10. sınıf, SayılarMAT.10.3.2

EBOB ve EKOK

En Büyük Ortak Bölen, En Küçük Ortak Kat

Kazanım: Birden çok doğal sayının ortak bölenleriyle bunların en büyüğü ve ortak katlarıyla bunların en küçüğü arasındaki ilişkilere dair muhakeme yapabilme.

Tahtada aç Yazılı hazırla

Sorular ve çözümleri

Her sorunun altında adım adım çözüm var. Çoktan seçmelide doğru şık, çözümü açınca işaretlenir.

Zorluk

Cevap biçimi

Soru türü

Şekil

34 soru gösteriliyor

Soru 1KavramKısa cevap4 puanKolay

Tabloda biri ötekinin katı olan dört sayı çiftinin en büyük ortak böleni (EBOB) ve en küçük ortak katı (EKOK) verilmiştir.Tablodaki örüntüye göre

{\text{EBOB}(16, 112) + \text{EKOK}(16, 112)}

toplamı kaçtır?

Çözümü göster

Cevap: $\displaystyle 128$

1
Tablonun her satırında büyük sayı küçük sayının katıdır: ${35 = 5 \cdot 7}$ , ${24 = 8 \cdot 3}$ , ${54 = 9 \cdot 6}$ , ${60 = 12 \cdot 5}$ . Her satırda EBOB küçük sayıya, EKOK büyük sayıya eşittir.
2
${112 = 16 \cdot 7}$ olduğundan ${112}$ sayısı ${16}$ sayısının katıdır; örüntüye göre ${\text{EBOB}(16, 112) = 16}$ ve ${\text{EKOK}(16, 112) = 112}$ olur.
3
Buna göre toplam ${16 + 112 = 128}$ olur.

Soru 2KavramÇoktan seçmeli5 puanOrta

Bir öğrenci yedi sayı çiftinin en büyük ortak bölenini (EBOB) ve en küçük ortak katını (EKOK) bularak tabloyu hazırlamıştır. Öğrenci tabloya bakarak beş varsayım yazmıştır.Buna göre aşağıdaki varsayımlardan hangisi tablodaki bütün çiftler için doğrudur?

A $EKOK her zaman iki sayının çarpımıdır$
B $EBOB 1 ise sayılardan biri asaldır$
C $EBOB 1 ise EKOK iki sayının çarpımıdır$
D $İki çift sayının EBOB değeri 2 olur$
E $İki tek sayının EBOB değeri 1 olur$

Çözümü göster

CDoğru cevap

1
Tabloda EBOB değeri ${1}$ olan çiftler ${4}$ ve ${9}$ ile ${5}$ ve ${11}$ çiftleridir; EKOK değerleri ${36 = 4 \cdot 9}$ ve ${55 = 5 \cdot 11}$ olduğundan iki çiftte de EKOK iki sayının çarpımına eşittir.
2
Öteki varsayımların tabloda karşıt örneği vardır: ${6}$ ve ${10}$ çiftinin EKOK değeri ${30}$ , çarpımı ${60}$ olur; ${4}$ ve ${9}$ asal değildir ama EBOB değerleri ${1}$ olur; ${8}$ ve ${12}$ çiftinin EBOB değeri ${4}$ olur; ${7}$ ve ${21}$ tek sayılardır ama EBOB değerleri ${7}$ olur.
3
Tablodaki bütün çiftler için doğru olan varsayım $EBOB 1 ise EKOK iki sayının çarpımıdır$ olur.

Yanlış şıklar neden yanlış?

A)6 ve 10 çiftinin EKOK değeri 30 olur, çarpımı ise 60 olur.
B)4 ve 9 çiftinin EBOB değeri 1 olur ama iki sayı da asal değildir.
D)8 ve 12 çiftinin EBOB değeri 4, 12 ve 18 çiftininki 6 olur.
E)5 ve 11 için tutar ama 7 ve 21 çiftinin EBOB değeri 7 olur.

Soru 3KavramÇoktan seçmeli5 puanOrta

İki pozitif tam sayının en küçük ortak katı (EKOK) için şu genelleme yapılmıştır: "Sayılar asal çarpanlarına ayrılır; iki sayıdan en az birinde bulunan her asal çarpan, iki sayıdaki üslerinin büyüğüyle alınır ve bunlar çarpılır."

{A = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5}

{B = 2 \cdot 3^4 \cdot 7}

olduğuna göre

{\text{EKOK}(A, B)}

aşağıdakilerden hangisidir?

A $\displaystyle 2^3 \cdot 3^4 \cdot 5 \cdot 7$
B $\displaystyle 2 \cdot 3^2$
C $\displaystyle 2^4 \cdot 3^6 \cdot 5 \cdot 7$
D $\displaystyle 2^3 \cdot 3^4$
E $\displaystyle 2 \cdot 3^2 \cdot 5 \cdot 7$

Çözümü göster

ADoğru cevap

1
${A}$ sayısının asal çarpanları ${2}$ , ${3}$ ve ${5}$ ; ${B}$ sayısının asal çarpanları ${2}$ , ${3}$ ve ${7}$ olur. İki sayıdan en az birinde bulunan asal çarpanlar ${2}$ , ${3}$ , ${5}$ ve ${7}$ olur.
2
Üslerin büyüğü alınır: ${2}$ için ${3}$ ile ${1}$ sayılarının büyüğü ${3}$ , ${3}$ için ${2}$ ile ${4}$ sayılarının büyüğü ${4}$ olur; ${5}$ ile ${7}$ yalnız birer sayıda bulunduğundan üsleri ${1}$ olur.
3
Buna göre ${\text{EKOK}(A, B) = 2^3 \cdot 3^4 \cdot 5 \cdot 7}$ olur.

Yanlış şıklar neden yanlış?

B)Yalnız ortak asal çarpanlar küçük üsleriyle alınmış; bu EBOB olur.
C)İki sayı çarpılmış; ortak asal çarpanların üsleri toplanmış.
D)Yalnız iki sayıda da bulunan asal çarpanlar alınmış; 5 ve 7 unutulmuş.
E)Bütün asal çarpanlar alınmış ama üslerin küçüğü seçilmiş.

