10. sınıf, Geometrik ŞekillerMAT.10.1.4

Sinüs ve kosinüs teoremleri

Sinüs ve Kosinüs Teoremleri

Kazanım: Sinüs ve kosinüs teoremlerini doğrulayabilme veya ispatlayabilme.

Tahtada aç Yazılı hazırla

Sorular ve çözümleri

Her sorunun altında adım adım çözüm var. Çoktan seçmelide doğru şık, çözümü açınca işaretlenir.

Zorluk

Cevap biçimi

Soru türü

Şekil

42 soru gösteriliyor

Soru 1SözelKısa cevap4 puanKolay

Bir yüzme havuzunun kenarındaki A ve B noktaları arasındaki mesafe

{12}

m ölçülmüştür. Havuzdaki C şamandırasına bakan doğrultuların

{[AB]}

ile yaptığı açıların ölçüleri A noktasında

{40^{\circ}}

, B noktasında

{67^{\circ}}

olarak bulunmuştur. (

{\sin 40^{\circ} {\approx} 0{,}64}

{\sin 73^{\circ} {\approx} 0{,}96}

alınız.)Buna göre B noktası ile şamandıra arasındaki mesafe yaklaşık kaç metredir?

Çözümü göster

Cevap: $\displaystyle 8$

1
Üçgenin iç açılarının ölçüleri toplamı ${180^{\circ}}$ olduğundan ${\text{m}(\widehat{C}) = 180^{\circ} - 40^{\circ} - 67^{\circ} = 73^{\circ}}$ olur.
2
Sinüs teoreminde ${[BC]}$ kenarı A açısının, ${[AB]}$ kenarı C açısının karşısındadır: ${\dfrac{|BC|}{\sin 40^{\circ}} = \dfrac{12}{\sin 73^{\circ}}}$ .
3
${|BC| {\approx} \dfrac{12 \cdot 0{,}64}{0{,}96} = 8}$ metre olur.

Soru 2KavramÇoktan seçmeli3 puanKolay

Bir öğrenci KLM üçgeninde

{|LM| = k}

{|KM| = l}

{|KL| = m}

olmak üzere üçgenin alanını iki biçimde yazıyor:

{A(KLM) = \dfrac{1}{2} \cdot l \cdot m \cdot \sin K}

(I)

{A(KLM) = \dfrac{1}{2} \cdot k \cdot m \cdot \sin L}

(II)Buna göre I ve II numaralı eşitliklerden aşağıdakilerden hangisi elde edilir?

A $\displaystyle k \cdot \sin K = l \cdot \sin L$
B $\displaystyle \sin K = \sin L$
C $\displaystyle l \cdot m \cdot \sin K = k \cdot \sin L$
D $\displaystyle \dfrac{1}{2} \cdot l \cdot \sin K = k \cdot \sin L$
E $\displaystyle l \cdot \sin K = k \cdot \sin L$

Çözümü göster

EDoğru cevap

1
I ve II aynı alanı gösterdiği için $\dfrac{1}{2} \cdot l \cdot m \cdot \sin K = \dfrac{1}{2} \cdot k \cdot m \cdot \sin L$ yazılır.
2
İki yan ${\dfrac{1}{2} \cdot m}$ ile bölünürse ${l \cdot \sin K = k \cdot \sin L}$ elde edilir. Bu eşitlik ${\dfrac{k}{\sin K} = \dfrac{l}{\sin L}}$ biçiminde de yazılır ve sinüs teoreminin bir parçasıdır.

Yanlış şıklar neden yanlış?

A)Her kenar kendi karşısındaki açının sinüsüyle çarpılmış.
B)Ortak çarpan ${m}$ ile birlikte ${l}$ ve ${k}$ de sadeleşiyor sanılmış.
C)Ortak çarpan ${m}$ yalnız bir yanda sadeleştirilmiş.
D) ${\dfrac{1}{2}}$ yalnız bir yanda sadeleştirilmiş.

Soru 3İşlemÇoktan seçmeli5 puanOrta

Şekildeki ABC üçgeninde

{[AH] \perp [BC]}

{|AB| = 6\sqrt{2}}

birim,

{\text{m}(\widehat{B}) = 45^{\circ}}

{\text{m}(\widehat{C}) = 30^{\circ}}

'dir. Sinüs teoremini ek çizimle doğrulamak isteyen bir öğrenci önce ABH dik üçgeninde

{|AH|}

uzunluğunu, sonra AHC dik üçgeninde

{|AC|}

uzunluğunu buluyor.Buna göre öğrencinin bulduğu

{|AC|}

kaç birimdir?

A $\displaystyle 3$
B $\displaystyle 6$
C $\displaystyle 4\sqrt{3}$
D $\displaystyle 12$
E $\displaystyle 12\sqrt{2}$

Çözümü göster

DDoğru cevap

1
ABH dik üçgeninde ${\sin 45^{\circ} = \dfrac{|AH|}{|AB|}}$ olduğundan ${|AH| = 6\sqrt{2} \cdot \dfrac{\sqrt{2}}{2} = 6}$ birim olur.
2
AHC dik üçgeninde ${\sin 30^{\circ} = \dfrac{|AH|}{|AC|}}$ olduğundan ${\dfrac{1}{2} = \dfrac{6}{|AC|}}$ ve ${|AC| = 12}$ birim olur.
3
Sinüs teoremi de aynı sonucu verir: ${\dfrac{|AC|}{\sin 45^{\circ}} = \dfrac{6\sqrt{2}}{\sin 30^{\circ}}}$ eşitliğinden ${|AC| = 12}$ bulunur.

Yanlış şıklar neden yanlış?

A) ${|AH|}$ değeri ${\sin 30^{\circ}}$ ile bölüneceği yerde çarpılmış.
B)Ara sonuç ${|AH|}$ cevap sanılmış.
C)AHC üçgeninde sinüs yerine kosinüs kullanılmış: ${\dfrac{6}{\cos 30^{\circ}}}$ .
E)Dikme atlanmış; ${|AB|}$ uzunluğu ${\sin 30^{\circ}}$ değerine bölünmüş.

Soru 4SözelÇoktan seçmeli5 puanOrta

Bir kafenin bahçesine ABC üçgeni biçiminde bir gölgelik tente germek isteniyor. Şekildeki planda tentenin A köşesindeki açının ölçüsü

{135^{\circ}}

, C köşesindeki açının ölçüsü

{15^{\circ}}

{[AC]}

kenarının uzunluğu

{6}

m olarak verilmiştir.Buna göre tentenin

{[BC]}

kenarının uzunluğu kaç metredir?

