konukonu

Bütün konular

Menü
9. sınıf, SayılarMAT.9.1.4

İşlem özelliklerinin cebirsel ifadesi

Gerçek Sayıların İşlem Özelliklerini Cebirsel Olarak İfade Etme

Kazanım: Gerçek sayıların işlem özelliklerini cebirsel olarak ifade etmede analojik akıl yürütebilme.

Tahtada açYazılı hazırla

Sorular ve çözümleri

Her sorunun altında adım adım çözüm var. Çoktan seçmelide doğru şık, çözümü açınca işaretlenir.

Zorluk
Cevap biçimi
Soru türü
Şekil
48 soru gösteriliyor
Soru 1KavramÇoktan seçmeli3 puanKolay, zorluk 3 / 10
Aşağıda dört matematiksel ifade verilmiştir.I. Her gerçek sayının karesi negatif değildir.II. y{y} sayısı 4{4}'ten büyüktür.III. 12{12} sayısı 5{5} ile tam bölünür.IV. İki tek sayının toplamını hesaplayınız.Buna göre bu ifadelerden hangileri önermedir?
  1. AYalnız I
  2. BI ve II
  3. CI ve III
  4. DII ve III
  5. EI, II ve III
Çözümü göster

CDoğru cevap

  1. 1
    Önerme, kesin doğru ya da kesin yanlış bir hüküm bildiren ifadedir; hükmün doğru olması gerekmez, kararının verilebiliyor olması gerekir.
  2. 2
    I doğru bir hüküm bildirir: bir gerçek sayının karesi hiçbir zaman negatif olmaz. Önermedir.
  3. 3
    II bir açık cümledir; y{y} bilinmeden doğru mu yanlış mı olduğu söylenemez. Önerme değildir.
  4. 4
    III yanlış bir hüküm bildirir (12{12} sayısı 5{5} ile tam bölünmez), ama kararı verilebildiği için önermedir.
  5. 5
    IV bir emir cümlesidir, hüküm bildirmez. Önerme değildir.
  6. 6
    Buna göre önerme olanlar I ve III'tür.

Yanlış şıklar neden yanlış?

  • A)Yanlış hüküm bildiren III'ü önerme saymaz; önermeyi "doğru cümle" sanır. Oysa yanlış bir hüküm de önermedir.
  • B)II'yi önerme sayar; y{y} bilinmeden doğru ya da yanlış olduğuna karar verilemeyen açık cümleyi önerme sanır.
  • D)"Her" ile başlayan I'i önerme saymaz, onu bir kural sanır; açık cümle olan II'yi ise önerme sayar.
  • E)Emir cümlesi dışındaki her cümleyi önerme sayar; açık cümlenin hüküm bildirmediğini ayırt etmez.
Soru 2KavramÇoktan seçmeli5 puanOrta, zorluk 5 / 10
Bir x{x} gerçek sayısı için P{P} önermesi "x{x} sayısı 4{4}'ten küçük değildir." biçiminde tanımlanmıştır.P{P} önermesinin doğru olduğu değerler şekilde sayı doğrusu üzerinde gösterilmiştir.Buna göre P{P} önermesinin değilinin doğru olduğu değerlerin kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
P önermesinin doğru olduğu değerler Sayı doğrusunda dörtten başlayıp sağa doğru sonsuza giden, dört noktası dâhil bir bant. -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 P
  1. A(−∞,−4)\displaystyle (-\infty, -4)
  2. B(−∞,4)\displaystyle (-\infty, 4)
  3. C(−∞,4]\displaystyle (-\infty, 4]
  4. D[4,∞)\displaystyle [4, \infty)
  5. E(4,∞)\displaystyle (4, \infty)
Çözümü göster

BDoğru cevap

  1. 1
    "x{x} sayısı 4{4}'ten küçük değildir." ifadesi x≥4{x \ge 4} demektir; şekildeki bant da 4{4} dâhil sağa doğru uzanmaktadır.
  2. 2
    Bir önermenin değili, hükmü çevirir: x≥4{x \ge 4} önermesinin değili x<4{x < 4}'tür.
  3. 3
    Uç nokta taraf değiştirir: 4{4} sayısı P{P} için doğruyken değili için yanlıştır, bu yüzden kümeye dâhil değildir.
  4. 4
    Buna göre aranan küme (−∞,4){(-\infty, 4)} aralığıdır.

Yanlış şıklar neden yanlış?

  • A)Değil almayı sayının işaretini çevirmek sanır; oysa değişen şey hükümdür, sayı değil.
  • C)Uç noktayı da alır. x≥4{x \ge 4} önermesinin değili x≤4{x \le 4} değil x<4{x < 4}'tür; 4{4} artık dışarıda kalır.
  • D)Şekildeki bandın kendisini işaretler; önermenin değilini değil önermeyi okur.
  • E)Yalnız eşitliği atar, eşitsizliğin yönünü çevirmez.
Soru 3KavramÇoktan seçmeli3 puanKolay, zorluk 3 / 10
∀x∈R{\forall x \in \mathbb{R}} için x2+1>0{x^2 + 1 > 0} önermesi veriliyor.Buna göre bu önermenin değili aşağıdakilerden hangisidir?
  1. A∀x∈R, x2+1<0\displaystyle \forall x \in \mathbb{R}, \ x^2 + 1 < 0
  2. B∀x∈R, x2+1≤0\displaystyle \forall x \in \mathbb{R}, \ x^2 + 1 \le 0
  3. C∃x∈R, x2+1>0\displaystyle \exists x \in \mathbb{R}, \ x^2 + 1 > 0
  4. D∃x∈R, x2+1≤0\displaystyle \exists x \in \mathbb{R}, \ x^2 + 1 \le 0
  5. E∃x∈R, x2+1<0\displaystyle \exists x \in \mathbb{R}, \ x^2 + 1 < 0
Çözümü göster

DDoğru cevap

  1. 1
    Nicelikli bir önermenin değili alınırken iki şey birden değişir: niceleyici ve hüküm.
  2. 2
    ∀{\forall} niceleyicisinin değili ∃{\exists}'tir: "her" önermesini yıkmak için tek bir karşıt örnek yeter.
  3. 3
    x2+1>0{x^2 + 1 > 0} hükmünün değili x2+1≤0{x^2 + 1 \le 0}'dır; >{>} işaretinin değili <{<} değil ≤{\le}'dir, çünkü eşitlik durumu da hükmün dışında kalır.
  4. 4
    İkisi birleştirilir: ∃x∈R, x2+1≤0{\exists x \in \mathbb{R}, \ x^2 + 1 \le 0}.

Yanlış şıklar neden yanlış?

  • A)Ne niceleyiciyi değiştirir ne de >{>} işaretinin değilini doğru alır; iki hatayı birden yapar.
  • B)Hükmü doğru çevirir ama niceleyiciye dokunmaz; "her"in değilinin "en az bir" olduğunu görmez.
  • C)Niceleyiciyi değiştirir ama hükmü olduğu gibi bırakır; iki değişikliğin birlikte yapılması gerektiğini bilmez.
  • E)Niceleyiciyi doğru değiştirir ama >{>} işaretinin değilini <{<} sanır; eşitlik durumunu kaybeder.
Soru 4KavramÇoktan seçmeli3 puanKolay, zorluk 3 / 10
Bir öğrenci, gerçek sayılarda çarpma işleminin bir özelliğini şöyle ifade ediyor:"Sıfırdan farklı her gerçek sayı için, o sayıyla çarpıldığında sonucu 1{1} yapan en az bir gerçek sayı vardır."Buna göre bu ifadenin sembolik yazımı aşağıdakilerden hangisidir?
  1. A∀a∈R∖{0}, ∃b∈R, a⋅b=1\displaystyle \forall a \in \mathbb{R} \setminus \{0\}, \ \exists b \in \mathbb{R}, \ a \cdot b = 1
  2. B∃a∈R∖{0}, ∀b∈R, a⋅b=1\displaystyle \exists a \in \mathbb{R} \setminus \{0\}, \ \forall b \in \mathbb{R}, \ a \cdot b = 1
  3. C∀a∈R, ∃b∈R, a⋅b=1\displaystyle \forall a \in \mathbb{R}, \ \exists b \in \mathbb{R}, \ a \cdot b = 1
  4. D∀a∈R∖{0}, ∀b∈R, a⋅b=1\displaystyle \forall a \in \mathbb{R} \setminus \{0\}, \ \forall b \in \mathbb{R}, \ a \cdot b = 1
  5. E∀a∈R∖{0}, ∃b∈R, a+b=1\displaystyle \forall a \in \mathbb{R} \setminus \{0\}, \ \exists b \in \mathbb{R}, \ a + b = 1
Çözümü göster

ADoğru cevap

  1. 1
    "Sıfırdan farklı her gerçek sayı için" ifadesi ∀a∈R∖{0}{\forall a \in \mathbb{R} \setminus \{0\}} biçiminde yazılır.
  2. 2
    "En az bir gerçek sayı vardır" ifadesi ∃b∈R{\exists b \in \mathbb{R}} biçiminde yazılır; ∃{\exists} "bazı" ya da "en az bir" demektir.
  3. 3
    "Çarpıldığında sonucu 1{1} yapan" koşulu a⋅b=1{a \cdot b = 1} eşitliğidir; bu, çarpma işleminin ters eleman özelliğidir.
  4. 4
    Niceleyicilerin sırası korunarak yazılır: ∀a∈R∖{0}, ∃b∈R, a⋅b=1\forall a \in \mathbb{R} \setminus \{0\}, \ \exists b \in \mathbb{R}, \ a \cdot b = 1.

Yanlış şıklar neden yanlış?

  • B)İki niceleyicinin yerini değiştirir. Bu yazım "öyle bir sayı vardır ki her sayıyla çarpımı 1{1}'dir" der; yanlıştır.
  • C)a≠0{a \ne 0} koşulunu düşürür. 0{0} sayısının çarpmaya göre tersi yoktur; koşul olmadan önerme yanlış olur.
  • D)"En az bir" yerine "her" yazar; ∃{\exists} ile ∀{\forall} arasındaki farkı gözden kaçırır.
  • E)İşlemi karıştırır; toplamanın birim elemanı 0{0}, çarpmanınki 1{1}'dir ve ifade çarpmadan söz etmektedir.
Soru 5KavramÇoktan seçmeli5 puanOrta, zorluk 6 / 10
A{A} ve B{B} gerçek sayı aralıkları şekilde sayı doğrusu üzerinde gösterilmiştir.Bir x{x} gerçek sayısı için "x∈A{x \in A} ya da x∈B{x \in B}" önermesinin doğru olduğu biliniyor.Buna göre x{x} sayısının alabileceği değerlerin kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
A ve B kümeleri Sayı doğrusunda iki bant: A kümesi eksi birden dörde, B kümesi ikiden yediye; iki bandın uçları da dâhildir ve bantlar ikiyle dört arasında üst üste biner. -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 A B
  1. A[−1,7]\displaystyle [-1, 7]
  2. B[2,4]\displaystyle [2, 4]
  3. C[−1,2)∪(4,7]\displaystyle [-1, 2) \cup (4, 7]
  4. D[−1,2)\displaystyle [-1, 2)
  5. E(4,7]\displaystyle (4, 7]
Çözümü göster

CDoğru cevap

  1. 1
    Şekle göre A=[−1,4]{A = [-1, 4]} ve B=[2,7]{B = [2, 7]} aralıklarıdır.
  2. 2
    "Ya da" bağlacı dışlayan bir bağlaçtır: iki önermeden tam olarak biri doğru olmalıdır. "Veya" ise en az birinin doğru olması demektir.
  3. 3
    Öyleyse x{x} ya yalnız A{A}'da ya yalnız B{B}'de olacaktır; ikisinde birden bulunduğu A∩B=[2,4]{A \cap B = [2, 4]} bölgesi dışarıda kalır.
  4. 4
    Birleşimden kesişim çıkarılır: [−1,7]∖[2,4]{[-1, 7] \setminus [2, 4]} hesaplanır.
  5. 5
    Uç noktalar kesişime ait olduğu için dışarıda kalır: [−1,2)∪(4,7]{[-1, 2) \cup (4, 7]}.

