9. sınıf, Algoritma ve BilişimMAT.9.5.3

Mantık ve algoritma

Mantık Bağlaçları ve Niceleyicilerin Algoritmik Problemlerde Kullanımı

Kazanım: Mantık bağlaçları ve niceleyicilerin algoritmalarda kullanımına yönelik edindiği deneyimi farklı matematiksel görev ve problemlere yansıtabilme.

Tahtada aç Yazılı hazırla

Sorular ve çözümleri

Her sorunun altında adım adım çözüm var. Çoktan seçmelide doğru şık, çözümü açınca işaretlenir.

Zorluk

Cevap biçimi

Soru türü

Şekil

36 soru gösteriliyor

Soru 1KavramKısa cevap4 puanKolay

Bir öğrenci "Birler basamağı

{4}

olan her doğal sayı

{4}

'ün katıdır." önermesini sınamak için bir algoritma yazmıştır. Algoritma listedeki her sayı için önermenin o sayıda yanlış olup olmadığını denetlemekte ve önermeyi yanlış çıkaran sayıları ekrana yazdırmaktadır.Liste:

{24}

{34}

{40}

{51}

{54}

{64}

{94}

Buna göre algoritma ekrana kaç sayı yazdırır?

Çözümü göster

Cevap: $\displaystyle 3$

1
Bir sayının bu önermeyi yanlış çıkarması için önermenin koşulunu sağlaması ama hükmünü sağlamaması gerekir: birler basamağı ${4}$ olmalı ve sayı ${4}$ 'ün katı olmamalıdır.
2
Birler basamağı ${4}$ olmayan ${40}$ ve ${51}$ önermeyi yanlış çıkaramaz. ${51}$ sayısı ${4}$ 'ün katı olmasa da önerme birler basamağı ${4}$ olan sayılar hakkındadır.
3
Birler basamağı ${4}$ olan sayılardan ${24}$ ve ${64}$ , ${4}$ 'ün katıdır; ${34}$ , ${54}$ ve ${94}$ ise ${4}$ 'ün katı değildir.
4
Algoritma ekrana ${34}$ , ${54}$ ve ${94}$ sayılarını, yani ${3}$ sayı yazdırır.

Soru 2KavramÇoktan seçmeli5 puanOrta

Bir öğrenci, iki basamaklı bir

{n}

sayısının

{15}

'in katı olup olmadığını bulan bir algoritma yazmıştır. Algoritmada

{n = 10a + b}

biçiminde yazılmıştır (

{a}

ile

{b}

rakamdır). Algoritmanın üç adımı aşağıda verilmiştir.I.

{n}

sayısının onlar ve birler basamağını ayır; onlar basamağını

{a}

, birler basamağını

{b}

olarak kaydet.II.

{b}

sayısı

{5}

'in katı ve

{a + b}

toplamı

{3}

'ün katı ise ekrana "

{15}

'in katıdır" yaz.III. Koşul sağlanmıyorsa ekrana "

{15}

'in katı değildir" yaz ve algoritmayı bitir.Buna göre hangi adımlarda "ve" sözcüğü, doğruluk değeri olan iki önermeyi birleştiren bir mantık bağlacı olarak kullanılmıştır?

A $Yalnız I$
B $Yalnız II$
C $I ve II$
D $II ve III$
E $I, II ve III$

Çözümü göster

BDoğru cevap

1
Mantık bağlacı olan "ve", doğruluk değeri olan iki önermeyi birleştirir; birleşik önerme ikisi birlikte doğru olduğunda doğrudur.
2
I. adımdaki "onlar ve birler basamağı" iki basamağın adını sayar. III. adımdaki "yaz ve bitir" iki eylemi sırayla yaptırır. İki adımda da birleştirilen şeyler önerme değildir.
3
II. adımda " ${b}$ sayısı ${5}$ 'in katıdır" ile " ${a + b}$ toplamı ${3}$ 'ün katıdır" önermeleri birleştirilir ve koşul ikisi birlikte doğru olduğunda sağlanır. Mantık bağlacının kullanıldığı adımlar $Yalnız II$ olur.

Yanlış şıklar neden yanlış?

A)Sayı bildiren "ve" bağlaç sanılmış: "onlar ve birler basamağı" iki basamağın adıdır, doğruluk değeri olan iki önerme değildir. II. adımdaki koşul da gözden kaçmış.
C)I. adımdaki "ve" de bağlaç sayılmış; o sözcük iki önermeyi değil iki basamağın adını birleştirir.
D)III. adımdaki "ve" iki eylemi sıraya koyar; "yaz" ile "bitir" doğruluk değeri olan önermeler değildir.
E)Algoritmadaki her "ve" sözcüğü mantık bağlacı sanılmış.

Soru 3KavramÇoktan seçmeli5 puanOrta

Bir öğrenci "Bir doğal sayının son iki basamağının oluşturduğu sayı

{25}

'in katıysa sayının kendisi de

{25}

'in katıdır." önermesini ispatlamış ve bu ispata dayanarak aşağıdaki algoritmayı yazmıştır.Girdi:

{n}

(doğal sayı)Başla

{\quad m \leftarrow n \,\%\, 100}

{\quad m \,\%\, 25 = 0}

ise yazdır "

{25}

'in katıdır"

{\quad}

değilse yazdır "

{25}

'in katı değildir"BitirAşağıdaki önermelerde

{n}

her doğal sayıyı,

{m}

ise

{n}

sayısının son iki basamağının oluşturduğu sayıyı göstermektedir.Buna göre algoritmanın her girdide doğru sonuç yazdırdığını göstermek için öğrencinin ispatladığı önermeye ek olarak aşağıdakilerden hangisini de ispatlaması gerekir?

A $\displaystyle (m \,\%\, 25 = 0) \land (n \,\%\, 25 = 0)$
B $\displaystyle (n \,\%\, 25 \neq 0) \Rightarrow (m \,\%\, 25 \neq 0)$
C $\displaystyle (m \,\%\, 25 = 0) \Rightarrow (n \,\%\, 5 = 0)$
D $\displaystyle (m \,\%\, 25 \neq 0) \Rightarrow (n \,\%\, 25 \neq 0)$
E $Hiçbiri; ispatlanan önerme yeter$

Çözümü göster

DDoğru cevap

1
İspatlanan önerme ${(m \,\%\, 25 = 0) \Rightarrow (n \,\%\, 25 = 0)}$ önermesidir. Algoritma koşul doğruyken " ${25}$ 'in katıdır" yazdırır; bu çıktının doğruluğunu ispatlanan önerme gösterir.
2
Değilse dalına ${m \,\%\, 25 \neq 0}$ iken gelinir ve algoritma " ${25}$ 'in katı değildir" yazdırır. Bu çıktının doğru olması için ${m}$ sayısı ${25}$ 'in katı değilken ${n}$ sayısının da ${25}$ 'in katı olmadığı ispatlanmalıdır; ispatlanan önerme bunu söylemez.
3
Bu ek önerme de doğrudur: ${n = 100q + m}$ ( ${q}$ doğal sayı) yazılırsa ${100q}$ her zaman ${25}$ 'in katıdır. Ek olarak ispatlanması gereken önerme ${(m \,\%\, 25 \neq 0) \Rightarrow (n \,\%\, 25 \neq 0)}$ olur.

