10. sınıf, Nicelikler ve DeğişimlerMAT.10.4.5

Ters fonksiyon

Doğrusal, Karesel, Karekök ve Rasyonel Fonksiyonların Ters Fonksiyonları

Kazanım: Doğrusal, karesel, karekök ve rasyonel referans fonksiyonlar ile bu fonksiyonlardan türetilebilen fonksiyonların ters fonksiyonlarına dair çıkarım yapabilme.

Tahtada aç Yazılı hazırla

Sorular ve çözümleri

Her sorunun altında adım adım çözüm var. Çoktan seçmelide doğru şık, çözümü açınca işaretlenir.

Zorluk

Cevap biçimi

Soru türü

Şekil

39 soru gösteriliyor

Soru 1KavramÇoktan seçmeli3 puanKolay

{f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}}

{f(x) = 2x + 4}

şeklinde tanımlı

{f}

fonksiyonu veriliyor. Bu fonksiyonun tersi

{f^{-1}}

ile gösterilmektedir.Buna göre

{f^{-1}(x)}

aşağıdakilerden hangisidir?

A $\displaystyle 2x - 4$
B $\displaystyle \dfrac{x + 4}{2}$
C $\displaystyle \dfrac{x}{2} - 2$
D $\displaystyle -2x - 4$
E $\displaystyle \dfrac{1}{2x + 4}$

Çözümü göster

CDoğru cevap

1
${y = 2x + 4}$ yazılır ve ${x}$ çekilir: ${y - 4 = 2x}$ , yani ${x = \dfrac{y - 4}{2}}$ olur.
2
Değişkenler yer değiştirilir: ${f^{-1}(x) = \dfrac{x - 4}{2}}$ .
3
Kesir ayrılırsa ${f^{-1}(x) = \dfrac{x}{2} - 2}$ bulunur.

Yanlış şıklar neden yanlış?

A)İşlemler ters çevrilirken sıra bozulmuş; önce 4 çıkarılıp sonra 2 ye bölünür.
B)Denklem çözülürken 4 çıkarılacağına eklenmiş.
D)Orijine göre simetrik alınmış; ters fonksiyon y = x doğrusuna göre simetriktir.
E)Ters fonksiyon ile fonksiyonun çarpmaya göre tersi karıştırılmış.

Soru 2İşlemKısa cevap4 puanKolay

{f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}}

{f(x) = 3x - 7}

şeklinde tanımlı

{f}

fonksiyonunun tersi

{f^{-1}}

ile gösterilmektedir.Buna göre

{f^{-1}(5)}

değeri kaçtır?

Çözümü göster

Cevap: $\displaystyle 4$

1
${f^{-1}(5) = a}$ ise ${f(a) = 5}$ olur.
2
${3a - 7 = 5}$ denkleminden ${3a = 12}$ , yani ${a = 4}$ bulunur.
3
Buna göre ${f^{-1}(5) = 4}$ olur.

Soru 3KavramÇoktan seçmeli5 puanOrta

Aşağıda üç doğrusal fonksiyon verilmiştir.I.

{f(x) = x + 6}

II.

{g(x) = 6 - x}

III.

{h(x) = 6x}

Bu fonksiyonların hepsi

{\mathbb{R}}

üzerinde tanımlıdır.Buna göre bu fonksiyonlardan hangilerinin tersi kendisine eşittir?

A $Yalnız I$
B $Yalnız II$
C $I ve II$
D $II ve III$
E $I, II ve III$

Çözümü göster

BDoğru cevap

1
${y = x + 6}$ denkleminden ${x = y - 6}$ olur; ${f^{-1}(x) = x - 6}$ , yani ${f^{-1} \ne f}$ .
2
${y = 6 - x}$ denkleminden ${x = 6 - y}$ olur; ${g^{-1}(x) = 6 - x}$ , yani ${g^{-1} = g}$ .
3
${y = 6x}$ denkleminden ${x = \dfrac{y}{6}}$ olur; ${h^{-1}(x) = \dfrac{x}{6}}$ , yani ${h^{-1} \ne h}$ .
4
Buna göre tersi kendisine eşit olan yalnız II numaralı fonksiyondur: $Yalnız II$ .

Yanlış şıklar neden yanlış?

A)f nin tersi x - 6 dır; toplama işleminin tersi çıkarmadır.
C)f nin tersi x - 6 olduğundan f kendi tersi değildir.
D)h nin tersi x/6 dır; çarpma işleminin tersi bölmedir.
E)Üç fonksiyondan yalnız birinin tersi kendisine eşittir.

Soru 4KavramÇoktan seçmeli5 puanOrta

{f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}}

{f(x) = ax + b}

(

{a, b \in \mathbb{R}}

) şeklinde tanımlı bir doğrusal fonksiyon veriliyor.Buna göre

{f}

fonksiyonunun tersinin de bir fonksiyon olması için gerekli ve yeterli koşul aşağıdakilerden hangisidir?

A $\displaystyle a \ne 0$
B $\displaystyle b \ne 0$
C $\displaystyle a > 0$
D $\displaystyle a \cdot b \ne 0$
E $\displaystyle a = 1$

Çözümü göster

ADoğru cevap

1
${a \ne 0}$ ise ${y = ax + b}$ denkleminden ${x = \dfrac{y - b}{a}}$ tek türlü bulunur; her ${y}$ değerine bir ${x}$ düşer.
2
${a = 0}$ ise ${f(x) = b}$ olur ve bütün ${x}$ değerleri aynı ${b}$ değerine gider. Bu durumda ${f}$ bire bir değildir; ${y = b}$ için sonsuz çok, ${y \ne b}$ için hiç ${x}$ yoktur.
3
Buna göre gerekli ve yeterli koşul ${a \ne 0}$ olur.

