla tablodaki işlemleri yapıyor ve şu varsayımlarda bulunuyor.I. K{K} kümesi çıkarma işlemine göre kapalıdır.II. K{K} kümesi toplama işlemine göre kapalı değildir.III. K{K} kümesi çarpma işlemine göre kapalıdır.Buna göre öğrencinin varsayımlarından hangileri doğrudur?
K kümesinden seçilen sayılarla yapılan işlemler Dört sütunlu tablo: x, y, x artı y, x çarpı y. Satırlar: 1, 5, 6, 5; 9, eksi 3, 6, eksi 27; 5, 13, 18, 65. x y x + y x · y 1 5 6 5 9 −3 6 −27 5 13 18 65
  1. AYalnız II
  2. BYalnız III
  3. CI ve II
  4. DI ve III
  5. EII ve III
Çözümü göster
Soru 34SözelKısa cevap8 puanZor, zorluk 7 / 10
Bir boyacı mavi ve beyaz boyayı eş büyüklükteki kovalarla, kovaları tamamen boşaltarak karıştırıyor. İstediği açık mavi tonu elde etmek için mavi boya kovalarının sayısının toplam kova sayısına oranı 13{\frac{1}{3}}'den büyük, 25{\frac{2}{5}}'den küçük olmalıdır.Buna göre boyacı bu tonu elde etmek için en az kaç kova boya kullanmalıdır?
Çözümü göster
Soru 35Yeni nesilÇoktan seçmeli7 puanZor, zorluk 8 / 10
Şekildeki yapı dik üçgenlerin art arda eklenmesiyle çizilmiştir. İlk üçgenin iki dik kenarı da 1{1} birimdir. Sonraki her üçgenin bir dik kenarı bir önceki üçgenin hipotenüsü, öteki dik kenarı 1{1} birimdir. Şekilde ilk beş üçgen görülmektedir.Yapı aynı kuralla 15{15} üçgene tamamlanırsa bu 15{15} üçgenin hipotenüslerinden kaç tanesinin uzunluğu rasyonel sayı olur?
Art arda eklenen dik üçgenler Ortak bir köşeden çıkan beş dik üçgen art arda eklenmiştir. İlk üçgenin iki dik kenarı 1 birimdir; sonraki her üçgenin bir dik kenarı önceki üçgenin hipotenüsü, öteki dik kenarı 1 birimdir. Dış kenarlarda 1 yazar ve dik açılar işaretlidir. 1 1 1 1 1 1
  1. A0\displaystyle 0
  2. B2\displaystyle 2
  3. C3\displaystyle 3
  4. D4\displaystyle 4
  5. E12\displaystyle 12
Çözümü göster
Soru 36KavramAçık uçlu15 puanZor, zorluk 7 / 10
Şekildeki büyük karenin kenar uzunluğu b{b} birimdir. İçindeki dikdörtgenin kenar uzunlukları a{a} ve b{b} birim, en küçük karenin kenar uzunluğu a{a} birimdir ve a{a} sayısı b{b} sayısından küçüktür. Aşağıdaki önerme veriliyor.Önerme: a{a} ve b{b} gerçek sayılar olmak üzere 0<a<b{0 < a < b} ise a2<b2{a^2 < b^2} olur.Buna göre aşağıdaki soruları cevaplayınız.
Kenarı b olan kare, içinde a ve b kenarlı dikdörtgen ile a kenarlı kare Kenar uzunluğu b olan büyük bir kare; üst ve sağ kenarında b yazar. Bir düşey çizgi solda kenarları a ve b olan bir dikdörtgen ayırır; bu dikdörtgenin altında yatay bir çizgi kenarı a olan bir kare ayırır. Küçük karenin alt ve sol kenarında a yazar. a a b b
  1. a)
    a=1,5{a = 1{,}5} ve b=2{b = 2} için b2−a2{b^2 - a^2} farkını bulunuz ve önermenin bu örnekte doğru olduğunu gösteriniz.(2 puan)
  2. b)
    Önermeyi sıralama özellikleriyle ispatlayınız. Her adımda kullandığınız özelliğin adını yazınız.(5 puan)
  3. c)
    Önermedeki 0<a{0 < a} koşulu kaldırılırsa önermenin her zaman doğru olmadığını bir karşıt örnekle gösteriniz.(4 puan)
  4. ç)
    (b) maddesindeki ispatın hangi adımında 0<a{0 < a} koşulunun kullanıldığını belirtiniz. (c) maddesindeki örnekte bu adımın neden geçersiz olduğunu açıklayınız.(4 puan)
Çözümü göster
Soru 37Yeni nesilAçık uçlu20 puanİleri, zorluk 10 / 10
Ece, 2{\sqrt{2}} ile 3{\sqrt{3}} arasında kaç tane ondalık sayı bulunduğunu merak ediyor. Önce virgülden sonra en çok bir basamaklı, sonra en çok iki ve en çok üç basamaklı sayıları deniyor ve bulduklarını tabloya yazıyor. Tabloda n{n} virgülden sonraki en çok basamak sayısını, "Sayı adedi" ise 2{\sqrt{2}} ile 3{\sqrt{3}} arasında kalan bu türden sayıların adedini gösterir.Buna göre aşağıdaki soruları cevaplayınız.
Kök 2 ile kök 3 arasındaki ondalık sayıların adedi İki sütunlu tablo: n ve sayı adedi. n = 1 için 3, n = 2 için soru işareti, n = 3 için 318 yazar. n Sayı adedi 1 3 2 ? 3 318
  1. a)
    Tablodaki n=2{n = 2} satırında soru işaretiyle gösterilen sayı adedini bulunuz.(6 puan)
  2. b)
    Tablodaki sayı adetleri n{n} büyüdükçe nasıl değişmektedir? Buna dayanarak 2{\sqrt{2}} ile 3{\sqrt{3}} arasındaki rasyonel sayıların sayısı hakkında bir genelleme yapınız.(4 puan)
  3. c)
    Ece, "Tablonun her satırındaki sayı adedi bir doğal sayıdır; o hâlde 2{\sqrt{2}} ile 3{\sqrt{3}} arasında sonlu sayıda rasyonel sayı vardır." diyor. Ece'nin akıl yürütmesini değerlendiriniz.(5 puan)
  4. ç)
    2{\sqrt{2}} ile 3{\sqrt{3}} arasında bir irrasyonel sayı yazınız ve bu sayının irrasyonel olduğunu gerekçelendiriniz.(5 puan)
Çözümü göster
Soru 38Yeni nesilAçık uçlu20 puanİleri, zorluk 10 / 10
Kenar uzunluğu 1{1} birim olan kare karolarla döşenmiş bir zeminde yalnız karoların kenarları ve köşegenleri üzerinde yürünebilmektedir. Bir karonun köşegeninin uzunluğu 2{\sqrt{2}} birimdir. Şekilde A{A} noktasından B{B} noktasına giden bir yol gösterilmiştir.K={x:x=a+b2, a,b∈Z}{K = \{x : x = a + b\sqrt{2}, \ a, b \in \mathbb{Z}\}} kümesi veriliyor.Buna göre aşağıdaki soruları cevaplayınız.
Karolu zeminde A'dan B'ye giden yol Beş sütun ve üç satır kare karodan oluşan zemin. Yol A'dan başlar: bir karo kenarı sağa, bir köşegen sağ yukarı, bir kenar yukarı, bir köşegen sağ yukarı ve bir kenar sağa giderek B'de biter. A B
  1. a)
    Şekildeki yolun uzunluğunu a+b2{a + b\sqrt{2}} biçiminde yazınız.(4 puan)
  2. b)
    K{K} kümesinin toplama işlemine göre kapalı olduğunu gösteriniz.(4 puan)
  3. c)
    K{K} kümesinin çarpma işlemine göre kapalı olduğunu gösteriniz.(6 puan)
  4. ç)
    Ece, "1:(1+2)=2−1{1 : (1 + \sqrt{2}) = \sqrt{2} - 1} sonucu K{K} kümesinin elemanıdır; o hâlde K{K} kümesi bölme işlemine göre de kapalıdır." diyor. Ece'nin örneğini doğrulayınız ve vardığı sonucu değerlendiriniz.(6 puan)
Çözümü göster