Yanlış şıklar neden yanlış?

  • A)"Ya da" bağlacını "veya" gibi okur ve birleşimi alır. "Veya" ikisinin birden olmasına izin verir, "ya da" vermez.
  • B)"Ya da" yerine "ve" okur ve kesişimi alır; oysa bu bölge tam olarak dışarıda kalması gereken bölgedir.
  • D)Yalnız A{A}'da olup B{B}'de olmayan bölgeyi alır; simetrik olan öteki yarıyı unutur.
  • E)Yalnız B{B}'de olup A{A}'da olmayan bölgeyi alır; ilk yarıyı unutur.
Soru 6Yeni nesilÇoktan seçmeli5 puanOrta, zorluk 6 / 10
Aşağıda gerçek sayılarda dört işlemin özellikleriyle ilgili beş bilgi verilmiştir. Bu bilgilerden yalnız biri yanlıştır.I. Toplama işleminin birim elemanı 0{0}'dır.II. Çıkarma işleminin değişme özelliği yoktur.III. Çarpma işleminin yutan elemanı 0{0}'dır.IV. Bölme işleminin birim elemanı 1{1}'dir.V. Çarpma işleminin birim elemanı 1{1}'dir.Buna göre yanlış olan bilgi hangisidir?
  1. AI\displaystyle \text{I}
  2. BII\displaystyle \text{II}
  3. CIII\displaystyle \text{III}
  4. DIV\displaystyle \text{IV}
  5. EV\displaystyle \text{V}
Çözümü göster
Soru 7KavramÇoktan seçmeli7 puanZor, zorluk 7 / 10
a{a}, b{b} ve c{c} sıfırdan farklı gerçek sayılardır.I. a−b=b−a{a - b = b - a} olacak biçimde a{a} ve b{b} sayıları vardır.II. (a−b)−c=a−(b−c){(a - b) - c = a - (b - c)} olacak biçimde a{a}, b{b} ve c{c} sayıları vardır.III. Her a{a} sayısı için a:b=b:a{a : b = b : a} olacak biçimde bir b{b} sayısı vardır.Buna göre yukarıdaki önermelerden hangileri doğrudur?
  1. AYalnız I
  2. BYalnız III
  3. CI ve II
  4. DI ve III
  5. EI, II ve III
Çözümü göster
Soru 8İşlemKısa cevap4 puanKolay, zorluk 2 / 10
−35{-\dfrac{3}{5}} sayısının toplama işlemine göre tersi a{a}, çarpma işlemine göre tersi b{b} sayısıdır.Buna göre a⋅b{a \cdot b} çarpımı kaçtır?
Çözümü göster
Soru 9KavramÇoktan seçmeli7 puanZor, zorluk 7 / 10
Aşağıda bir önerme ve bu önermenin ispatı verilmiştir.Hipotez: a{a} ve b{b} gerçek sayılar, a⋅b=0{a \cdot b = 0} ve a≠0{a \ne 0}'dır.Hüküm: b=0{b = 0}'dır.1. Adım: a≠0{a \ne 0} olduğundan a{a} sayısının çarpma işlemine göre tersi olan 1a{\dfrac{1}{a}} sayısı vardır.2. Adım: Eşitliğin iki tarafı 1a{\dfrac{1}{a}} ile çarpılır: 1a⋅(a⋅b)=1a⋅0{\dfrac{1}{a} \cdot \left( a \cdot b \right) = \dfrac{1}{a} \cdot 0}3. Adım: Sağ tarafta 1a⋅0=1a{\dfrac{1}{a} \cdot 0 = \dfrac{1}{a}} yazılır ve sol tarafta birleşme özelliği kullanılır: (1a⋅a)⋅b=1a{\left( \dfrac{1}{a} \cdot a \right) \cdot b = \dfrac{1}{a}}4. Adım: 1a⋅a=1{\dfrac{1}{a} \cdot a = 1} ve 1⋅b=b{1 \cdot b = b} olduğundan b=1a{b = \dfrac{1}{a}} bulunur.5. Adım: Hükme ulaşılır.Buna göre ispata ait adımların hangisinde ilk defa hata yapılmıştır?
  1. A1. adım
  2. B2. adım
  3. C3. adım
  4. D4. adım
  5. E5. adım
Çözümü göster
Soru 10İşlemÇoktan seçmeli5 puanOrta, zorluk 5 / 10
(2x−6)⋅(x+4)=0{\left( 2x - 6 \right) \cdot \left( x + 4 \right) = 0} denklemi veriliyor.Buna göre bu denklemin gerçek sayılardaki çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
  1. A{−4,3}\displaystyle \{-4, 3\}
  2. B{−4}\displaystyle \{-4\}
  3. C{3}\displaystyle \{3\}
  4. D{−3,4}\displaystyle \{-3, 4\}
  5. E∅\displaystyle \varnothing
Çözümü göster
Soru 11İşlemKısa cevap4 puanKolay, zorluk 3 / 10
(2x+5)2{\left( 2x + 5 \right)^2} ifadesinin özdeşlik kullanılarak elde edilen açılımında x{x}'li terimin katsayısı kaçtır?
Çözümü göster
Soru 12Yeni nesilÇoktan seçmeli5 puanOrta, zorluk 6 / 10
Şekilde bir kenarının uzunluğu a+b{a + b} birim olan bir kare, üst ve sol kenarları a{a} ve b{b} uzunluklarında parçalara ayrılarak dört bölgeye bölünmüştür. (a>b>0{a > b > 0})Buna göre 1{1}, 2{2}, 3{3} ve 4{4} numaralı bölgelerin alanları toplamı aşağıdakilerden hangisine eşittir?
Kenarı a artı b olan kare dört bölgeye ayrılmış Bir kenarının uzunluğu a artı b birim olan kare; üst kenarı a ve b, sol kenarı a ve b parçalarına bölünerek dört bölge oluşturulmuştur. Bir numaralı bölge bir kenarı a birim olan kare, dört numaralı bölge bir kenarı b birim olan karedir; iki ve üç numaralı bölgeler kenarları a ve b birim olan eş dikdörtgenlerdir. a b a b 1 2 3 4
  1. Aa2+b2\displaystyle a^2 + b^2
  2. Ba2+ab+b2\displaystyle a^2 + ab + b^2
  3. C2a2+2b2\displaystyle 2a^2 + 2b^2
  4. Da2+4ab+b2\displaystyle a^2 + 4ab + b^2
  5. Ea2+2ab+b2\displaystyle a^2 + 2ab + b^2
Çözümü göster
Soru 13Yeni nesilKısa cevap8 puanZor, zorluk 7 / 10
Şekilde bir kenarının uzunluğu 9{9} birim olan bir kareden, bir köşesinden bir kenarının uzunluğu 4{4} birim olan bir kare kesilerek çıkarılmıştır.Buna göre boyalı bölgenin alanı kaç birim karedir?
Bir kenarı dokuz birim olan kareden dört birimlik kare çıkarılmış Bir kenarının uzunluğu dokuz birim olan bir kare. Karenin sağ üst köşesinden bir kenarının uzunluğu dört birim olan bir kare kesikli çizgiyle gösterilerek çıkarılmıştır; geriye kalan L biçimindeki bölge boyalıdır. 9 9 4 4
Çözümü göster
Soru 14Yeni nesilÇoktan seçmeli7 puanZor, zorluk 8 / 10
Şekilde bir kenarının uzunluğu a{a} birim olan bir kare, üst ve sol kenarları a−b{a - b} ve b{b} uzunluklarında parçalara ayrılarak dört bölgeye bölünmüştür. (a>b>0{a > b > 0})Buna göre taralı bölgenin alanı aşağıdakilerden hangisidir?
Kenarı a olan kare; taralı bölge kenarı a eksi b olan kare Bir kenarının uzunluğu a birim olan kare. Üst ve sol kenarları a eksi b ve b parçalarına bölünerek dört bölge oluşturulmuştur. Sol üstteki taralı bölge bir kenarının uzunluğu a eksi b birim olan karedir; sağ alttaki bölge bir kenarı b birim olan kare, öteki iki bölge eş dikdörtgenlerdir. a − b b a − b b a
  1. Aa2−b2\displaystyle a^2 - b^2
  2. Ba2−2ab+b2\displaystyle a^2 - 2ab + b^2
  3. Ca2−2ab−b2\displaystyle a^2 - 2ab - b^2
  4. Da2+2ab+b2\displaystyle a^2 + 2ab + b^2
  5. Ea2−ab+b2\displaystyle a^2 - ab + b^2
Çözümü göster
Soru 15İşlemKısa cevap6 puanOrta, zorluk 4 / 10
20262−202422{\dfrac{2026^2 - 2024^2}{2}} işleminin sonucu kaçtır?
Çözümü göster
Soru 16SözelÇoktan seçmeli5 puanOrta, zorluk 5 / 10
Bir kenarının uzunluğu x{x} metre olan kare biçimindeki bir bahçenin bir köşesine, bir kenarının uzunluğu 3{3} metre olan kare biçiminde bir havuz yapılmıştır. Bahçenin havuz dışında kalan bölümü çimlendirilecektir. (x>3{x > 3})Buna göre çimlendirilecek alanın x{x} cinsinden cebirsel temsili aşağıdakilerden hangisidir?
Kenarı x olan kare bahçe ve köşesindeki kare havuz Bir kenarının uzunluğu x metre olan kare biçiminde bir bahçe. Bahçenin sağ üst köşesinde bir kenarının uzunluğu üç metre olan kare biçiminde bir havuz vardır; havuzun dışında kalan bölge çimlendirilecek alandır. x x 3 3
  1. Ax2−9\displaystyle x^2 - 9
  2. Bx2−3\displaystyle x^2 - 3
  3. C(x−3)2\displaystyle \left( x - 3 \right)^2
  4. Dx2+9\displaystyle x^2 + 9
  5. E4x−12\displaystyle 4x - 12
Çözümü göster
Soru 17Yeni nesilÇoktan seçmeli7 puanZor, zorluk 8 / 10
Şekilde, uzun kenarı a{a} birim ve kısa kenarı b{b} birim olan dikdörtgen biçimindeki bir kartonun dört köşesinden, bir kenarının uzunluğu k{k} birim olan birer kare kesilerek çıkarılmıştır. (2k<b<a{2k < b < a})Buna göre kesme işleminden sonra oluşan şeklin çevre uzunluğunun cebirsel temsili aşağıdakilerden hangisidir?
Dört köşesinden eşit kareler kesilmiş dikdörtgen Uzun kenarı a birim, kısa kenarı b birim olan bir dikdörtgen. Dört köşesinden bir kenarının uzunluğu k birim olan birer kare kesikli çizgiyle gösterilerek çıkarılmıştır; geriye kalan artı biçimindeki bölge boyalıdır. a b k k
  1. A2a+2b−8k\displaystyle 2a + 2b - 8k
  2. B2a+2b−4k\displaystyle 2a + 2b - 4k
  3. C2a+2b+8k\displaystyle 2a + 2b + 8k
  4. D2ab−4k2\displaystyle 2ab - 4k^2
  5. E2a+2b\displaystyle 2a + 2b
Çözümü göster
Soru 18SözelAçık uçlu20 puanİleri, zorluk 9 / 10
Şekilde uzun kenarı a{a} birim, kısa kenarı b{b} birim olan bir dikdörtgen verilmiştir.Deniz ve Ege bu dikdörtgenin çevre uzunluğunu farklı biçimlerde yazmışlardır:Deniz: 2a+2b{2a + 2b}Ege: 2⋅(a+b){2 \cdot \left( a + b \right)}Buna göre aşağıdaki soruları cevaplayınız.
Kenarları a ve b olan dikdörtgen Uzun kenarının uzunluğu a birim, kısa kenarının uzunluğu b birim olan bir dikdörtgen. a b
  1. a)
    İki ifadenin her a{a} ve b{b} için birbirine eşit olmasını sağlayan işlem özelliğinin adını yazınız.(4 puan)
  2. b)
    a=42{a = 4\sqrt{2}} birim ve b=32{b = 3\sqrt{2}} birim olduğunda çevre uzunluğunu iki ifadeyi de kullanarak hesaplayınız.(9 puan)
  3. c)
    İki sonucun eşit çıkması, dağılma özelliğinin irrasyonel sayılarda da geçerli olduğunu ispatlar mı? Açıklayınız.(7 puan)
Çözümü göster
Soru 19SözelÇoktan seçmeli7 puanZor, zorluk 8 / 10
Bir kenarının uzunluğu 2n+3{2n + 3} metre olan kare biçimindeki bir arsanın ortasına, bir kenarının uzunluğu 2n−3{2n - 3} metre olan kare biçiminde bir bina yapılmıştır. Arsanın bina dışında kalan bölümü yeşil alan olarak düzenlenecektir. (n>2{n > 2})Buna göre yeşil alanın n{n} cinsinden cebirsel temsili aşağıdakilerden hangisidir?
Kare arsanın ortasındaki kare bina Bir kenarının uzunluğu iki n artı üç metre olan kare biçiminde bir arsa. Arsanın ortasında bir kenarının uzunluğu iki n eksi üç metre olan kare biçiminde bir bina vardır; binanın dışında kalan bölge yeşil alandır. 2n + 3 2n − 3
  1. A12n\displaystyle 12n
  2. B24n\displaystyle 24n
  3. C8n2+18\displaystyle 8n^2 + 18
  4. D18\displaystyle 18
  5. E4n2−9\displaystyle 4n^2 - 9
Çözümü göster
Soru 20İşlemKısa cevap6 puanOrta, zorluk 4 / 10
a+b=9{a + b = 9} ve a⋅b=14{a \cdot b = 14} olduğuna göre (a−b)2{\left( a - b \right)^2} ifadesinin değeri kaçtır?
Çözümü göster
Soru 21SözelAçık uçlu15 puanZor, zorluk 7 / 10
Bir kenarının uzunluğu x{x} metre olan kare biçimindeki bir tarlanın kenar uzunluğu 3{3} metre artırılarak tarla büyütülecektir. Şekilde büyütülmüş tarla kesikli çizgiyle, tarlaya eklenen bölge ise boyalı olarak gösterilmiştir.
Kenarı uzatılarak büyütülen kare tarla Bir kenarının uzunluğu x metre olan kare biçiminde bir tarla. Tarlanın kenar uzunluğu üç metre artırılarak büyütülmüş; büyütülmüş kare kesikli çizgiyle gösterilmiş ve eklenen L biçimindeki bölge boyanmıştır. x 3 x 3
  1. a)
    Büyütülmüş tarlanın alanının x{x} cinsinden açık cebirsel temsilini yazınız.(5 puan)