Yanlış şıklar neden yanlış?

B)b nin değeri terslenebilirliği etkilemez; f(x) = 2x in tersi vardır.
C)Koşul gereğinden dar; f(x) = -2x + 1 azalandır ve tersi vardır.
D)b = 0 olsa da tersi vardır; koşula gereksiz bir şart eklenmiş.
E)Koşul gereğinden dar; her sıfırdan farklı a için ters bulunur.

Soru 5Yeni nesilÇoktan seçmeli5 puanOrta

Şekilde

{f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}}

şeklinde tanımlı bir

{f}

doğrusal fonksiyonunun grafiği ile kesikli olarak çizilmiş

{y = x}

doğrusu verilmiştir.Buna göre

{f}

fonksiyonunun tersinin grafiğinin

{y}

eksenini kestiği noktanın ordinatı kaçtır?

A $\displaystyle -2$
B $\displaystyle -1$
C $\displaystyle \dfrac{1}{2}$
D $\displaystyle 1$
E $\displaystyle 2$

Çözümü göster

DDoğru cevap

1
Grafikten ${f}$ fonksiyonunun ${x}$ eksenini ${1}$ de, ${y}$ eksenini ${-2}$ de kestiği okunur; buna göre ${f(x) = 2x - 2}$ olur.
2
Tersin grafiği, ${f}$ nin grafiğinin ${y = x}$ doğrusuna göre simetriğidir. ${f}$ nin grafiği ${(1, 0)}$ noktasından geçtiğine göre tersin grafiği ${(0, 1)}$ noktasından geçer.
3
Buna göre aranan ordinat ${1}$ olur.

Yanlış şıklar neden yanlış?

A)f nin y eksenini kestiği ordinat yazılmış; tersin grafiği için eksenler yer değiştirir.
B)f nin sıfırının işareti alınmış.
C)Eğimin tersi yazılmış; sorulan, grafiğin y eksenini kestiği ordinattır.
E)f nin eğimi yazılmış.

Soru 6Yeni nesilAçık uçlu20 puanİleri

{f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}}

{f(x) = ax + b}

şeklinde tanımlı bir

{f}

fonksiyonu için

{f(2) = 7}

{f^{-1}(1) = 0}

olduğu biliniyor.Buna göre aşağıdaki soruları cevaplayınız.

a)
${a}$ ve ${b}$ değerlerini bulunuz.(6 puan)
b)
${f^{-1}}$ fonksiyonunun kuralını yazarak ${f^{-1}(10)}$ değerini bulunuz.(6 puan)
c)
${a = 0}$ olsaydı ${f}$ fonksiyonunun tersinin neden bir fonksiyon olmayacağını açıklayınız.(8 puan)

Çözümü göster

Soru 7KavramÇoktan seçmeli3 puanKolay

{f: \mathbb{R} - \{0\} \to \mathbb{R} - \{0\}}

{f(x) = \dfrac{1}{x}}

şeklinde tanımlı rasyonel referans fonksiyon veriliyor.Buna göre

{f}

fonksiyonunun tersinin kuralı aşağıdakilerden hangisidir?

A $\displaystyle x$
B $\displaystyle -\dfrac{1}{x}$
C $\displaystyle x^{2}$
D $\displaystyle \dfrac{1}{x} + 1$
E $\displaystyle \dfrac{1}{x}$

Çözümü göster

Soru 8İşlemÇoktan seçmeli5 puanOrta

{g: \mathbb{R} - \{0\} \to \mathbb{R} - \{2\}}

{g(x) = \dfrac{1}{x} + 2}

şeklinde tanımlı

{g}

fonksiyonu veriliyor.Buna göre

{g^{-1}(x)}

aşağıdakilerden hangisidir?

A $\displaystyle \dfrac{1}{x - 2}$
B $\displaystyle \dfrac{1}{x + 2}$
C $\displaystyle \dfrac{1}{x} - 2$
D $\displaystyle \dfrac{1}{2 - x}$
E $\displaystyle x - 2$

Çözümü göster

Soru 9İşlemKısa cevap6 puanOrta

{g: \mathbb{R} - \{1\} \to \mathbb{R} - \{4\}}

{g(x) = \dfrac{3}{x - 1} + 4}

şeklinde tanımlı

{g}

fonksiyonunun tersi

{g^{-1}}

ile gösterilmektedir.Buna göre

{g^{-1}(7)}

değeri kaçtır?

Çözümü göster

Soru 10Yeni nesilÇoktan seçmeli5 puanOrta

Her

{n}

pozitif tam sayısı için

{g_n: \mathbb{R} - \{-n\} \to \mathbb{R} - \{0\}}

fonksiyonu

{g_n(x) = \dfrac{1}{x + n}}

biçiminde tanımlanıyor.Örneğin

{g_1(x) = \dfrac{1}{x + 1}}

{g_2(x) = \dfrac{1}{x + 2}}

olur.Buna göre

{g_n^{-1}(1) = -4}

olması için

{n}

kaç olmalıdır?

A $\displaystyle -5$
B $\displaystyle -3$
C $\displaystyle 5$
D $\displaystyle 4$
E $\displaystyle 3$

Çözümü göster

Soru 11Yeni nesilÇoktan seçmeli7 puanZor

Şekilde

{g: \mathbb{R} - \{-3\} \to \mathbb{R} - \{1\}}

{g(x) = \dfrac{2}{x + 3} + 1}

şeklinde tanımlı

{g}

fonksiyonunun grafiği ile kesikli olarak çizilmiş

{x = -3}

doğrusu verilmiştir.Buna göre

{g^{-1}(x)}

aşağıdakilerden hangisidir?