Yanlış şıklar neden yanlış?

A)İki koşulun her sayıda birlikte doğru olduğu yazılmış. Bu önerme yanlıştır ( ${n = 7}$ için ikisi de yanlış) ve değilse dalı hakkında bir şey söylemez.
B)Önerme ${n}$ sayısının ${25}$ 'in katı olmadığı durumdan başlıyor; oysa değilse dalına ${m}$ sayısı ${25}$ 'in katı olmadığında gelinir. Bu önerme Evet dalının zaten ispatlanmış doğruluğunu tekrar eder.
C)İspatlanan önermeden çıkan daha zayıf bir sonuç yazılmış; Evet dalını ilgilendirir, değilse dalının çıktısını gerekçelendirmez.
E)İspatlanan önerme yalnız koşul sağlandığında ne olacağını söyler; koşul sağlanmadığında sayının ${25}$ 'in katı olmadığını söylemez.

Soru 4Yeni nesilKısa cevap8 puanZor

Bir öğrenci "Rakamları toplamı

{9}

'un katı olan her doğal sayı

{3}

'ün katıdır." önermesini ispatlamıştır. Bu önermeye dayanarak, girilen bir doğal sayının

{3}

'ün katı olup olmadığını bulan şekildeki akış şemasını hazırlamıştır.Şema sırasıyla

{2736}

{4152}

{5071}

{3804}

{6912}

{1250}

{7203}

sayıları için çalıştırılmıştır.Buna göre şema bu sayılardan kaçı için yanlış sonuç yazdırır?

Çözümü göster

Cevap: $\displaystyle 3$

1
Şema ${t \,\%\, 9 = 0}$ iken sayının ${3}$ 'e bölündüğünü yazdırır. İspatlanan önerme bu çıktının her zaman doğru olduğunu gösterir; yanlış sonuç ancak Hayır dalında çıkabilir.
2
Rakamları toplamları: ${2736}$ için ${18}$ , ${4152}$ için ${12}$ , ${5071}$ için ${13}$ , ${3804}$ için ${15}$ , ${6912}$ için ${18}$ , ${1250}$ için ${8}$ , ${7203}$ için ${12}$ .
3
Toplamı ${18}$ olan ${2736}$ ve ${6912}$ için şema sayının ${3}$ 'e bölündüğünü yazdırır ve bu doğrudur. Öteki beş sayı için ${3}$ 'e bölünmediğini yazdırır.
4
Bu beş sayıdan rakamları toplamı ${3}$ 'ün katı olan ${4152}$ , ${3804}$ ve ${7203}$ aslında ${3}$ 'ün katıdır; ${5071}$ ve ${1250}$ ise ${3}$ 'ün katı değildir.
5
Hayır dalı, " ${3}$ 'ün katı olan her sayının rakamları toplamı ${9}$ 'un katıdır" önermesine dayanır ve bu önerme yanlıştır. Şema ${3}$ sayı için yanlış sonuç yazdırır.

Soru 5KavramÇoktan seçmeli7 puanZor

Bir öğrenci, girilen bir

{x}

gerçek sayısının bir önerme için karşıt örnek olup olmadığını bulan şekildeki akış şemasını hazırlamıştır. Aşağıdaki önermeler her

{x}

gerçek sayısı için yazılmıştır.Buna göre şemanın karşıt örneğini aradığı önerme aşağıdakilerden hangisidir?

A $\displaystyle (x > 5) \Rightarrow (x > 3)$
B $\displaystyle (x > 3) \land (x > 5)$
C $\displaystyle (x \leq 3) \Rightarrow (x > 5)$
D $\displaystyle (x > 3) \lor (x > 5)$
E $\displaystyle (x > 3) \Rightarrow (x > 5)$

Çözümü göster

EDoğru cevap

1
Şema önce ${x > 3}$ koşuluna bakar; bu koşul yanlışsa sayıyı karşıt örnek saymaz.
2
${x > 3}$ doğruysa ${x > 5}$ koşuluna bakar; bu koşul da doğruysa karşıt örnek saymaz, yanlışsa Karşıt örnek yazdırır. Şema yalnız ${x > 3}$ doğru ve ${x > 5}$ yanlış olduğunda karşıt örnek bulur.
3
Koşulunu sağlayıp hükmünü sağlamayan sayı bir "ise" önermesinin karşıt örneğidir; koşulu sağlamayan sayı karşıt örnek olamaz. Şemanın sınadığı önerme ${(x > 3) \Rightarrow (x > 5)}$ olur.

Yanlış şıklar neden yanlış?

A)Karar kutularının sırası ters okunmuş. Bu önermenin karşıt örneği yoktur; oysa şema ${x = 4}$ için Karşıt örnek yazdırır.
B)İç içe karar kutuları "ve" diye okunmuş; ilk kutunun Hayır dalının da Karşıt örnek değil çıktısına gittiği gözden kaçmış. ${x = 2}$ bu önermenin karşıt örneğidir, şema ise onu karşıt örnek saymaz.
C)İlk kutunun Hayır dalı önermenin koşulu sanılmış. ${x = 2}$ bu önermenin karşıt örneğidir; şema onu karşıt örnek saymaz.
D)Karşıt örnek değil çıktısında birleşen iki dal "veya" diye okunmuş. ${x = 4}$ bu önermeyi sağlar; şema ise onu karşıt örnek sayar.

Soru 6KavramÇoktan seçmeli5 puanOrta

Bir öğrenci "Hem

{4}

'ün hem

{6}

'nın katı olan her doğal sayı

{24}

'ün katıdır." önermesini aşağıdaki adımlarla ispatladığını düşünmüştür.1. adım:

{n}

sayısı

{4}

'ün katı olduğu için

{n = 4p}

olacak biçimde bir

{p}

doğal sayısı vardır.2. adım:

{n}

sayısı

{6}

'nın katı olduğu için

{4p}

sayısı

{6}

'nın katıdır.3. adım:

{4}

sayısı

{6}

'nın katı olmadığından

{p}

sayısı

{6}

'nın katıdır;

{p = 6r}

olacak biçimde bir

{r}

doğal sayısı vardır.4. adım:

{n = 4p = 4 \cdot 6r = 24r}

olduğundan

{n}

sayısı

{24}

'ün katıdır.Öğrenci bu önermeye dayanan algoritmasını tablodaki sayılarla denemiştir. Algoritma bir sayının hem

{4}

'e hem

{6}

'ya bölümünden kalan

{0}

ise "Bölünür" (

{24}

'e bölünür), değilse "Bölünmez" yazdırmaktadır.Buna göre ispatın ilk hatalı adımı hangisidir?

