9. sınıf, Eşlik ve BenzerlikMAT.9.4.5

Eşlik ve benzerlik problemleri

Eşlik ve Benzerlik Problemleri

Kazanım: Eşlik ve benzerlikle ilgili çıkarım ve teoremleri içeren problemleri çözebilme.

Tahtada aç Yazılı hazırla

Sorular ve çözümleri

Her sorunun altında adım adım çözüm var. Çoktan seçmelide doğru şık, çözümü açınca işaretlenir.

Zorluk

Cevap biçimi

Soru türü

Şekil

36 soru gösteriliyor

Soru 1SözelKısa cevap4 puanKolay

Bir fen kulübü, ışık geçirmeyen bir kutunun bir yüzüne çok küçük bir delik açarak basit bir görüntü düzeneği kurmuştur. Kutunun dışındaki bir nesneden gelen ışık bu delikten geçer ve karşıdaki yüzeyde nesnenin ters duran görüntüsü oluşur.Şekilde nesne

{[AB]}

, delik

{O}

, görüntü ise

{[CD]}

ile gösterilmiştir.

{A}

{O}

{C}

noktaları ile

{B}

{O}

{D}

noktaları doğrusaldır. Nesne ile görüntünün bulunduğu yüzeyler birbirine paraleldir.Nesnenin boyu

{24}

cm, nesnenin deliğe uzaklığı

{60}

cm, deliğin görüntünün oluştuğu yüzeye uzaklığı

{15}

cm'dir.Buna göre görüntünün boyu kaç cm'dir?

Çözümü göster

Cevap: $\displaystyle 6$

1
Nesne ile görüntünün bulunduğu yüzeyler paralel olduğundan ${[AB] \mathrel{/\!\!/} [CD]}$ olur.
2
${O}$ noktasında oluşan açılar ters açı olduğundan eşittir; paralel doğrularda iç ters açılar da eşit olduğundan ${AOB}$ ile ${COD}$ üçgenleri benzerdir.
3
Benzerlik oranı, deliğe olan uzaklıkların oranıdır: ${\dfrac{|CD|}{|AB|} = \dfrac{15}{60} = \dfrac{1}{4}}$ .
4
Buradan ${|CD| = 24 \cdot \dfrac{1}{4}}$ olur ve görüntünün boyu ${6}$ cm bulunur.

Soru 2KavramÇoktan seçmeli3 puanKolay

Bir okul kulübü, bahçedeki bayrak direğinin boyunu ölçmek için şu düzeni kurmuştur: direğin dibinden başlayan düz bir doğrultu üzerinde bir noktaya yere dik bir ölçüm çubuğu dikilmiş, sonra aynı doğrultuda geriye gidilerek çubuğun tepesi ile direğin tepesinin aynı hizada göründüğü gözlem noktası bulunmuştur. Ölçümü yapan öğrenci yere uzanmaktadır, yani gözü yer düzlemindedir.Kulüp şu iki uzunluğu ölçmüştür: gözlem noktasının çubuğa uzaklığı ve gözlem noktasının direğe uzaklığı.Buna göre kulübün direğin boyunu hesaplayabilmesi için aşağıdakilerden hangisini daha ölçmesi gerekir?

A $Ölçüm çubuğunun boyu$
B $Ölçümü yapan öğrencinin boyu$
C $Direğin dibi ile çubuk arasındaki uzaklık$
D $Direğin gölgesinin boyu$
E $Ölçümün yapıldığı saat$

Çözümü göster

ADoğru cevap

1
Gözlem noktası ${G}$ , çubuğun dibi ${K}$ , tepesi ${L}$ , direğin dibi ${T}$ , tepesi ${P}$ olsun. Çubuk ile direk yere dik olduğundan ${[KL] \mathrel{/\!\!/} [TP]}$ olur.
2
${G}$ , ${L}$ , ${P}$ noktaları doğrusal olduğundan ${GKL}$ ile ${GTP}$ üçgenleri benzerdir (A.A.).
3
Benzerlikten ${\dfrac{|TP|}{|KL|} = \dfrac{|GT|}{|GK|}}$ elde edilir. Sağ taraftaki iki uzunluk zaten ölçülmüştür.
4
Bu orantıda ${|TP|}$ 'yi bulmak için yalnız ${|KL|}$ eksiktir; yani ölçülmesi gereken $Ölçüm çubuğunun boyu$ olur.

Yanlış şıklar neden yanlış?

B)Göz yer düzleminde olduğu için öğrencinin boyu modele hiç girmez; bu veri gözün yerden yükseldiği kurulumlarda gerekir.
C)Bu uzunluk ölçülen iki uzaklığın farkıdır; yeni bir bilgi taşımaz.
D)Kurulan düzen gölgeye dayanmıyor; gölge ancak ayrı bir yöntemde işe yarar.
E)Saat yalnız gölge yönteminde anlamlıdır; bu düzende ışığın hiçbir rolü yoktur.

Soru 3KavramÇoktan seçmeli3 puanKolay

Bir katlanır sehpanın ayağı,

{[PR]}

{[QS]}

çubuklarının

{O}

noktasında birbirine vidalanmasıyla yapılmıştır.

{O}

noktası her iki çubuğun da orta noktasıdır. Sehpa açıldığında

{P}

ile

{Q}

uçları yere,

{R}

ile

{S}

uçları tablaya değer.Bir usta, "tabla ile yerin her zaman birbirine paralel kalmasının sebebi iki üçgenin eş olmasıdır" demektedir.Buna göre ustanın söz ettiği eşlik aşağıdakilerden hangisidir?

A $\displaystyle POQ \cong ROS$
B $\displaystyle POQ \cong OSR$
C $\displaystyle POQ \cong SOR$
D $\displaystyle POR \cong QOS$
E $\displaystyle PQO \cong ROS$

Çözümü göster

ADoğru cevap

1
${O}$ noktası ${[PR]}$ 'nin orta noktası olduğundan ${|OP| = |OR|}$ , ${[QS]}$ 'nin orta noktası olduğundan ${|OQ| = |OS|}$ olur.
2
${P}$ , ${O}$ , ${R}$ ile ${Q}$ , ${O}$ , ${S}$ doğrusal olduğundan ${P\widehat{O}Q}$ ile ${R\widehat{O}S}$ ters açıdır ve ölçüleri eşittir.
3
İki kenar ve aradaki açı eş olduğundan iki üçgen eştir (K.A.K.). Eşleşme ${P \leftrightarrow R}$ , ${O \leftrightarrow O}$ , ${Q \leftrightarrow S}$ biçimindedir.
4
Öyleyse ustanın söz ettiği eşlik ${POQ \cong ROS}$ olur.

Yanlış şıklar neden yanlış?

B)Köşe sırası kaymış: ${O}$ köşesi karşı üçgende ${S}$ ile eşleşiyor, oysa ortak köşe kendisiyle eşleşmelidir.
C)Bu yazım ${P \leftrightarrow S}$ ve ${Q \leftrightarrow R}$ diyor; oysa ${[OP]}$ ile ${[OR]}$ eşittir, ${[OS]}$ ile değil.
D) ${P}$ , ${O}$ , ${R}$ noktaları doğrusaldır; doğrusal üç nokta üçgen oluşturmaz.
E)Ortak köşe ${O}$ , bir üçgende üçüncü sırada öteki üçgende ikinci sırada yazılmış; eşleşme tutmuyor.