A $\displaystyle 3\sqrt{2}$
B $\displaystyle 6$
C $\displaystyle 6\sqrt{2}$
D $\displaystyle 6\sqrt{3}$
E $\displaystyle 12$

Çözümü göster

CDoğru cevap

1
${\text{m}(\widehat{B}) = 180^{\circ} - 135^{\circ} - 15^{\circ} = 30^{\circ}}$ olur.
2
Bütünler açıların sinüsleri eşit olduğundan ${\sin 135^{\circ} = \sin 45^{\circ} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}}$ olur.
3
Sinüs teoreminde ${[BC]}$ kenarı A açısının, ${[AC]}$ kenarı B açısının karşısındadır: ${\dfrac{|BC|}{\sin 135^{\circ}} = \dfrac{6}{\sin 30^{\circ}} = 12}$ olduğundan ${|BC| = 12 \cdot \dfrac{\sqrt{2}}{2} = 6\sqrt{2}}$ metredir.

Yanlış şıklar neden yanlış?

A)Oran ters kurulmuş: ${|BC| = \dfrac{6 \cdot \sin 30^{\circ}}{\sin 135^{\circ}}}$ .
B)B açısı ${180^{\circ} - 135^{\circ} = 45^{\circ}}$ alınmış; C açısı unutulmuş.
D) ${\sin 135^{\circ}}$ yerine ${\dfrac{\sqrt{3}}{2}}$ alınmış.
E)Dik üçgendeki " ${30^{\circ}}$ karşısındaki kenar hipotenüsün yarısıdır" kuralı dik olmayan üçgene uygulanmış.

Soru 5KavramÇoktan seçmeli5 puanOrta

Bir öğrenci sinüs teoremini

{\dfrac{a}{\sin A} = \dfrac{b}{\sin B}}

biçiminde kullanarak her ABC üçgeni için aşağıdaki önermeleri yazıyor. Burada

{a = |BC|}

{b = |AC|}

olarak alınmıştır.I.

{\sin A = \sin B}

ise

{a = b}

olur.II.

{\text{m}(\widehat{A}) = 2 \cdot \text{m}(\widehat{B})}

ise

{a = 2b}

olur.III.

{3 \cdot \sin A = 2 \cdot \sin B}

ise

{a : b = 2 : 3}

olur.Bu önermelerden hangileri her ABC üçgeni için doğrudur?

A $Yalnız I$
B $Yalnız III$
C $I ve II$
D $I ve III$
E $I, II ve III$

Çözümü göster

DDoğru cevap

1
I: ${\dfrac{a}{\sin A} = \dfrac{b}{\sin B}}$ eşitliğinde paydalar eşitse paylar da eşittir; ${a = b}$ olur. I doğrudur.
2
II: ${\text{m}(\widehat{B}) = 30^{\circ}}$ ve ${\text{m}(\widehat{A}) = 60^{\circ}}$ olan üçgende ${\dfrac{a}{b} = \dfrac{\sin 60^{\circ}}{\sin 30^{\circ}} = \sqrt{3}}$ olur. Sinüs açıyla orantılı değişmediği için II her üçgende doğru değildir.
3
III: ${3 \cdot \sin A = 2 \cdot \sin B}$ eşitliğinden ${\dfrac{\sin A}{\sin B} = \dfrac{2}{3}}$ ve sinüs teoreminden ${\dfrac{a}{b} = \dfrac{\sin A}{\sin B} = \dfrac{2}{3}}$ olur. III doğrudur; doğru önermeler $I ve III$ olur.

Yanlış şıklar neden yanlış?

A)III'te kenar oranı ${3 : 2}$ sanılıp önerme yanlış sayılmış.
B)I gözden kaçmış; sinüsleri eşit iki açının karşısındaki kenarlar da eşittir.
C)II doğru sayılmış ve III'teki eşitlik ters oran gibi okunmuş.
E)II doğru sayılmış; bir açı iki katına çıkınca sinüsü iki katına çıkmaz.

Soru 6KavramAçık uçlu20 puanİleri

Bir tasarımcı ABC üçgeni biçiminde bir pano için yalnız şu ölçüleri biliyor:

{|AB| = 8}

dm,

{|AC| = 5}

dm ve

{\text{m}(\widehat{B}) = 30^{\circ}}

. Tasarımcı "İki kenarı ve bu kenarlardan birinin karşısındaki açısı bilinen üçgen tek türlü çizilir." diye düşünüyor.Buna göre aşağıdaki soruları cevaplayınız.

a)
Sinüs teoremini kullanarak ${\sin C}$ değerini bulunuz.(4 puan)
b)
A köşesinden BC doğrusuna AD dikmesi çiziliyor. Dik üçgenleri kullanarak ${|BC|}$ uzunluğunun alabileceği değerleri bulunuz.(8 puan)
c)
(b) maddesinde bulunan iki üçgende C köşesindeki açı dar mıdır, geniş midir? Açıklayınız.(3 puan)
ç)
${|AC| = 10}$ dm alınırsa tasarımcının düşüncesi bu ölçüler için doğru olur mu? Gerekçesiyle yazınız.(5 puan)

Çözümü göster

Soru 7SözelKısa cevap4 puanKolay

Bir bahçede aynı vanadan çıkan iki düz sulama hortumunun uzunlukları

{5}

m ve

{8}

m'dir. Hortumlar aralarındaki açının ölçüsü

{60^{\circ}}

olacak biçimde yere seriliyor.Buna göre hortumların vanaya bağlı olmayan uçları arasındaki mesafe kaç metredir?

Çözümü göster

Soru 8KavramÇoktan seçmeli3 puanKolay

Kosinüs teoremi bir ABC üçgeninde

{a = |BC|}

{b = |AC|}

{c = |AB|}

olmak üzere

{a^2 = b^2 + c^2 - 2 \cdot b \cdot c \cdot \cos A}

biçiminde yazılır.Bu eşitlik A köşesindeki açısı dik olan bir üçgene uygulanırsa aşağıdakilerden hangisi elde edilir?