A $1. adım$
B $2. adım$
C $3. adım$
D $4. adım$
E $Hiçbiri; önerme doğrudur$

Çözümü göster

Soru 7KavramÇoktan seçmeli3 puanKolay

{n^2 + n}

sayısını

{30}

'un katı yapan en az bir pozitif tam sayı

{n}

vardır." önermesi veriliyor. Bir algoritma

{n}

sayısını

{1}

'den başlatıp birer birer artırmakta,

{n^2 + n}

sayısının

{30}

'un katı olduğu ilk sayıda durup o sayıyı ekrana yazdırmaktadır. Algoritma ekrana

{5}

yazdırmıştır.Buna göre bu çıktı önerme için aşağıdakilerden hangisini gösterir?

A $Önerme ispatlanmıştır.$
B $Önerme ispatlanmamıştır.$
C $Önerme her sayı için doğrudur.$
D $Önerme yanlıştır.$
E $Bütün sayılar denenmelidir.$

Çözümü göster

Soru 8KavramÇoktan seçmeli5 puanOrta

Bir öğrenci aşağıdaki üç önermeyi, sayıları tek tek deneyen algoritmalarla sınamıştır. Her algoritmanın denediği sayılar ve önermeye uymayan sayı tabloda verilmiştir.I. "Her

{d}

rakamı için

{d^2 - d}

çift sayıdır."II. "Her

{n}

pozitif tam sayısı için

{n^2 + n + 1}

tek sayıdır."III. "Her

{n}

pozitif tam sayısı için

{2^n + 1}

sayısı

{3}

'ün katıdır."Buna göre hangi algoritmaların bulduğu sonuç, sınadığı önermenin doğruluk değerini kesin olarak gösterir?

A $Yalnız I$
B $Yalnız III$
C $I ve III$
D $II ve III$
E $I, II ve III$

Çözümü göster

Soru 9KavramKısa cevap6 puanOrta

Bir öğrenci "Birler basamağı

{5}

'in katı olan her doğal sayı

{5}

'in katıdır." önermesini aşağıdaki adımlarla ispatlamıştır.1. adım:

{n}

sayısının birler basamağı

{b}

olsun;

{n = 10a + b}

yazılır (

{a}

doğal sayı).2. adım:

{b = 5k}

olsun; burada

{k}

bir pozitif tam sayıdır.3. adım:

{n = 10a + 5k = 5(2a + k)}

olduğundan

{n}

sayısı

{5}

'in katıdır.Buna göre üç basamaklı doğal sayılardan kaçı önermenin koşulunu sağladığı hâlde bu ispatın kapsamı dışında kalır?

Çözümü göster

Soru 10KavramÇoktan seçmeli7 puanZor

{\forall a > 0}

{\forall b \in \mathbb{R}}

için

{f(x) = ax + b}

fonksiyonu artandır." önermesinin ispatı aşağıda verilmiştir.1. adım:

{x_1 < x_2}

olacak biçimde herhangi iki gerçek sayı alınır.2. adım: Eşitsizliğin iki tarafı

{a}

ile çarpılır:

{a x_1 < a x_2}

3. adım: İki tarafa

{b}

eklenir:

{a x_1 + b < a x_2 + b}

4. adım:

{f(x_1) < f(x_2)}

bulunur.

{x_1}

ile

{x_2}

herhangi seçildiği için

{f}

artandır.Bir öğrenci önermedeki

{\forall a > 0}

yazımını

{\forall a \geq 0}

olarak değiştirmiş ve aynı ispatı kullanmak istemiştir.Buna göre değiştirilmiş önerme için ispatın ilk geçersiz adımı hangisidir?

A $1. adım$
B $2. adım$
C $3. adım$
D $4. adım$
E $Hiçbiri; ispat yine geçerlidir$

Çözümü göster

Soru 11KavramÇoktan seçmeli9 puanİleri

"Çarpımı sıfır olan iki gerçek sayıdan en az biri sıfırdır." önermesi iki duruma ayrılarak ispatlanmıştır:

{x = 0}

ise hüküm doğrudur;

{x \neq 0}

ise

{x}

sayısının çarpmaya göre tersi vardır ve

{x \cdot y = 0}

eşitliğinin iki tarafı bu tersle çarpılarak

{y = 0}

bulunur. Bir öğrenci bu ispatı, çarpımı sıfır olan

{x}

{y}

gerçek sayıları girilince çalışan şekildeki akış şemasına dönüştürmüştür.I. Karar kutusu kaldırılıp girilen sayılarla doğrudan işlem kutusuna geçilirse

{x = 0}

için işlem kutusundaki bölme yapılamaz.II. Önermedeki "en az biri" ifadesi "yalnızca biri" olarak değiştirilirse önerme yine doğru olur.III. Aynı ispat "Çarpımı

{1}

olan iki gerçek sayıdan en az biri

{1}

'dir." önermesine uyarlanabilir.Buna göre yukarıdaki ifadelerden hangileri doğrudur?

A $Yalnız I$
B $Yalnız II$
C $I ve II$
D $I ve III$
E $I, II ve III$

Çözümü göster

Soru 12Yeni nesilAçık uçlu20 puanİleri

Bir öğrenci "Her

{n}

tam sayısı için

{n^3 - n}

sayısı

{6}

'nın katıdır." önermesini önce bir algoritmayla sınamış, sonra ispatlamıştır. Algoritmanın

{1}

'den

{6}

'ya kadar (uçlar dâhil) denediği sayılar ve bulduğu değerler tabloda verilmiştir; bir satır silinmiştir.Öğrencinin ispatı:1. adım:

{n^3 - n = n(n^2 - 1) = (n - 1) \cdot n \cdot (n + 1)}

yazılır.2. adım:

{n - 1}

{n}

{n + 1}

ardışık üç tam sayıdır; bu sayılardan en az biri çift ve en az biri

{3}

'ün katıdır.3. adım: Çarpım hem

{2}

'nin hem

{3}

'ün katıdır.