A $\displaystyle \dfrac{2}{x - 1} + 3$
B $\displaystyle \dfrac{2}{x - 1} - 3$
C $\displaystyle \dfrac{2}{x + 1} - 3$
D $\displaystyle \dfrac{2}{x + 3} - 1$
E $\displaystyle \dfrac{2}{x - 3} + 1$

Çözümü göster

Soru 12Yeni nesilÇoktan seçmeli5 puanOrta

Şekilde

{g: \mathbb{R} - \{2\} \to \mathbb{R} - \{1\}}

{g(x) = \dfrac{1}{x - 2} + 1}

fonksiyonunun ve

{h}

fonksiyonunun grafikleri ile kesikli olarak çizilmiş

{y = x}

doğrusu verilmiştir.

{h}

{g}

fonksiyonunun tersidir.Buna göre

{h}

fonksiyonunun görüntü kümesi aşağıdakilerden hangisidir?

A $\displaystyle \mathbb{R} - \{1\}$
B $\displaystyle \mathbb{R} - \{-1\}$
C $\displaystyle \mathbb{R} - \{-2\}$
D $\displaystyle \mathbb{R} - \{2\}$
E $\displaystyle \mathbb{R}$

Çözümü göster

Soru 13KavramÇoktan seçmeli3 puanKolay

{f: \mathbb{R} \to [0, \infty)}

{f(x) = x^{2}}

şeklinde tanımlı karesel referans fonksiyon veriliyor. Bu fonksiyonun tersi bir fonksiyon değildir.Buna göre bunun nedeni aşağıdakilerden hangisidir?

A $Bire bir olmaması$
B $Örten olmaması$
C $En küçük değerinin 0 olması$
D $Sıfırının bulunması$
E $Grafiğinin parabol olması$

Çözümü göster

Soru 14İşlemÇoktan seçmeli5 puanOrta

{f: [0, \infty) \to [0, \infty)}

{f(x) = x^{2}}

şeklinde tanımlı

{f}

fonksiyonu veriliyor.Buna göre

{f^{-1}(x)}

aşağıdakilerden hangisidir?

A $\displaystyle x^{2}$
B $\displaystyle \sqrt{x}$
C $\displaystyle -\sqrt{x}$
D $\displaystyle \dfrac{1}{x^{2}}$
E $\displaystyle 2x$

Çözümü göster

Soru 15İşlemÇoktan seçmeli5 puanOrta

{g: (-\infty, 0] \to [-4, \infty)}

{g(x) = x^{2} - 4}

şeklinde tanımlı

{g}

fonksiyonu veriliyor.Buna göre

{g^{-1}(x)}

aşağıdakilerden hangisidir?

A $\displaystyle \sqrt{x + 4}$
B $\displaystyle \sqrt{x - 4}$
C $\displaystyle -\sqrt{x - 4}$
D $\displaystyle -\sqrt{x + 4}$
E $\displaystyle -\sqrt{x} - 4$

Çözümü göster

Soru 16İşlemKısa cevap8 puanZor

{g: [3, \infty) \to [0, \infty)}

{g(x) = (x - 3)^{2}}

şeklinde tanımlı

{g}

fonksiyonunun tersi

{g^{-1}}

ile gösterilmektedir.Buna göre

{g^{-1}(16) + g^{-1}(0)}

toplamı kaçtır?

Çözümü göster

Soru 17Yeni nesilAçık uçlu20 puanİleri

Bir öğrenci "Karesel bir fonksiyonun tersi her zaman bir karekök fonksiyonudur." genellemesini yapıyor.Buna göre aşağıdaki soruları cevaplayınız.

a)
${f: \mathbb{R} \to [0, \infty)}$ , ${f(x) = x^{2}}$ fonksiyonunu kullanarak bu genellemenin yanlış olduğunu gösteren bir karşıt örnek yazınız.(6 puan)
b)
Genellemenin doğru olması için karesel fonksiyona hangi koşulun eklenmesi gerektiğini yazınız.(6 puan)
c)
${g: (-\infty, 0] \to [0, \infty)}$ , ${g(x) = x^{2}}$ fonksiyonunun tersinin kuralını yazınız.(8 puan)

Çözümü göster

Soru 18Yeni nesilÇoktan seçmeli5 puanOrta

Şekilde

{g: [1, \infty) \to [-2, \infty)}

{g(x) = (x - 1)^{2} - 2}

fonksiyonunun ve

{h}

fonksiyonunun grafikleri ile kesikli olarak çizilmiş

{y = x}

doğrusu verilmiştir.

{h}

{g}

fonksiyonunun tersidir.Buna göre

{h}

fonksiyonunun tanım kümesi aşağıdakilerden hangisidir?

A $\displaystyle [1, \infty)$
B $\displaystyle [-1, \infty)$
C $\displaystyle [-2, \infty)$
D $\displaystyle (-\infty, -2]$
E $\displaystyle \mathbb{R}$

Çözümü göster

Soru 19KavramÇoktan seçmeli3 puanKolay

{f: [0, \infty) \to [0, \infty)}

{f(x) = \sqrt{x}}

şeklinde tanımlı karekök referans fonksiyon veriliyor.Bu fonksiyonun tersinin kuralı

{x^{2}}

dir.Buna göre

{f^{-1}}

fonksiyonunun tanım kümesi aşağıdakilerden hangisidir?

A $\displaystyle \mathbb{R}$
B $\displaystyle (-\infty, 0]$
C $\displaystyle (0, \infty)$
D $\displaystyle \mathbb{R} - \{0\}$
E $\displaystyle [0, \infty)$

Çözümü göster

Soru 20Yeni nesilÇoktan seçmeli7 puanZor

Şekilde

{g: [2, \infty) \to [0, \infty)}

{g(x) = \sqrt{x - 2}}

fonksiyonunun ve

{h}

fonksiyonunun grafikleri ile kesikli olarak çizilmiş

{y = x}

doğrusu verilmiştir.