Ders kılavuzu

Dersi açmak için çengel sorular, kavramı somutlaştıran benzetmeler ve öğrencilerin sık yaptığı yanlışlar.

Derse giriş: çengel sorular

  • Sayı kümeleri neden birer birer icat edildi?

    Tahtaya dört işlem yazın ve doğal sayılarla başlayın. 3+5{3 + 5} doğal sayıdır, 3⋅5{3 \cdot 5} doğal sayıdır. Peki 3−5{3 - 5}? Doğal sayılarda cevabı yok. İnsanlar tam sayıları tam da bunun için yazdı. Sonra 3:5{3 : 5} soruldu, tam sayılarda cevabı yoktu; rasyonel sayılar doğdu. Sonra bir karenin köşegeni soruldu, rasyonel sayılarda cevabı yoktu. Bu bölümün tek büyük fikri budur: bir sayı kümesi, bir işlemin sonucunu dışarı taşırdığında yeni bir küme gerekir. Adı kapalılıktır.

    3−5∉N,3:5∉Z,2∉Q\displaystyle 3 - 5 \notin \mathbb{N}, \qquad 3 : 5 \notin \mathbb{Z}, \qquad \sqrt{2} \notin \mathbb{Q}

  • 5 ile 6 arasında kaç sayı var?