Soru 4Yeni nesilKısa cevap6 puanOrta

Tabloda ardışık dört pozitif tam sayı çiftinin en büyük ortak böleni (EBOB) ve en küçük ortak katı (EKOK) verilmiştir. Tablodaki EBOB ve EKOK örüntüsünün bütün ardışık pozitif tam sayı çiftlerinde sürdüğü bilinmektedir.Buna göre EKOK değeri

{342}

olan ardışık iki pozitif tam sayının toplamı kaçtır?

Çözümü göster

Cevap: $\displaystyle 37$

1
Tablonun her satırında EBOB ${1}$ ve EKOK iki sayının çarpımıdır: ${8 \cdot 9 = 72}$ , ${14 \cdot 15 = 210}$ , ${20 \cdot 21 = 420}$ , ${35 \cdot 36 = 1260}$ .
2
Sayılar ${n}$ ve ${n + 1}$ olsun. Örüntüye göre ${n \cdot (n + 1) = 342}$ olmalıdır.
3
${17 \cdot 18 = 306}$ , ${18 \cdot 19 = 342}$ ve ${19 \cdot 20 = 380}$ olduğundan ${n = 18}$ olur.
4
Buna göre sayıların toplamı ${18 + 19 = 37}$ olur.

Soru 5KavramÇoktan seçmeli7 puanZor

İki pozitif tam sayının ortak bölenleri ve ortak katları için şu genelleme yapılmıştır: "İki sayının pozitif ortak bölenleri, en büyük ortak bölenlerinin (EBOB) pozitif bölenleridir; pozitif ortak katları da en küçük ortak katlarının (EKOK) pozitif katlarıdır."

{A}

{B}

pozitif tam sayıları için

{A \cdot B = 2160}

{\text{EBOB}(A, B) = 12}

olduğu bilinmektedir.Buna göre

{A}

ile

{B}

sayılarının pozitif ortak bölenlerinin sayısı ile

{1000}

ile

{3000}

arasındaki pozitif ortak katlarının sayısının toplamı kaçtır?

A $\displaystyle 22$
B $\displaystyle 23$
C $\displaystyle 15$
D $\displaystyle 7$
E $\displaystyle 17$

Çözümü göster

EDoğru cevap

1
İki sayının çarpımı EBOB ile EKOK değerlerinin çarpımına eşit olduğundan ${\text{EKOK}(A, B) = \dfrac{2160}{12} = 180}$ olur.
2
Genellemeye göre pozitif ortak bölenler ${12}$ sayısının pozitif bölenleridir: ${1, 2, 3, 4, 6, 12}$ ; bunlar ${6}$ tanedir.
3
Pozitif ortak katlar ${180}$ sayısının katlarıdır. ${180 \cdot 5 = 900}$ sayısı ${1000}$ sayısından küçük, ${180 \cdot 6 = 1080}$ sayısı ${1000}$ sayısından büyüktür.
4
${180 \cdot 16 = 2880}$ sayısı ${3000}$ sayısından küçük, ${180 \cdot 17 = 3060}$ sayısı ${3000}$ sayısından büyüktür; aradaki katlar ${180 \cdot 6}$ ile ${180 \cdot 16}$ arasındaki ${16 - 6 + 1 = 11}$ kattır.
5
Buna göre istenen toplam ${6 + 11 = 17}$ olur.

Yanlış şıklar neden yanlış?

A)3000 sayısından küçük bütün ortak katlar sayılmış: 6 + 16; 1000 alt sınırı uygulanmamış.
B)Ortak bölenlerin sayısı yerine EBOB değeri alınmış: 12 + 11.
C)12 sayısının 1 ve kendisi dışındaki bölenleri sayılmış: 4 + 11.
D)EKOK yerine A ve B sayılarının çarpımı alınmış; 2160 sayısının bu aralıkta tek katı vardır: 6 + 1.

Soru 6KavramÇoktan seçmeli7 puanZor

Bir öğrenci

{a}

{b}

pozitif tam sayılarının en büyük ortak böleni (EBOB) ve en küçük ortak katı (EKOK) için şu üç varsayımı yazmıştır:I.

{\text{EBOB}(a, b) \le a \le \text{EKOK}(a, b)}

olur.II.

{\text{EBOB}(a, b) = 1}

ise

{a}

ile

{b}

sayılarından en az biri asaldır.III.

{a}

ile

{b}

sayılarının pozitif ortak katlarının en büyüğü yoktur.Buna göre bu varsayımlardan hangileri her zaman doğrudur?

A $Yalnız I$
B $I ve III$
C $Yalnız III$
D $I ve II$
E $I, II ve III$

Çözümü göster

Soru 7KavramÇoktan seçmeli5 puanOrta

Bir öğrenci tablodaki dört sayı çiftine bakarak şu genellemeyi yazmıştır: "Farkı

{d}

olan iki pozitif tam sayının en büyük ortak böleni (EBOB)

{d}

olur."Öğrenci genellemesini aşağıdaki sayı çiftleriyle sınamak istemektedir.Buna göre bu çiftlerden hangisi genellemeyi karşılamaz?

A $15 ve 20$
B $18 ve 24$
C $21 ve 28$
D $28 ve 36$
E $45 ve 54$

Çözümü göster

Soru 8Yeni nesilÇoktan seçmeli9 puanİleri

İki pozitif tam sayının çarpımı, bu sayıların en büyük ortak böleni (EBOB) ile en küçük ortak katının (EKOK) çarpımına eşittir. Bir öğrenci tablonun her satırına bir sayıyı ve bu sayının başka bir sayıyla EBOB ve EKOK değerlerini yazmıştır. Öğrenci ikinci sayıyı bu kuralla

{(\text{EBOB} \cdot \text{EKOK}) : \ \text{sayı}}

işlemini yaparak bulmuş ve "Bulunan sayı" sütununa yazmıştır.Buna göre hangi satırda bulunan sayı, satırdaki sayıyla birlikte tabloda yazılan EBOB ve EKOK değerlerini vermez?