{h}

{g}

fonksiyonunun tersidir.Buna göre

{h}

fonksiyonunun kuralı ile tanım kümesi aşağıdakilerden hangisinde birlikte doğru verilmiştir?

A $\displaystyle x^{2} + 2, \mathbb{R}$
B $\displaystyle x^{2} - 2, [0, \infty)$
C $\displaystyle \sqrt{x} + 2, [0, \infty)$
D $\displaystyle x^{2} + 2, [0, \infty)$
E $\displaystyle x^{2} + 2, [2, \infty)$

Çözümü göster

Soru 21İşlemKısa cevap6 puanOrta

{g: [-3, \infty) \to [-1, \infty)}

{g(x) = \sqrt{x + 3} - 1}

şeklinde tanımlı

{g}

fonksiyonunun tersi

{g^{-1}}

ile gösterilmektedir.Buna göre

{g^{-1}(2)}

değeri kaçtır?

Çözümü göster

Soru 22KavramÇoktan seçmeli7 puanZor

{g: [0, \infty) \to [4, \infty)}

{g(x) = \sqrt{x} + 4}

{h(x) = (x - 4)^{2}}

fonksiyonları veriliyor.Buna göre

{h}

fonksiyonunun

{g}

fonksiyonunun tersi olması için tanım ve değer kümesi aşağıdakilerden hangisi olmalıdır?

A $\displaystyle [4, \infty) \to [0, \infty)$
B $\displaystyle [0, \infty) \to [4, \infty)$
C $\displaystyle \mathbb{R} \to [0, \infty)$
D $\displaystyle (-\infty, 4] \to [0, \infty)$
E $\displaystyle [-4, \infty) \to \mathbb{R}$

Çözümü göster

Soru 23KavramÇoktan seçmeli5 puanOrta

{g: [-3, \infty) \to [-1, \infty)}

{g(x) = \sqrt{x + 3} - 1}

şeklinde tanımlı

{g}

fonksiyonu için aşağıdaki önermeler veriliyor.I.

{g^{-1}(x) = (x + 1)^{2} - 3}

tür.II.

{g^{-1}}

fonksiyonunun tanım kümesi

{[-3, \infty)}

dur.III.

{g}

ile

{g^{-1}}

fonksiyonlarının grafikleri

{y = x}

doğrusuna göre simetriktir.Buna göre bu önermelerden hangileri doğrudur?

A $Yalnız I$
B $Yalnız III$
C $I ve III$
D $II ve III$
E $I, II ve III$

Çözümü göster

Soru 24Yeni nesilAçık uçlu20 puanİleri

{g: [1, \infty) \to [2, \infty)}

{g(x) = \sqrt{x - 1} + 2}

şeklinde tanımlı bir

{g}

fonksiyonu veriliyor.Buna göre aşağıdaki soruları cevaplayınız.

a)
${g^{-1}}$ fonksiyonunun kuralını yazarak ${g^{-1}(5)}$ değerini bulunuz.(6 puan)
b)
${g^{-1}}$ fonksiyonunun tanım ve görüntü kümesini yazınız.(6 puan)
c)
${g}$ ile ${g^{-1}}$ fonksiyonlarının grafiklerinin ${y = x}$ doğrusuna göre simetrik olmasının nedenini açıklayınız.(8 puan)

Çözümü göster

Soru 25KavramÇoktan seçmeli3 puanKolay

{f: A \to B}

şeklinde tanımlı bir

{f}

fonksiyonu veriliyor.Buna göre

{f}

fonksiyonunun tersinin de bir fonksiyon olması için

{f}

fonksiyonunun hangi özellikleri taşıması gerekir?

A $Yalnız bire bir olması$
B $Bire bir ve örten olması$
C $Yalnız örten olması$
D $Artan olması$
E $Tek fonksiyon olması$

Çözümü göster

Soru 26Yeni nesilÇoktan seçmeli5 puanOrta

Şekilde

{f: \mathbb{R} - \{0\} \to \mathbb{R} - \{0\}}

şeklinde tanımlı bir

{f}

fonksiyonunun grafiği ile kesikli olarak çizilmiş

{y = x}

doğrusu verilmiştir. Grafik, bu doğruya göre simetriktir.Buna göre

{f}

fonksiyonunun tersi için aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

A $Tersi yoktur$
B $Tersi kendisinin karesidir$
C $Tersi bire bir değildir$
D $Tersi sabit fonksiyondur$
E $Tersi kendisidir$

Çözümü göster

Soru 27KavramÇoktan seçmeli5 puanOrta

{f: A \to B}

şeklinde tanımlı bire bir ve örten bir

{f}

fonksiyonu,

{A}

aralığında azalandır.Buna göre

{f^{-1}}

fonksiyonu için aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

A $\displaystyle \text{Azalandır}$
B $\displaystyle \text{Artandır}$
C $\displaystyle \text{Sabittir}$
D $Artan ya da azalan olabilir$
E $Ne artan ne azalandır$

Çözümü göster

Soru 28İşlemKısa cevap8 puanZor

{f: [2, 5] \to [3, 12]}

şeklinde tanımlı bir

{f}

fonksiyonu bire bir, örten ve artandır.Buna göre

{f^{-1}}

fonksiyonunun en büyük değeri ile en küçük değerinin toplamı kaçtır?