    Önce "doğal sayı olarak" diye sorun: cevap sıfır. Sonra "rasyonel sayı olarak" diye sorun ve öğrencilerden sayı isteyin. Beş tane geldikten sonra "bitti mi?" diye sorun. Bitmez. Aynı soru iki kümede iki farklı cevap veriyorsa, fark kümelerin bir özelliğindedir: arada olma.

    5<5,5<5,75<5,9<6\displaystyle 5 < 5{,}5 < 5{,}75 < 5{,}9 < 6

  • Bir örnek yeter mi, bin örnek yeter mi?

    Tahtaya "bütün asal sayılar tektir" yazın. Öğrenciler 3, 5, 7, 11 diye onlarca örnek versin. Sonra 2{2} yazın ve durun. Tek bir örnek bir iddiayı yıkmaya yeter, ama bin örnek onu kanıtlamaya yetmez. Bu asimetri bu bölümün ikinci büyük fikridir; kapalılık iddialarını da böyle sınayacağız.

    2  asaldır ve c¸ifttir\displaystyle 2 \ \ \text{asaldır ve çifttir}

Benzetmeler

  • Kapalılık

    Kapalı bir kutu düşünün: içinden iki şey alıp bir işleme sokuyorsunuz ve sonuç yine kutunun içine düşüyor. Kutu o işleme göre kapalıdır. Tam sayılar kutusu toplama, çıkarma ve çarpmaya kapalıdır; bölmeye kapalı değildir, çünkü 3:2{3 : 2} sonucu kutunun dışına düşer. Kapalılık kutunun büyüklüğüyle değil, işlemin sonucunun nereye düştüğüyle ilgilidir.

  • Arada olma

    Merdiven ile rampa farkı. Tam sayılar bir merdivendir: iki basamak arasına üçüncü bir basamak koyamazsınız, 3 ile 4 arasında tam sayı yoktur. Rasyonel sayılar ise rampadır: nereye parmağınızı koysanız iki nokta arasında bir nokta daha vardır. Merdivende adım atarsınız, rampada kayarsınız.

  • Karşıt örnek

    "Bu sınıftaki herkes gözlüklüdür" iddiasını çürütmek için sınıfı saymanız gerekmez; gözlüksüz bir kişi göstermeniz yeter. Ama "herkes gözlüklüdür" demek için tek tek herkese bakmanız gerekir. Matematikte de çürütmek ucuz, kanıtlamak pahalıdır.

  • Sıralamada yön çevrilmesi

    Sayı doğrusunu bir ayna gibi düşünün. Negatif bir sayıyla çarpmak, bütün sayıları sıfırın öbür tarafına yansıtmaktır; aynada sağdaki sola geçer. Bu yüzden 2<5{2 < 5} iken −2>−5{-2 > -5} olur. Eşitsizliğin yönü değişmez diye direten öğrenciye aynayı hatırlatın.

Sık yapılan yanlışlar

  • İki irrasyonel sayının toplamı da çarpımı da her zaman irrasyoneldir.

    İrrasyonel sayılar kümesi toplama ve çarpmaya kapalı değildir. 2+(−2)=0{\sqrt{2} + (-\sqrt{2}) = 0} rasyoneldir; 2⋅8=4{\sqrt{2} \cdot \sqrt{8} = 4} rasyoneldir. Öğrenci Q′{\mathbb{Q}'} kümesini Q{\mathbb{Q}} gibi davranan bir küme sanıyor, oysa Q′{\mathbb{Q}'} hiçbir işleme kapalı değildir.

    İddiayı tahtaya yazdırın, sonra tek bir karşıt örnekle yıkın. Sonra tersini sordurtun: "iki irrasyonelin toplamı ne zaman rasyonel olur?" Eşlenik kavramı buradan doğar ve MAT.9.1.1'e bağlanır.

    2⋅8=16=4∈Q\displaystyle \sqrt{2} \cdot \sqrt{8} = \sqrt{16} = 4 \in \mathbb{Q}

  • Z{\mathbb{Z}} kümesinde arada olma yoktur, o hâlde −3{-3} ile 5{5} arasında tam sayı yoktur.

    Arada olma özelliği her sayı çifti için istenir. −3{-3} ile 5{5} arasında yedi tane tam sayı vardır, ama 3{3} ile 4{4} arasında bir tane bile yoktur. Tek bir çiftin başarısız olması özelliğin yokluğu için yeterlidir; özelliğin adı "bazı sayılar arasında" değil "herhangi iki sayı arasında"dır.

    Tanımı kelime kelime okutun ve "herhangi" sözcüğünün altını çizdirin. Sonra ardışık iki tam sayı seçtirin; öğrenci karşıt örneği kendisi bulsun.