A $Sayısı 12 olan satır$
B $Sayısı 18 olan satır$
C $Sayısı 20 olan satır$
D $Sayısı 16 olan satır$
E $Sayısı 15 olan satır$

Çözümü göster

Soru 9İşlemÇoktan seçmeli3 puanKolay

İki pozitif tam sayının çarpımı, bu sayıların en büyük ortak böleni (EBOB) ile en küçük ortak katının (EKOK) çarpımına eşittir.İki pozitif tam sayıdan biri

{24}

olup bu sayıların EBOB değeri

{6}

, EKOK değeri

{72}

olduğuna göre öteki sayı kaçtır?

A $\displaystyle 12$
B $\displaystyle 18$
C $\displaystyle 432$
D $\displaystyle 48$
E $\displaystyle 2$

Çözümü göster

Soru 10KavramÇoktan seçmeli5 puanOrta

{a}

{b}

pozitif tam sayılarının en büyük ortak böleni (EBOB) ve en küçük ortak katı (EKOK) için şu önermeler yazılmıştır:I.

{a}

ile

{b}

sayılarının her pozitif ortak böleni

{\text{EBOB}(a, b)}

sayısını böler.II.

{a}

ile

{b}

sayılarının her pozitif ortak katı

{\text{EKOK}(a, b)}

sayısının bir katıdır.III.

{\text{EBOB}(a, b) + \text{EKOK}(a, b) = a + b}

olur.Buna göre bu önermelerden hangileri her zaman doğrudur?

A $I ve II$
B $Yalnız I$
C $Yalnız II$
D $II ve III$
E $I, II ve III$

Çözümü göster

Soru 11KavramÇoktan seçmeli7 puanZor

İki pozitif tam sayının çarpımı, bu sayıların en büyük ortak böleni (EBOB) ile en küçük ortak katının (EKOK) çarpımına eşittir.

{a}

{b}

iki basamaklı pozitif tam sayılar,

{a < b}

{\text{EBOB}(a, b) = 6}

{\text{EKOK}(a, b) = 180}

olduğuna göre kaç farklı

{(a, b)}

ikilisi vardır?

A $\displaystyle 4$
B $\displaystyle 8$
C $\displaystyle 7$
D $\displaystyle 6$
E $\displaystyle 3$

Çözümü göster

Soru 12Yeni nesilAçık uçlu20 puanİleri

İki pozitif tam sayının çarpımı, bu sayıların en büyük ortak böleni (EBOB) ile en küçük ortak katının (EKOK) çarpımına eşittir. Bir öğrenci tablodaki üç sayılı gruplara bakarak bu kuralı üç sayıya taşımış ve şu genellemeyi yazmıştır: "Üç pozitif tam sayının çarpımı, bu üç sayının EBOB ve EKOK değerlerinin çarpımına eşittir."Aşağıdaki soruları cevaplayınız.

a)
${6}$ , ${10}$ ve ${15}$ sayılarının EBOB değerinin ${1}$ olduğunu gösteriniz ve EKOK değerini bulunuz.(4 puan)
b)
Öğrencinin genellemesini ${6}$ , ${10}$ ve ${15}$ sayılarıyla sınayınız.(5 puan)
c)
Bir başka öğrenci "EBOB değeri ${1}$ olan her üç sayıda genelleme tutar." demiştir. Bu sözü ${4}$ , ${6}$ ve ${9}$ sayılarıyla sınayınız.(5 puan)
ç)
Tablodaki her grupta sayıları ikişer ikişer inceleyiniz. Genellemenin hangi üç sayı için doğru olduğunu bir önerme olarak yazınız.(6 puan)

Çözümü göster

Soru 13KavramKısa cevap4 puanKolay

Tabloda

{12}

{18}

sayılarının asal çarpan algoritması verilmiştir. Bu yöntemde sayılar, hepsi

{1}

olana kadar asal sayılara bölünür. Bir satırdaki asal sayı o satırdaki sayılardan en az birini böler; bölünmeyen sayı aynen alt satıra yazılır.Buna göre

{12}

ile

{18}

sayılarının en küçük ortak katı (EKOK) kaçtır?

Çözümü göster

Soru 14KavramÇoktan seçmeli5 puanOrta

Tabloda

{24}

{36}

{60}

sayılarının asal çarpan algoritması verilmiştir. Bir satırdaki asal sayı o satırdaki sayılardan en az birini böler; bölünmeyen sayı aynen alt satıra yazılır.Buna göre bu üç sayının en büyük ortak böleni (EBOB) kaçtır?

A $\displaystyle 360$
B $\displaystyle 4$
C $\displaystyle 12$
D $\displaystyle 24$
E $\displaystyle 6$

Çözümü göster

Soru 15KavramKısa cevap6 puanOrta

Bir öğrenci

{84}

ile

{90}

sayılarının en büyük ortak bölenini (EBOB) listeleme yöntemiyle bulmak ve bu yöntemin ne kadar uzun sürdüğünü görmek istemektedir. Öğrenci

{84}

sayısının pozitif bölenlerini büyükten küçüğe doğru tek tek yazmakta, her yazdığı bölenin

{90}

sayısını bölüp bölmediğine bakmakta ve

{90}

sayısını bölen ilk bölende durmaktadır.Buna göre öğrenci durana kadar kaç bölen yazar?

Çözümü göster

Soru 16KavramÇoktan seçmeli5 puanOrta

{x}

{y}

pozitif tam sayılar olmak üzere

{A = 2^x \cdot 3^2 \cdot 11}

{B = 2^4 \cdot 3^y \cdot 5}

sayıları veriliyor. Bu iki sayının en büyük ortak böleni

{\text{EBOB}(A, B) = 2^2 \cdot 3}

olarak bulunmuştur.Buna göre bu iki sayının en küçük ortak katı

{\text{EKOK}(A, B)}

aşağıdakilerden hangisidir?