  2. b)
    Tarlanın alanındaki artışın x{x} cinsinden cebirsel temsilini bulunuz.(5 puan)
  3. c)
    x=20{x = 20} olduğunda alandaki artış kaç metrekaredir?(5 puan)
Çözümü göster
Soru 22Yeni nesilÇoktan seçmeli9 puanİleri, zorluk 9 / 10
Şekildeki ABCD{ABCD} dikdörtgeninde K{K} noktası [AB]{[AB]} kenarı üzerindedir.∣AK∣=2x{|AK| = 2^x} birim, ∣KB∣=2x+1{|KB| = 2^{x+1}} birim ve ∣AD∣=2x{|AD| = 2^x} birimdir.Buna göre ABCD{ABCD} dikdörtgeninin alanının cebirsel temsili aşağıdakilerden hangisidir?
ABCD dikdörtgeni AB kenarı üzerindeki K noktasıyla iki bölgeye ayrılmış ABCD dikdörtgeni. AB kenarı üzerinde bir K noktası vardır; AK uzunluğu iki üzeri x birim, KB uzunluğu iki üzeri x artı bir birimdir. Dikdörtgenin yüksekliği olan AD kenarı iki üzeri x birimdir. A K B C D 2x 2x+1 2x
  1. A22x+1\displaystyle 2^{2x+1}
  2. B3⋅2x+1\displaystyle 3 \cdot 2^{x+1}
  3. C23x\displaystyle 2^{3x}
  4. D9⋅22x\displaystyle 9 \cdot 2^{2x}
  5. E3⋅22x\displaystyle 3 \cdot 2^{2x}
Çözümü göster
Soru 23Yeni nesilÇoktan seçmeli9 puanİleri, zorluk 9 / 10
Şekilde bir kenarının uzunluğu 5+3{\sqrt{5} + \sqrt{3}} birim olan bir kare, üst ve sol kenarları 5{\sqrt{5}} ve 3{\sqrt{3}} uzunluklarında parçalara ayrılarak dört bölgeye bölünmüştür.Buna göre bu karenin alanı kaç birim karedir?
Kenarı karekök beş artı karekök üç olan kare dört bölgeye ayrılmış Bir kenarının uzunluğu karekök beş artı karekök üç birim olan kare. Üst ve sol kenarları karekök beş ve karekök üç parçalarına bölünerek dört bölge oluşturulmuştur: iki kare ve iki eş dikdörtgen. √5 √3 √5 √3
  1. A8\displaystyle 8
  2. B15\displaystyle \sqrt{15}
  3. C15+8\displaystyle \sqrt{15} + 8
  4. D15\displaystyle 15
  5. E215+8\displaystyle 2 \sqrt{15} + 8
Çözümü göster
Soru 24KavramAçık uçlu20 puanİleri, zorluk 10 / 10
Bir öğrenci şu önermeyi ileri sürüyor:"Her a{a} ve b{b} gerçek sayısı için (a+b)2=a2+b2{\left( a + b \right)^2 = a^2 + b^2} eşitliği doğrudur."
  1. a)
    Bu önermenin yanlış olduğunu bir karşıt örnekle gösteriniz.(5 puan)
  2. b)
    Eşitliğin sağlandığı a{a} ve b{b} değerlerinin sağlaması gereken koşulu özdeşlik kullanarak bulunuz.(7 puan)
  3. c)
    Bulduğunuz koşulu sağlayan, ikisi de sıfırdan farklı bir a{a} ve b{b} çifti var mıdır? Cevabınızı gerekçelendiriniz.(5 puan)
  4. ç)
    Önerme, a{a} ve b{b} yerine yalnız irrasyonel sayılar alındığında da yanlış mıdır? Bir örnekle açıklayınız.(3 puan)
Çözümü göster
Soru 25KavramÇoktan seçmeli5 puanOrta, zorluk 4 / 10
Aşağıda gerçek sayılarda bazı işlem özellikleri sembolik olarak yazılmış ve her birinin neyi ifade ettiği belirtilmiştir.I. ∀a∈R{\forall a \in \mathbb{R}} için a⋅0=0⋅a=0{a \cdot 0 = 0 \cdot a = 0} eşitliği, çarpma işleminin birim elemanının 0{0} olduğunu ifade eder.II. ∀a,b,c∈R{\forall a, b, c \in \mathbb{R}} için (a+b)+c=a+(b+c){(a + b) + c = a + (b + c)} eşitliği, toplama işleminin birleşme özelliğini ifade eder.III. ∀a∈R{\forall a \in \mathbb{R}} için a+(−a)=(−a)+a=0{a + (-a) = (-a) + a = 0} eşitliği, her gerçek sayının toplama işlemine göre tersinin olduğunu ifade eder.Buna göre yukarıdaki ifadelerden hangileri doğrudur?
  1. AYalnız II
  2. BYalnız III
  3. CI ve II
  4. DI ve III
  5. EII ve III
Çözümü göster
Soru 26SözelÇoktan seçmeli3 puanKolay, zorluk 3 / 10
Bir bahçe, şekildeki gibi iki dikdörtgen parsele ayrılmıştır. Ece bahçenin alanını 4⋅(7+3){4 \cdot (7 + 3)} biçiminde, Can ise iki parselin alanlarını ayrı ayrı bulup toplayarak 4⋅7+4⋅3{4 \cdot 7 + 4 \cdot 3} biçiminde hesaplamıştır.İki hesabın aynı sonucu vermesi, gerçek sayılarda aşağıdaki işlem özelliklerinden hangisine bir örnektir?
İki parsele ayrılmış dikdörtgen bahçe Kısa kenarı 4 metre olan dikdörtgen biçiminde bir bahçe, kısa kenara paralel bir çizgiyle iki dikdörtgen parsele ayrılmıştır. Uzun kenar 7 metre ve 3 metre uzunluğunda iki parçaya bölünmüştür. 7 m 3 m 4 m
  1. AÇarpmanın toplama üzerine dağılma özelliği
  2. BÇarpmanın birleşme özelliği
  3. CToplamanın değişme özelliği
  4. DÇarpmanın değişme özelliği
  5. EToplamanın birim elemanı
Çözümü göster
Soru 27KavramÇoktan seçmeli3 puanKolay, zorluk 3 / 10
x{x} ve y{y} gerçek sayılar olmak üzere (x−5)⋅(y+2)≠0{(x - 5) \cdot (y + 2) \ne 0} koşulu veriliyor.Buna göre aşağıdakilerden hangisi bu koşulla aynı anlamdadır?
  1. Ax≠5∧y≠−2\displaystyle x \ne 5 \land y \ne -2
  2. Bx≠5∨y≠−2\displaystyle x \ne 5 \lor y \ne -2
  3. Cx=5∨y=−2\displaystyle x = 5 \lor y = -2
  4. Dx≠−5∧y≠2\displaystyle x \ne -5 \land y \ne 2
  5. Ex=5∧y=−2\displaystyle x = 5 \land y = -2
Çözümü göster
Soru 28Yeni nesilKısa cevap4 puanKolay, zorluk 3 / 10
Bir öğrenci ardışık iki doğal sayının karelerinin farkını hesaplayıp sonuçları şekildeki tabloya yazmıştır.Tablodaki sonuçlarla karesi alınan sayılar arasındaki ilişkiyi gözleyerek 382−372{38^2 - 37^2} işleminin sonucunu bulunuz.
Ardışık doğal sayıların kareleri farkı İki sütunlu tablo. İki kare eksi bir kare eşittir üç; üç kare eksi iki kare eşittir beş; dört kare eksi üç kare eşittir yedi; beş kare eksi dört kare eşittir dokuz. İşlem Sonuç 22 − 12 3 32 − 22 5 42 − 32 7 52 − 42 9
Çözümü göster
Soru 29İşlemKısa cevap4 puanKolay, zorluk 2 / 10
(9−12)⋅(9−22)⋅(9−32)⋅(9−42)⋅(9−52){(9 - 1^2) \cdot (9 - 2^2) \cdot (9 - 3^2) \cdot (9 - 4^2) \cdot (9 - 5^2)} çarpımının sonucunu bulunuz.
Çözümü göster
Soru 30SözelÇoktan seçmeli5 puanOrta, zorluk 5 / 10
Bir sağlık ocağında bir aşı için şu saklama kuralı uygulanmaktadır: Buzdolabının sıcaklığı 2{2} °C'nin altına düşerse veya 8{8} °C'nin üstüne çıkarsa aşı kullanılmaz. Şekilde aşının kullanılmadığı sıcaklık değerleri °C cinsinden sayı doğrusu üzerinde gösterilmiştir. Buzdolabının sıcaklığı t{t} °C'dir.Buna göre aşının kullanılabildiği sıcaklıkları tam olarak ifade eden koşul aşağıdakilerden hangisidir?
Aşının kullanılmadığı sıcaklıklar Sıfırdan ona kadar numaralı sayı doğrusu. İkinin solunda eksi sonsuza giden ve sekizin sağında artı sonsuza giden iki ışın aynı yükseklikte çizilmiştir; iki ve sekiz noktaları boş yuvarlakla gösterilmiştir, yani dahil değildir. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
  1. At≥2∨t≤8\displaystyle t \ge 2 \lor t \le 8
  2. Bt>2∧t<8\displaystyle t > 2 \land t < 8
  3. Ct<2∧t>8\displaystyle t < 2 \land t > 8
  4. Dt≥2∧t<8\displaystyle t \ge 2 \land t < 8
  5. Et≥2∧t≤8\displaystyle t \ge 2 \land t \le 8
Çözümü göster
Soru 31KavramÇoktan seçmeli5 puanOrta, zorluk 5 / 10
Aşağıda gerçek sayılarla ilgili üç önerme verilmiştir.I. ∀a,b∈R, a−b=−(b−a){\forall a, b \in \mathbb{R}, \ a - b = -(b - a)}II. ∀a∈R, ∃b∈R, a⋅b=0{\forall a \in \mathbb{R}, \ \exists b \in \mathbb{R}, \ a \cdot b = 0}III. ∃e∈R, ∀a∈R, a−e=e−a=a{\exists e \in \mathbb{R}, \ \forall a \in \mathbb{R}, \ a - e = e - a = a}Buna göre yukarıdaki önermelerden hangileri doğrudur?
  1. AYalnız I
  2. BYalnız II
  3. CI ve II
  4. DII ve III
  5. EI, II ve III
Çözümü göster
Soru 32Yeni nesilÇoktan seçmeli5 puanOrta, zorluk 6 / 10
Bir öğrenci, ortaokulda tam sayılarla sınadığı işlem özelliklerinin irrasyonel sayılarda da geçerli olup olmadığını merak ediyor. a=2{a = \sqrt{2}} ve b=8{b = \sqrt{8}} sayılarıyla dört işlemi iki sırada yapmış ve sonuçları şekildeki tabloya yazmıştır.I. Tablo, çıkarma işleminin gerçek sayılarda değişme özelliği olmadığını gösterir.II. Tablo, toplama işleminin her gerçek sayı çifti için değişme özelliği taşıdığını ispatlar.III. Tablo, bölme işleminin gerçek sayılarda değişme özelliği olmadığını gösterir.Buna göre yukarıdaki ifadelerden hangileri doğrudur?
İki irrasyonel sayıyla dört işlem iki sırada Dört satırlı iki sütunlu tablo. a artı b ile b artı a üç kök ikidir. a eksi b eksi kök iki, b eksi a kök ikidir. a çarpı b ile b çarpı a dörttür. a bölü b sıfır virgül beş, b bölü a ikidir. a + b = 3√2 b + a = 3√2 a − b = −√2 b − a = √2 a · b = 4 b · a = 4 a : b = 0,5 b : a = 2
  1. AYalnız I
  2. BYalnız III
  3. CI ve II
  4. DI ve III
  5. EI, II ve III
Çözümü göster
Soru 33Yeni nesilÇoktan seçmeli5 puanOrta, zorluk 6 / 10
Üç öğrenci zihinden yaptıkları birer işlemi şekildeki tabloya yazmıştır.Buna göre hangi öğrencilerin yönteminde çarpma işleminin dağılma özelliği kullanılmıştır?
Üç öğrencinin zihinden hesap yöntemi İki sütunlu tablo. Ece: yirmi beş çarpı on üç çarpı dört eşittir parantez içinde yirmi beş çarpı dört, çarpı on üç. Can: on üç çarpı doksan dokuz eşittir on üç çarpı yüz eksi on üç çarpı bir. Nil: sekiz artı otuz yedi artı iki eşittir parantez içinde sekiz artı iki, artı otuz yedi. Öğrenci Zihinden yaptığı işlem Ece 25 · 13 · 4 = (25 · 4) · 13 Can 13 · 99 = 13 · 100 − 13 · 1 Nil 8 + 37 + 2 = (8 + 2) + 37
  1. AYalnız Ece
  2. BYalnız Can
  3. CEce ve Can
  4. DCan ve Nil
  5. EEce, Can ve Nil
Çözümü göster
Soru 34KavramAçık uçlu10 puanOrta, zorluk 4 / 10
Bir öğrenci 4⋅(x+3)+5x{4 \cdot (x + 3) + 5x} ifadesini sadeleştirirken her adımda bir işlem özelliği kullanmıştır:1. adım: 4⋅(x+3)+5x=(4x+12)+5x{4 \cdot (x + 3) + 5x = (4x + 12) + 5x}2. adım: (4x+12)+5x=(12+4x)+5x{(4x + 12) + 5x = (12 + 4x) + 5x}3. adım: (12+4x)+5x=12+(4x+5x){(12 + 4x) + 5x = 12 + (4x + 5x)}4. adım: 12+(4x+5x)=12+(4+5)⋅x=12+9x{12 + (4x + 5x) = 12 + (4 + 5) \cdot x = 12 + 9x}Buna göre aşağıdaki soruları cevaplayınız.
  1. a)
    1. ve 4. adımlarda ortak olarak kullanılan işlem özelliğinin adını yazınız.(3 puan)
  2. b)
    2. ve 3. adımlarda kullanılan işlem özelliklerinin adlarını sırasıyla yazınız.(3 puan)
  3. c)
    Başka bir öğrenci aynı ifadeyi 9x+3{9x + 3} biçiminde sadeleştirmiştir. Bu öğrencinin hangi özelliği eksik uyguladığını yazınız ve sonucunun yanlış olduğunu bir karşıt örnekle gösteriniz.(4 puan)
Çözümü göster
Soru 35İşlemÇoktan seçmeli5 puanOrta, zorluk 6 / 10
Bir öğrenci ters eleman özelliklerini irrasyonel bir sayıyla sınamak istiyor. x=2−3{x = 2 - \sqrt{3}} olmak üzere m{m} ve n{n} gerçek sayılarıx+m=0{x + m = 0} ve x⋅n=1{x \cdot n = 1}eşitliklerini sağlamaktadır.Buna göre m+n{m + n} toplamı kaçtır?
  1. A0\displaystyle 0
  2. B4\displaystyle 4
  3. C23\displaystyle 2\sqrt{3}