Soru 4SözelKısa cevap4 puanKolay

Bir vitray ustası, ikizkenar üçgen biçimindeki birbirine eş iki cam parçasını taban kenarları çakışacak biçimde birleştirerek tek bir dörtgen elde etmiştir. Parçalardan birinin kenar uzunlukları

{13}

cm,

{13}

cm ve

{10}

cm'dir;

{10}

cm'lik kenar tabandır.Usta, elde ettiği dörtgenin çevresine kurşun şerit geçirecektir.Buna göre şeridin uzunluğu kaç cm olmalıdır?

Çözümü göster

Cevap: $\displaystyle 52$

1
İki parça taban kenarlarından birleştirildiği için ortak taban dörtgenin içinde kalır; çevrenin parçası değildir.
2
Dörtgenin çevresini oluşturan kenarlar, her parçanın ${13}$ cm'lik iki kenarıdır; toplam dört kenar vardır.
3
Çevre ${4 \cdot 13}$ işlemiyle bulunur ve şeridin uzunluğu ${52}$ cm olur.

Soru 5SözelÇoktan seçmeli5 puanOrta

Bir sahne kurulumunda, zemine yatay olarak

{B}

{C}

noktaları arasına bir halat gerilmiştir.

{T}

noktasındaki makara askısına,

{B}

{C}

noktalarından birer halat daha gerilmiştir ve bu iki halat arasındaki açı

{90^{\circ}}

'dir.Askıyı taşımak için

{T}

noktasından yatay halata dik bir çelik çubuk indirilmiştir; çubuğun yatay halata değdiği nokta

{H}

'dir.

{|BH| = 200}

cm ve

{|HC| = 50}

cm'dir.Buna göre çelik çubuğun uzunluğu kaç cm'dir?

A $\displaystyle 40$
B $\displaystyle 50$
C $\displaystyle 100$
D $\displaystyle 125$
E $\displaystyle 150$

Çözümü göster

CDoğru cevap

1
${T}$ köşesindeki açı dik ve ${[TH] \perp [BC]}$ olduğundan ${TBC}$ üçgeni, hipotenüsüne ait yüksekliği çizilmiş bir dik üçgendir.
2
Bu kurulumda Öklid teoreminin yükseklik bağıntısı geçerlidir: ${|TH|^2 = |BH| \cdot |HC|}$ .
3
Verilen değerler yerine konursa ${|TH|^2 = 200 \cdot 50 = 10000}$ olur.
4
Buradan ${|TH| = 100}$ bulunur; çelik çubuğun uzunluğu ${100}$ cm olur.

Yanlış şıklar neden yanlış?

A)Bağıntı çarpım yerine kesir kurularak ${\dfrac{200 \cdot 50}{200 + 50}}$ hesaplanmış.
B) ${|HC|}$ uzunluğu cevap sanılmış; sorulan ise dikmenin kendisidir.
D)Dikme, yatay halatın yarısı sanılmış: ${\dfrac{200 + 50}{2}}$ hesaplanmış.
E)İki parçanın farkı ( ${200 - 50}$ ) alınmış.

Soru 6Yeni nesilKısa cevap6 puanOrta

Bir otoparkın girişindeki bariyer, düz bir koldan ve bu kolun

{C}

noktasına bağlanmış, yere dik duran bir destekten oluşur. Desteğin yere değdiği nokta

{K}

'dir ve destek her iki durumda da aynı yerdedir.Kolun

{A}

ucu yere değdiğinde

{B}

ucunun yerden yüksekliği

{150}

cm,

{B}

ucu yere değdiğinde

{A}

ucunun yerden yüksekliği

{100}

cm olarak ölçülmüştür. (Kolun kalınlığı ihmal edilecektir.)Buna göre desteğin uzunluğu kaç cm'dir?

Çözümü göster

Soru 7KavramÇoktan seçmeli5 puanOrta

Bir belediye ekibi, bir parktaki yürüyüş yolunun

{A}

{B}

uçları arasındaki uzaklığı ölçmek istemektedir. Yolun ortasında bir gölet bulunduğu için şerit metre

{A}

ile

{B}

arasında doğrudan gerilememektedir. Ekip, göletin dışında kalan ve her iki ucu da gören bir

{C}

noktası seçmiştir;

{[CA]}

{[CB]}

boyunca ölçüm yapılabilmektedir.Üç teknisyen aşağıdaki stratejileri önermiştir.I.

{[CA]}

ile

{[CB]}

'nin orta noktaları işaretlenir, bu iki nokta arasındaki uzaklık ölçülür ve iki katı alınır.II.

{[CA]}

{A}

'nın ötesine kendi uzunluğu kadar uzatılarak bir nokta işaretlenir;

{[CB]}

{B}

'nin ötesine kendi uzunluğu kadar uzatılarak ikinci bir nokta işaretlenir. Bu iki nokta arasındaki uzaklık ölçülür ve yarısı alınır.III.

{|CA|}

ile

{|CB|}

ölçülür ve toplanır.Buna göre bu stratejilerden hangileri

{|AB|}

uzunluğunu vermez?

A $Yalnız I$
B $Yalnız II$
C $Yalnız III$
D $I ve III$
E $II ve III$

Çözümü göster

Soru 8SözelÇoktan seçmeli5 puanOrta

Bir kayak merkezinde, düz bir zemine dikilmiş iki taşıma kulesi arasında gergin bir halat bulunmaktadır. Kuleler yere diktir; tabanları

{A}

{B}

noktalarında olup yükseklikleri sırasıyla

{90}

m ve

{30}

m'dir ve

{|AB| = 120}

m'dir. Halat, kulelerin tepe noktaları

{T}

ile

{S}

arasında gergindir.Bakım ekibi,

{A}

noktasına

{80}

m uzaklıktaki

{K}

noktasından halata kadar yere dik bir ölçüm çubuğu uzatmaktadır; çubuğun halata değdiği nokta

{M}

'dir.Buna göre

{M}

noktasının yerden yüksekliği kaç metredir?

A $\displaystyle 30$
B $\displaystyle 50$
C $\displaystyle 60$
D $\displaystyle 70$
E $\displaystyle 80$

Çözümü göster

Soru 9Yeni nesilAçık uçlu10 puanOrta

Bir belediye ekibi, bir caddeye yaya üst geçidi yapmak için caddenin genişliğini ölçmek istemektedir. Trafiği durdurmamak için şu düzeni kurarlar: caddenin karşı kenarındaki aydınlatma direğinin dibini

{K}

ile gösterir, bu noktanın tam karşısındaki kaldırım kenarına

{A}

kazığını çakarlar.

{A}

'dan kaldırım boyunca düz olarak

{18}

m yürüyüp

{B}

kazığını, aynı doğrultuda

{6}

m daha yürüyüp

{C}

kazığını çakarlar.Son olarak

{C}

'den kaldırıma dik olarak caddeden uzaklaşırlar ve

{K}

ile

{B}

noktalarının aynı hizada göründüğü

{D}

noktasında dururlar;

{|CD| = 5}

m ölçülmüştür.Caddenin genişliği

{|AK|}

uzunluğudur.

a)
Bu düzende hangi iki üçgen benzerdir? Benzerliği hangi koşulla söylediğinizi de yazınız.(3 puan)
b)
Caddenin genişliğini bulmak için kuracağınız stratejiyi bir cümleyle yazınız.(2 puan)
c)
Caddenin genişliğinin kaç metre olduğunu bulunuz.(3 puan)
ç)
Ekip ${C}$ kazığını ${B}$ 'den ${6}$ m yerine ${9}$ m ötede çaksaydı, ölçtüğü ${|CD|}$ uzunluğu kaç metre olurdu? Cevabınızı kurduğunuz oranla gerekçelendiriniz.(2 puan)

Çözümü göster

Soru 10KavramÇoktan seçmeli5 puanOrta

Bir projeksiyon cihazı, içindeki küçük görüntü çerçevesinden çıkan ışığı mercekten geçirip düz bir perdeye düşürür. Perdedeki görüntü ile çerçeve birbirine benzerdir ve benzerlik oranı, merceğin perdeye uzaklığının merceğin çerçeveye uzaklığına oranına eşittir.Bir teknisyen bu düzenek için şu üç önermeyi yazmıştır.I. Cihazın tamamı perdeye yaklaştırılırsa perdedeki görüntü küçülür.II. Cihaz yerinde kalıp mercek ile çerçeve arasındaki uzaklık artırılırsa perdedeki görüntü büyür.III. Mercek ile perde arasındaki uzaklık ve mercek ile çerçeve arasındaki uzaklık aynı oranda artırılırsa perdedeki görüntünün boyu değişmez.Buna göre bu önermelerden hangileri doğrudur?