A $\displaystyle 2^4 \cdot 3^2 \cdot 5 \cdot 11$
B $\displaystyle 2^2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 11$
C $\displaystyle 2^4 \cdot 3^2$
D $\displaystyle 2^6 \cdot 3^3 \cdot 5 \cdot 11$
E $\displaystyle 2^4 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 11$

Çözümü göster

Soru 17KavramÇoktan seçmeli7 puanZor

Bir öğrenci iki sayının en küçük ortak katını (EKOK) listeleme yöntemiyle bulurken büyük sayının katlarını sırayla yazmakta ve küçük sayıya bölünen ilk katta durmaktadır. Örneğin

{12}

ile

{18}

için

{18}

{36}

katlarını yazar ve

{36}

sayısında durur.Buna göre aşağıdaki sayı çiftlerinden hangisinde öğrenci durana kadar en çok kat yazar?

A $14 ve 49$
B $24 ve 40$
C $16 ve 17$
D $20 ve 45$
E $30 ve 75$

Çözümü göster

Soru 18Yeni nesilAçık uçlu20 puanİleri

Bir öğrenci iki sayının en küçük ortak katını (EKOK) listeleme yöntemiyle bulurken büyük sayının katlarını sırayla yazmakta ve küçük sayıya bölünen ilk katta durmaktadır. Tabloda dört sayı çifti için en büyük ortak bölen (EBOB), EKOK ve öğrencinin durana kadar yazdığı kat sayısı verilmiştir.Aşağıdaki soruları cevaplayınız.

a)
Tablodaki satırlara bakarak yazılan kat sayısı ile küçük sayı ve EBOB arasındaki ilişkiyi bir genelleme olarak yazınız.(5 puan)
b)
${330}$ ve ${462}$ sayılarını asal çarpanlarına ayırarak EBOB ve EKOK değerlerini bulunuz.(5 puan)
c)
(a) maddesindeki genellemeyle öğrencinin ${330}$ ile ${462}$ için kaç kat yazacağını bulunuz ve sonucu EKOK değeriyle doğrulayınız.(4 puan)
ç)
Öğrenci ${60}$ ile ${77}$ sayılarının EKOK değerini bulacaktır. Bu çift için listeleme yöntemi mi, asal çarpanlara ayıran cebirsel gösterim mi daha kullanışlıdır? Yazılacak kat sayısını kullanarak gerekçelendiriniz.(6 puan)

Çözümü göster

Soru 19Yeni nesilÇoktan seçmeli5 puanOrta

Bir sahnede kırmızı ışık

{18}

saniyede bir, mavi ışık

{24}

saniyede bir yanmaktadır. İki ışık gösterinin başladığı anda birlikte yanmış ve yanma aralıkları gösteri boyunca değişmemiştir.Buna göre gösterinin başladığı an da sayılmak üzere, gösterinin ilk

{10}

dakikasında iki ışık kaç kez aynı anda yanar?

A $\displaystyle 8$
B $\displaystyle 10$
C $\displaystyle 2$
D $\displaystyle 101$
E $\displaystyle 9$

Çözümü göster

Soru 20SözelKısa cevap4 puanKolay

Bir fırında

{48}

simit ve

{60}

poğaça vardır. Simitler ve poğaçalar birbirine karıştırılmadan tepsilere dizilecektir. Her tepside aynı sayıda ürün olacak ve hiçbir ürün tepsi dışında bırakılmayacaktır.Buna göre en az kaç tepsi gerekir?

Çözümü göster

Soru 21Yeni nesilÇoktan seçmeli7 puanZor

Bir gençlik kampına katılanlar etkinliklerde

{6}

kişilik,

{8}

kişilik ya da

{9}

kişilik takımlara ayrılmaktadır. Katılanların hepsi

{6}

kişilik takımlara ayrılmak istendiğinde son takımı tamamlamak için

{1}

kişi eksik olmaktadır. Aynı durum

{8}

kişilik ve

{9}

kişilik takımlarda da yaşanmaktadır.Kampa katılanların sayısı

{300}

'den az olduğuna göre bu sayı en çok kaçtır?

A $\displaystyle 216$
B $\displaystyle 287$
C $\displaystyle 289$
D $\displaystyle 71$
E $\displaystyle 239$

Çözümü göster

Soru 22SözelÇoktan seçmeli3 puanKolay

Kenar uzunlukları

{12}

cm ve

{18}

cm olan dikdörtgen biçimindeki eş kartlar, hepsi aynı yönde durmak üzere aralarında boşluk kalmadan ve üst üste binmeden yan yana dizilerek kare biçiminde bir pano oluşturulacaktır.Buna göre oluşturulabilecek en küçük panonun bir kenar uzunluğu kaç cm olur?

A $\displaystyle 6$
B $\displaystyle 216$
C $\displaystyle 30$
D $\displaystyle 36$
E $\displaystyle 54$

Çözümü göster

Soru 23Yeni nesilÇoktan seçmeli7 puanZor

İki pozitif tam sayının çarpımı, bu sayıların en büyük ortak böleni (EBOB) ile en küçük ortak katının (EKOK) çarpımına eşittir.Bir makinede birbirine geçen iki dişli çarkın diş sayılarının çarpımı

{864}

'tür. Çarkların başlangıçta karşı karşıya duran birer dişi işaretlenmiştir. Çarklar döndükçe iki çarkta da

{72}

diş karşılaştıktan sonra işaretli dişler ilk kez yeniden karşı karşıya gelmektedir. Her çarkta en az

{20}

diş vardır.Buna göre işaretli dişler ilk kez yeniden karşılaştığında küçük çark kaç tur dönmüş olur?