Çözümü göster

Soru 29KavramÇoktan seçmeli7 puanZor

{g: \mathbb{R} - \{0\} \to \mathbb{R} - \{8\}}

{g(x) = \dfrac{1}{x} + 8}

şeklinde tanımlı

{g}

fonksiyonunun tersi

{g^{-1}}

ile gösterilmektedir. Bu ters için aşağıdaki önermeler veriliyor.I. Görüntü kümesi

{\mathbb{R} - \{0\}}

dır.II. Tanımlı olduğu iki aralığın her birinde azalandır.III. En büyük değeri vardır.Buna göre bu önermelerden hangileri doğrudur?

A $Yalnız I$
B $Yalnız II$
C $I ve III$
D $I ve II$
E $I, II ve III$

Çözümü göster

Soru 30Yeni nesilAçık uçlu20 puanİleri

Bir öğrenci "Tersi kendisine eşit olan bir fonksiyonun grafiği

{y = x}

doğrusuna göre simetriktir." önermesini yazıyor.Buna göre aşağıdaki soruları cevaplayınız.

a)
Bu önermeyi, grafik üzerindeki noktalardan söz ederek matematiksel olarak doğrulanabilecek biçimde yeniden yazınız.(6 puan)
b)
${f: \mathbb{R} - \{0\} \to \mathbb{R} - \{0\}}$ , ${f(x) = \dfrac{1}{x}}$ fonksiyonu için bu önermeyi ${x = 2}$ noktasında doğrulayınız.(6 puan)
c)
Bu önermenin karşıtı, yani "Grafiği ${y = x}$ doğrusuna göre simetrik olan bir fonksiyonun tersi kendisine eşittir." önermesi doğru mudur? Gerekçesiyle yazınız.(8 puan)

Çözümü göster

Soru 31SözelÇoktan seçmeli5 puanOrta

Bir kargo şirketi,

{k}

kilometre uzaklıktaki bir adrese gönderilen paket için

{u(k) = 4k + 25}

kuralıyla hesaplanan ücreti (TL) almaktadır.Buna göre

{u}

fonksiyonunun tersi bu bağlamda neyi verir?

A $Mesafeden ücreti$
B $Kilometre başına ücreti$
C $Ücretten mesafeyi$
D $Sabit ücreti$
E $Ücretteki artışı$

Çözümü göster

Soru 32Yeni nesilKısa cevap8 puanZor

Bir sarkacın tam bir gidip gelme hareketi

{T}

saniye sürmektedir. Sarkacın ipinin uzunluğu

{L}

metre olmak üzere bu süre

{T(L) = 2\sqrt{L}}

kuralıyla modellenmiştir.Buna göre tam bir gidip gelme hareketi

{3}

saniye süren sarkacın ipi kaç metredir?

Çözümü göster

Soru 33Yeni nesilÇoktan seçmeli7 puanZor

Kare biçimindeki bir bahçenin alanı

{A}

metrekare, bir kenarının uzunluğu

{k}

metredir. Şekilde bu iki büyüklük arasındaki ilişkiyi gösteren bir grafik verilmiştir; kesikli çizgiler bir noktayı eksenlere bağlamaktadır.Buna göre şekildeki grafik aşağıdaki fonksiyonlardan hangisinin grafiğidir?

A $\displaystyle A(k) = k^{2}$
B $\displaystyle k(A) = \sqrt{A}$
C $\displaystyle k(A) = A^{2}$
D $\displaystyle A(k) = \sqrt{k}$
E $\displaystyle k(A) = \dfrac{A}{4}$

Çözümü göster

Soru 34SözelKısa cevap8 puanZor

Alanı

{60}

metrekare olan bir salonda

{n}

kişi bulunduğunda kişi başına düşen alan

{a(n) = \dfrac{60}{n}}

metrekaredir.Buna göre kişi başına düşen alanın

{4}

metrekare olması için salonda kaç kişi bulunmalıdır?

Çözümü göster

Soru 35Yeni nesilÇoktan seçmeli9 puanİleri

Bir deponun su ile doldurulması sırasında, doldurma başladıktan

{t}

dakika sonra depodaki suyun yüksekliği santimetre cinsinden

{h(t) = t^{2} + 5}

kuralıyla modellenmiştir. Depo

{12}

dakikada dolmaktadır, yani

{t \in [0, 12]}

dir.

{h}

fonksiyonunun tersi için aşağıdaki önermeler veriliyor.I. Tanım kümesi

{[5, 149]}

dur.II. Değerleri dakika cinsindendir.III.

{h}

artan olduğu için tersi azalandır.Buna göre bu önermelerden hangileri doğrudur?

A $Yalnız I$
B $Yalnız II$
C $I ve III$
D $II ve III$
E $I ve II$

Çözümü göster

Soru 36Yeni nesilAçık uçlu20 puanİleri

Bir fonksiyonun tersi üç yolla bulunabilir: denklemde değişkenleri yer değiştirip

{x}

i çekmek, değer tablosunu ters çevirmek, grafiğin

{y = x}

doğrusuna göre simetriğini almak.Buna göre aşağıdaki soruları cevaplayınız.

a)
${g: [-1, \infty) \to [-3, \infty)}$ , ${g(x) = \sqrt{x + 1} - 3}$ fonksiyonunun tersini birinci yolla bulunuz ve ${g^{-1}(0)}$ değerini yazınız.(6 puan)
b)
Tablo yolunun hangi durumda kullanışlı olduğunu bir örnekle yazınız.(6 puan)
c)
Grafik yolunun tek başına neden her zaman yetmediğini açıklayınız.(8 puan)

Çözümü göster

Soru 37Yeni nesilAçık uçlu10 puanOrta

{f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}}

bire bir ve örten bir fonksiyondur. Bu fonksiyonun kuralı verilmemiş, bunun yerine şekildeki eşleme tablosu verilmiştir; tablonun soldaki iki sütunu