A $Yalnız I$
B $Yalnız II$
C $Yalnız III$
D $I ve II$
E $I ve III$

Çözümü göster

Soru 11KavramÇoktan seçmeli5 puanOrta

Bir öğretmen, benzerliği göstermek için iki çubuğu

{K}

noktasında birbirine tutturarak bir düzenek yapmıştır; çubuklar

{K}

noktası etrafında serbestçe dönebilmektedir.

{[AC]}

çubuğunda

{|KA| = 8}

cm ve

{|KC| = 12}

cm,

{[BD]}

çubuğunda

{|KB| = 6}

cm ve

{|KD| = 9}

cm'dir.Öğretmen, çubukların uçları arasına

{[AB]}

{[CD]}

iplerini gererek şöyle demiştir: "Çubukları nasıl döndürürsem döndüreyim bu iki ip birbirine paralel kalır."Buna göre öğretmenin bu iddiası için aşağıdakilerden hangisi söylenebilir?

A $Yanlıştır, iki oran eşit değildir.$
B $Yanlıştır, dönünce benzerlik bozulur.$
C $Doğrudur, yalnız dik kesişirse geçerlidir.$
D $\displaystyle \text{Doğrudur, yalnız } |KA| = |KB| \text{ iken geçerlidir.}$
E $Doğrudur, her duruş için geçerlidir.$

Çözümü göster

Soru 12Yeni nesilKısa cevap8 puanZor

Bir tabela direğinin destek çerçevesi

{ABC}

üçgeni biçimindedir ve çerçevede

{[AB] \perp [BC]}

'dir.

{B}

köşesinden,

{[AC]}

kenarı üzerindeki

{D}

noktasına bir gergi teli çekilmiştir. Telin uzunluğu,

{[BC]}

kenarının uzunluğuna eşit olacak biçimde ayarlanmıştır.

{|AD| = 82}

cm ve

{|DC| = 18}

cm'dir.Buna göre gergi telinin uzunluğu kaç cm'dir?

Çözümü göster

Soru 13Yeni nesilÇoktan seçmeli7 puanZor

Bir depoda, düz zemine ve zemine dik bir duvara dayalı olarak duran

{50}

cm uzunluğunda bir sunta levha vardır. Zemin ile duvarın kesiştiği nokta

{O}

, levhanın duvara değdiği uç

{A}

, yere değdiği uç

{B}

'dir. Birinci durumda

{|OA| = 48}

cm ölçülmüştür.Levha,

{A}

ucu duvar boyunca aşağı kayacak biçimde itilmektedir. Kayma,

{|OA|}

ile

{|OB|}

uzunlukları birbirine eşit oluncaya kadar sürdürülür.Buna göre ikinci durumda bu ortak uzunluk kaç cm'dir?

A $\displaystyle \frac{25 \sqrt{2}}{2}$
B $\displaystyle 25$
C $\displaystyle 35$
D $\displaystyle 25 \sqrt{2}$
E $\displaystyle 50 \sqrt{2}$

Çözümü göster

Soru 14Yeni nesilÇoktan seçmeli7 puanZor

Bir terzi, üçgen biçimindeki bir kumaş parçasını bir kenarına paralel tek bir kesikle iki parçaya ayırmaktadır. Şekilde kumaş

{ABC}

üçgeni, kesik ise

{[DE]}

ile gösterilmiştir;

{D}

noktası

{[AB]}

{E}

noktası

{[AC]}

üzerindedir ve

{[DE] \mathrel{/\!\!/} [BC]}

'dir.

{|AD| = 8}

cm ve

{|DB| = 12}

cm'dir.Buna göre

{ADE}

üçgeni biçimindeki parçanın alanının,

{DBCE}

yamuğu biçimindeki parçanın alanına oranı kaçtır?

A $\displaystyle \frac{4}{25}$
B $\displaystyle \frac{4}{21}$
C $\displaystyle \frac{2}{5}$
D $\displaystyle \frac{4}{9}$
E $\displaystyle \frac{2}{3}$

Çözümü göster

Soru 15Yeni nesilÇoktan seçmeli7 puanZor

Bir tarım dronu,

{A}

noktasındaki istasyondan havalanıp önce doğuya doğru

{160}

m, sonra kuzeye doğru

{300}

m uçarak

{R}

noktasına ulaşmıştır. Ardından yön değiştirip güneye doğru

{x}

m uçmuş ve bataryası bittiği için inmiştir.Dronun indiği noktanın istasyona kuş uçuşu uzaklığı

{200}

m olarak ölçülmüştür. Dronun bütün uçuşu aynı yükseklikte olmuştur.Buna göre

{x}

'in alabileceği değerlerin toplamı kaçtır?

A $\displaystyle 180$
B $\displaystyle 300$
C $\displaystyle 420$
D $\displaystyle 600$
E $\displaystyle 720$

Çözümü göster

Soru 16Yeni nesilAçık uçlu20 puanİleri

Bir öğrenci, karşı kaldırımdaki bir binanın yüksekliğini binaya hiç yaklaşmadan ölçmek istemektedir. Şu yöntemi kullanır: bir cetveli kolunu uzatarak gözünden

{60}

cm uzakta, yere dik olarak tutar ve binanın tepesinin cetvel üzerinde hangi çizgide göründüğünü okur. Gözü, binanın tabanıyla aynı hizadadır.Şekilde birinci konum verilmiştir: gözün yeri

{G}

, cetvelin alt ucu

{K}

, üst ucu

{L}

, binanın tepesinin cetvelde göründüğü nokta

{M}

'dir.

{G}

{M}

{T}

noktaları doğrusaldır. Bu konumda öğrencinin okuduğu

{|KM|}

uzunluğu

{30}

cm'dir.Öğrenci daha sonra aynı doğrultuda

{20}

m geriye gider ve cetveli yine gözünden

{60}

cm uzakta tutar. Bu ikinci konumda okuduğu uzunluk

{20}

cm'dir.Binanın yüksekliği

{H}

metre, birinci konumdaki gözün binaya uzaklığı

{d}

metre olsun.

a)
Birinci konumda hangi iki üçgen benzerdir? Benzerliği hangi koşulla söylediğinizi de yazınız.(4 puan)
b)
İki konum için ${H}$ ve ${d}$ arasındaki iki bağıntıyı yazınız. (Cetveldeki okumalar santimetre, uzaklıklar metredir.)(5 puan)
c)
Binanın yüksekliğini ve birinci konumdaki uzaklığı bulunuz.(6 puan)
ç)
Öğrenci birinci konumda cetveli gözünden ${60}$ cm yerine ${75}$ cm uzakta tutsaydı, okuduğu uzunluk kaç cm olurdu?(5 puan)

Çözümü göster

Soru 17Yeni nesilAçık uçlu20 puanİleri

Bir ölçüm teknisyeni, bir vericinin yüksekliğini şu yöntemle bulmaktadır: dikdörtgen biçimli bir kartonu, kısa kenarı vericinin tabanıyla, uzun kenarı vericinin tepesiyle aynı hizaya gelecek biçimde aygıtın önünde tutar. Kartonun iki kenarının birleştiği köşe aygıta en yakın noktadır ve o köşedeki açı

{90^{\circ}}

'dir.Şekilde verici

{[BC]}

ile gösterilmiştir;

{B}

tabanı,

{C}

tepesidir.