A $\displaystyle a^2 = b^2 + c^2 - 2 \cdot b \cdot c$
B $\displaystyle a^2 = b^2 + c^2$
C $\displaystyle a^2 = b^2 + c^2 + 2 \cdot b \cdot c$
D $\displaystyle a = b + c$
E $\displaystyle a^2 = b^2 - c^2$

Çözümü göster

Soru 9SözelÇoktan seçmeli5 puanOrta

Bir tekne K iskelesinden çıkıp S şamandırasına kadar düz bir rotada

{6}

km gidiyor. S şamandırasında rotasını şekildeki gibi

{60^{\circ}}

değiştirip F fenerine kadar düz bir rotada

{10}

km daha gidiyor.Buna göre F feneri ile K iskelesi arasındaki mesafe kaç kilometredir?

A $\displaystyle 4$
B $\displaystyle 2\sqrt{19}$
C $\displaystyle 2\sqrt{34}$
D $\displaystyle 14$
E $\displaystyle 16$

Çözümü göster

Soru 10KavramÇoktan seçmeli7 puanZor

Şekildeki ABC üçgeninde

{\text{m}(\widehat{BAC}) = 120^{\circ}}

{|AB| = 3}

birim ve

{|AC| = 5}

birimdir. K noktası CA doğrusunun A'dan sonraki uzantısı üzerindedir ve

{[BK] \perp [CK]}

olur. Bir öğrenci kosinüs teoremini kullanmadan

{|BC|}

uzunluğunu bulmak için şu adımları yazıyor:1. adım:

{\text{m}(\widehat{BAK}) = 180^{\circ} - 120^{\circ} = 60^{\circ}}

olur.2. adım: ABK dik üçgeninde

{|AK| = 3 \cdot \cos 60^{\circ} = \dfrac{3}{2}}

{|BK| = 3 \cdot \sin 60^{\circ} = \dfrac{3\sqrt{3}}{2}}

olur.3. adım:

{|CK| = |CA| - |AK| = 5 - \dfrac{3}{2} = \dfrac{7}{2}}

olur.4. adım: BCK dik üçgeninde Pisagor teoreminden

{|BC|^2 = \left(\dfrac{7}{2}\right)^2 + \left(\dfrac{3\sqrt{3}}{2}\right)^2 = 19}

olur.5. adım:

{|BC| = \sqrt{19}}

birim bulunur.Bu çözümde ilk hata hangi adımda yapılmıştır?

A $1. adım$
B $2. adım$
C $3. adım$
D $4. adım$
E $5. adım$

Çözümü göster

Soru 11KavramKısa cevap6 puanOrta

Şekildeki ABC üçgeninde

{a = |BC|}

{b = |AC|}

{c = |AB|}

olsun. B köşesinden

{[AC]}

kenarına çizilen dikmenin ayağı D noktası

{[AC]}

kenarı üzerindedir ve

{[BD] \perp [AC]}

'dir;

{|BD| = h}

{|AD| = x}

olarak adlandırılıyor. Kosinüs teoreminin ispatında ABD ve BDC dik üçgenlerinde

{h^2}

iki biçimde yazılıp eşitleniyor.Buna göre

{a^2}

değerini

{b}

{c}

{x}

türünden yazınız.

Çözümü göster

Soru 12KavramAçık uçlu20 puanİleri

Şekildeki ABC üçgeninde A köşesindeki açı geniştir;

{a = |BC|}

{b = |AC|}

{c = |AB|}

olsun. B köşesinden CA doğrusuna çizilen dikmenin ayağı D noktası, CA doğrusunun A'dan sonraki uzantısı üzerindedir ve

{[BD] \perp [DC]}

'dir;

{|BD| = h}

{|AD| = x}

olarak adlandırılıyor. Bir öğrenci dar açılı üçgende yapılan kosinüs teoremi ispatını bu üçgene uyarlamak istiyor. (

{\cos(180^{\circ} - \alpha) = -\cos\alpha}

olduğunu hatırlayınız.)Buna göre aşağıdaki soruları cevaplayınız.

a)
${|DC|}$ uzunluğunu ${b}$ ve ${x}$ türünden yazınız.(3 puan)
b)
ABD ve BDC dik üçgenlerini kullanarak ${a^2}$ değerini ${b}$ , ${c}$ ve ${x}$ türünden yazınız.(5 puan)
c)
${x}$ uzunluğunu ${c}$ ve ${\cos A}$ türünden yazınız.(5 puan)
ç)
(b) ve (c) maddelerini kullanarak kosinüs teoreminin bu üçgende de geçerli olduğunu gösteriniz.(7 puan)

Çözümü göster

Soru 13KavramÇoktan seçmeli5 puanOrta

Bir ABC üçgeninde

{|BC|}

uzunluğu hesaplanmak isteniyor ve aşağıda beş farklı ölçüm takımı veriliyor. Uzunluklar birim cinsindendir.Bu ölçüm takımlarından hangisiyle

{|BC|}

uzunluğu tek türlü belirlenemez?

A $\displaystyle |AB| = 6, \quad |AC| = 8, \quad \text{m}(\widehat{A}) = 60^{\circ}$
B $\displaystyle \text{m}(\widehat{A}) = 45^{\circ}, \quad \text{m}(\widehat{B}) = 60^{\circ}, \quad |AC| = 6$
C $\displaystyle |AB| = 5, \quad |AC| = 8, \quad \text{m}(\widehat{B}) = 30^{\circ}$
D $\displaystyle \text{m}(\widehat{B}) = 30^{\circ}, \quad \text{m}(\widehat{C}) = 45^{\circ}, \quad |AB| = 4$
E $\displaystyle |AB| = 8, \quad |AC| = 5, \quad \text{m}(\widehat{B}) = 30^{\circ}$

Çözümü göster

Soru 14KavramÇoktan seçmeli5 puanOrta

Bir öğrenci kosinüs teoremini

{c^2 = a^2 + b^2 - 2 \cdot a \cdot b \cdot \cos C}

biçiminde kullanarak bir üçgenin en uzun kenarının karşısındaki açının geniş olup olmadığını, açıyı hesaplamadan anlamak istiyor.Buna göre kenar uzunlukları aşağıda verilen üçgenlerden hangisinin bir açısı geniştir?