{2}

ile

{3}

'ün

{1}

'den başka ortak pozitif böleni olmadığı için çarpım

{6}

'nın katıdır.Buna göre aşağıdaki soruları cevaplayınız.

a)
Tablodaki silinmiş satırda ${n^3 - n}$ değeri kaçtır?(3 puan)
b)
2. adımdaki "en az biri çift" ifadesi yerine "yalnızca biri çift" yazılsaydı bu adım doğru olur muydu? Gerekçesiyle yazınız.(5 puan)
c)
Algoritma yalnız ${1}$ 'den ${6}$ 'ya kadar olan sayıları denemiştir. Öğrencinin ispatı önermenin ${n = 0}$ ve negatif tam sayılar için de doğru olduğunu gösterir mi? Gerekçesiyle yazınız.(6 puan)
ç)
Bir arkadaşı aynı yöntemle "Her ${n}$ tam sayısı için ${n^3 - n}$ sayısı ${12}$ 'nin katıdır." önermesini ispatlamak istemiş ve 2. adımı "bu sayılardan en az biri ${4}$ 'ün katı ve en az biri ${3}$ 'ün katıdır" biçiminde değiştirmiştir. Bu önermeyi yanlış çıkaran en küçük pozitif tam sayı kaçtır?(6 puan)

Çözümü göster

Soru 13KavramKısa cevap4 puanKolay

Bir matematik kulübünde "

{2}

sayısından büyük her asal sayı tek sayıdır." önermesi önce ispatlanmış, sonra bu ispata dayanan bir algoritma yazılmıştır. İspatın dört adımı ile algoritmanın üç adımı karıştırılarak aşağıdaki gibi numaralanmıştır.(1) Buna göre

{2}

sayısı,

{p}

sayısının hem

{1}

sayısından hem kendisinden farklı bir bölenidir.(2)

{p}

sayısı çift olsaydı

{p = 2k}

olacak biçimde ve

{1}

sayısından büyük bir

{k}

tam sayısı bulunurdu.(3)

{p}

sayısı,

{2}

sayısından büyük bir asal sayı olsun.(4) Bulunan bölen, asal sayının

{1}

sayısından ve kendisinden başka böleni olmaması özelliğiyle çelişir; öyleyse

{p}

tek sayıdır.(5) Bulunan kalan

{0}

olmadığından ekrana "

{p}

tektir" yaz.(6) İspatlanan önermeye dayanan algoritmada girdi olarak

{2}

sayısından büyük bir

{p}

asal sayısı al.(7)

{p}

sayısının

{2}

sayısına bölümünden kalan

{0}

mı diye bak.Her ifade bir öncekinin sonucunu kullandığına göre ifadelerin doğru sırasını yazınız.

Çözümü göster

Soru 14KavramÇoktan seçmeli5 puanOrta

Bir öğrenci "Her tam sayının karesi negatif değildir." kuralını sembolik olarak yazmak istemektedir.Buna göre aşağıdaki yazımlardan hangisi bu kuralı tam olarak karşılar?

A $\displaystyle \forall n \in \mathbb{Z}, n^2 \geq 0$
B $\displaystyle \forall n \in \mathbb{Z}, n^2 > 0$
C $\displaystyle \exists n \in \mathbb{Z}, n^2 \geq 0$
D $\displaystyle \forall n \in \mathbb{Z}, n \geq 0 \Rightarrow n^2 \geq 0$
E $\displaystyle \exists n \in \mathbb{Z}, n^2 < 0$

Çözümü göster

Soru 15KavramKısa cevap6 puanOrta

Bir öğrenci "

{8}

sayısının katı olan her doğal sayının son üç basamağının oluşturduğu sayı da

{8}

sayısının katıdır." önermesini ispatlamıştır. Aynı öğrenci, girilen bir doğal sayının

{8}

sayısının katı olup olmadığına karar veren aşağıdaki sözde kodu yazmıştır.Girdi:

{n}

(doğal sayı)Başla

{\quad s \leftarrow n \,\%\, 1000}

{\quad s \,\%\, 8 = 0}

ise yazdır "Katıdır"

{\quad}

değilse yazdır "Katı değildir"BitirBurada

{n}

girilen doğal sayıyı,

{s}

ise

{n}

sayısının son üç basamağının oluşturduğu sayıyı göstermektedir. Kodun "Katıdır" satırının her girdide doğru çalıştığını göstermek için ispatlanması gereken önermeyi

{\Rightarrow}

sembolüyle yazınız.

Çözümü göster

Soru 16KavramÇoktan seçmeli5 puanOrta

{\forall x \in \mathbb{R}}

için

{x > 3 \Rightarrow x^2 > 9}

" önermesi veriliyor. Bir öğrenci bu önermeyi, girilen bir

{x}

gerçek sayısı için çalışan tek bir algoritma adımıyla ifade etmek istemiş ve dört aday yazmıştır.I. Girilen

{x}

sayısının karesi

{9}

sayısından büyükse ekrana "

{x}

sayısı

{3}

sayısından büyüktür" yaz.II. Girilen

{x}

sayısı

{3}

sayısından büyük ve karesi

{9}

sayısından büyükse ekrana "Doğru" yaz.III. Girilen

{x}

sayısı

{3}

sayısından büyükse ekrana "Karesi

{9}

sayısından büyüktür" yaz.IV. Karesi

{9}

sayısından büyük en az bir

{x}

sayısı bulunana kadar dene, sonra ekrana "Doğru" yaz.Buna göre adaylardan hangisi verilen önermeyi doğru karşılar?

A $\displaystyle \text{I}$
B $\displaystyle \text{II}$
C $\displaystyle \text{III}$
D $\displaystyle \text{IV}$
E $\displaystyle \text{Hiçbiri}$

Çözümü göster

Soru 17KavramÇoktan seçmeli3 puanKolay

Bir defterde "Bir sayının karesi kendisine eşittir." cümlesi yazılıdır. Bu cümlede niceleyici yazılmadığı için cümle henüz bir önerme değildir; başına bir niceleyici eklenince doğruluk değeri belirlenebilir.Buna göre cümlenin başına aşağıdakilerden hangisi eklenirse doğru bir önerme elde edilir?

A $Her gerçek sayı için$
B $Her tam sayı için$
C $Birden büyük her doğal sayı için$
D $En az bir gerçek sayı için$
E $\displaystyle \text{Hiçbiri}$

Çözümü göster

Soru 18KavramAçık uçlu15 puanZor

{\forall x \in \mathbb{R}}

için

{x \neq 0 \Rightarrow x^2 > 0}

" önermesi veriliyor. Bir öğretmen bu önermenin sözel yazımı için iki aday cümle vermiştir.Aday 1: Her gerçek sayının karesi pozitiftir.Aday 2: Sıfır dışındaki her gerçek sayının karesi sıfırdan büyüktür.Buna göre aşağıdaki soruları cevaplayınız.

a)
Verilen sembolik önermeyi, "ise" bağlacını kullanan tek bir Türkçe cümleyle yazınız.(4 puan)
b)
İki adaydan biri önermeyi tam karşılamaz. Bu adayın numarasını ve onu yanlış çıkaran sayıyı yazınız.(5 puan)
c)
Aynı önermeyi, niceleyicinin kümesi tam sayılar olacak biçimde sembolik olarak yeniden yazınız ve önermenin doğruluk değerinin değişip değişmediğini yazınız.(6 puan)

Çözümü göster

Soru 19KavramÇoktan seçmeli5 puanOrta

Bir öğrenci "Hem

{3}

sayısının hem

{4}

sayısının katı olan her doğal sayı

{12}

sayısının katıdır." önermesini ispatlamış ve bu ispata dayanarak aşağıdaki sözde kodu yazmıştır.Girdi:

{n}

(doğal sayı)Başla

{\quad n \,\%\, 3 = 0}

veya

{n \,\%\, 4 = 0}

ise yazdır "Katıdır"

{\quad}

değilse yazdır "Katı değildir"BitirKod, girilen sayının

{12}

sayısının katı olup olmadığını yazdırmaktadır. İspatlanan önermeye göre kodun yanlış sonuç yazdırdığı en küçük iki basamaklı doğal sayı aşağıdakilerden hangisidir?