{A}

noktası ölçüm aygıtının bulunduğu noktadır;

{A}

köşesindeki açı diktir ve

{A}

'dan

{[BC]}

üzerine inen dikmenin ayağı

{D}

'dir. Aygıtın yerden yüksekliği

{|BD| = h}

metre, vericiye uzaklığı

{|AD| = u}

metredir.Teknisyen ayrıca şu üç önermeyi yazmıştır.I.

{u}

değişmeyip

{h}

iki katına çıkarılırsa hesaplanan yükseklik de iki katına çıkar.II.

{h}

değişmeyip

{u}

artırılırsa hesaplanan yükseklik artar.III.

{h}

ile

{u}

aynı oranda büyütülürse hesaplanan yükseklik de aynı oranda büyür.

a)
Vericinin yüksekliğini ${h}$ ve ${u}$ cinsinden yazınız.(6 puan)
b)
${h = 2}$ m ve ${u = 10}$ m ölçüldüğüne göre vericinin yüksekliği kaç metredir?(4 puan)
c)
Üç önermenin her biri için doğru mu yanlış mı olduğunu gerekçesiyle yazınız.(10 puan)

Çözümü göster

Soru 18Yeni nesilÇoktan seçmeli9 puanİleri

Bir öğrenci, bahçedeki bir ağacın boyunu şu yöntemle ölçmüştür: ağaç ile kendisi arasındaki düz zemine yere dik bir ölçüm çubuğu dikmiş, sonra yere uzanıp gözünü yer düzlemine getirerek çubuğun tepesi ile ağacın tepesinin aynı hizada göründüğü noktayı bulmuştur.Şekilde gözün yeri

{G}

, çubuğun dibi

{K}

, tepesi

{L}

, ağacın dibi

{T}

, tepesi

{P}

noktasıdır;

{G}

{L}

{P}

noktaları doğrusaldır. Çubuğun boyu şekilde verilmiştir.Öğrenci

{|GK| = 180}

cm ve

{|GT| = 1200}

cm ölçmüş ve ağacın boyunu hesaplamıştır. Ölçüm bittikten sonra şerit metrenin ilk

{20}

cm'lik bölümünün kopuk olduğunu, bu yüzden

{|GK|}

uzunluğunun gerçekte

{200}

cm olduğunu fark etmiştir. Öteki iki ölçüm doğrudur.Buna göre öğrencinin bulduğu boy, ağacın gerçek boyundan kaç cm fazladır?

A $\displaystyle 20$
B $\displaystyle 80$
C $\displaystyle 120$
D $\displaystyle 720$
E $\displaystyle 800$

Çözümü göster

Soru 19SözelÇoktan seçmeli3 puanKolay

Bir paketleme atölyesinde, taşıyıcı bandın üzerine birbirinin eşi üçgen tutucu levhalar vidalanmıştır. Her levha, bir öncekinin bant boyunca

{36}

cm ötelenmiş kopyasıdır; öteleme levhaların biçimini ve ölçülerini değiştirmez.Şekilde bandın başlangıç noktası

{O}

, levhalar ise

{O}

noktasından sağa doğru sıralanmış dört üçgen olarak gösterilmiştir. Her levhanın bant üzerindeki tabanı

{14}

cm uzunluğundadır ve levhanın sivri köşesi tabanın sağ ucunun tam üzerindedir. Birinci levhanın tabanının sol ucu

{O}

noktasına

{20}

cm uzaklıktadır.Buna göre dördüncü levhanın sivri köşesinin

{O}

noktasına yatay uzaklığı kaç cm olur?

A $\displaystyle 106$
B $\displaystyle 128$
C $\displaystyle 142$
D $\displaystyle 178$
E $\displaystyle 184$

Çözümü göster

Soru 20KavramÇoktan seçmeli3 puanKolay

Bir avluda, farklı yükseklikteki iki duvarın tepe noktaları arasına düz bir aydınlatma teli gerilmiştir; tel sarkmamaktadır. İki duvarın arasındaki bir noktaya, zemine dik duran bir destek çubuğu dikilecek ve çubuk üst ucu tele değecek biçimde kesilecektir.Bir teknisyen, çubuğun ne kadar uzun olması gerektiğini kesimden önce hesaplamak istemektedir. Avlunun zemini düzdür ve duvarlar zemine diktir.Buna göre teknisyenin aşağıdaki ölçülerden hangisine ihtiyacı yoktur?

A $Duvarların kalınlığı$
B $Kısa duvarın yüksekliği$
C $Uzun duvarın yüksekliği$
D $İki duvar arasındaki uzaklık$
E $Çubuğun uzun duvara uzaklığı$

Çözümü göster

Soru 21SözelKısa cevap4 puanKolay

Bir kamp malzemesi atölyesinde, çadırların ön yüzüne tabana paralel bir gergi ipi dikilmektedir. Şekilde ön yüz

{ABC}

ikizkenar üçgeniyle gösterilmiştir;

{A}

noktası üçgenin üst köşesidir. İp,

{[AB]}

kenarı üzerindeki

{D}

noktası ile

{[AC]}

kenarı üzerindeki

{E}

noktası arasına dikilecektir ve

{[DE] \mathrel{/\!\!/} [BC]}

olacaktır.Usta

{D}

ile

{E}

noktalarını kumaşın üzerinde işaretlemiştir. İp henüz kesilmediği için

{|DE|}

uzunluğu doğrudan ölçülememektedir; usta bu uzunluğu ön yüzde yapacağı ölçümlerle hesaplayacaktır. Ön yüzde istediği uzunluğu ölçebilmektedir.Buna göre usta,

{|DE|}

uzunluğunu hesaplayabilmek için en az kaç uzunluk ölçmelidir?

Çözümü göster

Soru 22KavramÇoktan seçmeli5 puanOrta

Bir uçurtma atölyesinde aynı biçimde iki boy uçurtma üretilmektedir; küçük ve büyük uçurtmaların ön yüzleri birbirine benzer üçgenlerdir.Küçük uçurtmanın bir kenarı

{18}

cm, büyük uçurtmanın bu kenara karşılık gelen kenarı

{30}

cm ölçülmüştür. Küçük uçurtmanın ikinci bir kenarı ise

{24}

cm uzunluğundadır. Bir çırak, büyük uçurtmada bu ikinci kenara karşılık gelen kenarı hesaplamış ve

{20}

cm bulmuştur.Buna göre çırağın sonucunun yanlış olduğu, hesap tekrarlanmadan aşağıdakilerden hangisiyle anlaşılır?