{f}

fonksiyonunun dört eşlemesini göstermektedir.Tablonun sağındaki iki sütun,

{f}

fonksiyonunun tersi olan

{f^{-1}}

fonksiyonunun eşlemeleri içindir; bu sütunların ilk satırı örnek olarak doldurulmuştur.Buna göre aşağıdaki soruları cevaplayınız.

a)
Şekildeki tablonun sağ iki sütununda boş bırakılan üç satırı doldurunuz.(3 puan)
b)
${f^{-1}}$ fonksiyonunun kuralı için bir varsayımda bulununuz ve varsayımınızı, varsayımı kurarken kullanmadığınız bir eşlemeyle sınayınız.(4 puan)
c)
Bu varsayımın tablodan kesin olarak çıkarılamayacağını, tablonun neyi söylemediğini yazarak açıklayınız.(3 puan)

Çözümü göster

Soru 38KavramAçık uçlu20 puanİleri

Aşağıda üç fonksiyon ile bu fonksiyonların terslerinin kuralı verilmiştir; bir

{g}

fonksiyonunun tersi

{g^{-1}}

ile gösterilmektedir.

{g_1: [-3, \infty) \to [2, \infty)}

{g_1(x) = \sqrt{x + 3} + 2}

için

{g_1^{-1}(x) = (x - 2)^2 - 3}

{g_2: [2, \infty) \to [-5, \infty)}

{g_2(x) = \sqrt{x - 2} - 5}

için

{g_2^{-1}(x) = (x + 5)^2 + 2}

{g_3: [5, \infty) \to [6, \infty)}

{g_3(x) = \sqrt{x - 5} + 6}

için

{g_3^{-1}(x) = (x - 6)^2 + 5}

Buna göre aşağıdaki soruları cevaplayınız.

a)
${r}$ ile ${k}$ gerçek sayılar olmak üzere ${g: [-r, \infty) \to [k, \infty)}$ , ${g(x) = \sqrt{x + r} + k}$ ailesinin tersinin kuralı için bir genelleme yazınız; genellemenizde ${r}$ ile ${k}$ sayılarının yerinin ve işaretinin ne olduğunu da belirtiniz.(6 puan)
b)
Genellemenizin doğru olduğunu cebirsel olarak gösteriniz.(7 puan)
c)
Aynı yer değiştirme doğrusal ailede görülmez. ${a \ne 0}$ olmak üzere ${f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}}$ , ${f(x) = ax + b}$ ailesinin tersinin kuralını yazarak bunun nedenini açıklayınız.(7 puan)

Çözümü göster

Soru 39KavramAçık uçlu15 puanZor

Şekilde

{g: [0, \infty) \to [0, \infty)}

{g(x) = 2\sqrt{x}}

fonksiyonunun grafiği birim kareli bir düzlemde verilmiştir; şekildeki kesikli çizgi

{y = x}

doğrusudur.

{g}

fonksiyonunun tersi

{g^{-1}}

ile gösterilmektedir.Buna göre aşağıdaki soruları cevaplayınız.

a)
${g^{-1}}$ fonksiyonunun grafiğini, iki ucunu da işaretleyerek aynı düzleme çiziniz ve çizerken yararlandığınız iki nokta çiftini koordinatlarıyla yazınız.(9 puan)
b)
${(4, 4)}$ noktasının ${g}$ ile ${g^{-1}}$ fonksiyonlarının grafiklerindeki durumunu ${g(4)}$ değerini hesaplayarak açıklayınız.(3 puan)
c)
Çiziminize göre ${g^{-1}}$ fonksiyonu artan mıdır? Hükmünüzü, çiziminizden okuduğunuz bir sayı çiftiyle gerekçelendiriniz.(3 puan)

Çözümü göster

Ders kılavuzu

Dersi açmak için çengel sorular, kavramı somutlaştıran benzetmeler ve öğrencilerin sık yaptığı yanlışlar.

Derse giriş: çengel sorular

Sıcaklık çevirici
Celsius'u Fahrenheit'a çeviren formül ${F = 1{,}8C + 32}$ 'dir. Amerika'daki bir arkadaşınız 77°F dediğinde bunu Celsius'a nasıl çevirirsiniz? Ters yöndeki formülü bulmak, ters fonksiyonu bulmaktır.
$\displaystyle C = \dfrac{F - 32}{1{,}8}$
Şifre ve çözücü
Bir harfi alfabede 3 sonraki harfle değiştiren şifreyi düşünün. Mesajı çözmek için her harfi 3 geri almak gerekir. Şifreleme bir fonksiyon, çözme onun tersidir; ikisi art arda uygulanınca mesaj olduğu gibi geri gelir.
$\displaystyle f^{-1}(f(x)) = x$
Geri dönülemeyen yol
${f(x) = x^2}$ için ${f(3) = 9}$ ve ${f(-3) = 9}$ . Size 9 verilse hangi sayıya geri dönersiniz? Cevap tek değilse ters fonksiyon yoktur. Tanım kümesini ${x \ge 0}$ ile kısıtlayınca sorun çözülür.

Benzetmeler

Ters fonksiyon
Bir yolu geri yürümektir: giderken önce ayakkabıyı, sonra montu giyersiniz; dönüşte önce montu, sonra ayakkabıyı çıkarırsınız. İşlemler ters sırayla ve ters işlemle geri alınır.
Bire birlik şartı
Herkesin kendi dolabının anahtarıdır. Bir anahtar iki dolabı açıyorsa, dolaptan anahtara geri dönülemez. Fonksiyon bire bir ve örten değilse tersi fonksiyon olmaz.
Grafiğin ${y = x}$ 'e göre yansıması
Ayna gibi duran bir doğrudur. ${(a, b)}$ noktası aynada ${(b, a)}$ olarak görünür; ${f}$ ile ${f^{-1}}$ grafikleri bu aynaya göre simetriktir.