A $\displaystyle 5, 6, 7$
B $\displaystyle 5, 7, 9$
C $\displaystyle 6, 7, 9$
D $\displaystyle 6, 8, 10$
E $\displaystyle 7, 8, 10$

Çözümü göster

Soru 15İşlemÇoktan seçmeli7 puanZor

Şekildeki ABC üçgeninde D noktası

{[BC]}

kenarı üzerindedir ve A ile D birleştirilmiştir.

{|AB| = 7}

{|AD| = 6}

{|BD| = 2}

{|DC| = 8}

birimdir.Buna göre

{|AC|}

kaç birimdir?

A $\displaystyle 3\sqrt{5}$
B $\displaystyle 8$
C $\displaystyle 2\sqrt{34}$
D $\displaystyle \sqrt{149}$
E $\displaystyle 3\sqrt{26}$

Çözümü göster

Soru 16SözelÇoktan seçmeli7 puanZor

Üçgen biçimli ABC bahçesinin çevresine tel örgü çekiliyor.

{[AB]}

kenarının tamamına ve

{[AC]}

kenarının A köşesinden D noktasına kadar olan kısmına tel çekilmiştir. Bahçede

{|AB| = 31}

{|AD| = 10}

{\text{m}(\widehat{A}) = 61^{\circ}}

{\text{m}(\widehat{B}) = 51^{\circ}}

'dir. (

{\sin 51^{\circ} {\approx} 0{,}78}

{\sin 68^{\circ} {\approx} 0{,}93}

alınız.)Buna göre

{[AC]}

kenarında tel çekilmemiş

{[DC]}

kısmının uzunluğu yaklaşık kaç metredir?

A $\displaystyle 16$
B $\displaystyle 21$
C $\displaystyle 26$
D $\displaystyle 27$
E $\displaystyle 36$

Çözümü göster

Soru 17SözelÇoktan seçmeli9 puanİleri

Bir sahne dekorunda ABC üçgeni biçimindeki bir panele B köşesinden

{[AC]}

kenarındaki D noktasına bir destek çubuğu takılmıştır. Panelde

{|AB| = 8}

dm,

{|DC| = 7}

dm,

{\text{m}(\widehat{A}) = 30^{\circ}}

{\text{m}(\widehat{ABD}) = 15^{\circ}}

'dir.Buna göre panelin

{[BC]}

kenarının uzunluğu kaç desimetredir?

A $\displaystyle 5$
B $\displaystyle 4\sqrt{2}$
C $\displaystyle \sqrt{65}$
D $\displaystyle 9$
E $\displaystyle \sqrt{137}$

Çözümü göster

Soru 18İşlemKısa cevap8 puanZor

Şekildeki ABCD paralelkenarında

{[BD]}

köşegeni düz çizgiyle,

{[AC]}

köşegeni kesik çizgiyle çizilmiştir.

{|BD| = 7}

{|AB| = 8}

{|AD| = 5}

birimdir.Buna göre

{[AC]}

köşegeninin uzunluğu kaç birimdir?

Çözümü göster

Soru 19KavramKısa cevap6 puanOrta

Şekildeki ABC üçgeninde C köşesinden

{[AB]}

kenarına çizilen kesikli dikmenin ayağı K noktası

{[AB]}

kenarı üzerindedir ve

{[CK] \perp [AB]}

'dir;

{|CK| = h}

{|AK| = x}

olarak adlandırılmıştır. Bir öğrenci kosinüs teoremini ispatlamak için aşağıdaki beş adımı karışık sırada yazmıştır.1. adım: Parantez açılıp sadeleştirilerek

{|BC|^2 = |AC|^2 + |AB|^2 - 2 \cdot |AB| \cdot x}

bulunur.2. adım: ACK dik üçgeninde

{h^2 = |AC|^2 - x^2}

yazılır.3. adım:

{x = |AC| \cdot \cos A}

konularak

{|BC|^2 = |AC|^2 + |AB|^2 - 2 \cdot |AC| \cdot |AB| \cdot \cos A}

elde edilir.4. adım: İki ifade eşitlenerek

{|AC|^2 - x^2 = |BC|^2 - (|AB| - x)^2}

yazılır.5. adım: BCK dik üçgeninde

{h^2 = |BC|^2 - (|AB| - x)^2}

yazılır.Bu adımları, ACK dik üçgeniyle başlayacak biçimde doğru sıraya koyunuz ve sıralamayı adım numaraları arasına kısa çizgi koyarak yazınız.

Çözümü göster

Soru 20KavramÇoktan seçmeli5 puanOrta

Bir ABC üçgeninde

{a = |BC|}

{b = |AC|}

{c = |AB|}

olsun. Bir öğrenci sinüs teoremini yardımcı dikmeyle doğrulamak için aşağıdaki adımları yazmış, ancak üçüncü adımı boş bırakmıştır.1. adım: A köşesinden

{[BC]}

kenarına dikme indirilir, ayağına K denir ve

{|AK| = h}

yazılır.2. adım: ABK dik üçgeninde

{h = c \cdot \sin B}

olur.3. adım: ...4. adım: Aynı

{h}

iki biçimde yazıldığından

{c \cdot \sin B = b \cdot \sin C}

olur.5. adım:

{\dfrac{b}{\sin B} = \dfrac{c}{\sin C}}

elde edilir.Buna göre boş bırakılan üçüncü adımda aşağıdakilerden hangisi yazılmalıdır?

A $\displaystyle h = a \cdot \sin C$
B $\displaystyle h = b \cdot \sin C$
C $\displaystyle h = b \cdot \sin B$
D $\displaystyle h = b \cdot \cos C$
E $\displaystyle h = c \cdot \sin C$

Çözümü göster

Soru 21KavramÇoktan seçmeli5 puanOrta

Şekildeki ABC üçgeninde

{|AB| = 7}

birim,

{|AC| = 5}

birim ve

{\text{m}(\widehat{A}) = 60^{\circ}}

'dir. Bir öğrenci

{|BC|}

uzunluğunu bulmak için aşağıdaki beş adımı sırayla yazmıştır.1. adım:

{\cos 60^{\circ} = \dfrac{1}{2}}

olduğu yazılır.2. adım: Kosinüs teoremi

{|BC|^2 = |AB|^2 + |AC|^2 - 2 \cdot |AB| \cdot |AC| \cdot \cos A}

biçiminde yazılır.3. adım: Üçgenin iç açıları toplamından

{\text{m}(\widehat{B}) + \text{m}(\widehat{C}) = 120^{\circ}}

bulunur.4. adım:

{|BC|^2 = 49 + 25 - 35 = 39}

olur.5. adım:

{|BC| = \sqrt{39}}

birim bulunur.Bu adımlardan hangisi doğru olduğu hâlde sonuca ulaşmak için gereksizdir?