A $\displaystyle 6$
B $\displaystyle 2$
C $\displaystyle 3$
D $\displaystyle 12$
E $\displaystyle 24$

Çözümü göster

Soru 24Yeni nesilAçık uçlu20 puanİleri

Bir bilim merkezinde üç gösteri, tablodaki aralıklarla gün boyunca yinelenmektedir. Üç gösteri de merkezin açıldığı saat

{10}

'da birlikte başlar. Merkez saat

{19}

'da kapanır; saat

{19}

'da başlaması gereken gösteri de sayılır. Gösterilerin aralıkları birbirinden bağımsızdır.Aşağıdaki soruları cevaplayınız.

a)
Planetaryum ile robot gösterisi saat ${10}$ 'dan sonra ilk kez saat kaçta birlikte başlar?(4 puan)
b)
Üç gösteri saat ${10}$ ile saat ${19}$ arasında, iki saat de dâhil olmak üzere, kaç kez birlikte başlar?(5 puan)
c)
Merkez deney şovunu ${45}$ dakika yerine ${48}$ dakikada bir yapmaya karar vermiştir. Öteki iki gösteri değişmezse üç gösteri aynı saatler arasında kaç kez birlikte başlar?(5 puan)
ç)
Bir görevli (b) maddesinin cevabını bulmak için her gösterinin saat ${10}$ ile saat ${19}$ arasındaki bütün başlama saatlerini listelemiştir. Görevlinin kaç başlama saati yazdığını bulunuz ve EKOK kullanmanın bu problemdeki katkısını değerlendiriniz.(6 puan)

Çözümü göster

Soru 25Yeni nesilKısa cevap6 puanOrta

Tabloda dört sayı çifti verilmiş, ilk üç çiftin en büyük ortak böleni (EBOB) ve en küçük ortak katı (EKOK) yazılmıştır. Her satırdaki iki sayı, birinci satırdaki

{4}

ile

{6}

sayılarının aynı pozitif tam sayıyla çarpılmasıyla elde edilmiştir. Son satırın EBOB ve EKOK hücrelerinde soru işareti vardır.Soru işaretli hücreleri de bularak, bir çiftin iki sayısı aynı pozitif tam sayıyla çarpıldığında EBOB ve EKOK değerlerinin ne olduğunu bir varsayım cümlesiyle yazınız.

Çözümü göster

Soru 26Yeni nesilAçık uçlu20 puanİleri

İki pozitif tam sayının çarpımı, bu sayıların en büyük ortak böleni (EBOB) ile en küçük ortak katının (EKOK) çarpımına eşittir. Tablonun her satırında bir sayı ile, bu sayının bilinmeyen bir eşi için ileri sürülen EBOB ve EKOK değerleri yazılıdır. Son sütunun üç hücresinde de soru işareti vardır.Aşağıdaki soruları cevaplayınız.

a)
Soru işaretli sütunu, her satırda ${(\text{EBOB} \cdot \text{EKOK}) : \ \text{sayı}}$ işlemini yaparak doldurunuz.(4 puan)
b)
Satırlardan birinde bulunan sayı, satırda yazılan EBOB ve EKOK değerlerini vermez. Bu satırı belirleyiniz ve bulunan sayı ile satırdaki sayının EBOB ve EKOK değerlerini hesaplayarak gösteriniz.(5 puan)
c)
Bir çiftin EKOK değeri ile çiftteki sayılar arasındaki bölünme ilişkisine bakarak, böyle bir satırın hangi durumda kurulamayacağını bir önerme olarak yazınız.(5 puan)
ç)
Tabloda olmayan, sayısı iki basamaklı ve kurulabilen bir satır yazınız. Yazdığınız satırın kurulduğunu, ikinci sayıyı bulup EBOB ile EKOK değerlerini hesaplayarak doğrulayınız.(6 puan)

Çözümü göster

Soru 27KavramAçık uçlu15 puanZor

Bir öğrenci iki pozitif tam sayının en küçük ortak katı (EKOK) için şu genellemeyi yazmıştır: "Büyük sayı küçük sayının katı değilse EKOK iki sayının çarpımına eşittir."Aşağıdaki soruları cevaplayınız.

a)
Bu genellemeyi yanlışlayan bir sayı çifti kendiniz yazınız. Çiftinizde büyük sayının küçük sayının katı olmadığını gösteriniz; en büyük ortak böleni (EBOB) ile EKOK değerini hesaplayarak genellemenin tutmadığını ortaya koyunuz.(6 puan)
b)
Genellemenin tuttuğu bir sayı çifti yazınız ve bu çiftte EKOK değerinin çarpıma eşit olduğunu hesaplayarak gösteriniz.(3 puan)
c)
Karşıt örneğinizde EKOK değerinin çarpımdan küçük kalmasının nedenini yazınız ve genellemeyi doğru bir koşulla düzeltiniz.(6 puan)

Çözümü göster

Soru 28SözelAçık uçlu15 puanZor

Bir serada iki sulama vanası birbirinden bağımsız çalışmaktadır. Birinci vana her

{26}

dakikada bir, ikinci vana her

{39}

dakikada bir kendiliğinden açılır ve aralıklar gün boyunca değişmez. Bir sabah birinci vana çalışmanın başladığı anda, ikinci vana ise çalışmanın başlamasından

{6}

dakika sonra ilk kez açılmıştır.Bir öğrenci "

{26}

ile

{39}

sayılarının en küçük ortak katı

{\text{EKOK}(26, 39) = 78}

olduğuna göre iki vana her

{78}

dakikada bir birlikte açılır." demiştir.Aşağıdaki soruları cevaplayınız.

a)
Öğrencinin bu çıkarımının dayandığı, soruda yazılmayan koşulu yazınız.(3 puan)
b)
Bu koşul bu problemde sağlanıyor mu? Verilerle açıklayınız.(3 puan)
c)
İki vana ilk kez aynı anda açılmış olsaydı: başlangıç anından sonraki açılma anlarını sırayla yazarak ilk ortak anı arayan biri o ana kadar iki vana için toplam kaç açılma anı yazardı ve aynı durumda ilk ${4}$ saatte, başlangıç anı da sayılmak üzere, iki vana kaç kez birlikte açılırdı?(5 puan)
ç)
EKOK önermesinin (c) maddesindeki durumda sağladığı katkıyı ve bu problemdeki sınırını değerlendiriniz.(4 puan)

Çözümü göster

Soru 29Yeni nesilÇoktan seçmeli5 puanOrta

Bir bahçedeki dikdörtgen biçimli parselin kenar uzunlukları şekilde metre olarak verilmiştir. Parsel, kenar uzunluğu metre biriminde tam sayı olan eş karelere ayrılacaktır: kareler parselin kenarlarına paralel olacak, aralarında boşluk kalmayacak ve parselden artan alan olmayacaktır. Kare kenarı olabilecek en büyük değer seçilmektedir.Buna göre parsel kaç kareye ayrılır?