    3<x<4,x∈Z ⇒ x  yoktur\displaystyle 3 < x < 4, \quad x \in \mathbb{Z} \ \Rightarrow \ x \ \ \text{yoktur}

  • a<b{a < b} ise her zaman a⋅c<b⋅c{a \cdot c < b \cdot c} olur.

    Kural yalnız c>0{c > 0} için geçerlidir. c<0{c < 0} ise yön çevrilir ve c=0{c = 0} ise iki taraf eşitlenir. Öğrenci toplamada işleyen kuralı (a<b⇒a+c<b+c{a < b \Rightarrow a + c < b + c}, her c{c} için doğru) çarpmaya olduğu gibi taşıyor.

    İki kuralı yan yana yazın: toplamada c{c}'ye koşul yok, çarpmada var. Farkın nereden geldiğini c=−1{c = -1} ile gösterin; −1{-1} ile çarpmak sayı doğrusunda yansıtmaktır.

    2<5  ama 2⋅(−3)>5⋅(−3)\displaystyle 2 < 5 \ \ \text{ama} \ 2 \cdot (-3) > 5 \cdot (-3)

  • a<b{a < b} ise 1a>1b{\dfrac{1}{a} > \dfrac{1}{b}} her zaman doğrudur.

    Kural a{a} ile b{b}'nin aynı işaretli olmasını ister: 0<a<b{0 < a < b} ya da a<b<0{a < b < 0}. İşaretler farklıysa bozulur: −2<3{-2 < 3} iken −12<13{-\dfrac{1}{2} < \dfrac{1}{3}}'dir, yani yön çevrilmez.

    Karşıt örneği bir negatif bir pozitif sayıyla verin. Sonra sayı doğrusunda 0{0}'ın iki yakasını ayrı ayrı işaretleyin; kuralın neden "aynı yaka" istediği görünür hâle gelsin.

    −2<3ama−12<13\displaystyle -2 < 3 \quad \text{ama} \quad -\frac{1}{2} < \frac{1}{3}

  • Beş örnek denedim, hepsi tuttu; demek ki küme bu işleme kapalıdır.

    Örnek vermek kapalılığı kanıtlamaz, yalnız çürütmeye yarar. Kapalılık iddiası "herhangi iki eleman için" der; bunu göstermek genel iki eleman alıp cebirsel olarak yürütmeyi gerektirir. Bu, kazanımın (e) bileşeninin tam olarak istediği şeydir.

    İki sütunlu bir tablo kurun: "çürütmek için" sütununa tek örnek, "kanıtlamak için" sütununa genel gösterim. A={2k:k∈Z}{A = \{2k : k \in \mathbb{Z}\}} kümesini birlikte yürütün; 2a+2b=2(a+b){2a + 2b = 2(a+b)} yazınca iş biter.

    x1=2a, x2=2b ⇒ x1+x2=2(a+b)∈A\displaystyle x_1 = 2a,\ x_2 = 2b \ \Rightarrow \ x_1 + x_2 = 2(a + b) \in A

  • Z{\mathbb{Z}} bölmeye kapalı değildir, çünkü sıfıra bölünemez.

    Gerekçe yanlış. Z{\mathbb{Z}} bölmeye kapalı değildir çünkü sıfırdan farklı iki tam sayının bölümü tam sayı olmayabilir: 3:2=1,5{3 : 2 = 1{,}5}. Sıfıra bölme zaten hiçbir kümede tanımlı değildir, dolayısıyla kümeleri birbirinden ayırmaz. Q{\mathbb{Q}} ve R{\mathbb{R}} bölmeye kapalı sayılırken de bölen sıfırdan farklı alınır.

    "Kapalı değil" diyen her öğrenciden karşıt örnek isteyin. Karşıt örnekte sıfır kullanmak yasak olsun; o zaman gerçek sebebi bulmak zorunda kalır.

    3,2∈Z  ve 32∉Z\displaystyle 3, 2 \in \mathbb{Z} \ \ \text{ve} \ \frac{3}{2} \notin \mathbb{Z}

  • Karşıt örnek vermek bir ispat değildir, sadece bir örnektir.

    Bir önermeyi çürütmek için karşıt örnek geçerli ve tam bir ispattır. "Her x{x} için P(x){P(x)} doğrudur" iddiasının değili "öyle bir x{x} vardır ki P(x){P(x)} yanlıştır" olduğundan, o tek x{x}'i göstermek ispatı bitirir. Karşıt örnek yalnız doğrulamak için yetersizdir.

    Önermeyi ve değilini alt alta yazın. Öğrenci hangisinin "tek örnek" istediğini kendi görsün. Bunu bir kez yaptıktan sonra sınıf "kaç örnek gerekir" sorusuna doğru cevap verir.