A $Büyük uçurtmanın her kenarı daha uzundur$
B $Benzer uçurtmaların kenarları eşittir$
C $Büyük uçurtmanın çevresi daha kısadır$
D $Karşılıklı kenarların farkı sabittir$
E $Benzerlik oranı kenarların farkına eşittir$

Çözümü göster

Soru 23KavramÇoktan seçmeli5 puanOrta

Bir dükkânın tentesi şöyle kurulmuştur: duvara bağlanan düz bir kol duvardan dışa doğru yatay olarak uzanır ve kolun dış ucu ile duvar üzerindeki bir üst nokta arasına bir gergi teli gerilir.Usta, tenteyi güçlendirmek için ikinci bir gergi teli daha takacaktır. İkinci tel, kolun üzerindeki bir ara noktadan duvara gidecek ve birinci tele paralel olacaktır.Şekilde bu durum için beş aday model

{I}

ile

{V}

arasında numaralanarak çizilmiştir.Buna göre durumu doğru modelleyen şekil hangisidir?

A $\displaystyle \text{I}$
B $\displaystyle \text{II}$
C $\displaystyle \text{III}$
D $\displaystyle \text{IV}$
E $\displaystyle \text{V}$

Çözümü göster

Soru 24Yeni nesilÇoktan seçmeli5 puanOrta

Bir kapalı spor salonunda tribünün taşıyıcı kirişi düz bir doğru parçasıdır. Kiriş, zemindeki

{N}

noktasından başlar ve yükselerek tribünün arka kenarına ulaşır. Kirişin altına, zemine dik iki destek direği çakılmıştır; direklerin üst uçları kirişe değmektedir.Şekilde birinci direğin dibi

{S}

, üst ucu

{R}

, ikinci direğin dibi

{D}

, üst ucu

{Y}

noktasıdır;

{N}

{R}

{Y}

noktaları doğrusaldır. Birinci direğin boyu

{3}

{|NS| = 4}

m ve

{|ND| = 12}

m ölçülmüştür. Bir öğrenci ikinci direğin boyunu şöyle hesaplamıştır.1. adım:

{N}

köşesindeki açı ortaktır ve

{[SR]}

ile

{[DY]}

zemine dik olduğundan

{NSR}

ile

{NDY}

üçgenleri benzerdir.2. adım:

{\dfrac{|NS|}{|ND|} = \dfrac{4}{12} = \dfrac{1}{3}}

olur.3. adım: Buradan

{\dfrac{|DY|}{|SR|} = \dfrac{1}{3}}

yazılır.4. adım:

{|DY| = 3 \cdot \dfrac{1}{3} = 1}

m bulunur.Buna göre öğrenci ilk olarak hangi adımda hata yapmıştır?

A $1. adım$
B $2. adım$
C $3. adım$
D $4. adım$
E $Hata yok$

Çözümü göster

Soru 25KavramÇoktan seçmeli5 puanOrta

Bir atölyede aynı noktadan başlayan iki düz kılavuz çizgi, birbirinden uzaklaşarak gitmektedir. Bu iki çizgiyi kesen iki düz çıta birbirine paraleldir. Birinci çıta başlangıç noktasına

{40}

cm, ikinci çıta

{100}

cm uzaklıktadır ve birinci çıtanın çizgiler arasında kalan parçası

{6}

cm uzunluğundadır. Usta, ikinci çıtanın çizgiler arasında kalan parçasını

{6 \cdot \dfrac{100}{40} = 15}

cm olarak bulmuştur.Bu çözümde kullanılan strateji şudur: aynı noktada kesişen iki doğrultuyu kesen paralel iki parçanın uzunlukları, kesişme noktasına olan uzaklıklarıyla aynı oranda olur.Aşağıda beş durum verilmiştir.I. Bir çatı penceresinin tepe köşesinden çıkan iki eğik kenarı kesen iki çıta çakılmıştır; çıtalar birbirine paralel değildir. Çıtaların köşeye uzaklıkları ve birinin uzunluğu biliniyor.II. Birbirine paralel iki uzun raf arasına, uçları raflara değen iki çapraz destek yerleştirilmiştir; destekler birbirini kesiyor. Desteklerin uzunlukları biliniyor.III. Bir koridorun birbirine paralel iki duvarı arasına, duvarlara dik iki çıta yerleştirilmiştir. Çıtaların birbirine uzaklığı ve birinin uzunluğu biliniyor.IV. Aynı noktada kesişen iki doğrultuyu kesen iki çıta birbirine paraleldir; yalnız çıtaların kesişme noktasına uzaklıkları biliniyor, hiçbirinin uzunluğu bilinmiyor.V. Bir bahçe kapısının menteşe köşesinden çıkan iki düz demir arasına, birbirine paralel iki yatay demir kaynaklanmıştır. İki yatay demirin köşeye uzaklıkları ile birinin uzunluğu biliniyor, ötekinin uzunluğu aranıyor.Buna göre aynı strateji hangi durumda da sonucu verir?

A $\displaystyle \text{I}$
B $\displaystyle \text{II}$
C $\displaystyle \text{III}$
D $\displaystyle \text{IV}$
E $\displaystyle \text{V}$

Çözümü göster

Soru 26KavramÇoktan seçmeli5 puanOrta

Bir depoda, düz zemine dik duran bir sütunun tepesi

{T}

ile zemindeki

{P}

noktası arasına düz bir gergi teli gerilmiştir. Sütunun dibi

{A}

noktasıdır;

{A}

ile

{P}

aynı düz zemindedir. Telin uzunluğu etiketinde yazdığı için bilinmektedir. Aranan uzunluk sütunun yüksekliği, yani

{|AT|}

uzunluğudur. Zeminde ve sütun üzerinde istenen her uzunluk ölçülebilmektedir.I. yol:

{|AP|}

ölçülür ve

{|AT|}

uzunluğu, dik kenarları

{|AT|}

ile

{|AP|}

, hipotenüsü tel olan dik üçgende hesaplanır.II. yol: Tel üzerinde bir

{M}

noktası seçilir ve

{M}

noktasından zemine bir dikme indirilir; dikmenin ayağı

{S}

noktasıdır.

{|SM|}

{|SP|}

{|AP|}

ölçülür ve

{PSM}

ile

{PAT}

üçgenlerinin benzerliğinden

{|AT|}

bulunur.İki yol da doğru sonucu verdiğine göre bu iki yolla ilgili aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

A $I. yol iki, II. yol üç ölçüm ister$
B $I. yol bir, II. yol üç ölçüm ister$
C $İki yol da iki ölçüm ister$
D $II. yol daha az ölçüm ister$
E $İkinci yol sonuca ulaştırmaz$

Çözümü göster

Soru 27KavramÇoktan seçmeli5 puanOrta

Bir fabrikanın düz zemininde iki makine vardır; makinelerin

{A}

{B}

ile gösterilen ayakları arasındaki uzaklık bulunacaktır. Arada duran bir taşıyıcı bant yüzünden şerit metre

{A}

ile

{B}

arasında doğrudan gerilememektedir. Bandın dışında kalan zeminde istenen her uzunluk ölçülebilmekte, bandın üzerinde ise yalnız bir kenarından öteki kenarına kadar olan kısa uzunluklar ölçülebilmektedir. Karolar sayesinde dik açılar kurulabilmektedir.Aşağıdaki dört strateji de

{|AB|}

uzunluğunu verir.I.

{A}

noktasından banda dik olarak

{P}

noktasına,

{B}

noktasından banda dik olarak

{R}

noktasına gidilir;

{|AP|}

{|BR|}

{|PR|}

ölçülür.II.