A $1. adım$
B $2. adım$
C $3. adım$
D $4. adım$
E $5. adım$

Çözümü göster

Soru 22KavramAçık uçlu15 puanZor

Bir ABC üçgeninde

{a = |BC|}

{b = |AC|}

{c = |AB|}

olsun. Şekildeki tabloda sinüs teoreminin bir ispatı dört adımda veriliyor; "İşlem" sütunu dolu, "Gerekçe" sütunu boştur. Tabloda

{\frac{1}{2}bc \cdot \sin A}

yazımı

{\dfrac{1}{2} \cdot b \cdot c \cdot \sin A}

{\frac{1}{2}ac \cdot \sin B}

yazımı ise

{\dfrac{1}{2} \cdot a \cdot c \cdot \sin B}

anlamındadır.Buna göre aşağıdaki soruları cevaplayınız.

a)
Birinci ve ikinci adımın gerekçelerini ayrı ayrı yazınız.(5 puan)
b)
Üçüncü adımın gerekçesini yazınız.(4 puan)
c)
Dördüncü adımın gerekçesini yazınız ve bu adımda yapılan işlemi adım adım gösteriniz.(6 puan)

Çözümü göster

Soru 23KavramAçık uçlu15 puanZor

Bir öğrenci şu önermeyi yazıyor: "Sinüs teoreminin de kosinüs teoreminin de ispatı Pisagor bağıntısına dayanır."Öğrencinin gördüğü iki ispat şunlardır: sinüs teoremi, üçgenin alanını veren bağıntı üzerinden ispatlanmıştır; kosinüs teoremi ise bir köşeden karşı kenara dikme indirilip ortaya çıkan iki dik üçgen kullanılarak ispatlanmıştır.Buna göre aşağıdaki soruları cevaplayınız.

a)
Kosinüs teoreminin yukarıda anlatılan ispatı için önerme doğru mudur? Kararınızı gerekçesiyle yazınız.(5 puan)
b)
Sinüs teoreminin yukarıda anlatılan ispatı için önerme doğru mudur? Kararınızı gerekçesiyle yazınız.(6 puan)
c)
Öğrencinin önermesi bir bütün olarak doğru mudur? Kararınızı gerekçesiyle bir cümleyle yazınız.(4 puan)

Çözümü göster

Soru 24İşlemAçık uçlu15 puanZor

Şekildeki ABC üçgeninde

{\text{m}(\widehat{B}) = 60^{\circ}}

{\text{m}(\widehat{C}) = 45^{\circ}}

{|AB| = 6}

birimdir. A köşesinden

{[BC]}

kenarına çizilen kesikli dikmenin ayağı H noktasıdır;

{[AH] \perp [BC]}

.Buna göre aşağıdaki soruları cevaplayınız.

a)
ABH dik üçgeninde ${|AH|}$ uzunluğunu bulunuz.(3 puan)
b)
AHC dik üçgenini kullanarak ${|AC|}$ uzunluğunu bulunuz.(4 puan)
c)
${|AC|}$ uzunluğunu bu kez dikmeyi hiç kullanmadan, sinüs teoremiyle bulunuz.(4 puan)
ç)
İkinci ve üçüncü maddede bulduğunuz sonuçları karşılaştırınız ve bu karşılaştırmanın neyi doğruladığını bir cümleyle yazınız.(4 puan)

Çözümü göster

Soru 25İşlemAçık uçlu20 puanİleri

Bir eğitim setindeki robot kolun iki parçası B ekleminde birleşmektedir. Şekilde

{|AB| = 10}

{|BC| = 16}

olup uzunluklar santimetre cinsindendir; eklemdeki açının ölçüsü

{60^{\circ}}

dir. A köşesinden

{[BC]}

parçasına çizilen kesikli dikmenin ayağı K noktasıdır;

{[AK] \perp [BC]}

.Buna göre aşağıdaki soruları cevaplayınız.

a)
${|BK|}$ ve ${|AK|}$ uzunluklarını bulunuz.(4 puan)
b)
AKC dik üçgenini kullanarak ${|AC|}$ uzunluğunu bulunuz.(5 puan)
c)
${|AC|}$ uzunluğunu bu kez dikmeyi hiç kullanmadan, kosinüs teoremiyle bulunuz.(5 puan)
ç)
İkinci ve üçüncü maddedeki sonuçları karşılaştırınız ve bu karşılaştırmanın neyi doğruladığını yazınız. Ayrıca eklemdeki açı geniş bir açı olsaydı dikmenin ayağının nereye düşeceğini bir cümleyle yazınız.(6 puan)

Çözümü göster

Soru 26KavramÇoktan seçmeli7 puanZor

Bir ABC üçgeninin ölçülerinden yalnız

{|AB| = 8}

birim,

{|AC| = 5}

birim ve

{\text{m}(\widehat{B}) = 30^{\circ}}

biliniyor. Bu üç ölçüyle C köşesi, B köşesinden çıkan aynı ışın üzerinde iki ayrı noktada bulunabilir; şekilde bu iki nokta D ve E ile gösterilmiştir. Yani

{|AD| = |AE| = 5}

birimdir.Buna göre D ile E noktaları arasındaki uzaklık kaç birimdir?