Sık yapılan yanlışlar

${f^{-1}(x) = \dfrac{1}{f(x)}}$ 'tir.
${f^{-1}}$ ters fonksiyon demektir, çarpmaya göre ters değildir. ${f(x) = 2x}$ için ${f^{-1}(x) = \dfrac{x}{2}}$ 'dir, ${\dfrac{1}{2x}}$ değil.
${f(f^{-1}(4))}$ hesabını iki yorumla yaptırıp hangisinin 4 verdiğine baktırın.
Her fonksiyonun tersi vardır.
Ters fonksiyon için fonksiyon bire bir ve örten olmalıdır. ${x^2}$ ℝ'de bire bir değildir.
Geri dönülemeyen yol çengelini kullanın ve tanım kümesini kısıtlatın.
Doğrusal fonksiyonun tersinde işlemler aynı sırayla geri alınır.
${f(x) = 3x + 5}$ 'te önce 3 ile çarpılıp sonra 5 eklenir; tersinde önce 5 çıkarılır, sonra 3'e bölünür.
İşlem makinesi şeması çizdirip okları ters çevirin.
$\displaystyle f^{-1}(x) = \dfrac{x - 5}{3}$
${\sqrt{x - 2} + 1}$ fonksiyonunun tersi ${(x - 1)^2 + 2}$ 'dir ve her x için geçerlidir.
Tersin tanım kümesi, asıl fonksiyonun görüntü kümesidir: ${x \ge 1}$ . Kısıt yazılmazsa parabolün iki kolu da alınmış olur.
Ters fonksiyonu yazdıktan sonra tanım kümesini her zaman ayrıca yazdırın.
${f^{-1}(5)}$ 'i bulmak için önce ${f^{-1}(x)}$ formülü bulunmalıdır.
${f^{-1}(5) = a}$ ise ${f(a) = 5}$ 'tir; ${f(x) = 5}$ denklemini çözmek yeter.
İki yolu da yaptırıp hangisinin kısa olduğunu tartıştırın.
${\dfrac{1}{x - 2} + 3}$ fonksiyonunun tersi ${\dfrac{1}{x + 2} - 3}$ 'tür.
Ters fonksiyonda sayıların işaretleri değil rolleri değişir: tanım kümesinden çıkan 2 ile görüntü kümesinden çıkan 3 yer değiştirir. Doğru ters ${\dfrac{1}{x - 3} + 2}$ 'dir.
İki fonksiyonun tanım ve görüntü kümelerini tabloda karşılaştırtın.

Tahtada anlatım sırası9 adımı göster

1
Sıcaklık çengeliyle ters fonksiyon fikrini verin; bir tabloyu ters çevirerek yeni tablo oluşturun.
Süreç bileşeni a: varsayımda bulunur.
2
Şifre çengeliyle bileşkeyi gösterin: ters fonksiyon asıl fonksiyonun işini geri alır.
$\displaystyle f(f^{-1}(x)) = x$
3
Doğrusal fonksiyon: ${y = ax + b}$ 'de ${x}$ 'i yalnız bırakın, sonra ${x}$ ile ${y}$ 'yi yer değiştirin.
$\displaystyle f^{-1}(x) = \dfrac{x - b}{a}$
Süreç bileşeni b: örüntüleri listeleyip geneller.
4
Rasyonel fonksiyon: ${\dfrac{a}{x - r} + k}$ 'nin tersini bulun; tanım ve görüntü kümesindeki boşlukların yer değiştirdiğini gösterin.
$\displaystyle f^{-1}(x) = \dfrac{a}{x - k} + r$
5
Geri dönülemeyen yol çengeli: ${x^2}$ için tanım kümesini kısıtlayın; ${(x - r)^2 + k}$ ( ${x \ge r}$ ) ile ${\sqrt{x - k} + r}$ 'nin birbirinin tersi olduğunu gösterin.
Süreç bileşeni c: varsayımlar ile genellemeleri karşılaştırır.
6
Grafikleri aynı eksende çizip ${y = x}$ doğrusuna göre simetriyi gösterin.
7
Önermeleri doğrulanabilir biçimde yazdırın: " ${f(a) = b}$ ise ${f^{-1}(b) = a}$ ".
Süreç bileşeni ç: önerme sunar.
8
Ters fonksiyonun tanım kümesinin, asıl fonksiyonun görüntü kümesi olduğunu özellikler tablosuyla gösterin.
Süreç bileşeni d: nitel özellikler bağlamında değerlendirir.
9
Kapanış: ${f^{-1}(5)}$ sorusunu iki yoldan çözdürün (formülle ve ${f(x) = 5}$ denklemiyle).

Ödev ve çalışma kâğıdı

Her antrenman tek bir beceriyi bol tekrarla çalıştırır. Hangisinden kaç kalem istediğini seç; kâğıt ve çözümlü cevap anahtarı tarayıcında hazırlanır.

Ödev kâğıdı oluştur

Her alıştırmadan kaç kalem istediğini seç. Kalemler hazır havuzdan rastgele gelir; iki sınıfa iki ayrı kâğıt verebilirsin. Çözümlü cevap anahtarı da hazır.