  4. D23−4\displaystyle 2\sqrt{3} - 4
  5. E4+23\displaystyle 4 + 2\sqrt{3}
Çözümü göster
Soru 36SözelKısa cevap6 puanOrta, zorluk 4 / 10
Bir halı mağazası, kenar uzunlukları 102{102} cm ve 98{98} cm olan dikdörtgen biçiminde bir paspas satmaktadır. Satış görevlisi paspasın alanını hesap makinesi kullanmadan bulmak için iki kenar uzunluğunu 100{100} sayısına göre yazıyor ve bir özdeşlikten yararlanıyor.Buna göre paspasın alanı kaç santimetrekaredir?
Çözümü göster
Soru 37KavramÇoktan seçmeli5 puanOrta, zorluk 4 / 10
∀a∈R, ∃b∈R, a+b=0{\forall a \in \mathbb{R}, \ \exists b \in \mathbb{R}, \ a + b = 0} önermesi, her gerçek sayının toplama işlemine göre bir tersi olduğunu ifade eder.Buna göre bu önermenin değili aşağıdakilerden hangisidir?
  1. A∃a∈R, ∀b∈R, a+b≠0\displaystyle \exists a \in \mathbb{R}, \ \forall b \in \mathbb{R}, \ a + b \ne 0
  2. B∀a∈R, ∃b∈R, a+b≠0\displaystyle \forall a \in \mathbb{R}, \ \exists b \in \mathbb{R}, \ a + b \ne 0
  3. C∃a∈R, ∃b∈R, a+b≠0\displaystyle \exists a \in \mathbb{R}, \ \exists b \in \mathbb{R}, \ a + b \ne 0
  4. D∃a∈R, ∀b∈R, a+b=0\displaystyle \exists a \in \mathbb{R}, \ \forall b \in \mathbb{R}, \ a + b = 0
  5. E∀a∈R, ∀b∈R, a+b≠0\displaystyle \forall a \in \mathbb{R}, \ \forall b \in \mathbb{R}, \ a + b \ne 0
Çözümü göster
Soru 38İşlemKısa cevap6 puanOrta, zorluk 6 / 10
(x−2)⋅(x+8)⋅(x2−2)=0{(x - \sqrt{2}) \cdot (x + \sqrt{8}) \cdot (x^2 - 2) = 0} denkleminin gerçek sayılardaki çözüm kümesinin elemanlarının toplamını bulunuz.
Çözümü göster
Soru 39Yeni nesilÇoktan seçmeli7 puanZor, zorluk 8 / 10
Kare biçimindeki bir süs havuzunun çevresi, şekildeki gibi kare biçimindeki eş karolarla tek sıra hâlinde döşenecektir. Şekilde bir kenarı 5{5} karo uzunluğunda olan bir havuzun döşemesi gösterilmiştir. Üç öğrenci, bir kenarı n{n} karo uzunluğunda olan bir havuz için gereken karo sayısını farklı biçimlerde ifade etmiştir.I. (n+2)2−n2{(n + 2)^2 - n^2}II. 4⋅(n+1){4 \cdot (n + 1)}III. 4⋅(n+2){4 \cdot (n + 2)}Buna göre bu ifadelerden hangileri her n{n} pozitif tam sayısı için gereken karo sayısını verir?
Kenarı beş karo olan havuzun karo kenarlığı Kare biçiminde bir havuzun çevresi tek sıra kare karoyla döşenmiştir. Havuzun bir kenarı beş karo uzunluğundadır; karolar boyalı, havuz beyaz gösterilmiştir. Döşeme yedi karoya yedi karoluk bir karenin dış halkasıdır. Havuz
  1. AYalnız II
  2. BI ve II
  3. CI ve III
  4. DII ve III
  5. EI, II ve III
Çözümü göster
Soru 40KavramÇoktan seçmeli7 puanZor, zorluk 7 / 10
Bir öğrenci aşağıdaki üç eşitliği x=0{x = 0}, x=1{x = 1} ve x=2{x = 2} değerleri için sınamış ve eşitliğin sağlanıp sağlanmadığını şekildeki tabloya yazmıştır. Tabloda "Evet" eşitliğin o değer için sağlandığını gösterir.I. (x+2)2=x2+4{(x + 2)^2 = x^2 + 4}II. x3+2x=3x2{x^3 + 2x = 3x^2}III. (x+1)2=x2+2x+1{(x + 1)^2 = x^2 + 2x + 1}Buna göre bu eşitliklerden hangileri özdeşliktir?
Üç eşitliğin üç değerle sınanması Dört sütunlu tablo; Evet eşitliğin o değer için sağlandığını gösterir. I. eşitlik x sıfırken evet, x bir ve ikiyken hayır. II. eşitlik x sıfır, bir ve ikiyken evet. III. eşitlik x sıfır, bir ve ikiyken evet. Eşitlik x = 0 x = 1 x = 2 I Evet Hayır Hayır II Evet Evet Evet III Evet Evet Evet
  1. AI ve III
  2. BII ve III
  3. CYalnız III
  4. DI, II ve III
  5. EHic¸biri\displaystyle \text{Hiçbiri}
Çözümü göster
Soru 41SözelAçık uçlu20 puanİleri, zorluk 9 / 10
Bir fotoğrafçı, kenar uzunlukları 30{30} cm ve 20{20} cm olan dikdörtgen biçimindeki bir fotoğrafı çerçevelemeden önce fotoğrafın çevresine her kenarda aynı genişlikte bir paspartu yerleştirmektedir. Paspartu, fotoğrafı çevreleyen karton bir kenarlıktır. Şekilde paspartunun genişliği x{x} cm ile gösterilmiştir.Buna göre aşağıdaki soruları cevaplayınız.
Paspartulu fotoğraf Kenarları otuz santimetre ve yirmi santimetre olan dikdörtgen bir fotoğrafın çevresine her kenarda aynı genişlikte bir paspartu yerleştirilmiştir. Paspartu boyalı halkadır ve genişliği üstte ve solda x ile gösterilmiştir. Fotoğraf 30 cm 20 cm x x
  1. a)
    Paspartu yerleştirildikten sonra oluşan dikdörtgenin kenar uzunluklarını x{x} cinsinden yazınız.(3 puan)
  2. b)
    Paspartunun alanının x{x} cinsinden cebirsel temsilini bulunuz.(6 puan)
  3. c)
    Paspartunun genişliği 3{3} cm olduğunda paspartunun alanı kaç santimetrekaredir?(4 puan)
  4. ç)
    Fotoğrafçının yardımcısı "Paspartunun genişliğini iki katına çıkarırsak alanı da iki katına çıkar." diyor. Bu iddiayı (b) maddesinde bulduğunuz temsili kullanarak değerlendiriniz.(7 puan)
Çözümü göster
Soru 42KavramÇoktan seçmeli7 puanZor, zorluk 7 / 10
Aşağıda x=3{x = 3} olmak üzere yapılan işlemler ve her adımın gerekçesi verilmiştir.1. adım: İki taraf x{x} ile çarpılır: x2=3x{x^2 = 3x}2. adım: İki taraftan 9{9} çıkarılır: x2−9=3x−9{x^2 - 9 = 3x - 9}3. adım: Solda karelerin farkı özdeşliği, sağda dağılma özelliği kullanılır: (x−3)(x+3)=3(x−3){(x - 3)(x + 3) = 3(x - 3)}4. adım: İki taraf x−3{x - 3} sayısının çarpma işlemine göre tersiyle çarpılır: x+3=3{x + 3 = 3}5. adım: İki taraftan 3{3} çıkarılır: x=0{x = 0}x=3{x = 3} iken x=0{x = 0} sonucuna ulaşıldığına göre adımlardan birinde hata yapılmıştır.Buna göre ilk defa hangi adımda hata yapılmıştır?
  1. A1. adım
  2. B2. adım
  3. C3. adım
  4. D4. adım
  5. E5. adım
Çözümü göster
Soru 43SözelÇoktan seçmeli7 puanZor, zorluk 7 / 10
Bir köydeki bir çiftçinin bir kenarının uzunluğu x{x} metre olan kare biçiminde bir tarlası vardır. Komşusu, bu tarlayı kenar uzunlukları x+5{x + 5} metre ve x−5{x - 5} metre olan dikdörtgen biçimindeki kendi tarlasıyla takas etmeyi öneriyor ve "Bir kenar 5{5} metre uzuyor, öteki 5{5} metre kısalıyor; alan değişmez." diyor. Şekilde iki tarla aynı ölçekte gösterilmiştir. (x>5{x > 5})Buna göre bu takasla ilgili aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
Takas edilmek istenen iki tarla Solda bir kenarı x metre olan kare tarla, sağda kenarları x artı beş metre ve x eksi beş metre olan dikdörtgen tarla aynı ölçekte çizilmiştir. x x Kare tarla x + 5 x − 5 Dikdörtgen tarla
  1. Aİki tarlanın alanı eşittir
  2. BÇiftçinin alanı 25 metrekare artar
  3. CÇiftçinin alanı 10 metrekare azalır
  4. DÇiftçinin alanı 25 metrekare azalır
  5. EDeğişim tarlanın kenarına bağlıdır
Çözümü göster
Soru 44Yeni nesilÇoktan seçmeli7 puanZor, zorluk 8 / 10
Bir kenarının uzunluğu x{x} metre olan kare biçimindeki bir parkın içinden, şekildeki gibi kenarlara paralel ve her biri 2{2} metre genişliğinde iki yürüyüş yolu geçmektedir. Yollar parkın bir kenarından karşı kenarına kadar uzanmakta ve birbirini dik kesmektedir. Parkın yollar dışında kalan dört bölümüne çiçek dikilecektir. (x>2{x > 2})Buna göre çiçek dikilecek bölümlerin toplam alanı x{x} türünden aşağıdakilerden hangisine eşittir?
Kare parkta kesişen iki yol Bir kenarı x metre olan kare park. Parkın içinden kenarlara paralel, iki metre genişliğinde biri düşey biri yatay iki yol geçer ve yollar birbirini dik keser. Yollar boyalıdır; parkın yollar dışındaki dört bölümü beyazdır. x x 2 m 2 m
  1. Ax2−4x\displaystyle x^2 - 4x
  2. Bx2−4\displaystyle x^2 - 4
  3. Cx2−4x−4\displaystyle x^2 - 4x - 4
  4. D(x−4)2\displaystyle (x - 4)^2
  5. E(x−2)2\displaystyle (x - 2)^{2}
Çözümü göster
Soru 45SözelKısa cevap8 puanZor, zorluk 7 / 10
Bir sayının 3{3} eksiğinin karesi, aynı sayının 2{2} katının 1{1} fazlasının karesine eşittir.Buna göre bu koşulu sağlayan bütün gerçek sayıların kümesini bulunuz.
Çözümü göster
Soru 46Yeni nesilAçık uçlu20 puanİleri, zorluk 9 / 10
Bir öğrenci, birler basamağı 5{5} olan iki basamaklı sayıların karesini hesaplamanın kısa bir yolunu arıyor. Hesapladığı karelerden bazılarını onlar basamağındaki rakamla birlikte şekildeki tabloya yazmıştır.Buna göre aşağıdaki soruları cevaplayınız.
Birler basamağı beş olan sayıların kareleri Üç sütunlu tablo: sayı, onlar basamağı ve sayının karesi. On beşin onlar basamağı bir, karesi iki yüz yirmi beş; yirmi beşin iki, altı yüz yirmi beş; otuz beşin üç, bin iki yüz yirmi beş; kırk beşin dört, iki bin yirmi beş. Sayı Onlar basamağı Karesi 15 1 225 25 2 625 35 3 1225 45 4 2025
  1. a)
    Tablodaki karelerin son iki basamağını ve bu basamakların önündeki sayıyı onlar basamağındaki rakamla karşılaştırınız. Gözlediğiniz kuralı kullanarak 652{65^2} sayısını çarpma yapmadan yazınız.(3 puan)
  2. b)
    Birler basamağı 5{5}, onlar basamağı a{a} olan bir sayı 10a+5{10a + 5} biçiminde yazılır. Bu sayının karesini özdeşlik kullanarak açınız ve gözlediğiniz kuralın her a{a} için doğru olduğunu gösteriniz.(7 puan)
  3. c)
    Öğrencinin arkadaşı "Bu kural yalnız tablodaki dört sayıyla denendi; 952{95^2} için de doğru olduğunu söyleyemeyiz." diyor. Bu görüşü (b) maddesini kullanarak değerlendiriniz ve 952{95^2} sayısını kuralla bulunuz.(5 puan)
  4. ç)
    Kural, onlar basamağındaki rakam yerine 10{10} sayısının geldiği 105{105} sayısı için de geçerli midir? Gerekçesiyle açıklayınız.(5 puan)
Çözümü göster
Soru 47İşlemÇoktan seçmeli9 puanİleri, zorluk 10 / 10
Şekilde x{x} gerçek sayısının alabileceği değerler sayı doğrusu üzerinde gösterilmiştir.Buna göre x2−6x+9+x2+4x+4{\sqrt{x^2 - 6x + 9} + \sqrt{x^2 + 4x + 4}} ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
x sayısının alabileceği değerler Eksi dörtten beşe kadar numaralı sayı doğrusu. Eksi iki ile üç arasındaki bölüm, iki uç noktası dolu yuvarlakla gösterilerek, yani uçları dahil olarak işaretlenmiştir. -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
  1. A5\displaystyle 5
  2. B−5\displaystyle -5
  3. C2x−1\displaystyle 2x - 1
  4. D1−2x\displaystyle 1 - 2x
  5. E2x+1\displaystyle 2x + 1
Çözümü göster
Soru 48KavramÇoktan seçmeli9 puanİleri, zorluk 9 / 10
a=5+1{a = \sqrt{5} + 1} ve b=5−1{b = \sqrt{5} - 1} sayıları veriliyor. a{a} ve b{b} sayılarının ikisi de irrasyoneldir.Buna göre aşağıdakilerden hangisi irrasyonel bir sayıdır?
  1. Aa⋅b\displaystyle a \cdot b
  2. Bab\displaystyle \dfrac{a}{b}
  3. Ca2+b2\displaystyle a^2 + b^2
  4. D(a+b)2\displaystyle (a + b)^2
  5. Ea−b\displaystyle a - b
Çözümü göster