{A}

ile

{B}

noktalarından geçen doğrultu üzerinde, bandın bir kenarında

{S}

, öteki kenarında

{T}

noktası işaretlenir;

{|AS|}

{|ST|}

{|TB|}

ölçülüp toplanır.III. Bandın dışında bir

{C}

noktası seçilir;

{|CA|}

ile

{|CB|}

ölçülür, sonra

{[CA]}

{[CB]}

doğrultularında,

{C}

noktasına uzaklıkları bu iki ölçünün yarısı kadar olan iki nokta işaretlenir; bu iki nokta arasındaki uzaklık ölçülüp iki katı alınır.IV. Bandın dışında,

{C}

köşesindeki açı dik olacak biçimde bir

{C}

noktası seçilir;

{|CA|}

ile

{|CB|}

ölçülür ve

{|AB|}

dik üçgende hesaplanır.Buna göre hangi strateji en az ölçümle sonuca ulaştırır?

A $\displaystyle \text{I}$
B $\displaystyle \text{II}$
C $\displaystyle \text{III}$
D $\displaystyle \text{IV}$
E $Dördü de aynı sayıda ölçüm ister$

Çözümü göster

Soru 28Yeni nesilÇoktan seçmeli5 puanOrta

Bir sulama kanalının iki ayrı kesiti ölçülmüştür. Kesitler yamuk biçimindedir ve bir teknisyen, iki kesitin birbirine benzeyip benzemediğini inceleyecektir.Birinci kesitin üst genişliği

{80}

cm, derinliği

{30}

cm ölçülmüştür. İkinci kesitin üst genişliği

{120}

cm, derinliği

{45}

cm ölçülmüştür.Teknisyen bu dört ölçüyü şekildeki tabloya yazacaktır. Tabloda beş aday satır vardır ve her hücrede önce genişlik, sonra derinlik yazılmıştır.Buna göre ölçüleri doğru yerleştiren satır hangisidir?

A $\displaystyle \text{I}$
B $\displaystyle \text{II}$
C $\displaystyle \text{III}$
D $\displaystyle \text{IV}$
E $\displaystyle \text{V}$

Çözümü göster

Soru 29SözelKısa cevap6 puanOrta

Bir atölyede, birbirine benzer iki üçgen uyarı levhası üretilmektedir. Bir çırak, "iki benzer levhanın alanlarının oranı ile karşılıklı kenarlarının oranı aynıdır" demektedir.Küçük levhanın alanı

{72}

santimetrekare, büyük levhanın alanı

{162}

santimetrekare ölçülmüştür. Küçük levhanın taban kenarı

{24}

cm uzunluğundadır.Buna göre çırağın kuralıyla bulunacak taban kenarı ile doğru taban kenarı arasındaki fark kaç cm olur?

Çözümü göster

Soru 30Yeni nesilÇoktan seçmeli7 puanZor

Bir tesisatta vananın kolu,

{O}

noktası etrafında dönebilen düz bir çubuktur. Çubuğun uçları

{A}

{B}

noktalarıdır,

{O}

ise çubuğun orta noktasıdır ve çubuğun boyu

{52}

cm'dir.Kol bir miktar döndürüldüğünde

{A}

ucu

{P}

{B}

ucu

{R}

konumuna gelmiştir; şekilde hem eski konum

{[AB]}

hem yeni konum

{[PR]}

çizilidir. Bir teknisyen dönmeden sonra

{A}

ile

{P}

arasındaki uzaklığı

{20}

cm ölçmüştür.Buna göre

{|PB|}

uzunluğu kaç cm olur?

A $\displaystyle 24$
B $\displaystyle 26$
C $\displaystyle 32$
D $\displaystyle 48$
E $\displaystyle 72$

Çözümü göster

Soru 31Yeni nesilKısa cevap8 puanZor

Bir çatı arası deponun yan kesiti şekildeki

{ABCD}

dik yamuğudur.

{[AB]}

ile

{[DC]}

zemine diktir;

{|AB| = 120}

cm ve

{|DC| = 45}

cm'dir. Eğik çatı kenarı

{[BC]}

'nin uzunluğu

{125}

cm'dir.Çatı kenarı üzerindeki

{P}

noktasına bir havalandırma borusu takılacaktır.

{P}

noktasından zemine indirilen dikmenin ayağı

{Q}

noktasıdır ve

{|PQ| = 90}

cm ölçülmüştür.Bir çırak

{|AQ|}

uzunluğunu

{250}

cm bulmuştur. Ustası, bu sonucun doğru olamayacağını söylemiştir; çünkü

{Q}

noktası

{[AD]}

kenarı üzerindedir.Buna göre

{|AQ|}

uzunluğu kaç cm olur?

Çözümü göster

Soru 32KavramÇoktan seçmeli7 puanZor

Bir teknisyen, erişilemeyen bir uzunluğu bulmak için şu yöntemi kullanmaktadır: aranan uzunluğun iki ucundan geçen iki doğrultu bir noktada kesişir; bu iki doğrultuyu kesen ve aranan uzunluğa paralel olan bir parça ölçülür, sonra uzaklıkların oranıyla aranan uzunluk hesaplanır.Bir tarlada, sulama hattının iki ucuna çakılmış

{K}

{L}

kazıkları arasındaki

{|KL|}

uzunluğu aranmaktadır. Teknisyen bir

{M}

noktası seçmiş,

{[MK]}

üzerinde

{P}

{[ML]}

üzerinde

{R}

noktalarını işaretlemiştir. Ölçtüğü değerler şunlardır:

{|MP| = 30}

{|MK| = 90}

{|MR| = 25}

{|ML| = 100}

m ve

{|PR| = 24}

m.Buna göre teknisyenin bu yöntemle bulacağı sonuç aşağıdakilerden hangisidir?

A $\displaystyle 54$
B $\displaystyle 72$
C $\displaystyle 84$
D $\displaystyle 96$
E $Bu yöntem burada sonuç vermez$

Çözümü göster

Soru 33KavramÇoktan seçmeli7 puanZor

Bir bahçede, birbirine dik iki duvarın kesiştiği köşe

{O}

noktasıdır.

{A}

noktası bir duvarın dibinde,

{B}

noktası öteki duvarın dibindedir;

{|OA| = 30}

m ve

{|OB| = 72}

m ölçülmüştür.

{A}

ile

{B}

arasında bir sera bulunduğu için

{|AB|}

uzaklığı doğrudan ölçülememektedir.Bir öğrenci şu yolu kullanmıştır:

{O}

köşesindeki açı dik olduğundan

{|AB|^2 = 30^2 + 72^2 = 6084}

{|AB| = 78}

m bulunur.Öğretmen, aynı sonuca ulaştıran ikinci bir yol istemektedir. Duvarların dışında kalan zeminde istenen her uzunluk ölçülebilmektedir.Buna göre aşağıdakilerden hangisi aynı sonuca ulaştıran başka bir yoldur?

A $İki kenarın uzunluklarını toplamak$
B $Köşenin ötesine eş bir parça alıp ölçmek$
C $İki kenarın uzunluklarının farkını almak$
D $Aynı kare toplamının karekökünü almak$
E $Üçgenin alanının karekökünü almak$

Çözümü göster

Soru 34Yeni nesilAçık uçlu20 puanİleri

Bir serada, zemine dik duran bir destek borusu vardır; borunun zemindeki ucu

{A}

, üst ucu

{B}

noktasıdır. Zeminde, borunun iki ayrı yanında

{C}

{D}

noktaları işaretlenmiştir ve

{C}

{A}

{D}

noktaları aynı doğru üzerindedir.

{B}

noktasından

{C}

{D}

noktalarına birer gergi teli gerilmiştir.Tellerin uzunlukları

{|BC| = 150}

cm ve

{|BD| = 200}

cm ölçülmüştür.