A $\displaystyle 10$
B $\displaystyle 12$
C $\displaystyle 15$
D $\displaystyle 16$
E $\displaystyle 24$

Çözümü göster

Soru 20KavramÇoktan seçmeli5 puanOrta

Bir öğrenci "İki tek tam sayının toplamı çift sayıdır." önermesini ispatlamıştır. Sonra bu ispata dayanarak, girilen

{a}

{b}

tam sayıları için çalışan iki algoritma yazmıştır. İki algoritmada da karar kutusundaki koşul sağlanırsa ekrana "Çift" yazılmakta, sağlanmazsa "Karar verilemez" yazılmaktadır. Karar kutularındaki koşullar tabloda verilmiştir.Buna göre algoritmalardan hangisi ispatlanan önermeyle tam olarak örtüşür?

A $Yalnız 1. algoritma$
B $Yalnız 2. algoritma$
C $İkisi de örtüşür$
D $İkisi de örtüşmez$
E $Örtüşme girilen sayılara bağlıdır$

Çözümü göster

Soru 21KavramÇoktan seçmeli5 puanOrta

Bir öğrenci "

{1}

ile

{20}

arasındaki (uçlar dâhil) tam sayılardan en az biri tam karedir." önermesini sınamak için tabloda verilen algoritmayı yazmıştır. Algoritmada

{i}

sayacı,

{b}

ise bayrak değişkenidir; bayrak bir koşulun sağlandığını kaydeder.Önermenin niceleyicisi "en az bir" olduğu hâlde algoritma bütün sayıları taramaktadır. Algoritmanın, önermenin doğruluğu kesinleştiği anda taramayı bırakıp çıktısını yazması için hangi değişiklik yapılmalıdır?

A $4. satırdaki 20 sayısı 10 yapılır$
B $2. satıra, b Evet ise 5. satıra git yazılır$
C $1. satırda b, Evet olarak başlatılır$
D $3. satır ile 4. satır yer değiştirir$
E $5. satır 2. satırdan önce yazılır$

Çözümü göster

Soru 22KavramKısa cevap4 puanKolay

"Her

{n}

pozitif tam sayısı için

{n^2 + 1}

sayısı asaldır." önermesi veriliyor.Buna göre bu önermeyi yanlış çıkaran en küçük pozitif tam sayıyı bulunuz.

Çözümü göster

Soru 23KavramKısa cevap4 puanKolay

"Her

{n}

doğal sayısı için

{n^2}

sayısı

{n}

sayısından büyüktür." önermesi veriliyor.Buna göre bu önermeyi yanlış çıkaran en büyük doğal sayıyı bulunuz.

Çözümü göster

Soru 24KavramKısa cevap6 puanOrta

Bir öğrenci "Rakamları toplamı

{20}

olan en az bir üç basamaklı doğal sayı vardır." önermesini ispatlamak istemektedir. Öğrenci, bu önermeyi ispatlamak için koşulu sağlayan tek bir sayı göstermenin yettiğini bilmektedir.Buna göre öğrencinin gösterebileceği en küçük sayıyı bulunuz.

Çözümü göster

Soru 25KavramÇoktan seçmeli5 puanOrta

Bir öğrenci "Bir tam sayının karesi çifttir ancak ve ancak sayının kendisi çiftse." önermesini ispatlamış ve bu ispata dayanarak aşağıdaki sözde kodu yazmıştır.Girdi:

{n}

(tam sayı)Başla

{\quad n \,\%\, 2 = 0}

ise yazdır "Karesi çifttir"

{\quad}

değilse yazdır "Karesi tektir"BitirBuna göre kodun her girdide doğru sonuç yazdırdığını göstermek için öğrencinin ispatladığı önermeye ek olarak aşağıdakilerden hangisini de ispatlaması gerekir?

A $\displaystyle (n \,\%\, 2 \neq 0) \Rightarrow (n^2 \,\%\, 2 \neq 0)$
B $\displaystyle (n^2 \,\%\, 2 = 0) \Rightarrow (n \,\%\, 2 = 0)$
C $\displaystyle (n \,\%\, 2 = 0) \Rightarrow (n^2 \,\%\, 4 = 0)$
D $\displaystyle (n^2 \,\%\, 2 \neq 0) \Rightarrow (n \,\%\, 2 \neq 0)$
E $Hiçbiri; ispatlanan önerme yeter$

Çözümü göster

Soru 26KavramÇoktan seçmeli5 puanOrta

"Her

{n}

pozitif tam sayısı için

{n^2 + n + 17}

sayısı asaldır." önermesi veriliyor. Bir öğrenci bu önermeyi sınamak için bir algoritma yazmıştır: algoritma

{1}

ile

{15}

arasındaki (uçlar dâhil) sayıları tek tek denemekte ve önermeyi yanlış çıkaran sayıları ekrana yazmaktadır. Algoritma çalıştırıldığında ekrana hiçbir sayı yazılmamıştır.Buna göre bu çıktı önerme için neyi gösterir?

A $Önerme ispatlanmıştır$
B $Bu çıktı önermeyi yanlışlar$
C $Karşıt örnek bulunmuştur$
D $Bu aralıkta karşıt örnek yok, ispat eksik$
E $Sonsuz kümede önerme ispatlanamaz$

Çözümü göster

Soru 27KavramÇoktan seçmeli5 puanOrta

Bir öğrenci "

{x^2 = x}

eşitliğini sağlayan her

{x}

gerçek sayısı için

{x = 0}

veya

{x = 1}

olur." önermesini iki duruma ayırarak ispatlamıştır: birinci durumda

{x = 0}

alınır ve hüküm doğrudan sağlanır; ikinci durumda

{x \neq 0}

alınır, eşitliğin iki tarafı

{x}

sayısının çarpmaya göre tersiyle çarpılır ve sonuç bulunur. Öğrenci bu ispattan aşağıdaki sözde kodu yazmıştır.Girdi:

{x}

(

{x^2 = x}

eşitliğini sağlayan gerçek sayı)Başla

{\quad x = 0}

ise yazdır "Birinci çıkış"

{\quad}

değilse yazdır "İkinci çıkış"BitirBuna göre kodun iki çıkışı, önermenin hükmündeki hangi parçalara karşılık gelir?