Ders kılavuzu

Dersi açmak için çengel sorular, kavramı somutlaştıran benzetmeler ve öğrencilerin sık yaptığı yanlışlar.

Derse giriş: çengel sorular

  • Bir cümle ne zaman matematiğin cümlesi olur?

    Tahtaya üç cümle yazın: “İki tek sayının toplamı çifttir.”, “x+3=10{x + 3 = 10} ise x{x} kaçtır?” ve “x{x} sayısı 5'ten büyüktür.” Sınıfa tek soru sorun: hangisi için “doğru” ya da “yanlış” diyebiliriz? Birincisi doğru, ikincisi bir soru — hüküm bildirmiyor, üçüncüsünün ise x{x} bilinmeden kararı verilemez. Bu bölümün ilk fikri budur: matematik yalnız hüküm bildiren cümlelerle çalışır ve onlara önerme der.

    2+3=5o¨nermex+3=10o¨nerme deg˘il\displaystyle 2 + 3 = 5 \quad \text{önerme} \qquad x + 3 = 10 \quad \text{önerme değil}

  • Çıkarma neden ikinci sınıf bir işlemdir?

    Toplamanın dört ayrıcalığı var: sırası değişir, gruplaması değişir, iz bırakmayan bir elemanı (0{0}) ve her sayının bir tersi (−a{-a}) vardır. Sınıfa sorun: çıkarmada bunların kaçı geçerli? Cevabı tek bir örnekle buldurun — 7−3{7 - 3} ile 3−7{3 - 7} aynı mı? Dördü de yok. Kitabın Kontrol Noktası'nda yazan şaşırtıcı cümle budur: çıkarma ve bölme, toplama ve çarpmanın kılık değiştirmiş hâlleridir; a−b{a - b} demek a+(−b){a + (-b)} demektir.

    7−3≠3−7,a−b=a+(−b)\displaystyle 7 - 3 \ne 3 - 7, \qquad a - b = a + (-b)

  • Çarpımı sıfır olan iki sayı hakkında ne bilirsiniz?

    İki sayının toplamı 10{10} ise sayılar hakkında hiçbir şey bilemezsiniz; sonsuz olasılık var. İki sayının çarpımı 12{12} ise yine bilemezsiniz. Ama çarpım sıfır ise birden bire çok şey bilirsiniz: en az biri sıfırdır. Çarpma işleminin bu tek istisnası, ilerideki bütün denklem çözümlerinin kapısıdır. Dikkat: “biri” dedik, “ikisi” demedik.

    a⋅b=0⇔a=0∨b=0\displaystyle a \cdot b = 0 \Leftrightarrow a = 0 \lor b = 0

  • $37 \cdot 43$'ü zihinden yapın

    Kimse kâğıt kalem kullanmasın. Yol şu: iki sayı da 40{40}'ın 3{3} uzağında. Yani (40−3)(40+3){(40 - 3)(40 + 3)}. Bu çarpımın kısa yolu var: 402−32=1600−9=1591{40^2 - 3^2 = 1600 - 9 = 1591}. Sınıf bunu yapabildiğinde özdeşliğin ne işe yaradığını sormaya gerek kalmaz. Özdeşlik bir formül ezberi değil, hesabı kısaltan bir takastır.