A $\displaystyle 10$
B $\displaystyle 5$
C $\displaystyle 7$
D $\displaystyle 250$
E $\displaystyle 35$

Çözümü göster

Soru 30Yeni nesilAçık uçlu20 puanİleri

Bir atölyede iki farklı uzunlukta kumaş şeridi üretilmektedir; bu uzunluklar şekilde verilmiştir. Atölyede iki uzunluktan da yeterince çok şerit vardır. Şeritler yalnız enine kesilmektedir ve kesilen parçalardan hiçbiri artmamaktadır.Aşağıdaki soruları cevaplayınız.

a)
İki uzunluktan birer şerit alınıp ikisi de aynı uzunlukta eş parçalara ayrılacaktır. Parça uzunluğu olabilecek en büyük değeri ve bu iki şeritten toplam kaç parça elde edileceğini bulunuz.(6 puan)
b)
Atölye iki hat kuracaktır: birinci hat yalnız uzun şeritlerin, ikinci hat yalnız kısa şeritlerin uç uca eklenmesiyle oluşacak ve şeritler kesilmeyecektir. İki hattın uzunluğu eşit olacağına göre bu uzunluk en az kaç santimetredir?(5 puan)
c)
(a) maddesinde en büyük ortak bölen (EBOB), (b) maddesinde en küçük ortak kat (EKOK) kullanılmıştır. Her maddede hangi cümlenin bu seçimi zorunlu kıldığını yazınız. İki maddede EBOB ile EKOK yer değiştirseydi cevaplar ne olurdu ve bu sonuçlar problemin cümlelerine uyar mıydı? Açıklayınız.(9 puan)

Çözümü göster

Soru 31KavramKısa cevap4 puanKolay

Şekilde iki sayının asal çarpan ağaçlarının çizilmiş bölümü verilmiştir. Bu yöntemde her sayı iki çarpanına ayrılır ve ayırma bütün uçlar asal sayı olana kadar sürer; ağaçlar soldan sağa doğru dallanmaktadır.Ağaçları tamamlayarak bu iki sayının en büyük ortak bölenini (EBOB) bulunuz.

Çözümü göster

Soru 32Yeni nesilAçık uçlu20 puanİleri

Şekilde iki sayının asal çarpan ağaçları verilmiştir; ağaçlar soldan sağa doğru dallanır ve her ayırmada iki dal çizilir. Aynı iki sayı asal çarpan algoritmasıyla da incelenebilir: bu yöntemde iki sayı tek bir tablonun sütunlarına yazılır, her satırda sayılardan en az birini bölen bir asal sayı bölen sütununa yazılır, bölünmeyen sayı aynen alt satıra geçer ve tablo iki sayı da

{1}

olana kadar sürer.Aşağıdaki soruları cevaplayınız.

a)
Şekildeki iki ağaçta toplam kaç ayırma yapılmıştır? Aynı iki sayı için kurulacak bölme tablosunun bölen sütununa kaç asal sayı yazılır?(5 puan)
b)
Bir öğrenci ${32}$ ile ${63}$ sayılarının en büyük ortak bölenini (EBOB) ve en küçük ortak katını (EKOK) bulacaktır. (a) maddesindeki iki sayımı bu çift için de yapınız ve hangi yöntemin daha az işlem istediğini bulduğunuz sayılarla gerekçelendirerek yazınız.(7 puan)
c)
Seçtiğiniz yöntemi ${32}$ ile ${63}$ sayılarına uygulayarak bu iki sayının EBOB ve EKOK değerlerini bulunuz.(8 puan)

Çözümü göster

Soru 33KavramÇoktan seçmeli7 puanZor

İki sayının en küçük ortak katını (EKOK) bulmak için iki yöntem kullanılmaktadır. Listeleme yönteminde büyük sayının katları sırayla yazılır ve küçük sayıya bölünen ilk katta durulur; yazılan her kat bir satırdır. Asal çarpan algoritmasında iki sayı bir tablonun sütunlarına yazılır, her satırda sayılardan en az birini bölen bir asal sayı bölen sütununa yazılır ve tablo iki sayı da

{1}

olana kadar sürer.Bir öğrenci iki sayı çiftini incelemektedir: birinci çift

{58}

ile

{116}

, ikinci çift

{91}

ile

{119}

.Buna göre iki yöntemin yazdırdığı satır sayıları karşılaştırıldığında aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

A $İki çiftte de algoritma kısadır$
B $İki çiftte de listeleme kısadır$
C $Yalnız ikinci çiftte listeleme kısadır$
D $Yalnız birinci çiftte listeleme kısadır$
E $İki çiftte de iki yöntem aynı uzunluktadır$

Çözümü göster

Soru 34KavramKısa cevap6 puanOrta

{34}

{51}

{85}

sayılarının en büyük ortak böleni (EBOB) ile en küçük ortak katı (EKOK) asal çarpan algoritmasıyla bulunacaktır. Bu yöntemde üç sayı bir tablonun sütunlarına yazılır; her satırda sayılardan en az birini bölen bir asal sayı bölen sütununa yazılır. O asal sayıya bölünen sayılar bölünerek, bölünmeyen sayılar ise aynen alt satıra geçer ve tablo üç sayı da

{1}

olana kadar sürer.Bu tabloyu kendiniz kurarak

{34}

{51}

{85}

sayılarının EBOB ve EKOK değerlerini bulunuz.

Çözümü göster

Ders kılavuzu

Dersi açmak için çengel sorular, kavramı somutlaştıran benzetmeler ve öğrencilerin sık yaptığı yanlışlar.