A $Birinci çıkışta x = 0, ikincide x = 1$
B $Birinci çıkışta x = 1, ikincide x = 0$
C $İki çıkış da x = 0 parçasını taşır$
D $Yalnız ikinci çıkış hüküm taşır$
E $Hükmün parçaları çıkışlara bölünemez$

Çözümü göster

Soru 28KavramÇoktan seçmeli3 puanKolay

Bir algoritma, "Her

{n}

pozitif tam sayısı için

{n^2 \geq 3n}

eşitsizliği doğrudur." önermesini sınamaktadır. Algoritma sayıları

{1}

sayısından başlayarak birer birer denemekte ve eşitsizliği sağlamayan ilk sayıyı ekrana yazıp durmaktadır. Algoritma ekrana bir sayı yazmıştır.Buna göre bu çıktı hangi önermenin doğru olduğunu gösterir?

A $Hiçbir sayı için eşitsizlik sağlanmaz$
B $En az bir sayı için eşitsizlik sağlanmaz$
C $Her sayı için eşitsizlik sağlanır$
D $Eşitsizlik yalnız bir sayıda sağlanmaz$
E $Önermenin doğruluk değeri belirlenemez$

Çözümü göster

Soru 29SözelKısa cevap6 puanOrta

Bir takvim uygulamasında "

{2001}

ile

{2099}

arasındaki (uçlar dâhil) her artık yılda şubat ayı

{29}

gün çeker." önermesi yazılıdır. Bu aralıkta bir yıl, yıl sayısı

{4}

sayısının katı olduğunda artık yıldır. Uygulamayı yazan kişi, önermeyi bir algoritmayla sınamak istemektedir; algoritma kendisine verilen her yıl için şubat ayının gün sayısını denetlemektedir.Buna göre algoritmanın önermenin ispatını tamamlaması için en az kaç yıl denemesi gerekir?

Çözümü göster

Soru 30KavramÇoktan seçmeli7 puanZor

İki önerme veriliyor.I. Her

{d}

rakamı için

{|2d - 9| \leq 9}

eşitsizliği doğrudur.II. Her

{n}

tam sayısı için

{|2n - 9| \geq 1}

eşitsizliği doğrudur.Bir öğrenci iki önermeyi de sayıları tek tek deneyen algoritmalarla sınamıştır. Algoritmaların denediği değerler tabloda verilmiştir; iki denemede de eşitsizliğe uymayan değer çıkmamıştır.Buna göre yalnız I. önermenin ispatlanmış sayılmasının nedeni aşağıdakilerden hangisidir?

A $Denenen değer sayısının az olması$
B $Birinci ifadenin daha yalın olması$
C $Birinci algoritmanın durması$
D $Birinci eşitsizlikte eşitliğin bulunması$
E $Birinci kümenin sonlu olması$

Çözümü göster

Soru 31Yeni nesilKısa cevap8 puanZor

Bir depo programı, girilen ürün sayısının

{4}

sayısının katı olup olmadığını yazdırmaktadır. Programı yazan kişi önce "

{20}

sayısının katı olan her doğal sayı

{4}

sayısının katıdır." önermesini ispatlamış, sonra programı bu ispata dayandırmıştır.Girdi:

{n}

(doğal sayı)Başla

{\quad n \,\%\, 20 = 0}

ise yazdır "Katıdır"

{\quad}

değilse yazdır "Katı değildir"Bitirİspatlanan önermeye göre programın yanlış sonuç yazdırdığı en küçük üç basamaklı doğal sayıyı yazınız.

Çözümü göster

Soru 32KavramAçık uçlu20 puanİleri

Bir öğrenci "İki pozitif tam sayının EBOB değeri

{1}

ise bu sayıların EKOK değeri, sayıların çarpımına eşittir." önermesini ispatlamış ve bu ispata dayanarak aşağıdaki sözde kodu yazmıştır.Girdi:

{a}

{b}

(pozitif tam sayılar)Başla

{\quad \text{EBOB}(a, b) = 1}

ise yazdır "EKOK çarpıma eşittir"

{\quad}

değilse yazdır "EKOK çarpıma eşit değildir"BitirTabloda iki sayı çifti için hesaplanan değerler verilmiştir; bir hücre boş bırakılmıştır.Buna göre aşağıdaki soruları cevaplayınız.

a)
Tabloda boş bırakılan hücreye gelen sayıyı bulunuz.(4 puan)
b)
Kodun "EKOK çarpıma eşittir" çıktısını gerekçelendiren önermeyi ${\Rightarrow}$ sembolüyle yazınız.(4 puan)
c)
Kodun "EKOK çarpıma eşit değildir" çıktısı için ispatlanması gereken önermeyi yazınız ve bu önermenin doğru olup olmadığını gerekçesiyle belirtiniz.(6 puan)
ç)
İki yön de doğru olduğuna göre kuralı, "ancak ve ancak" anlamına gelen ${\Leftrightarrow}$ sembolüyle tek satırda yazınız.(6 puan)

Çözümü göster

Soru 33KavramÇoktan seçmeli7 puanZor

"Her

{x}

gerçek sayısı için

{|x| + x \geq 0}

eşitsizliği doğrudur." önermesi,

{x}

sayısının işaretine göre durumlara ayrılarak ispatlanmaktadır. Durum ayrımı şekildeki karar ağacında verilmiştir: her dalın etiketi o dalın kapsadığı durumu, kutusu ise o durumda

{|x| + x}

ifadesinin eşit olduğu değeri göstermektedir.Buna göre ağacın kapsamadığı durum ve o durumda ifadenin değeri aşağıdakilerden hangisidir?

A $x = 0 durumu, değer 0$
B $Sıfır ile negatif sayılar, değer 0$
C $x = 0 durumu, değer belirsiz$
D $Ağaç bütün durumları kapsar$
E $Negatif olmayan sayılar, değer 2x$

Çözümü göster

Soru 34KavramKısa cevap6 puanOrta

Bir öğrenci "Her

{n}

tam sayısı için

{n^2 + n}

sayısı çift sayıdır." önermesini ispatlamaktadır. Öğrenci önce

{n^2 + n = n \cdot (n + 1)}

yazmış, sonra ispatı

{n}

sayısının durumuna göre ikiye ayırmıştır. Durum ayrımı şekildeki karar ağacında verilmiştir: her dalın etiketi o dalın kapsadığı durumu, kutusu ise o durumda çarpımın aldığı biçimi gösterir (

{k}

bir tam sayıdır).Ağaçta soru işaretiyle boş bırakılan dalın etiketine yazılması gereken durumu yazınız.