A $\displaystyle 3$
B $\displaystyle 4$
C $\displaystyle 6$
D $\displaystyle 8$
E $\displaystyle 10$

Çözümü göster

Soru 27KavramÇoktan seçmeli5 puanOrta

Bir ABC üçgeninin ölçülerinden yalnız

{|AB| = 18}

birim,

{|AC| = 10}

birim ve

{\text{m}(\widehat{B}) = 30^{\circ}}

biliniyor. Bu üç ölçüyle C köşesi, B köşesinden çıkan aynı ışın üzerinde iki ayrı noktada bulunabilir; şekilde bu iki nokta D ve E ile gösterilmiştir. Böylece ABD ve ABE olmak üzere iki farklı üçgen elde edilir; bu üçgenlerde C köşesine karşılık gelen açılar sırasıyla ADB ve AEB açılarıdır.Buna göre bu iki açının ölçüleri için aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

A $Ölçüleri eşittir$
B $Ölçüleri farkı 30 derecedir$
C $Ölçüleri toplamı 90 derecedir$
D $Ölçüleri toplamı 150 derecedir$
E $Ölçüleri toplamı 180 derecedir$

Çözümü göster

Soru 28KavramAçık uçlu20 puanİleri

Bir ABC üçgeninin ölçülerinden yalnız

{|AB| = 12\sqrt{2}}

birim,

{|AC| = 13}

birim ve

{\text{m}(\widehat{B}) = 45^{\circ}}

biliniyor. Bu üç ölçüyle C köşesi, B köşesinden çıkan aynı ışın üzerinde iki ayrı noktada bulunabilir; şekilde bu noktalar D ve E ile gösterilmiş,

{[AD]}

parçası kesikli çizgiyle çizilmiştir.Buna göre aşağıdaki soruları cevaplayınız.

a)
A noktasının, D ile E noktalarının üzerinde bulunduğu ışına uzaklığını bulunuz.(4 puan)
b)
${|BD|}$ ve ${|BE|}$ uzunluklarını bulunuz.(5 puan)
c)
${|AC|}$ uzunluğu ${13}$ birim yerine ${10}$ birim olsaydı bu üç ölçüyle kaç üçgen çizilebilirdi? Kararınızı gerekçesiyle yazınız.(5 puan)
ç)
${|AC|}$ uzunluğunun hangi değerleri için bu üç ölçüyle tam olarak bir üçgen çizilir? Cevabınızı gerekçesiyle yazınız.(6 puan)

Çözümü göster

Soru 29KavramÇoktan seçmeli5 puanOrta

Bir ABC üçgeninde

{|AB| = 6}

birim,

{|AC| = 6\sqrt{2}}

birim ve

{\text{m}(\widehat{B}) = 45^{\circ}}

olarak veriliyor.Buna göre C köşesindeki açının ölçüsü kaç derecedir?

A $\displaystyle 30$
B $\displaystyle 60$
C $\displaystyle 75$
D $\displaystyle 105$
E $\displaystyle 150$

Çözümü göster

Soru 30İşlemKısa cevap6 puanOrta

Bir ABC üçgeninde

{|AB| = 12}

birim,

{|AC| = 10}

birim ve

{\text{m}(\widehat{B}) = 30^{\circ}}

olarak veriliyor. Bu ölçülerle birbirinden farklı iki ABC üçgeni çizilebilmektedir.Buna göre bu iki üçgendeki

{|BC|}

uzunluklarının toplamı kaç birimdir?

Çözümü göster

Soru 31İşlemKısa cevap4 puanKolay

Bir

{ABC}

üçgeninde

{|BC| = 5}

birim,

{|AC| = 7}

birim ve

{|AB| = 8}

birimdir.Buna göre B köşesindeki açının ölçüsü kaç derecedir?

Çözümü göster

Soru 32KavramÇoktan seçmeli5 puanOrta

Kosinüs teoremi bir ABC üçgeninde

{|BC|^2 = |AC|^2 + |AB|^2 - 2 \cdot |AC| \cdot |AB| \cdot \cos A}

biçiminde yazılır. Kenar uzunlukları

{3}

{5}

{7}

birim olan bir üçgende en büyük açının ölçüsü hesaplanmak isteniyor.Buna göre bu açının ölçüsü kaç derecedir?

A $\displaystyle 30$
B $\displaystyle 60$
C $\displaystyle 90$
D $\displaystyle 120$
E $\displaystyle 150$

Çözümü göster

Soru 33KavramÇoktan seçmeli7 puanZor

Şekilde I, II ve III numaralı üç üçgen verilmiştir; her üçgende

{[BC]}

{[AC]}

kenarlarının uzunlukları yazılmış, A ve B köşelerindeki açılar birer yayla gösterilmiştir: I. üçgende

{|BC| = 18}

{|AC| = 15}

; II. üçgende

{|BC| = 7}

{|AC| = 24}

; III. üçgende

{|BC| = 16}

{|AC| = 10}

birimdir. I. üçgen dar açılı, II. üçgen C köşesinde dik, III. üçgen ise geniş açılıdır. Bu üçgenlerde A ve B köşelerindeki açıların sinüs değerleri şöyledir: I. üçgende

{\sin A = 0{,}96}

{\sin B = 0{,}80}

; II. üçgende

{\sin A = 0{,}28}

{\sin B = 0{,}96}

; III. üçgende

{\sin A = 0{,}96}

{\sin B = 0{,}60}

olur.Buna göre

{\dfrac{|BC|}{\sin A}}

{\dfrac{|AC|}{\sin B}}

değerleri hangi üçgenlerde birbirine eşit çıkar?

A $Yalnız I. üçgende$
B $Yalnız II. üçgende$
C $Yalnız I ve II. üçgende$
D $Yalnız I ve III. üçgende$
E $Üç üçgende de$

Çözümü göster

Soru 34KavramÇoktan seçmeli7 puanZor

Şekilde I, II ve III numaralı üç üçgen verilmiştir; her üçgende

{[BC]}

kenarının uzunluğu yazılmış, A köşesindeki açı bir yayla gösterilmiştir.

{|BC|}

uzunlukları I. üçgende

{6}

, II. üçgende

{5}

ve III. üçgende

{7}

birimdir. Bu açıların ölçüleri I. üçgende

{45^{\circ}}

, II. üçgende

{30^{\circ}}

ve III. üçgende

{120^{\circ}}

olur.Buna göre bu üç üçgende

{\dfrac{|BC|}{\sin A}}

değerleri hesaplandığında aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

A $En büyük değer I. üçgendedir$
B $En büyük değer II. üçgendedir$
C $En büyük değer III. üçgendedir$
D $III. üçgende bu değer hesaplanamaz$
E $Üç değer birbirine eşittir$

Çözümü göster

Soru 35KavramKısa cevap6 puanOrta

Şekildeki tabloda bir ABC üçgeninin kenar uzunlukları, bu kenarların karşısındaki açıların sinüs değerleri ve kenar uzunluğunun bu sinüs değerine oranı yazılmaktadır. Burada

{a = |BC|}

{b = |AC|}

{c = |AB|}

olup tablonun bazı hücreleri boş bırakılmıştır.Buna göre tablodaki boş hücreler doldurulduğunda

{c}

kenarının karşısındaki açının sinüs değeri kaç olur?