Derse giriş: çengel sorular

İki zil
Okulun bir zili 12 dakikada bir, öteki 18 dakikada bir çalıyor ve ikisi 09.00'da birlikte çaldı. Bir sonraki birlikte çalış ne zaman? Öğrencilere iki zilin çalış saatlerini liste hâlinde yazdırın; ilk ortak değer 36. dakikadır.
$\displaystyle \text{EKOK}(12, 18) = 36$
Kumaşı kesmek
Bir terzinin 84 cm ve 120 cm boyunda iki kumaş parçası var. İkisini de artık kalmadan eşit ve olabildiğince uzun parçalara kesmek istiyor. Parça boyu iki sayıyı da bölmeli ve en büyük olmalı: 12 cm.
$\displaystyle \text{EBOB}(84, 120) = 12$
Çarpımın gizli düzeni
Tahtaya birkaç sayı çifti için EBOB, EKOK ve iki sayının çarpımını yazdırın (12 ile 18, 8 ile 20, 9 ile 15). Öğrencilerden bir düzen bulmalarını isteyin: EBOB ile EKOK'un çarpımı hep iki sayının çarpımına eşittir. Neden?

Benzetmeler

EBOB
İki ipi de artıksız kesebilen en uzun cetveldir. Cetvel iki ipin boyunu da tam bölmelidir; seçeneklerin en uzunu EBOB'dur.
EKOK
Farklı adımlarla yürüyen iki kişinin ayak izlerinin ilk kez üst üste geldiği yerdir. Biri 4, öteki 6 birimlik adım atıyorsa izler 12'de buluşur.
EBOB · EKOK = a · b
İki sayının asal çarpanları iki kutuya dağıtılır: ortak olanların küçük üslüleri EBOB kutusuna, büyük üslüleri EKOK kutusuna gider. Hiçbir çarpan kaybolmaz, bu yüzden iki kutunun çarpımı iki sayının çarpımıdır.

Sık yapılan yanlışlar

EBOB büyük, EKOK küçük olur.
EBOB iki sayıyı da böler, bu yüzden küçük sayıdan büyük olamaz. EKOK iki sayının da katıdır, büyük sayıdan küçük olamaz.
Her cevaptan sonra "EBOB ≤ küçük sayı ≤ büyük sayı ≤ EKOK" sıralamasını kontrol ettirin.
EKOK her zaman iki sayının çarpımıdır.
Bu yalnız sayılar aralarında asal ise doğrudur. Ortak çarpan varsa iki kez sayılır; EKOK(12, 18) = 216 değil 36'dır.
Çarpımı EBOB'a böldürerek EKOK'u bulma yolunu gösterin.
$\displaystyle \text{EKOK}(a, b) = \dfrac{a \cdot b}{\text{EBOB}(a, b)}$
EBOB için ortak asal çarpanların büyük üslüsü alınır.
EBOB iki sayıyı da bölmelidir; büyük üs küçük üslü sayıyı bölmez. Ortak çarpanların küçük üslüsü alınır, EKOK'ta ise bütün çarpanların büyük üslüsü.
Asal çarpan biçimlerini alt alta yazdırıp her asal için küçük ve büyük üssü ayrı renkle işaretletin.
Problemde hangisinin istendiği sayıların büyüklüğünden anlaşılır.
Karar soruya göre verilir: parçalamak, eşit bölmek, en büyük ölçü EBOB'dur; yeniden buluşmak, en küçük ortak boy EKOK'tur.
Her problemde önce "bölüyor muyuz, buluşturuyor muyuz?" sorusunu cevaplatın, sonra hesaplatın.
Karo sayısı için EBOB bulunur ve cevap olarak verilir.
EBOB karonun kenarıdır. Karo sayısı iki kenarın EBOB'a bölümlerinin çarpımıdır.
Kareli kâğıda 12×18'lik dikdörtgen çizdirip 6×6'lık karelere bölerek saydırın.
Aralarında asal sayılar asal olmalıdır.
Aralarında asal, iki sayının ortak böleninin yalnız 1 olmasıdır. 8 ile 15 asal değildir ama aralarında asaldır.
8 ile 15'in bölenlerini yazdırıp ortak olanı buldurun.

Tahtada anlatım sırası9 adımı göster

1
Zil çengelini anlatın; iki zilin katlarını yazdırıp ortak olanları işaretletin.
Süreç bileşeni a: varsayımda bulunur.
2
Kumaş çengeline geçin; iki sayının bölenlerini yazdırıp ortak olanları ve en büyüğünü buldurun.
3
Aynı iki sayıyı asal çarpanlarına ayırın ve EBOB ile EKOK'u üs kuralıyla bulun.
$\displaystyle 84 = 2^{2} \cdot 3 \cdot 7,\ 120 = 2^{3} \cdot 3 \cdot 5$
4
Birkaç sayı çifti için EBOB, EKOK ve çarpımı bir tabloya yazdırın; düzeni öğrencilere buldurun.
$\displaystyle \text{EBOB}(a, b) \cdot \text{EKOK}(a, b) = a \cdot b$
Süreç bileşeni b: örüntüyü geneller.
5
Kuralı asal çarpan kutularıyla açıklayın ve üç sayıda geçerli olup olmadığını sınatın (4, 6, 10).
Süreç bileşenleri c ve e: genellemeyi sınar, doğrulama yöntemi seçer.
6
Aralarında asal kavramını verin; sayılar aralarında asal ise EBOB = 1 ve EKOK = çarpım olduğunu gösterin.
Süreç bileşeni ç: önerme sunar.
7
Problemleri iki gruba ayırın: bölme (karo, kumaş, fidan) ve buluşma (zil, otobüs, kare oluşturma). Her grup için bir örnek çözün.
Süreç bileşeni d: önermelerin katkısını değerlendirir.
8
Kalanlı soru: 6 ile de 8 ile de bölündüğünde 3 kalanını veren en küçük iki basamaklı sayı. EKOK + kalan yapısını gösterin.
9
Hangi doğrulama yolunun (liste, asal çarpan, çarpım kuralı) hangi soruda daha kısa olduğunu tartıştırın.
Süreç bileşeni f: doğrulamayı kullanışlılık açısından değerlendirir.