Alıştırmalar

${y = f(x)}$ eşitliğinde ${x}$ 'i yalnız bırakınız: işlemleri ters sırayla ve ters işlemle geri alınız. Sonra ${x}$ ile ${y}$ 'nin yerini değiştiriniz.
1. 1) ${f(x) = 8x + 2}$ olduğuna göre ${f^{-1}(x)}$ nedir?= $\displaystyle \dfrac{x - 2}{8}$
2. 2) ${f(x) = 2x - 2}$ olduğuna göre ${f^{-1}(x)}$ nedir?= $\displaystyle \dfrac{x + 2}{2}$
3. 3) ${f(x) = \dfrac{8x - 2}{4}}$ olduğuna göre ${f^{-1}(x)}$ nedir?= $\displaystyle \dfrac{4x + 2}{8}$
/ 40
${y - k = \dfrac{\,a\,}{x - r}}$ biçiminde yazınız; ${x - r = \dfrac{\,a\,}{y - k}}$ olur. Sonra ${x}$ ile ${y}$ 'nin yerini değiştiriniz.
1. 1) ${f(x) = \dfrac{1}{x - 1} + 3}$ olduğuna göre ${f^{-1}(x)}$ nedir?= $\displaystyle \dfrac{1}{x - 3} + 1$
2. 2) ${f(x) = \dfrac{4}{x - 3} + 6}$ olduğuna göre ${f^{-1}(x)}$ nedir?= $\displaystyle \dfrac{4}{x - 6} + 3$
3. 3) ${f(x) = \dfrac{9}{x - 2} + 4}$ olduğuna göre ${f^{-1}(x)}$ nedir?= $\displaystyle \dfrac{9}{x - 4} + 2$
/ 40
Karekökün tersi kare almadır, karenin tersi karekök almadır. Ters fonksiyonun tanım kümesini de yazınız.
1. 1) ${x \ge 4}$ için ${f(x) = \sqrt{x - 4} + 3}$ olduğuna göre ${f^{-1}(x)}$ nedir?= $\displaystyle \left(x - 3\right)^{2} + 4$
2. 2) ${x \ge 4}$ için ${f(x) = \left(x - 4\right)^{2} + 5}$ olduğuna göre ${f^{-1}(x)}$ nedir?= $\displaystyle \sqrt{x - 5} + 4$
3. 3) ${x \ge 6}$ için ${f(x) = \sqrt{x - 6} + 1}$ olduğuna göre ${f^{-1}(x)}$ nedir?= $\displaystyle \left(x - 1\right)^{2} + 6$
/ 40
${f(a) = b}$ ise ${f^{-1}(b) = a}$ olur. Ters fonksiyonu bulmadan ${f(x)}$ verilen sayıya eşitlenip denklem çözülebilir.
1. 1) ${f(x) = 9 x + 1}$ olduğuna göre ${f^{-1}(10)}$ kaçtır?= $\displaystyle 1$
2. 2) ${x \ge 2}$ için ${f(x) = \sqrt{x - 2} + 5}$ olduğuna göre ${f^{-1}(9)}$ kaçtır?= $\displaystyle 18$
3. 3) ${f(x) = \dfrac{5}{x - 2} + 3}$ olduğuna göre ${f^{-1}(4)}$ kaçtır?= $\displaystyle 7$
/ 40

Kâğıt başlığı

Çalışma boşluğu

Yok8 mm15 mm25 mm

Ad, sınıf, süre satırıCevap anahtarında kısa çözüm

0 kalem

İndirmek için en az bir kalem seç.

Kazanım künyesi

10. sınıf Ters fonksiyon için 39 çözümlü soru: soruları sayfada çöz, takıldığında adım adım çözümü aç; seçtiğin sorulardan test, yaprak test ya da yazılı kâğıdı hazırla ve cevap anahtarıyla PDF olarak indir; ödev için alıştırma (çalışma) kâğıdı çıkar; derste soruları akıllı tahtada tek tek aç; ders kılavuzunda derse giriş, kavram yanılgıları ve tahta akışı var. 2. dönem yazılısına ve ortak sınava hazırlıkta kullanılır.

Kod: MAT.10.4.5
Kapsadığı konular: ters fonksiyonlar, bir fonksiyonun tersi, fonksiyonlar
Dönem ve hafta: 2. dönem, 21, 22. haftalar, 12 ders saati
Süreç bileşenleri: a)Referans fonksiyonlar ve bunlardan türetilebilen fonksiyonlar üzerinden bir fonksiyonun ters fonksiyonuna ilişkin varsayımlarda bulunur.
b)Varsayımlarından yararlanıp farklı durumlarla ilgili örüntüleri listeleyerek referans fonksiyonlar ve bunlardan türetilen fonksiyonların ters fonksiyonlarına ilişkin genellemeler yapar.
c)Referans fonksiyonlar ve bunlardan türetilen fonksiyonların ters fonksiyonlarıyla ilişkisine dair varsayımları ile genellemelerini karşılaştırır.
ç)Referans fonksiyonlar ve bunlardan türetilen fonksiyonların ters fonksiyon ilişkisine ait önermeleri matematiksel olarak doğrulanabilecek şekilde sunar.
d)Referans fonksiyonlar ve bunlardan türetilen fonksiyonların ters fonksiyonlarına ait elde edilen önermeleri fonksiyonların nitel özellikleri bağlamında değerlendirir.
Ders kitabında: 4. Tema — Nicelikler ve Değişimler, 4.5 Doğrusal, Karesel, Karekök ve Rasyonel Fonksiyonların Ters Fonksiyonları

Ters fonksiyon

Sorular ve çözümleri

Ders kılavuzu

Derse giriş: çengel sorular

Benzetmeler

Sık yapılan yanlışlar

Ödev ve çalışma kâğıdı

Ödev kâğıdı oluştur

Test PDF'i

Test PDF'i hazırla

Kazanım künyesi