{C}

noktasının boruya uzaklığı, yani

{|CA|}

uzunluğu şekilde yazılmıştır.Üç teknisyen

{|CD|}

uzunluğunu hesaplamış ve sırasıyla

{250}

cm,

{170}

cm ve

{70}

cm bulmuştur.Buna göre aşağıdaki soruları cevaplayınız.

a)
Destek borusunun boyu ${|AB|}$ kaç cm olur?(4 puan)
b)
Üç teknisyenin bulduğu sonuçlardan hangisi doğrudur? Hesabınızı gösteriniz.(6 puan)
c)
Öteki iki sonucun her biri hangi hatadan çıkmıştır? İkisini ayrı ayrı yazınız.(6 puan)
ç)
Doğru bulunan sonucun doğruluğunu yeni bir ölçüm yapmadan nasıl denetlersiniz? Yöntemi yazıp uygulayınız.(4 puan)

Çözümü göster

Soru 35Yeni nesilAçık uçlu20 puanİleri

Bir atölyede, dik üçgen biçiminde çelik köşebentler üretilmektedir. Şekildeki köşebentte

{ABC}

üçgeninin

{A}

köşesindeki açı diktir ve

{A}

köşesinden

{[BC]}

kenarına inen dikmenin ayağı

{H}

noktasıdır.Dikmenin ayağı kenarı iki parçaya ayırmıştır:

{|BH| = 36}

cm ve

{|HC| = 64}

cm'dir. Köşebendin

{|AB|}

kenarının uzunluğu şekilde yazılmıştır.Usta, dikmenin uzunluğu

{|AH|}

değerini iki ayrı yolla bulmak istemektedir.Buna göre aşağıdaki soruları cevaplayınız.

a)
${|AH|}$ uzunluğunu Öklid'in yükseklik bağıntısıyla bulunuz.(5 puan)
b)
Aynı uzunluğu, üçgenin alanını iki ayrı biçimde yazarak bulunuz.(6 puan)
c)
İki yolun sonucu aynı mıdır? Hangi yol daha az işlem ister? Gerekçesiyle yazınız.(5 puan)
ç)
${|BH|}$ ile ${|HC|}$ verilmeyip yalnız ${|AB|}$ ve ${|BC|}$ verilseydi hangi yol tek başına yeterdi? Gerekçesiyle yazınız.(4 puan)

Çözümü göster

Soru 36Yeni nesilAçık uçlu20 puanİleri

Bir atölyede, bir noktada kesişen iki doğrultu ile bunları kesen iki paralel çıta kullanılarak uzunluk ölçülmektedir. Şekilde birinci çıtanın kesişme noktasına uzaklığı

{a}

metre, birinci çıtanın uzunluğu

{m}

metredir. İki çıtanın birbirine uzaklığı da şekilde yazılmıştır.İkinci çıtanın uzunluğu

{L}

metre olsun.Bir teknisyen şöyle demektedir: "Birinci çıtanın uzunluğu büyüdükçe ikinci çıtanın uzunluğu da büyür."Buna göre aşağıdaki soruları cevaplayınız.

a)
${L}$ uzunluğunu ${a}$ ve ${m}$ cinsinden yazınız.(5 puan)
b)
${m = 2}$ m ve ${a = 4}$ m ölçülen bir düzenekte ${L}$ kaç metre olur?(4 puan)
c)
Teknisyenin iddiasını çürüten bir ölçüm veriniz: seçtiğiniz ${m}$ değeri ${2}$ metreden büyük, bulduğunuz ${L}$ değeri ise ${8}$ metreden küçük olsun. Seçtiğiniz değerleri yazıp ${L}$ değerini hesaplayınız.(7 puan)
ç)
İddianın doğru çıktığı bir ölçüm de veriniz ve iki durumun neden çeliştiğini açıklayınız.(4 puan)

Çözümü göster

Ders kılavuzu

Dersi açmak için çengel sorular, kavramı somutlaştıran benzetmeler ve öğrencilerin sık yaptığı yanlışlar.

Derse giriş: çengel sorular

Bayrak direğinin boyu
Güneşli bir günde öğrencileri bahçeye çıkarın. Bir öğrencinin boyunu ve gölgesini, sonra bayrak direğinin gölgesini ölçtürün. Direğe tırmanmadan boyunu bulabilir miyiz?
Nehrin genişliği
Karşı kıyıya geçmeden bir nehrin genişliği nasıl ölçülür? Kıyıda iki benzer üçgen kurulabilir; bilinmeyen genişlik bir orandan bulunur.
İtfaiye merdiveni
${15}$ m uzunluğundaki bir merdivenin alt ucu duvardan ${9}$ m uzaktaysa merdiven duvarda kaç metre yükseğe ulaşır? Merdiven duvara yaklaştırılırsa ne olur?

Benzetmeler

Problem çözme
Yol tarifine benzer: önce neredeyim (verilenler), sonra nereye gidiyorum (istenen), en son hangi yoldan (strateji) sorularına cevap verilir.
Şekil çizmek
Problemin fotoğrafını çekmektir: verilenleri şeklin üzerine yazınca eksik olan parça kendini gösterir.
Kontrol
Fişi kasada bir daha okumaktır: cevabın birimi ve büyüklüğü akla uygun mu? ${600}$ m boyunda bir ağaç yoktur.

Sık yapılan yanlışlar

Gölge probleminde boy ile gölge çapraz eşlenir.
Benzer dik üçgenlerde boy boyla, gölge gölgeyle karşılıklıdır: ${\dfrac{\text{boy}_1}{\text{gölge}_1} = \dfrac{\text{boy}_2}{\text{gölge}_2}}$ .
İki üçgeni yan yana çizdirip boyları bir renkle, gölgeleri başka renkle işaretletin.
Birimler karışık kalsa da sonuç değişmez.
Çubuk santimetre, ağaç metre ile verilmişse oranı kurarken aynı türden birimler eşlenmelidir. Aksi hâlde sonuç ${100}$ kat yanlış çıkar.
Her sayının yanına birimini yazdırın; oranı kurmadan önce birimleri denetletin.
Merdiven dik kenardır.
Merdiven duvar ile zeminin oluşturduğu dik açının karşısındadır; hipotenüstür.
Durumu çizdirip dik açının yerini işaretletin.
$\displaystyle a^2 + b^2 = c^2$
${1 : 100\,000}$ ölçekli haritada ${1}$ cm, ${100\,000}$ km'dir.
Ölçekteki iki sayı aynı birimdedir: ${1}$ cm haritada, ${100\,000}$ cm gerçekte. ${100\,000}$ cm ${= 1}$ km'dir.
Birim dönüştürme merdivenini tahtaya çizin: km, m, cm.
Hesap bitince problem de biter.
Cevabın akla uygun olup olmadığına bakılmazsa birim ya da oran hatası fark edilmez.
Her problemin sonuna “Cevap mantıklı mı?” satırı ekletin.
Şekil çizmeden de çözülür.
Şekilsiz çalışan öğrenci verilenleri yanlış kenara yazar ve yanlış bağıntıyı kurar.
İlk beş problemde yalnız şekil çizdirip verilenleri yazdırın; hesabı sonra yaptırın.