Ödev ve çalışma kâğıdı

Her antrenman tek bir beceriyi bol tekrarla çalıştırır. Hangisinden kaç kalem istediğini seç; kâğıt ve çözümlü cevap anahtarı tarayıcında hazırlanır.

Ödev kâğıdı oluştur

Her alıştırmadan kaç kalem istediğini seç. Kalemler hazır havuzdan rastgele gelir; iki sınıfa iki ayrı kâğıt verebilirsin. Çözümlü cevap anahtarı da hazır.

Alıştırmalar

İki sayı için ${\text{EBOB} \cdot \text{EKOK} = a \cdot b}$ bağıntısını kullanınız.
1. 1)İki doğal sayının çarpımı 2160, EBOB'u 12 ise EKOK'u kaçtır?= $\displaystyle 180$
2. 2)EBOB'u 6, EKOK'u 60 olan iki doğal sayıdan biri 12 ise diğeri kaçtır?= $\displaystyle 30$
3. 3)İki doğal sayının çarpımı 5445, EBOB'u 11 ise EKOK'u kaçtır?= $\displaystyle 495$
/ 40
Sayıları asal çarpanlarına ayırınız. EBOB, ortak asal çarpanların en küçük üslüleriyle yazılır.
1. 1) ${\text{EBOB}(10, 35) = \,?}$ = $\displaystyle 5$
2. 2) ${\text{EBOB}(20, 25, 35) = \,?}$ = $\displaystyle 5$
3. 3) ${\text{EBOB}(16, 40) = \,?}$ = $\displaystyle 8$
/ 40
Yeniden birlikte olmada ya da ortak katta EKOK aranır. Kalan verilmişse EKOK'a kalanı ekleyiniz.
1. 1)İki otobüs aynı duraktan 6 dakikada bir ve 20 dakikada bir kalkıyor. Birlikte kalktıktan en az kaç dakika sonra yine birlikte kalkarlar?= $\displaystyle 60$
2. 2)Boyutları 26 cm ve 39 cm olan dikdörtgen kartonlar aynı yönde yan yana dizilerek bir kare oluşturulacaktır. En az kaç karton gerekir?= $\displaystyle 6$
3. 3)4 ile de 10 ile de bölündüğünde 2 kalanını veren en küçük iki basamaklı doğal sayı kaçtır?= $\displaystyle 22$
/ 40
Sayıları asal çarpanlarına ayırınız. EKOK, bütün asal çarpanların en büyük üslüleriyle yazılır.
1. 1) ${\text{EKOK}(48, 84) = \,?}$ = $\displaystyle 336$
2. 2) ${\text{EKOK}(2, 6, 20) = \,?}$ = $\displaystyle 60$
3. 3) ${\text{EKOK}(15, 35) = \,?}$ = $\displaystyle 105$
/ 40
Eşit ve en büyük parçalara ayırmada EBOB aranır. Parça sayısı için her uzunluğu EBOB'a bölünüz.
1. 1)Kenarları 33 cm ve 44 cm olan dikdörtgen bir zemin eş karelerle boşluksuz döşenecektir. En az kaç kare karo gerekir?= $\displaystyle 12$
2. 2)Kenarları 65 cm ve 78 cm olan dikdörtgen bir zemin eş karelerle boşluksuz döşenecektir. Bir karenin kenarı en çok kaç cm olabilir?= $\displaystyle 13$
3. 3)Kenarları 30 cm ve 45 cm olan dikdörtgen bir zemin eş karelerle boşluksuz döşenecektir. En az kaç kare karo gerekir?= $\displaystyle 6$
/ 40

Kâğıt başlığı

Çalışma boşluğu

Yok8 mm15 mm25 mm

Ad, sınıf, süre satırıCevap anahtarında kısa çözüm

0 kalem

İndirmek için en az bir kalem seç.

Kazanım künyesi

10. sınıf EBOB ve EKOK için 34 çözümlü soru: soruları sayfada çöz, takıldığında adım adım çözümü aç; seçtiğin sorulardan test, yaprak test ya da yazılı kâğıdı hazırla ve cevap anahtarıyla PDF olarak indir; ödev için alıştırma (çalışma) kâğıdı çıkar; derste soruları akıllı tahtada tek tek aç; ders kılavuzunda derse giriş, kavram yanılgıları ve tahta akışı var. 1. dönem yazılısına ve ortak sınava hazırlıkta kullanılır.

Kod: MAT.10.3.2
Kapsadığı konular: ebob, ekok, en büyük ortak bölen, en küçük ortak kat
Dönem ve hafta: 1. dönem, 11, 12. haftalar, 8 ders saati
Süreç bileşenleri: a)Birden çok doğal sayının ortak bölenleriyle bunların en büyüğü ve ortak katlarıyla bunların en küçüğü arasındaki ilişkilere dair varsayımlarda bulunur.
b)Farklı örneklerden elde ettiği örüntüleri listeleyerek varsayımlarına yönelik örüntüleri geneller.
c)Oluşturduğu genellemelerin varsayımlarını karşılayıp karşılamadığını örneklerle sınar.
ç)Birden çok doğal sayının ortak bölenleriyle bunların en büyüğü ve ortak katlarıyla bunların en küçüğü arasındaki ilişkilere dair elde ettiği genellemelere yönelik önermeler sunar.
d)Sunduğu önermelerin gerçek yaşam durumları içeren problemlerdeki katkısını değerlendirir.
e)Elde ettiği önermeler ile ilgili matematiksel doğrulama yöntemlerini seçer ve kullanır.
f)Elde ettiği önermelere ilişkin uyguladığı matematiksel doğrulamayı kullanışlılığı açısından değerlendirir.
Ders kitabında: 3. Tema — SAYILAR, 3.2 En Büyük Ortak Bölen-en Küçük Ortak Kat

EBOB ve EKOK

Sorular ve çözümleri

Ders kılavuzu

Derse giriş: çengel sorular

Benzetmeler

Sık yapılan yanlışlar

Ödev ve çalışma kâğıdı

Ödev kâğıdı oluştur

Test PDF'i

Test PDF'i hazırla

Kazanım künyesi