    Her x:P(x)deg˘ili∃x:  deg˘il P(x)\displaystyle \text{Her } x: P(x) \quad \text{değili} \quad \exists x: \ \ \text{değil } P(x)

  • İki rasyonel sayı arasında sonlu sayıda rasyonel sayı vardır.

    Arada olma özelliği tekrar tekrar uygulanabilir: bulunan sayı ile uçlardan biri arasında yine bir sayı vardır. İşlem hiç bitmez, yani iki rasyonel sayı arasında istenen sayıda rasyonel sayı bulunur.

    Ortalama alma işlemini tahtada üç kez üst üste uygulayın ve durmayın. "Bir daha" diyen öğrenci çıkana kadar devam edin; sonsuzluğu söylemeyin, gösterin.

    12<58<1116<34\displaystyle \frac{1}{2} < \frac{5}{8} < \frac{11}{16} < \frac{3}{4}

  • 0<a<b{0 < a < b} ise an<bn{a^n < b^n} kuralı bütün sayılar için çalışır.

    Kural pozitif tabanlar içindir. Taban negatif olduğunda çift kuvvet sıralamayı bozar: −3<−2{-3 < -2} iken (−3)2>(−2)2{(-3)^2 > (-2)^2}'dir. Öğrenci 0<a{0 < a} koşulunu okumadan geçiyor.

    Kuralı yazarken 0<a{0 < a} kısmını renkli tebeşirle yazın ve karşıt örneği hemen altına koyun. Tek kuvvette bozulmadığını da gösterin; koşulun neden çift kuvvetle ilgili olduğu tartışılsın.

    −3<−2ama(−3)2>(−2)2\displaystyle -3 < -2 \quad \text{ama} \quad (-3)^2 > (-2)^2

  • Bir uzunluk ölçtüğüme göre sonuç mutlaka rasyonel sayıdır.

    Ölçüm aleti sonlu basamak okur, ama ölçülen büyüklüğün kendisi irrasyonel olabilir. Bir karenin köşegeni kenarının 2{\sqrt{2}} katıdır ve bu sayı hiçbir kesirle yazılamaz. Aletin verdiği 1,41{1{,}41} bir yaklaşımdır, büyüklüğün kendisi değildir.

    Kenarı 1{1} birim olan bir kare çizdirin ve köşegeni cetvelle ölçtürün. Sonra Pisagor ile hesaplatın. İki sayının farkını tartışın: hangisi büyüklük, hangisi ölçüm?

    Kenarı 1 olan karenin ko¨s¸egeni 2∉Q\displaystyle \text{Kenarı } 1 \text{ olan karenin köşegeni } \sqrt{2} \notin \mathbb{Q}

Tahtada anlatım sırası12 adımı göster
  1. 1
    Dört kümeyi iç içe çizin: N{\mathbb{N}} en içte, sonra Z{\mathbb{Z}}, Q{\mathbb{Q}} ve en dışta R{\mathbb{R}}. İrrasyonelleri R{\mathbb{R}} ile Q{\mathbb{Q}} arasındaki halkaya yazın. Bu resim bütün bölümün haritasıdır; tahtanın köşesinde bölüm boyunca kalsın.

    N⊂Z⊂Q⊂R,Q′=R∖Q\displaystyle \mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}, \qquad \mathbb{Q}' = \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}

    İrrasyoneller bir halkadır, bir çekirdek değil: Q′{\mathbb{Q}'} hiçbir kümeyi içermez.

  2. 2
    Sıralama özelliklerini tek tek yazın ve her birini iki sayıyla sınatın. Yansıma, karşılaştırılabilirlik, ters simetri ve geçişme dört kümede de çalışır; bunları hızlı geçin.

    a≤b  ve b≤c ⇒ a≤c\displaystyle a \le b \ \ \text{ve} \ b \le c \ \Rightarrow \ a \le c

    Bu dördü sıradan görünür ama ispat sorularının dayanağıdır; adı söylenmeden geçilmesin.

  3. 3
    Toplama ile çarpmayı yan yana koyun. Toplamada c{c} için koşul yoktur; çarpmada vardır. Öğrenciden c{c}'yi negatif seçmesini isteyin ve ne olduğunu gösterin.

    a≤b⇒a+c≤b+c,a≤b  ve c≤0⇒a⋅c≥b⋅c\displaystyle a \le b \Rightarrow a + c \le b + c, \qquad a \le b \ \ \text{ve} \ c \le 0 \Rightarrow a \cdot c \ge b \cdot c

    Kavram yanılgısı 3 burada kırılır. Yön çevrilmesini bir kez gösterip geçmeyin, üç örnek yaptırın.

  4. 4
    Ters alma kuralını yazın ve aynı işaret koşulunu vurgulayın. Sonra bir negatif bir pozitif sayı seçip kuralın bozulduğunu gösterin.