Çözümü göster

Soru 35KavramAçık uçlu20 puanİleri

Aşağıda aynı kuralın üç ayrı yazımı verilmiştir.I. Bir tam sayı ile o tam sayının bir fazlası çarpıldığında sonuç her zaman çift sayı olur.II. Ardışık iki tam sayının çarpımı çifttir.III.

{\forall n \in \mathbb{Z}}

için

{n \cdot (n + 1)}

sayısı çifttir.Şekildeki tabloda kuralın sınanacağı üç tam sayı verilmiştir.Buna göre aşağıdaki soruları cevaplayınız.

a)
Tablodaki boş sütunu doldurunuz.(4 puan)
b)
Üç yazımdan hangisi niceleyiciyi saklamaktadır? O yazımı, saklanan niceleyiciyi ekleyerek yeniden yazınız.(5 puan)
c)
Girilen bir tam sayı için çalışan bir algoritmanın karar kutusuna doğrudan çevrilebilen yazım hangisidir? Nedenini yazınız.(5 puan)
ç)
III. yazımdaki niceleyicinin kümesi tam sayılar yerine doğal sayılar yapılırsa önermenin doğruluk değeri değişir mi? Gerekçesiyle yazınız.(6 puan)

Çözümü göster

Soru 36Yeni nesilAçık uçlu20 puanİleri

Bir kütüphanede her kitabın etiketinde beş rakamlı bir kod vardır. Kodun son rakamı kontrol basamağıdır: ilk dört rakamın toplamının

{10}

sayısına bölümünden kalan son rakama eşitse kod geçerlidir. Bir görevli "Geçerli bir kodun beş rakamının toplamı ile son rakamının iki katı arasındaki fark

{10}

sayısının katıdır." önermesini ispatlamış, sonra ispatın dört adımını karıştırarak aşağıdaki gibi numaralandırmıştır.(1) Beş rakamın toplamı

{t + s}

olduğundan bu toplam

{10q + 2s}

değerine eşittir.(2) İlk dört rakamın toplamı

{t}

, son rakam

{s}

olsun; kural gereği

{t}

sayısının

{10}

sayısına bölümünden kalan

{s}

olur.(3) Beş rakamın toplamı ile

{2s}

arasındaki fark

{10q}

olur ve bu sayı

{10}

sayısının katıdır.(4) Buna göre

{t = 10q + s}

olacak biçimde bir

{q}

doğal sayısı vardır.Şekildeki tabloda dört etiket kodu verilmiştir;

{t}

sütunu ilk dört rakamın toplamını, Geçerli sütunu ise kodun geçerli olup olmadığını gösterecektir.Buna göre aşağıdaki soruları cevaplayınız.

a)
İspat adımlarını, her adım bir öncekinin sonucunu kullanacak biçimde doğru sıraya diziniz.(5 puan)
b)
Tablodaki boş sütunları doldurunuz.(6 puan)
c)
Geçerli kodlardan küçük olanının beş rakamının toplamı ile son rakamının iki katı arasındaki farkı bulunuz.(4 puan)
ç)
Bu hesap, görevlinin ispatladığı önermeyi ispatlar mı? Gerekçesiyle yazınız.(5 puan)

Çözümü göster

Ders kılavuzu

Dersi açmak için çengel sorular, kavramı somutlaştıran benzetmeler ve öğrencilerin sık yaptığı yanlışlar.

Derse giriş: çengel sorular

Euler'in asal üreteci
${n^2 + n + 41}$ ifadesi ${n = 0, 1, 2, \ldots, 39}$ için hep asal sayı verir. Kırk örnek “her ${n}$ için asaldır” demeye yeter mi? ${n = 40}$ için deneyin: ${40^2 + 40 + 41 = 41^2}$ .
$\displaystyle n^2 + n + 41$
Siyah kuğu
Avrupalılar yüzyıllarca “bütün kuğular beyazdır” dedi; sonra Avustralya'da siyah kuğular görüldü. Binlerce beyaz kuğu bir önermeyi kanıtlamaz, tek bir siyah kuğu çürütür.
Yağmur ve ıslak yer
“Yağmur yağarsa yer ıslanır.” Yer ıslaksa yağmur yağmış mıdır? Belki biri bahçeyi sulamıştır. “ise” bağlacının ters yönü aynı önerme değildir.

Benzetmeler

Karşıt örnek
Bir kalecinin “bana gol atılamaz” iddiasıdır: yüz kurtarış iddiayı kanıtlamaz, tek bir gol bitirir.
Algoritmayla deneme
Bir dedektifin şüphelileri tek tek sorgulamasıdır. Liste sonluysa herkes sorgulanabilir; sonsuzsa sorgu bitmez ve ispat gerekir.
“ ${p}$ ise ${q}$ ”
Bir sözdür: “Ödevini yaparsan parka gideriz.” Ödev yapılır da parka gidilmezse söz bozulur; ödev yapılmadıysa söz bozulmuş sayılmaz.

Sık yapılan yanlışlar

Çok sayıda örnekte doğru çıkan önerme ispatlanmış olur.
Sonsuz sayıda durum varsa örnekler ispat değildir; Euler'in ifadesi kırk örnekten sonra bozulur.
Euler örneğini hesap makinesiyle ${n = 40}$ 'a kadar izletin.
“ ${p}$ ise ${q}$ ” önermesinin karşıt örneği, ${q}$ 'nun doğru ve ${p}$ 'nin yanlış olduğu durumdur.
Önermeyi bozan tek durum ${p}$ 'nin doğru, ${q}$ 'nun yanlış olmasıdır.
Söz benzetmesindeki dört durumu tabloya yazdırıp sözün bozulduğu satırı işaretletin.
$\displaystyle p \Rightarrow q \equiv 0 \iff p \equiv 1,\ q \equiv 0$
“ ${p}$ ise ${q}$ ” doğruysa “ ${q}$ ise ${p}$ ” de doğrudur.
“ ${4}$ 'e bölünen her sayı çifttir” doğrudur; “her çift sayı ${4}$ 'e bölünür” yanlıştır ( ${6}$ ).
Bir önermeyi ve tersini yan yana yazdırıp ikisine ayrı ayrı karşıt örnek aratın.
Bir karşıt örnek bulununca “bazı” önermesi de yanlış olur.
Karşıt örnek yalnız “her” önermesini çürütür; “bazı” önermesi için bir uygun örnek yeter.
Aynı koşulla “her” ve “bazı” önermelerini yan yana sınattırın.
En küçük karşıt örnek tahminle bulunur.
Değerler sırayla denenmezse daha küçük bir karşıt örnek atlanabilir.
${n = 1, 2, 3, \ldots}$ diye ilerleyen bir deneme tablosu kurdurun.
“ ${x + 2 = 5}$ ” bir önermedir.
${x}$ belli değilse cümlenin doğruluk değeri yoktur; niceleyici eklenince (“bazı ${x}$ için”) önerme olur.
Cümlenin başına “her” ve “bazı” ekletip iki önermenin değerini buldurun.