    37⋅43=(40−3)(40+3)=402−32=1591\displaystyle 37 \cdot 43 = (40 - 3)(40 + 3) = 40^2 - 3^2 = 1591

Benzetmeler

  • Önerme

    Önerme, hâkimin kararıdır. Mahkemede “sanık suçlu mudur?” bir sorudur, karar değildir; “sanık suçludur” ise karardır ve doğru ya da yanlış çıkabilir. “x{x} sayısı 5'ten büyüktür” cümlesi ise dosyası eksik bir karardır: x{x} bilinmeden hüküm kurulamaz. Matematikte de aynısı: soru cümlesi ve içinde bilinmeyen taşıyan açık cümle önerme değildir.

  • Niceleyiciler (∀{\forall} ve ∃{\exists})

    ∀{\forall} bir garanti belgesidir, ∃{\exists} bir tanıktır. Garantiyi çürütmek için tek bir bozuk ürün yeter — bin sağlam ürün göstermek garantiyi ispatlamaz. Tanığı ispatlamak içinse tek bir kişi yeter; onu çürütmek için herkesi tek tek elemek gerekir. Bu asimetri bütün ispat mantığının temelidir: “her” önermesi örnekle çürütülür, kuralla ispatlanır.

  • Etkisiz eleman ile yutan eleman

    Etkisiz (birim) eleman, odaya girip hiçbir şeye dokunmadan çıkan misafirdir: toplamada 0{0}, çarpmada 1{1}. Yutan eleman ise kara deliktir: yanına ne gelirse kendine çevirir — çarpmada 0{0}. Aynı sayının bir işlemde iz bırakmayan, başka bir işlemde her şeyi yutan olması öğrencinin en çok karıştırdığı yerdir: 0{0} toplamada misafir, çarpmada kara deliktir.

  • Özdeşlik ile denklem farkı

    Denklem bir sorudur, özdeşlik bir kanundur. x+3=10{x + 3 = 10} sorusunun tek bir cevabı vardır (x=7{x = 7}); (a+b)2=a2+2ab+b2{(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2} ise cevap beklemez, her a{a} ve b{b} için zaten doğrudur. Kanunu “çözmeye” çalışan öğrenci kaybolur; kanun kullanılmak içindir.

  • Dağılma özelliği

    Dağılma, bir tepsi ikramı masaya paylaştırmaktır: üç kişilik bir masaya iki tabak götürmek ile her kişiye iki tabak götürmek aynı toplamı verir. Tahtada bunun resmi bir dikdörtgendir: kenarı b+c{b + c} olan dikdörtgeni ortadan bölünce iki dikdörtgen çıkar, alanların toplamı değişmez. Bu resim özdeşliklerin de temelidir.

Sık yapılan yanlışlar

  • Toplamada değişme özelliği olduğuna göre çıkarmada da vardır.

    Öğrenci özelliği işleme değil sayılara ait sanıyor. Tek bir örnek yeter: 7−3=4{7 - 3 = 4} ama 3−7=−4{3 - 7 = -4}. Aynı şey bölmede de geçerli değildir: 8:2=4{8 : 2 = 4} iken 2:8=0,25{2 : 8 = 0{,}25}.

    İddiayı tahtaya yazdırın, sonra karşıt örneği öğrenciye buldurun. Ardından sorun: “bir özelliği çürütmek için kaç örnek gerekir?” Cevap bir. Böylece hem yanılgı düzelir hem MAT.9.1.3'ün karşıt örnek yöntemi tazelenir.

    7−3≠3−7,8:2≠2:8\displaystyle 7 - 3 \ne 3 - 7, \qquad 8 : 2 \ne 2 : 8

  • Bölme işleminin birim elemanı 1'dir, çünkü a:1=a{a : 1 = a}.

    Birim eleman iki yandan da çalışmak zorundadır: a∗e=e∗a=a{a \ast e = e \ast a = a}. Bölmede a:1=a{a : 1 = a} doğrudur ama 1:a=a{1 : a = a} değildir (1:5=0,2{1 : 5 = 0{,}2}). Tek yandan çalışan eleman birim eleman değildir; bu yüzden bölmenin birim elemanı yoktur.

    Tanımı tahtaya iki eşitlikle yazın ve öğrenciden ikisini de sınamasını isteyin. Aynı sınamayı çıkarmada tekrarlatın (a−0=a{a - 0 = a} ama 0−a≠a{0 - a \ne a}). Bu, çıkarma ve bölmede birim elemanın neden yok sayıldığını tek hamlede açıklar.

    a:1=aama1:a≠a ⇒  birim eleman yok\displaystyle a : 1 = a \quad \text{ama} \quad 1 : a \ne a \ \Rightarrow \ \ \text{birim eleman yok}

  • Sıfır her işlemin yutan elemanıdır.

    Yutan eleman, işleme giren her sayıyı kendine çeviren elemandır. Yalnız çarpmada böyledir: a⋅0=0{a \cdot 0 = 0}. Toplamada a+0=a{a + 0 = a} — yutmuyor, iz bırakmıyor. Çıkarmada a−0=a{a - 0 = a}. Bölmede 0:a=0{0 : a = 0} olsa da a:0{a : 0} tanımsızdır, yani işlem her sayı için çalışmaz.

    Dört işlemi dört sütun yapıp 0{0}'ı her birinin içinden geçirin. Öğrenci 0{0}'ın toplamada misafir, çarpmada kara delik olduğunu tabloda görür. “Aynı sayı iki işlemde iki farklı rol oynayabilir” cümlesi tahtada kalsın.

    a⋅0=0amaa+0=a,a:0  tanımsız\displaystyle a \cdot 0 = 0 \quad \text{ama} \quad a + 0 = a, \qquad a : 0 \ \ \text{tanımsız}

  • a⋅b=0{a \cdot b = 0} ise hem a{a} hem b{b} sıfırdır.

    Çıkarım “ve” değil “veya”dır: a=0∨b=0{a = 0 \lor b = 0}. 5⋅0=0{5 \cdot 0 = 0} örneğinde a=5≠0{a = 5 \ne 0}'dır. Bu, bağlaç seçiminin sonucu değiştirdiği en görünür yerdir ve denklem çözerken doğrudan hataya götürür: (x−2)(x−5)=0{(x-2)(x-5) = 0} denkleminin çözümü x=2{x = 2} ve x=5{x = 5} değil, x=2{x = 2} veya x=5{x = 5}'tir.

    5⋅0=0{5 \cdot 0 = 0} örneğini yazın ve iddiayı ona uygulatın. Sonra tersini de yazın: a⋅b≠0⇔a≠0∧b≠0{a \cdot b \ne 0 \Leftrightarrow a \ne 0 \land b \ne 0}. İki önermeyi yan yana koyunca ∧{\land} ile ∨{\lor}'un değil alınca yer değiştirdiği görülür (Tablo 1.3).

    a⋅b=0⇔a=0∨b=0,a⋅b≠0⇔a≠0∧b≠0\displaystyle a \cdot b = 0 \Leftrightarrow a = 0 \lor b = 0, \qquad a \cdot b \ne 0 \Leftrightarrow a \ne 0 \land b \ne 0

  • (a+b)2=a2+b2{(a+b)^2 = a^2 + b^2}'dir.

    Kuvvet alma toplama üzerine dağılmaz. Açılım (a+b)(a+b){(a+b)(a+b)} çarpımıdır ve dağılma özelliği dört terim üretir: a2+ab+ba+b2=a2+2ab+b2{a^2 + ab + ba + b^2 = a^2 + 2ab + b^2}. Eksik olan 2ab{2ab}, alan modelinde kareyi çevreleyen iki dikdörtgendir.

    Sayıyla yıkın: (3+4)2=49{(3+4)^2 = 49} ama 32+42=25{3^2 + 4^2 = 25}. Sonra kareyi çizip dört bölmeyi boyayın; öğrenci 2ab{2ab}'nin nereye gittiğini gözüyle görsün. Bu yanılgı havuzda en verimli çeldiricidir, sorularda bilerek kullanılır.

    (3+4)2=49≠32+42=25,(a+b)2=a2+2ab+b2\displaystyle (3+4)^2 = 49 \ne 3^2 + 4^2 = 25, \qquad (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2

  • a2−b2=(a−b)2{a^2 - b^2 = (a-b)^2}'dir.

    İki ayrı özdeşlik karışıyor: karelerin farkı a2−b2=(a−b)(a+b){a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)}, farkın karesi ise (a−b)2=a2−2ab+b2{(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2}. İsimleri benzediği için öğrenci ikisini tek formül sanıyor. a=5,b=3{a=5, b=3} ile fark görünür: 25−9=16{25 - 9 = 16} ama (5−3)2=4{(5-3)^2 = 4}.

    İki özdeşliği tahtanın iki ayrı köşesine yazın ve adlarını Türkçe okutun: “karelerin farkı” bir çarpanlara ayırmadır, “farkın karesi” bir açılımdır. Biri çarpıma gider, öteki toplama; yönleri zıttır.

    a2−b2=(a−b)(a+b)ile(a−b)2=a2−2ab+b2\displaystyle a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) \qquad \text{ile} \qquad (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2

  • Birkaç örnek denedim, hepsinde çıktı; öyleyse önerme doğrudur.

    Örnek bir ∀{\forall} önermesini ispatlamaz, yalnız destekler. n2+n+41{n^2 + n + 41} ifadesi n=0,1,2,…,39{n = 0, 1, 2, \ldots, 39} için asal sayı verir; kırk örnek doğrulasa da n=40{n = 40}'ta bozulur. Buna karşılık tek bir karşıt örnek önermeyi kesin çürütür. İspat ile örnek arasındaki bu asimetri bölümün en önemli fikridir.

    Sınıfı ikiye ayırın: bir grup örnek toplasın, öbür grup karşıt örnek arasın. Sonra sorun: hangi grup işini bitirdiğinde kesin sonuca varmış olur? Yalnız ikinci grup. Cebirsel ispatın neden gerektiği buradan doğar.

    ∀n∈N  ic¸in dog˘ru≠kırk o¨rnekte dog˘ru\displaystyle \forall n \in \mathbb{N} \ \ \text{için doğru} \ne \text{kırk örnekte doğru}

  • “Bazı” demek “hepsi değil” demektir.

    Matematikte ∃{\exists} “en az bir” demektir ve “hepsi” ile çelişmez. “Bazı gerçek sayıların karesi pozitiftir” önermesi doğrudur; üstelik sıfır dışında hepsinin karesi pozitiftir. Günlük Türkçede “bazı” çoğu kez “hepsi değil” ima eder; matematik bu imayı taşımaz.

    Kitabın kendi yazımını gösterin: ∃{\exists} karşılığı olarak “en az bir” yazıyor. Öğrenciden “bazı” geçen bir önermeyi “en az bir” ile yeniden yazmasını isteyin; ima kendiliğinden düşer.

    ∃x∈R, x2>0(en az bir; hepsi de olabilir)\displaystyle \exists x \in \mathbb{R}, \ x^2 > 0 \quad \text{(en az bir; hepsi de olabilir)}

  • Bir önermenin değilini almak, sayıyı ters işaretli yapmaktır.

    Değil alma hükmü çevirir, sayıyı değil. x>3{x > 3} önermesinin değili x>−3{x > -3} değil, x≤3{x \le 3}'tür. Öğrenci “değil” kelimesini eksi işaretiyle eşitliyor; oysa değişen şey karşılaştırma sembolüdür (Tablo 1.1).

    Sayı doğrusunu çizin ve x>3{x > 3} bölgesini boyayın. Değil, boyanmayan bölgedir. Uç noktanın taraf değiştirdiğini vurgulayın: >{>}'ın değili ≥{\ge} değil ≤{\le}'dir, çünkü 3{3} artık dâhil olur.