    0<a<b ⇒ 1a>1b\displaystyle 0 < a < b \ \Rightarrow \ \frac{1}{a} > \frac{1}{b}

    Kavram yanılgısı 4. Koşulu silip karşıt örneği bulmayı sınıfa bırakın.

  5. 5
    "5{5} ile 6{6} arasında bir doğal sayı yazın" deyin, bekleyin. Sonra aynı soruyu rasyonel sayılar için sorun ve ortalama alma yöntemini gösterin. Üç kez üst üste uygulayın.

    5+62=112,5+1122=214\displaystyle \frac{5 + 6}{2} = \frac{11}{2}, \qquad \frac{5 + \frac{11}{2}}{2} = \frac{21}{4}

    Arada olmanın yöntemi budur: ortalama al. Kavram yanılgısı 8 burada kırılır.

  6. 6
    Arada olma tablosunu doldurun: N{\mathbb{N}} ve Z{\mathbb{Z}}'de yok, Q{\mathbb{Q}} ve R{\mathbb{R}}'de var. Yokluğu göstermek için ardışık iki sayı seçmenin yeterli olduğunu söyleyin — bu bir karşıt örnektir.

    3<x<4  kos¸ulunu sag˘layan x∈Z  yoktur\displaystyle 3 < x < 4 \ \ \text{koşulunu sağlayan} \ x \in \mathbb{Z} \ \ \text{yoktur}

    Kavram yanılgısı 2. "Herhangi iki sayı" ifadesinin altını çizdirin.

  7. 7
    İki irrasyonel sayı arasına irrasyonel sayı yerleştirin. Kök içindeki sayıyı büyütmek yeter; tam kare seçilmediği sürece sonuç irrasyonel kalır.

    2<3<5<6<7\displaystyle \sqrt{2} < \sqrt{3} < \sqrt{5} < \sqrt{6} < \sqrt{7}

    MAT.9.1.1'in kök sıralaması burada işe yarar. Tam kareyi seçen öğrenci kendi hatasını görsün.

  8. 8
    Kapalılık tablosunu boş çizin: satırlar N,Z,Q,R{\mathbb{N}, \mathbb{Z}, \mathbb{Q}, \mathbb{R}}; sütunlar dört işlem. Her hücreyi sınıf doldursun. "Hayır" yazan her hücrede karşıt örnek isteyin.

    4−7=−3∉N,3:2∉Z\displaystyle 4 - 7 = -3 \notin \mathbb{N}, \qquad 3 : 2 \notin \mathbb{Z}

    Tabloyu siz doldurmayın. Kazanımın (a)-(d) bileşenleri tam olarak bu doldurma işidir.

  9. 9
    İrrasyonel sayılar kümesini tabloya beşinci satır olarak ekleyin. Dört işlemin dördünde de "hayır" çıkar; her biri için karşıt örnek yazdırın.

    2⋅8=4,2+(−2)=0\displaystyle \sqrt{2} \cdot \sqrt{8} = 4, \qquad \sqrt{2} + (-\sqrt{2}) = 0

    Kavram yanılgısı 1. Öğrenci Q′{\mathbb{Q}'} kümesini diğerleri gibi sanır; bu satır onu bozar.

  10. 10
    Parametrik bir küme yazın ve kapalılığını genel iki elemanla yürütün. Örnek vermenin yetmediğini burada söyleyin: iki eleman 2a{2a} ve 2b{2b} diye alınır, sonuç yine 2{2}'nin katı çıkar.

    A={x:x=2k, k∈Z},2a+2b=2(a+b)∈A\displaystyle A = \{x : x = 2k, \ k \in \mathbb{Z}\}, \quad 2a + 2b = 2(a + b) \in A

    Kavram yanılgısı 5. Bölme için karşıt örnek isteyin; 24{\frac{2}{4}} işi bitirir.

  11. 11
    Bir önermeyi cebirsel olarak ispatlayın. Kalıbı tahtaya sabit yazın: hipotez, hüküm, numaralı adımlar. Her adımın yanına hangi sıralama özelliğine dayandığını yazdırın.

    a<b ⇒ a<a+b2<b\displaystyle a < b \ \Rightarrow \ a < \frac{a + b}{2} < b

    Her adımın gerekçesini yazdırmak, ispat hatası sorularına hazırlığın kendisidir.

  12. 12
    Aynı ispatın bir adımını kasıtlı bozun ve sınıfa "hangi adımda ilk hata var" diye sorun. Negatifle çarpıp yönü çevirmemek en verimli hatadır.

    a<b, c=−2 ⇒ a⋅c<b⋅c (yanlıs¸ adım)\displaystyle a < b, \ c = -2 \ \Rightarrow \ a \cdot c < b \cdot c \ (\text{yanlış adım})

    Tema ölçmesinin en zor sorusu bu biçimdedir; sınıf bu alıştırmayı yapmadan ölçmeye girmesin.