Tahtada anlatım sırası9 adımı göster

1
Bayrak direği çengelini anlatın. Öğrencilere verilenleri ve istenenleri iki sütuna ayrı ayrı yazdırın.
Süreç bileşeni a: problemin verilen ve istenenlerini belirler.
2
Durumu çizdirin: iki benzer dik üçgen. Hangi uzunlukların karşılıklı olduğunu oklarla gösterttirin.
Süreç bileşeni b: verilenler ve istenenler arasındaki ilişkileri belirler.
3
Oranı yazdırın ve birimleri eşitletin. Cevabı bulduktan sonra “direk öğrenciden kaç kat uzun?” sorusuyla kontrol ettirin.
$\displaystyle \dfrac{\text{boy}_1}{\text{gölge}_1} = \dfrac{\text{boy}_2}{\text{gölge}_2}$
Süreç bileşeni c: ilişkileri matematiksel temsile dönüştürür.
4
Merdiven problemine geçin. Öğrenciden problemi kendi cümleleriyle anlatmasını isteyin: hangi kenar biliniyor, hangisi aranıyor?
Süreç bileşeni ç: problemi kendi ifadeleriyle açıklar.
5
Strateji seçtirin: Pisagor mu, benzerlik mi, ölçek mi? Her stratejinin hangi ipucuyla seçildiğini tahtaya yazın (dik açı, paralel ışın, harita).
Süreç bileşeni d: çözüm için strateji oluşturur.
6
Seçilen stratejiyle çözdürün; ara adımları birimleriyle yazdırın.
Süreç bileşeni e: stratejiyi uygulayarak problemi çözer.
7
Kontrol: cevabı geri koyup oranın ya da bağıntının sağlandığını gösterttirin; büyüklüğün akla uygun olup olmadığına baktırın.
Süreç bileşeni f: çözümü kontrol eder.
8
Harita ve maket ölçeği: ${1 : 200\,000}$ ölçekli haritada ${6}$ cm'lik uzaklığı birim dönüştürerek buldurun.
9
Kapanış: öğrenciler bir gölge ya da merdiven problemi yazıp sıra arkadaşlarına çözdürsün; çözümü yazan kişi kontrol etsin.
Süreç bileşeni g: çözümde geliştirdiği yolu başka problemlere uyarlar.

Ödev ve çalışma kâğıdı

Her antrenman tek bir beceriyi bol tekrarla çalıştırır. Hangisinden kaç kalem istediğini seç; kâğıt ve çözümlü cevap anahtarı tarayıcında hazırlanır.

Ödev kâğıdı oluştur

Her alıştırmadan kaç kalem istediğini seç. Kalemler hazır havuzdan rastgele gelir; iki sınıfa iki ayrı kâğıt verebilirsin. Çözümlü cevap anahtarı da hazır.

Alıştırmalar

Ölçek, haritadaki uzunluğun gerçek uzunluğa oranıdır; harita ile gerçek yer benzerdir. Birimleri dönüştürünüz: ${1}$ m ${= 100}$ cm, ${1}$ km ${= 100\,000}$ cm.
1. 1) ${1 : 100000}$ ölçekli bir haritada iki kasaba arası ${9}$ cm ise gerçek uzaklık kaç kilometredir?= $\displaystyle 9$
2. 2)Gerçekte ${12}$ km olan bir yol, ${1 : 100000}$ ölçekli bir haritada kaç santimetredir?= $\displaystyle 12$
3. 3) ${1 : 100}$ ölçekli bir binanın maketinin yüksekliği ${27}$ cm ise binanın gerçek yüksekliği kaç metredir?= $\displaystyle 27$
/ 40
Durumu bir dik üçgen olarak çiziniz; dik kenarları ve hipotenüsü belirleyip Pisagor bağıntısını yazınız: ${a^2 + b^2 = c^2}$ .
1. 1) ${17}$ m uzunluğundaki bir merdiven dik bir duvara dayanıyor. Merdivenin alt ucu duvarın dibinden ${15}$ m uzakta ise üst ucu yerden kaç metre yüksektedir?= $\displaystyle 8$
2. 2)Bir bisikletli önce doğuya doğru ${40}$ km, sonra kuzeye doğru ${9}$ km gidiyor. Başlangıç noktasına kuş uçuşu uzaklığı kaç kilometredir?= $\displaystyle 41$
3. 3)Yüksekliği ${12}$ m olan bir direğin tepesinden gerilen halat, direğin dibinden ${5}$ m uzaktaki bir noktada yere bağlanıyor. Halat kaç metredir?= $\displaystyle 13$
/ 40
Aynı anda güneş ışınları paralel gelir; bu yüzden cisimlerin boyu ile gölgesi orantılıdır. Durumu iki benzer dik üçgen olarak çiziniz.
1. 1)Aynı anda, boyu ${60}$ cm olan bir çubuğun gölgesi ${150}$ cm, bir ağacın gölgesi ${15}$ m ölçülüyor. Ağacın boyu kaç metredir?= $\displaystyle 6$
2. 2)Aynı anda, boyu ${160}$ cm olan bir öğrencinin gölgesi ${80}$ cm iken boyu ${12}$ m olan bir direğin gölgesi kaç metredir?= $\displaystyle 6$
3. 3)Aynı anda, boyu ${30}$ cm olan bir çubuğun gölgesi ${20}$ cm, bir ağacın gölgesi ${10}$ m ölçülüyor. Ağacın boyu kaç metredir?= $\displaystyle 15$
/ 40

Kâğıt başlığı

Çalışma boşluğu

Yok8 mm15 mm25 mm

Ad, sınıf, süre satırıCevap anahtarında kısa çözüm

0 kalem

İndirmek için en az bir kalem seç.

Kazanım künyesi

9. sınıf Eşlik ve benzerlik problemleri için 36 çözümlü soru: soruları sayfada çöz, takıldığında adım adım çözümü aç; seçtiğin sorulardan test, yaprak test ya da yazılı kâğıdı hazırla ve cevap anahtarıyla PDF olarak indir; ödev için alıştırma (çalışma) kâğıdı çıkar; derste soruları akıllı tahtada tek tek aç; ders kılavuzunda derse giriş, kavram yanılgıları ve tahta akışı var. 2. dönem yazılısına ve ortak sınava hazırlıkta kullanılır.

Kod: MAT.9.4.5
Kapsadığı konular: benzerlik problemleri, benzer üçgen problemleri
Dönem ve hafta: 2. dönem, 21, 22. haftalar, 6 ders saati
Süreç bileşenleri: a)Problemin verilen ve istenenlerine ilişkin parçaları belirler.
b)Problemde verilenler, istenenler ve gerekli işlemler arasındaki ilişkileri belirler.
c)Problemin parçaları arasındaki ilişkileri problem bağlamına uygun olarak dönüştürür.
ç)Matematiksel temsillere dönüştürdüğü problemi kendi ifadeleri ile açıklar.
d)Problemin çözümünü gerçekleştirmek için stratejiler oluşturur.
e)Belirlediği stratejiyi çözüm için uygulayarak problemi çözer.
f)Problemin çözümünü kontrol eder.
g)Problemin çözümü için geliştirdiği, kullandığı stratejilerdeki kısa yolları ve çözüme ulaştırmayan stratejileri belirleyerek çözüme ilişkin deneyimini gözden geçirir.
ğ)Çözüme ulaştıran stratejilerden hangilerinin hangi tür problemlere uygulanabileceğine ilişkin çıkarım yapar.
h)Ulaştığı çıkarımların geçerliliğini matematiksel örneklerle değerlendirir.
Ders kitabında: 4. Tema — Eşlik ve Benzerlik, 4.5 Eşlik ve Benzerlikle İlgili Problemler

Eşlik ve benzerlik problemleri

Sorular ve çözümleri

Ders kılavuzu

Derse giriş: çengel sorular

Benzetmeler

Sık yapılan yanlışlar

Ödev ve çalışma kâğıdı

Ödev kâğıdı oluştur

Test PDF'i

Test PDF'i hazırla

Kazanım künyesi