    ¬(x>3)  ise x≤3,¬(x≠5)  ise x=5\displaystyle \neg (x > 3) \ \ \text{ise} \ x \le 3, \qquad \neg (x \ne 5) \ \ \text{ise} \ x = 5

  • “Her x{x} için P(x){P(x)}” önermesinin değili “her x{x} için P(x){P(x)} değil”dir.

    Değil alırken niceleyici de değişir: ∀{\forall} ile ∃{\exists} yer değiştirir (Tablo 1.3). “Her öğrenci geldi” cümlesinin değili “hiçbiri gelmedi” değil, “en az biri gelmedi”dir. Öğrenci yalnız içerideki hükmü çevirip niceleyiciye dokunmuyor.

    Sınıfın kendisiyle örnekleyin: “bu sınıftaki herkes 15 yaşında” önermesini yıkmak için kaç kişi yeter? Bir. Öyleyse değili “en az bir kişi 15 yaşında değil”dir. Sembolle yazdırın; ∧/∨{\land / \lor} değişimi de aynı tablodadır.

    ¬(∀x, P(x))  ise ∃x, ¬P(x)\displaystyle \neg \left( \forall x, \ P(x) \right) \ \ \text{ise} \ \exists x, \ \neg P(x)

  • Her gerçek sayının çarpmaya göre tersi vardır.

    0{0} dışında her gerçek sayının vardır. 0{0}'ın tersi olsaydı 0⋅t=1{0 \cdot t = 1} sağlanmalıydı; oysa 0{0} çarpmanın yutan elemanıdır, yanına gelen her şeyi 0{0} yapar. Kitap bu yüzden ters eleman özelliğini a≠0{a \ne 0} koşuluyla yazar.

    İki özelliği yan yana koyun: yutan eleman (a⋅0=0{a \cdot 0 = 0}) ile ters eleman (a⋅1a=1{a \cdot \frac{1}{a} = 1}). a=0{a = 0} konunca ikisi çelişir. Çelişkiyi öğrenci bulsun; koşulun neden yazıldığı böyle anlaşılır, ezberlenmez.

    ∀a∈R, a≠0  ic¸in a⋅1a=1\displaystyle \forall a \in \mathbb{R}, \ a \ne 0 \ \ \text{için} \ a \cdot \frac{1}{a} = 1

  • a−(b+c)=a−b+c{a - (b + c) = a - b + c}'dir.

    Parantezin önündeki eksi içerideki her terime dağılır: a−(b+c)=a−b−c{a - (b+c) = a - b - c}. Öğrenci yalnız ilk terime uyguluyor. Bu, çarpmanın çıkarma üzerine dağılma özelliğinin −1{-1} ile yazılmış hâlidir: −(b+c)=(−1)⋅(b+c)=−b−c{-(b+c) = (-1) \cdot (b+c) = -b - c}.

    Sayıyla sınatın: 10−(3+2)=5{10 - (3+2) = 5} ama 10−3+2=9{10 - 3 + 2 = 9}. Sonra −1{-1} çarpanını açıkça yazın; öğrenci eksinin bir işaret değil bir çarpan olduğunu gördüğünde hata kalıcı biçimde kapanır.

    a−(b+c)=a+(−1)(b+c)=a−b−c\displaystyle a - (b+c) = a + (-1)(b+c) = a - b - c

Tahtada anlatım sırası16 adımı göster
  1. 1
    Tahtaya üç cümle yazın: bir hüküm bildiren (2+3=5{2+3=5}), bir soru (x+3=10{x+3=10} ise x{x} kaçtır) ve bir açık cümle (x{x} sayısı 5'ten büyüktür). Öğrenciye üç sütunlu bir tablo doldurtun: doğru / yanlış / belirlenemez. Önerme tanımı bu tablodan çıkar.

    2+3=5  (dog˘ru),−1  sayısının 12. kuvveti kendisidir (yanlıs¸)\displaystyle 2 + 3 = 5 \ \ \text{(doğru)}, \qquad -1 \ \ \text{sayısının 12. kuvveti kendisidir (yanlış)}

    Üçüncü sütun tanımın kalbidir: bilinmeyen taşıyan cümle önerme değildir.

  2. 2
    Değil alma. Bir önermenin hükmünü çevirin, sembolünü değiştirin. Sembol değilleri tablosunu tahtaya yazdırın ve her çiftin karşılıklı olduğunu gösterin: değilin değili başa döner.

    =↔≠,∈↔∉,<↔≥,>↔≤\displaystyle = \leftrightarrow \ne, \quad \in \leftrightarrow \notin, \quad < \leftrightarrow \ge, \quad > \leftrightarrow \le

    En sık hata: >{>}'ın değili <{<} sanılır. Uç nokta taraf değiştirir, ≤{\le} olur.

  3. 3
    Niceleyiciler. ∀{\forall} “her”, ∃{\exists} “bazı / en az bir”. İkisini bir arada örnekleyin ve asimetriyi vurgulayın: ∀{\forall}'i yıkmak için bir karşıt örnek yeter, ∃{\exists}'i ispatlamak için bir tanık yeter.

    ∀x∈R, x2≥0∃x∈R, x2=2\displaystyle \forall x \in \mathbb{R}, \ x^2 \ge 0 \qquad \exists x \in \mathbb{R}, \ x^2 = 2

    Bu asimetri MAT.9.1.3'teki karşıt örnek yönteminin sembolik hâlidir.

  4. 4
    Niceleyicinin değili. Sınıfın kendisiyle örnekleyin, sonra sembolle yazın: ∀{\forall} ile ∃{\exists} değil alınca yer değiştirir ve içerideki hüküm de çevrilir. İki değişiklik birden olur — öğrenci genelde birini unutur.

    ¬(∀x, P(x))  ise ∃x, ¬P(x)\displaystyle \neg \left( \forall x, \ P(x) \right) \ \ \text{ise} \ \exists x, \ \neg P(x)

    Aynı kural ∧{\land} ile ∨{\lor} arasında da geçerlidir; ikisini aynı tabloda tutun.

  5. 5
    Mantık bağlaçları. ∧{\land} (ve), ∨{\lor} (veya), ⊻{\veebar} (ya da), ⇒{\Rightarrow} (ise), ⇔{\Leftrightarrow} (ancak ve ancak). “veya” ile “ya da” farkını ayrıca durun: “veya” ikisi birden olabilir demektir, “ya da” tam olarak birini seçer.

    p∨q(en az biri)p⊻q(tam olarak biri)\displaystyle p \lor q \quad \text{(en az biri)} \qquad p \veebar q \quad \text{(tam olarak biri)}

    Menüde “çorba veya salata” ile “çorba ya da salata” günlük örnektir.

  6. 6
    Değişme özelliği. Önce tam sayı, sonra rasyonel, sonra köklü bir çiftle sınayın. Üçüncü satır bu bölümün analojisidir: ortaokulda öğrenilen özellik irrasyonel sayılarda da çalışıyor mu? Çalışıyor. Sonra sembolik hâlini yazdırın.

    ∀a,b∈R:a+b=b+a,a⋅b=b⋅a\displaystyle \forall a, b \in \mathbb{R}: \quad a + b = b + a, \qquad a \cdot b = b \cdot a

    Önce örnek, sonra genelleme, en son sembol. Sırayı bozmayın; kazanımın akışı budur.

  7. 7
    Birleşme özelliği. Üç terimli bir toplama ve bir çarpmada parantezi kaydırın; sonuç değişmiyor. Öğrenciye “parantez neyi değiştirir” diye sorun: sırayı değil, gruplamayı. Değişme ile birleşmenin farkı tam burasıdır.

    ∀a,b,c∈R:(a+b)+c=a+(b+c),(a⋅b)⋅c=a⋅(b⋅c)\displaystyle \forall a, b, c \in \mathbb{R}: \quad (a+b)+c = a+(b+c), \qquad (a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)

    Karıştırma uyarısı: değişme sıra, birleşme gruplama ile ilgilidir.

  8. 8
    Birim (etkisiz) eleman ve ters eleman. Toplamanın birimi 0{0}, çarpmanınki 1{1}. Ters eleman ise sayıyı birime döndüren şeydir. Çarpmada a≠0{a \ne 0} koşulunu öğrenciye buldurun: hangi sayının tersi yoktur, neden?

    a+0=a,a+(−a)=0;a⋅1=a,a⋅1a=1 (a≠0)\displaystyle a + 0 = a, \quad a + (-a) = 0; \qquad a \cdot 1 = a, \quad a \cdot \frac{1}{a} = 1 \ (a \ne 0)

    Birim eleman iki yandan da çalışmalı; tek yönlü çalışan eleman sayılmaz.

  9. 9
    Yutan eleman. Yalnız çarpmada vardır ve 0{0}'dır. Dört işlemi dört sütun yapıp 0{0}'ı her birinden geçirin; 0{0}'ın toplamada iz bırakmayan misafir, çarpmada her şeyi yutan kara delik olduğu tabloda görünsün.

    ∀a∈R: a⋅0=0⋅a=0\displaystyle \forall a \in \mathbb{R}: \ a \cdot 0 = 0 \cdot a = 0

    Toplama, çıkarma ve bölmede yutan eleman yoktur; tabloyu buraya kadar götürün.

  10. 10
    Çıkarma ve bölmenin eksikleri. Yukarıdaki dört özelliği çıkarma ve bölmede tek tek sınatın; dördü de düşer. Sonra kurtarıcı cümleyi yazın: çıkarma, tersiyle toplamadır; bölme, tersiyle çarpmadır. Özellikler böylece geri gelir.

    a−b=a+(−b),a:b=a⋅1b (b≠0)\displaystyle a - b = a + (-b), \qquad a : b = a \cdot \frac{1}{b} \ (b \ne 0)

    Kitabın Kontrol Noktası'nın son iki maddesi budur; sınavda doğrudan sorulur.

  11. 11
    Dağılma özelliği. Kenarları a{a} ve b+c{b+c} olan bir dikdörtgen çizip ortadan bölün. İki alanın toplamı bütünün alanına eşittir. Sonra çıkarma üzerine dağılmayı da yazın; eksinin her terime gittiğini burada bir kez gösterin.

    a(b+c)=ab+ac,a(b−c)=ab−ac\displaystyle a(b+c) = ab + ac, \qquad a(b-c) = ab - ac

    a−(b+c)=a−b−c{a-(b+c) = a-b-c} hatası buradan düzeltilir: eksi bir işaret değil, −1{-1} çarpanıdır.

  12. 12
    Sıfır çarpan çıkarımı. Çarpımın sıfır olması, çarpanlar hakkında bilgi veren tek durumdur. “Veya” olduğunu vurgulayın, “ve” değil. Hemen bir denklemle kullanın; ilerideki bütün çarpanlara ayırma bu satıra dayanır.

    (x−2)(x−5)=0⇔x=2∨x=5\displaystyle (x-2)(x-5) = 0 \Leftrightarrow x = 2 \lor x = 5

    Tersini de yazın: a⋅b≠0⇔a≠0∧b≠0{a \cdot b \ne 0 \Leftrightarrow a \ne 0 \land b \ne 0}.

  13. 13
    Cebirsel ispat kalıbı. Üç satır yazın: hipotez, hüküm, adımlar. Bir tek sayıyı 2k+1{2k+1} diye parametreleyip karesini açın; sonucu geri okuyun. Kalıp her ispatta aynıdır; içerik değişir.

    x=2k+1⇒x2=4k2+4k+1=2(2k2+2k)+1\displaystyle x = 2k+1 \Rightarrow x^2 = 4k^2 + 4k + 1 = 2(2k^2 + 2k) + 1

    Son satır hükmü kelimeyle de söylemeli: “bu bir tek sayıdır”.

  14. 14
    Özdeşlik tanımı. Denklemle farkını yazın: denklemin çözümü vardır, özdeşlik her değer için doğrudur. Üç özdeşliği tahtaya alın ve adlarını Türkçe okutun; “karelerin farkı” ile “farkın karesi” ayrımı burada kurulur.