Tahtada anlatım sırası9 adımı göster

1
Euler çengeliyle başlayın. 9.5.1 ve 9.5.2'de kullanılan bağlaçları ve niceleyicileri bir algoritmada gözden geçirin.
Süreç bileşeni a: algoritmalardaki bağlaç ve niceleyici kullanımını gözden geçirir.
2
Bir “her” önermesini sınayan algoritma yazın: ${n = 1}$ 'den başla, önerme bozulursa dur ve ${n}$ 'yi yaz. En küçük karşıt örneği bu algoritmanın çıktısı olarak tanımlayın.
3
${n^2 < 5n + 6}$ gibi bir önermeyi tabloyla sınatın; önermenin bozulduğu ilk ${n}$ değerini buldurun.
$\displaystyle n^2 < 5n + 6$
4
“ise” bağlacını söz benzetmesiyle tanıtın; dört satırlık doğruluk tablosunu yazdırın.
Süreç bileşeni b: bağlaçların doğrulama süreçlerindeki kullanımına yönelik çıkarım yapar.
5
“ ${6}$ 'ya bölünen her sayı ${3}$ 'e bölünür” ve tersini sınatın. Tersin karşıt örneklerini ${1}$ 'den ${30}$ 'a kadar saydırın.
6
Bir “ispat” ile bir “deneme”yi karşılaştırın: “iki tek sayının toplamı çifttir” önermesini önce on örnekle, sonra ${2a + 1}$ ve ${2b + 1}$ yazarak ispatlatın.
$\displaystyle (2a + 1) + (2b + 1) = 2(a + b + 1)$
Süreç bileşeni b: ispat süreçlerinde niceleyici kullanımına yönelik çıkarım yapar.
7
Niceleyicisiz cümleleri önermeye çevirtin; aynı cümlenin “her” ve “bazı” ile değerini karşılaştırın.
8
Günlük dildeki belirsiz cümleleri (“öğrenciler sınavı geçti”) matematik diliyle kesinleştirtin: hepsi mi, bazısı mı?
Süreç bileşeni c: bağlaç ve niceleyicilerin matematik dilinin kesinliğindeki rolünü değerlendirir.
9
Kapanış: “Bir karşıt örnek ne zaman yeter, ne zaman ispat gerekir?” sorusunu sınıfça cevaplayın.

Ödev ve çalışma kâğıdı

Her antrenman tek bir beceriyi bol tekrarla çalıştırır. Hangisinden kaç kalem istediğini seç; kâğıt ve çözümlü cevap anahtarı tarayıcında hazırlanır.

Ödev kâğıdı oluştur

Her alıştırmadan kaç kalem istediğini seç. Kalemler hazır havuzdan rastgele gelir; iki sınıfa iki ayrı kâğıt verebilirsin. Çözümlü cevap anahtarı da hazır.

Alıştırmalar

Karşıt örnek önermeyi yanlış yapan değerdir. ${n = 1, 2, 3, \ldots}$ değerlerini sırayla deneyiniz; önermeyi bozan ilk değer en küçük karşıt örnektir.
1. 1)“Her ${n}$ pozitif tam sayısı için ${n^2 < 3n + 29}$ ” önermesinin en küçük karşıt örneği kaçtır?= $\displaystyle 8$
2. 2)“Her ${n}$ pozitif tam sayısı için ${1 + 2 + \cdots + n < 75}$ ” önermesinin en küçük karşıt örneği kaçtır?= $\displaystyle 12$
3. 3)“Her ${n}$ pozitif tam sayısı için ${2^n < 223}$ ” önermesinin en küçük karşıt örneği kaçtır?= $\displaystyle 8$
/ 40
“ ${p}$ ise ${q}$ ” önermesinin karşıt örneği, ${p}$ 'nin doğru ve ${q}$ 'nun yanlış olduğu durumdur. Karşıt örnekleri sayınız.
1. 1)“ ${1, 2, \ldots, 74}$ sayılarından ${5}$ ile tam bölünen her sayı ${4}$ ile de tam bölünür.” Önermenin kaç karşıt örneği vardır?= $\displaystyle 11$
2. 2)“ ${1, 2, \ldots, 21}$ sayılarından her çift sayı ${6}$ ile tam bölünür.” Önermenin kaç karşıt örneği vardır?= $\displaystyle 7$
3. 3)“ ${1, 2, \ldots, 27}$ sayılarından ${2}$ sayısından büyük her ${k}$ için ${k^2 > 52}$ olur.” Önermenin kaç karşıt örneği vardır?= $\displaystyle 5$
/ 40

Kâğıt başlığı

Çalışma boşluğu

Yok8 mm15 mm25 mm

Ad, sınıf, süre satırıCevap anahtarında kısa çözüm

0 kalem

İndirmek için en az bir kalem seç.

Kazanım künyesi

9. sınıf Mantık ve algoritma için 36 çözümlü soru: soruları sayfada çöz, takıldığında adım adım çözümü aç; seçtiğin sorulardan test, yaprak test ya da yazılı kâğıdı hazırla ve cevap anahtarıyla PDF olarak indir; ödev için alıştırma (çalışma) kâğıdı çıkar; derste soruları akıllı tahtada tek tek aç; ders kılavuzunda derse giriş, kavram yanılgıları ve tahta akışı var. 2. dönem yazılısına ve ortak sınava hazırlıkta kullanılır.

Kod: MAT.9.5.3
Kapsadığı konular: mantık bağlaçları, niceleyiciler, algoritmik problemler
Dönem ve hafta: 2. dönem, 27. haftalar, 4 ders saati
Süreç bileşenleri: a)Karşılaştığı algoritmalardaki mantık bağlaçları ve niceleyicilerin kullanımını gözden geçirir.
b)Matematiksel problem çözme, doğrulama ve ispat süreçlerinde mantık bağlaçları ve niceleyicilerin kullanımına yönelik çıkarımlar yapar.
c)Mantık bağlaçları ve niceleyicilerin matematiksel dil ve sembolizmin yalınlık ve kesinliğindeki rolünü eğerlendirir.
Ders kitabında: 5. Tema — Algoritma ve Bilişim, 5.3 Algoritmalarda ve Matematiksel İspatlarda Mantık Bağlaçları ve Niceleyiciler

Mantık ve algoritma

Sorular ve çözümleri

Ders kılavuzu

Derse giriş: çengel sorular

Benzetmeler

Sık yapılan yanlışlar

Ödev ve çalışma kâğıdı

Ödev kâğıdı oluştur

Test PDF'i

Test PDF'i hazırla

Kazanım künyesi