Ödev ve çalışma kâğıdı

Her antrenman tek bir beceriyi bol tekrarla çalıştırır. Hangisinden kaç kalem istediğini seç; kâğıt ve çözümlü cevap anahtarı tarayıcında hazırlanır.

Ödev kâğıdı oluştur

Her alıştırmadan kaç kalem istediğini seç. Kalemler hazır havuzdan rastgele gelir; iki sınıfa iki ayrı kâğıt verebilirsin. Çözümlü cevap anahtarı da hazır.
Alıştırmalar

  • Aşağıda verilen iki irrasyonel sayı arasında yer alan bir irrasyonel sayı yazınız.

    1. 1)12{\sqrt{12}} ile 22{\sqrt{22}}= 13\displaystyle \sqrt{13}
    2. 2)11{\sqrt{11}} ile 18{\sqrt{18}}= 23\displaystyle 2 \sqrt{3}
    3. 3)6{\sqrt{6}} ile 21{\sqrt{21}}= 7\displaystyle \sqrt{7}
    / 40

  • Aşağıda verilen iki rasyonel sayı arasında yer alan bir rasyonel sayı yazınız.

    1. 1)18{\frac{1}{8}} ile 47{\frac{4}{7}}= 39112\displaystyle \frac{39}{112}
    2. 2)57{\frac{5}{7}} ile 78{\frac{7}{8}}= 89112\displaystyle \frac{89}{112}
    3. 3)13{\frac{1}{3}} ile 38{\frac{3}{8}}= 1748\displaystyle \frac{17}{48}
    / 20

  • Aşağıdaki çarpımların sonucunu bulunuz. Sonucun hangi sayı kümesinin elemanı olduğunu da yazınız.

    1. 1)(17+5)⋅(17−5){\left( \sqrt{17} + \sqrt{5} \right) \cdot \left( \sqrt{17} - \sqrt{5} \right)}= 12\displaystyle 12
    2. 2)(23+17)⋅(23−17){\left( \sqrt{23} + \sqrt{17} \right) \cdot \left( \sqrt{23} - \sqrt{17} \right)}= 6\displaystyle 6
    3. 3)(6+5)⋅(6−5){\left( \sqrt{6} + \sqrt{5} \right) \cdot \left( \sqrt{6} - \sqrt{5} \right)}= 1\displaystyle 1
    / 40

  • Aşağıdaki sayıların her birinin hangi ardışık iki tam sayı arasında olduğunu bulunuz.

    1. 1)92{\sqrt{92}}= (9,10)\displaystyle \left(9, 10\right)
    2. 2)8{\sqrt{8}}= (2,3)\displaystyle \left(2, 3\right)
    3. 3)60{\sqrt{60}}= (7,8)\displaystyle \left(7, 8\right)
    / 40

  • Aşağıdaki çarpımların sonucunu bulunuz. Sonucun hangi sayı kümesinin elemanı olduğunu da yazınız.

    1. 1)3⋅27{\sqrt{3} \cdot \sqrt{27}}= 9\displaystyle 9
    2. 2)3⋅48{\sqrt{3} \cdot \sqrt{48}}= 12\displaystyle 12
    3. 3)12⋅3{\sqrt{12} \cdot \sqrt{3}}= 6\displaystyle 6
    / 23

  • Aşağıda x{x} için verilen aralıkları kullanarak istenen ifadenin hangi aralıkta olduğunu bulunuz.

    1. 1)−6<x<4{-6 < x < 4} olmak üzere x+2{x + 2}= (−4,6)\displaystyle \left(-4, 6\right)
    2. 2)2<x<6{2 < x < 6} olmak üzere x+5{x + 5}= (7,11)\displaystyle \left(7, 11\right)
    3. 3)0<x<4{0 < x < 4} olmak üzere x+3{x + 3}= (3,7)\displaystyle \left(3, 7\right)
    / 40

  • Aşağıda x{x} için verilen aralıkları kullanarak istenen ifadenin hangi aralıkta olduğunu bulunuz.

    1. 1)−4<x<6{-4 < x < 6} olmak üzere (−3)⋅x{(-3) \cdot x}= (−18,12)\displaystyle \left(-18, 12\right)
    2. 2)−7<x<0{-7 < x < 0} olmak üzere (−8)⋅x{(-8) \cdot x}= (0,56)\displaystyle \left(0, 56\right)
    3. 3)6<x<8{6 < x < 8} olmak üzere (−5)⋅x{(-5) \cdot x}= (−40,−30)\displaystyle \left(-40, -30\right)
    / 40

  • Aşağıda x{x} için verilen aralıkları kullanarak istenen ifadenin hangi aralıkta olduğunu bulunuz.