    (a+b)2=a2+2ab+b2,(a−b)2=a2−2ab+b2,a2−b2=(a−b)(a+b)\displaystyle (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2, \quad (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2, \quad a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)

    İki ismi tahtanın iki ayrı köşesine yazın; yan yana yazmak karışıklığı besler.

  15. 15
    Özdeşliğin alan modeli. Kenarı a+b{a+b} olan kareyi dört bölmeye ayırın: iki kare ve iki eş dikdörtgen. Alanları toplatın. 2ab{2ab}'nin nereden geldiği ancak burada görülür; formülü yazmadan önce resmi çizin.

    (a+b)2=a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2\displaystyle (a+b)^2 = a^2 + ab + ab + b^2 = a^2 + 2ab + b^2

    Aynı modeli (a−b)2{(a-b)^2} için de kurun; orada iki dikdörtgen çıkarılır.

  16. 16
    Özdeşliği hesapta kullanma. Kapanışı bir zihinden hesapla yapın: 37⋅43{37 \cdot 43} ve 512{51^2}. Öğrenci özdeşliğin ezberlenecek bir formül değil, işi kısaltan bir takas olduğunu son örnekte anlar.

    37⋅43=402−32=1591,512=(50+1)2=2500+100+1=2601\displaystyle 37 \cdot 43 = 40^2 - 3^2 = 1591, \qquad 51^2 = (50+1)^2 = 2500 + 100 + 1 = 2601

    Köklü sayılarla da bir örnek verin; eşlenik çarpımı MAT.9.1.1'e bağlanır.

Ödev ve çalışma kâğıdı

Her antrenman tek bir beceriyi bol tekrarla çalıştırır. Hangisinden kaç kalem istediğini seç; kâğıt ve çözümlü cevap anahtarı tarayıcında hazırlanır.

Ödev kâğıdı oluştur

Her alıştırmadan kaç kalem istediğini seç. Kalemler hazır havuzdan rastgele gelir; iki sınıfa iki ayrı kâğıt verebilirsin. Çözümlü cevap anahtarı da hazır.
Alıştırmalar

  • Aşağıdaki sayıların toplama işlemine göre tersini yazınız.

    1. 1)94{\dfrac{9}{4}}= −94\displaystyle - \frac{9}{4}
    2. 2)116{\dfrac{11}{6}}= −116\displaystyle - \frac{11}{6}
    3. 3)65{\dfrac{6}{5}}= −65\displaystyle - \frac{6}{5}
    / 40

  • Aşağıdaki çarpımların sonucunu özdeşlik kullanarak bulunuz.

    1. 1)(x−5)⋅(x+5){\left( x - 5 \right) \cdot \left( x + 5 \right)}= x2−25\displaystyle x^{2} - 25
    2. 2)(x−13)⋅(x+13){\left( x - 13 \right) \cdot \left( x + 13 \right)}= x2−169\displaystyle x^{2} - 169
    3. 3)(x−8)⋅(x+8){\left( x - 8 \right) \cdot \left( x + 8 \right)}= x2−64\displaystyle x^{2} - 64
    / 15

  • Aşağıdaki ifadeleri çarpanlarına ayırınız.

    1. 1)x2−64{x^2 - 64}= (x−8)(x+8)\displaystyle \left(x - 8\right) \left(x + 8\right)
    2. 2)x2−169{x^2 - 169}= (x−13)(x+13)\displaystyle \left(x - 13\right) \left(x + 13\right)
    3. 3)x2−81{x^2 - 81}= (x−9)(x+9)\displaystyle \left(x - 9\right) \left(x + 9\right)
    / 14

  • Aşağıdaki ifadeleri dağılma özelliğini kullanarak açınız.

    1. 1)2⋅(6x+5){2 \cdot \left( 6x + 5 \right)}= 12x+10\displaystyle 12 x + 10
    2. 2)2⋅(8x+7){2 \cdot \left( 8x + 7 \right)}= 16x+14\displaystyle 16 x + 14
    3. 3)9⋅(8x+5){9 \cdot \left( 8x + 5 \right)}= 72x+45\displaystyle 72 x + 45
    / 40

  • Aşağıdaki ifadelerin değerini özdeşlik kullanarak bulunuz.

    1. 1)(31+8)2−(31−8)2{\left( 31 + 8 \right)^2 - \left( 31 - 8 \right)^2}= 992\displaystyle 992
    2. 2)(28+13)2−(28−13)2{\left( 28 + 13 \right)^2 - \left( 28 - 13 \right)^2}= 1456\displaystyle 1456
    3. 3)(36+5)2−(36−5)2{\left( 36 + 5 \right)^2 - \left( 36 - 5 \right)^2}= 720\displaystyle 720
    / 40

  • Verilen bilgilere göre istenen ifadenin değerini bulunuz.

    1. 1)a+b=7{a + b = 7} ve a⋅b=4{a \cdot b = 4} olmak üzere a2+b2{a^2 + b^2}= 41\displaystyle 41
    2. 2)a+b=13{a + b = 13} ve a⋅b=40{a \cdot b = 40} olmak üzere a2+b2{a^2 + b^2}= 89\displaystyle 89
    3. 3)a+b=17{a + b = 17} ve a⋅b=27{a \cdot b = 27} olmak üzere a2+b2{a^2 + b^2}= 235\displaystyle 235
    / 40

  • Aşağıdaki çarpımları özdeşlik kullanarak zihinden hesaplayınız.

    1. 1)(60−3)⋅(60+3){\left( 60 - 3 \right) \cdot \left( 60 + 3 \right)}= 3591\displaystyle 3591
    2. 2)(30−3)⋅(30+3){\left( 30 - 3 \right) \cdot \left( 30 + 3 \right)}= 891\displaystyle 891
    3. 3)(80−8)⋅(80+8){\left( 80 - 8 \right) \cdot \left( 80 + 8 \right)}= 6336\displaystyle 6336
    / 40

  • Aşağıdaki sayıların karesini özdeşlik kullanarak zihinden hesaplayınız.

    1. 1)692{69^2}= 4761\displaystyle 4761
    2. 2)292{29^2}= 841\displaystyle 841
    3. 3)822{82^2}= 6724\displaystyle 6724
    / 31

  • Aşağıdaki ifadelerde parantezleri kaldırarak sonucu yazınız.

    1. 1)10x−(9x+6){10x - \left( 9x + 6 \right)}= x−6\displaystyle x - 6
    2. 2)9x−(2x+3){9x - \left( 2x + 3 \right)}= 7x−3\displaystyle 7 x - 3
    3. 3)7x−(3x+5){7x - \left( 3x + 5 \right)}= 4x−5\displaystyle 4 x - 5
    / 40

  • Aşağıdaki sayıların çarpma işlemine göre tersini yazınız.

    1. 1)174{\dfrac{17}{4}}= 417\displaystyle \frac{4}{17}
    2. 2)115{\dfrac{11}{5}}= 511\displaystyle \frac{5}{11}
    3. 3)198{\dfrac{19}{8}}= 819\displaystyle \frac{8}{19}
    / 40

  • Aşağıdaki ifadelerin özdeşlik açılımını yazınız.

    1. 1)(x−7)2{\left( x - 7 \right)^2}= x2−14x+49\displaystyle x^{2} - 14 x + 49
    2. 2)(x−12)2{\left( x - 12 \right)^2}= x2−24x+144\displaystyle x^{2} - 24 x + 144
    3. 3)(x−8)2{\left( x - 8 \right)^2}= x2−16x+64\displaystyle x^{2} - 16 x + 64
    / 15

  • Aşağıdaki ifadelerin özdeşlik açılımını yazınız.

    1. 1)(4x+9)2{\left( 4x + 9 \right)^2}= 16x2+72x+81\displaystyle 16 x^{2} + 72 x + 81
    2. 2)(4x+7)2{\left( 4x + 7 \right)^2}= 16x2+56x+49\displaystyle 16 x^{2} + 56 x + 49
    3. 3)(3x+8)2{\left( 3x + 8 \right)^2}= 9x2+48x+64\displaystyle 9 x^{2} + 48 x + 64
    / 27

  • Aşağıdaki ifadelerin özdeşlik açılımını yazınız.

    1. 1)(x+3)2{\left( x + 3 \right)^2}= x2+6x+9\displaystyle x^{2} + 6 x + 9
    2. 2)(x+12)2{\left( x + 12 \right)^2}= x2+24x+144\displaystyle x^{2} + 24 x + 144
    3. 3)(x+10)2{\left( x + 10 \right)^2}= x2+20x+100\displaystyle x^{2} + 20 x + 100
    / 15

  • Aşağıdaki denklemlerin gerçek sayılardaki çözüm kümesini bulunuz.

    1. 1)(x−3)⋅(x−8)=0{\left( x - 3 \right) \cdot \left( x - 8 \right) = 0}= {3,8}\displaystyle \left\{3, 8\right\}
    2. 2)(x−5)⋅(x−9)=0{\left( x - 5 \right) \cdot \left( x - 9 \right) = 0}= {5,9}\displaystyle \left\{5, 9\right\}
    3. 3)(x−2)⋅(x−5)=0{\left( x - 2 \right) \cdot \left( x - 5 \right) = 0}= {2,5}\displaystyle \left\{2, 5\right\}
    / 35
Çalışma boşluğu
Kâğıt ayarları

0 kalem

İndirmek için en az bir kalem seç.

Test PDF'i

Bu kazanımın sorularından test ya da yazılı kâğıdı: soruları seç, kâğıdı ayarla, soru kâğıdını ve cevap anahtarını indir.

Test PDF'i hazırla

Soru kâğıdı ve cevap anahtarı tarayıcında hazırlanır; seçimlerin hiçbir sunucuya gönderilmez. İlk PDF'te motor indiği için birkaç saniye sürer, sonrakiler anında gelir.
Zorluğa göre seç

Her düzeyden kaç soru istediğini seç; düzeyin sorularından azını istersen o kadarı rastgele gelir. Seçim aşağıdaki listeye yansır, oradan elle de değiştirebilirsin.

Zorluk 2Kolay, 2 soru
Zorluk 3Kolay, 7 soru
Zorluk 4Orta, 6 soru
Zorluk 5Orta, 5 soru
Zorluk 6Orta, 7 soru
Zorluk 7Zor, 8 soru
Zorluk 8Zor, 5 soru
Zorluk 9İleri, 6 soru
Zorluk 10İleri, 2 soru
Kâğıttaki sorular 48 / 48

Kâğıda yalnız görünen ve işaretli sorular girer.

Kâğıt ayarları

48 soru, 347 puan

Kazanım künyesi

9. sınıf İşlem özelliklerinin cebirsel ifadesi için 48 çözümlü soru: soruları sayfada çöz, takıldığında adım adım çözümü aç; seçtiğin sorulardan test, yaprak test ya da yazılı kâğıdı hazırla ve cevap anahtarıyla PDF olarak indir; ödev için alıştırma (çalışma) kâğıdı çıkar; derste soruları akıllı tahtada tek tek aç; ders kılavuzunda derse giriş, kavram yanılgıları ve tahta akışı var. 1. dönem yazılısına ve ortak sınava hazırlıkta kullanılır.

Kod
MAT.9.1.4
Kapsadığı konular
değişme özelliği, birleşme özelliği, dağılma özelliği, etkisiz eleman, ters eleman, cebirsel ifadeler
Dönem ve hafta
1. dönem, 6, 7. haftalar, 8 ders saati
Süreç bileşenleri
  • a)Gerçek sayıların işlem özellikleri ile bunların olası cebirsel karşılıklarını gözlemler.
  • b)Gözlemlerinden yola çıkarak gerçek sayıların işlem özellikleri ile bunların cebirsel karşılıklarını tespit eder.
  • c)Tespit ettiği özelliklerden çıkarımlar yapar.
Ders kitabında
  • 1. Tema — Sayılar, 1.4 Gerçek Sayıların İşlem Özellikleri