Çözümü göster

Soru 36KavramÇoktan seçmeli5 puanOrta

Bir ABC üçgeninde

{a = |BC|}

{b = |AC|}

{c = |AB|}

olsun. Aşağıdaki üç eşitliğin üçü de, C köşesindeki açısı dik olan üçgenlerde doğrudur.I.

{a^2 + b^2 = c^2}

II.

{\dfrac{a}{\sin A} = \dfrac{b}{\sin B}}

III.

{\sin A = \dfrac{a}{c}}

Bu eşitliklerden hangileri, C köşesindeki açısı dik olmayan üçgenlerde de her zaman doğrudur?

A $Yalnız I$
B $Yalnız II$
C $Yalnız III$
D $I ve II$
E $II ve III$

Çözümü göster

Soru 37İşlemÇoktan seçmeli5 puanOrta

Bir okul projesinde yapılan rüzgâr gülü modelinin üç kanadının uç noktaları A, B ve C ile gösteriliyor. Bu üç nokta bir üçgenin köşeleridir; üçgenin çevresi

{45}

cm olup köşelerdeki açıların sinüs değerleri arasında

{\sin A : \sin B : \sin C = 4 : 5 : 6}

bağıntısı vardır.Buna göre A ile B noktaları arasındaki uzaklık kaç santimetredir?

A $\displaystyle 12$
B $\displaystyle 15$
C $\displaystyle 18$
D $\displaystyle 27$
E $\displaystyle 30$

Çözümü göster

Soru 38KavramÇoktan seçmeli3 puanKolay

Kosinüs teoremi bir ABC üçgeninde

{a = |BC|}

{b = |AC|}

{c = |AB|}

olmak üzere

{a^2 = b^2 + c^2 - 2 \cdot b \cdot c \cdot \cos A}

biçiminde yazılmaktadır.Buna göre aynı teorem

{b^2}

için aşağıdakilerden hangisi biçiminde yazılır?

A $\displaystyle b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cdot \cos B$
B $\displaystyle b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cdot \cos A$
C $\displaystyle b^2 = a^2 + c^2 + 2ac \cdot \cos B$
D $\displaystyle b^2 = a^2 + c^2 - 2ab \cdot \cos B$
E $\displaystyle b^2 = a^2 + c^2 - 2bc \cdot \cos B$

Çözümü göster

Soru 39KavramÇoktan seçmeli5 puanOrta

Bir ABC üçgeninde

{a = |BC|}

{b = |AC|}

{c = |AB|}

olmak üzere kosinüs teoremi

{a^2 = b^2 + c^2 - 2 \cdot b \cdot c \cdot \cos A}

biçiminde yazılır. Bu üçgende A köşesindeki açının ölçüsü

{120^{\circ}}

olarak veriliyor.Buna göre bu üçgen için teorem aşağıdakilerden hangisi biçimine dönüşür?

A $\displaystyle a^2 = b^2 + c^2 - bc$
B $\displaystyle a^2 = b^2 + c^2$
C $\displaystyle a^2 = b^2 + c^2 + \dfrac{bc}{2}$
D $\displaystyle a^2 = b^2 + c^2 + bc$
E $\displaystyle a^2 = b^2 + c^2 + 2bc$

Çözümü göster

Soru 40SözelÇoktan seçmeli5 puanOrta

Bir ırmağın iki kıyısındaki K ve L gözlem noktalarından, ırmağın içindeki bir köprü ayağının bulunduğu P noktasına bakılmaktadır. KLP üçgeninde

{|KP|}

uzunluğu hesaplanmak isteniyor ve aşağıda beş ayrı ölçüm takımı veriliyor. Uzunluklar metre cinsindendir.Bu takımlardan hangisiyle

{|KP|}

uzunluğu kosinüs teoremi bir kez yazılarak doğrudan bulunur?

A $\displaystyle |KL| = 40 \quad |LP| = 25 \quad \text{m}(\widehat{L}) = 70^{\circ}$
B $\displaystyle |KL| = 40 \quad \text{m}(\widehat{K}) = 55^{\circ} \quad \text{m}(\widehat{L}) = 70^{\circ}$
C $\displaystyle |KL| = 40 \quad |LP| = 25 \quad \text{m}(\widehat{K}) = 35^{\circ}$
D $\displaystyle \text{m}(\widehat{K}) = 55^{\circ} \quad \text{m}(\widehat{L}) = 70^{\circ} \quad \text{m}(\widehat{P}) = 55^{\circ}$
E $\displaystyle |KL| = 40 \quad |LP| = 25 \quad \text{m}(\widehat{P}) = 55^{\circ}$

Çözümü göster

Soru 41Yeni nesilÇoktan seçmeli7 puanZor

Bir kazı makinesinin bomu iki parçadan oluşur: kabin bağlantısı A ile eklem B arasındaki parça

{4}

m, eklem B ile kovanın bulunduğu C noktası arasındaki parça ise

{3}

m uzunluğundadır. Bu iki uzunluk değişmez; yalnız B eklemindeki açının ölçüsü ayarlanabilir. Operatör üç ayar için A ile C arasındaki uzaklığı hesaplamıştır: eklem açısı

{60^{\circ}}

iken

{\sqrt{13}}

{90^{\circ}}

iken

{5}

{120^{\circ}}

iken

{\sqrt{37}}

m.Operatör bu sonuçlara bakarak aşağıdaki üç iddiayı yazıyor.I. Eklem açısı büyüdükçe A ile C arasındaki uzaklık artar.II. Eklem açısı

{120^{\circ}}

iken bu uzaklık

{6}

m'den küçüktür.III. Eklem açısı ne olursa olsun bu uzaklık

{7}

m'den küçüktür.Bu iddialardan hangileri doğrudur?

A $Yalnız I$
B $Yalnız II$
C $Yalnız III$
D $I ve II$
E $I ve III$

Çözümü göster

Soru 42Yeni nesilÇoktan seçmeli9 puanİleri

Bir orman bölgesinde K ve L gözlem kuleleri arasındaki uzaklık

{24}

km'dir. Yangın çıktığında K kulesindeki görevli, yangının göründüğü doğrultunun

{[KL]}

ile

{30^{\circ}}

lik açı yaptığını bildirmiştir; şekilde bu doğrultu kesikli çizgiyle gösterilmiştir. L kulesindeki görevli ise yangının kendi kulesine uzaklığını

{13}

km olarak ölçmüştür. Ayrıca yangının K kulesine uzaklığının, iki kule arasındaki uzaklıktan fazla olduğu biliniyor.Buna göre yangının K kulesine uzaklığı kaç kilometredir?