    1. 1)6<x<8{6 < x < 8} olmak üzere 3⋅x{3 \cdot x}= (18,24)\displaystyle \left(18, 24\right)
    2. 2)−9<x<−4{-9 < x < -4} olmak üzere 2⋅x{2 \cdot x}= (−18,−8)\displaystyle \left(-18, -8\right)
    3. 3)−6<x<8{-6 < x < 8} olmak üzere 4⋅x{4 \cdot x}= (−24,32)\displaystyle \left(-24, 32\right)
    / 40

  • Aşağıda x{x} için verilen aralığa göre x{x} sayısının çarpmaya göre tersinin (1/x{1/x}) hangi aralıkta olduğunu bulunuz.

    1. 1)3<x<7{3 < x < 7}= (17,13)\displaystyle \left(\frac{1}{7}, \frac{1}{3}\right)
    2. 2)1<x<8{1 < x < 8}= (18,1)\displaystyle \left(\frac{1}{8}, 1\right)
    3. 3)7<x<12{7 < x < 12}= (112,17)\displaystyle \left(\frac{1}{12}, \frac{1}{7}\right)
    / 40

  • Aşağıda x{x} için verilen aralıkları kullanarak istenen ifadenin hangi aralıkta olduğunu bulunuz.

    1. 1)1<x<5{1 < x < 5} olmak üzere x2{x^2}= (1,25)\displaystyle \left(1, 25\right)
    2. 2)3<x<5{3 < x < 5} olmak üzere x2{x^2}= (9,25)\displaystyle \left(9, 25\right)
    3. 3)6<x<9{6 < x < 9} olmak üzere x2{x^2}= (36,81)\displaystyle \left(36, 81\right)
    / 40
Çalışma boşluğu
Kâğıt ayarları

0 kalem

İndirmek için en az bir kalem seç.

Test PDF'i

Bu kazanımın sorularından test ya da yazılı kâğıdı: soruları seç, kâğıdı ayarla, soru kâğıdını ve cevap anahtarını indir.

Test PDF'i hazırla

Soru kâğıdı ve cevap anahtarı tarayıcında hazırlanır; seçimlerin hiçbir sunucuya gönderilmez. İlk PDF'te motor indiği için birkaç saniye sürer, sonrakiler anında gelir.
Zorluğa göre seç

Her düzeyden kaç soru istediğini seç; düzeyin sorularından azını istersen o kadarı rastgele gelir. Seçim aşağıdaki listeye yansır, oradan elle de değiştirebilirsin.

Zorluk 2Kolay, 2 soru
Zorluk 3Kolay, 6 soru
Zorluk 4Orta, 4 soru
Zorluk 5Orta, 4 soru
Zorluk 6Orta, 7 soru
Zorluk 7Zor, 6 soru
Zorluk 8Zor, 3 soru
Zorluk 9İleri, 2 soru
Zorluk 10İleri, 4 soru
Kâğıttaki sorular 38 / 38

Kâğıda yalnız görünen ve işaretli sorular girer.

Kâğıt ayarları

38 soru, 286 puan

Kazanım künyesi

9. sınıf Sayı kümeleri için 38 çözümlü soru: soruları sayfada çöz, takıldığında adım adım çözümü aç; seçtiğin sorulardan test, yaprak test ya da yazılı kâğıdı hazırla ve cevap anahtarıyla PDF olarak indir; ödev için alıştırma (çalışma) kâğıdı çıkar; derste soruları akıllı tahtada tek tek aç; ders kılavuzunda derse giriş, kavram yanılgıları ve tahta akışı var. 1. dönem yazılısına ve ortak sınava hazırlıkta kullanılır.

Kod
MAT.9.1.3
Kapsadığı konular
doğal sayılar, tam sayılar, rasyonel sayılar, irrasyonel sayılar, gerçek sayılar, işlem özellikleri
Dönem ve hafta
1. dönem, 5. haftalar, 6 ders saati
Süreç bileşenleri
  • a)Doğal sayılar, tam sayılar, rasyonel sayılar ve gerçek sayılara dair temel özelliklere (sıralama, arada olma ve işlem özellikleri) ilişkin varsayımlarda bulunur.
  • b)Farklı sayı kümelerinde elde ettiği örüntüleri listeleyerek varsayımlarına yönelik genellemeler yapar.
  • c)Varsayımları ile genellemelerini karşılaştırır.
  • ç)Elde ettiği genellemelerden sayı kümelerinin özellikleri hakkında önermeler sunar.
  • d)Önermelerin kullanışlılığını problem durumlarında değerlendirir.
  • e)Elde ettiği önermeleri ispatlamak ya da çürütmek için matematiksel ispat yöntemlerini kullanır.
  • f)Kullandığı matematiksel ispat yöntemlerini kullanışlılık açısından değerlendirir.
Ders kitabında
  • 1. Tema — Sayılar, 1.3 Sayı Kümelerinin Özellikleri