A $\displaystyle -5 + 12\sqrt{3}$
B $\displaystyle 17$
C $\displaystyle 12\sqrt{3}$
D $\displaystyle 5 + 12\sqrt{3}$
E $\displaystyle 13 + 12\sqrt{3}$

Çözümü göster

Ders kılavuzu

Dersi açmak için çengel sorular, kavramı somutlaştıran benzetmeler ve öğrencilerin sık yaptığı yanlışlar.

Derse giriş: çengel sorular

Gölü ölçmeden karşıya geçmek
Bir gölün iki ucundaki A ve B noktaları arasındaki uzaklık ölçülmek isteniyor ama gölün üzerinden şerit metre geçmiyor. Kıyıdaki C noktasından ${|CA| = 5}$ km, ${|CB| = 8}$ km ölçülüyor ve iki doğrultu arasındaki açı ${60^{\circ}}$ bulunuyor. Pisagor bağıntısı işe yarar mı? Üçgen dik değil. Sınıfa ölçekli bir çizim yaptırıp ${|AB|}$ 'yi cetvelle buldurun: yaklaşık 7 km çıkar. Dersin sorusu: bu 7'yi çizmeden nasıl hesaplarız?
$\displaystyle |AB|^{2} = 5^{2} + 8^{2} - 2 \cdot 5 \cdot 8 \cdot \cos 60^{\circ} = 49$
Pisagor'un eksik terimi
Tahtaya kenarları 3 ve 4 olan iki üçgen çizin: birinde aradaki açı ${90^{\circ}}$ , birinde ${60^{\circ}}$ , birinde ${120^{\circ}}$ olsun. Üçüncü kenarları ölçtürün; 5'ten küçük, 5 ve 5'ten büyük çıkar. Pisagor bağıntısına bir düzeltme terimi eklenmesi gerektiğini sezdirin: açı daralınca kenar kısalıyor, genişleyince uzuyor. Bu terimin kosinüsle ilişkisi dersin konusudur.
$\displaystyle a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2bc\cos A$
İki gözetleme kulesi
Aralarında 10 km bulunan iki gözetleme kulesi aynı dumanı görüyor. Birinci kule dumanı kuleleri birleştiren doğruyla ${45^{\circ}}$ , ikinci kule ${60^{\circ}}$ açı yaparak görüyor. Elimizde bir kenar ve iki açı var. Dumanın kulelere uzaklığını hangi bağıntı verir? Öğrencilere önce iki dik üçgene bölerek denetin; uzun ama mümkün. Ardından sinüs teoreminin bu bölme işinin kısaltması olduğunu gösterin.
$\displaystyle \dfrac{a}{\sin A} = \dfrac{b}{\sin B}$
Bir üçgen mi, iki üçgen mi?
Tahtada bir açı çizin ve bir kolunun üzerinde A'dan 8 birim ötede C noktası işaretleyin. Pergeli 6 birim açıp C merkezli çember çizdirin. Çember öbür kolu kaç noktada keser? İki noktada keserse aynı verilerle iki farklı üçgen çizilir. Öğrenciler sinüs teoreminden iki farklı açı bulduklarında hangisinin doğru olduğunu sorarlar: ikisi de doğru olabilir.
$\displaystyle \sin x = \sin(180^{\circ} - x)$

Benzetmeler

Kosinüs teoremi
Bir makasın kollarını sabit tutup açısını değiştirin. Uçlar arasındaki uzaklık, Pisagor'un verdiği değerden açının kosinüsü kadar düzeltilir: dar açıda düzeltme çıkarılır, geniş açıda kosinüs negatif olduğu için eklenir. Dik açıda düzeltme sıfırdır ve geriye Pisagor kalır.
Sinüs teoremi
Üçgende her kenar, karşısındaki açının sinüsüyle aynı oranda büyür. Bir terazi gibi: açı büyürse karşısındaki kenar da büyür; oran üç kenar için de aynıdır. Bu yüzden en büyük açının karşısında en uzun kenar durur.
Sinüs teoreminin alanla ispatı
Aynı üçgenin alanı üç farklı tabandan hesaplanabilir. Üç hesap aynı sayıyı vermek zorunda olduğu için iki kenar çarpı aradaki açının sinüsü üç biçimde de eşittir. Eşitlikleri sadeleştirince sinüs teoremi kendiliğinden çıkar.
Dikmeyle ispat
Bir üçgeni bir köşeden inen dikmeyle ikiye bölmek, bilinmeyeni iki dik üçgene paylaştırmaktır. Dikme iki dik üçgenin ortak kenarıdır; onu iki taraftan ayrı ayrı yazıp eşitlemek hem sinüs hem kosinüs teoremini verir.

Sık yapılan yanlışlar

Kosinüs teoremi yalnız dik üçgende kullanılır.
Kosinüs teoremi her üçgende geçerlidir. Dik açıda ${\cos 90^{\circ} = 0}$ olduğundan son terim düşer ve Pisagor bağıntısı kalır; yani Pisagor kosinüs teoreminin özel hâlidir.
Kenarları 3 ve 4 olan üçgende açı ${60^{\circ}}$ , ${90^{\circ}}$ ve ${120^{\circ}}$ iken üçüncü kenarı hesaplatın. Ortadaki satırın Pisagor olduğunu öğrenci kendisi fark etsin.
$\displaystyle \cos 90^{\circ} = 0$
Kosinüs teoreminde ${2bc\cos A}$ terimi açı geniş olsa da çıkarılır, bu yüzden üçüncü kenar kısalır.
Terim formülde çıkarılır ama geniş açının kosinüsü negatiftir; eksi ile eksi artı yapar. Geniş açılı üçgende karşıdaki kenar Pisagor'un verdiğinden uzundur.
${120^{\circ}}$ için hesaplatırken ${\cos 120^{\circ} = -\dfrac{1}{2}}$ değerini parantez içinde yazdırın ve işaretin nasıl değiştiğini satır satır gösterin.
$\displaystyle -2bc \cdot \left(-\dfrac{1}{2}\right) = +bc$
Sinüs teoreminde kenar, yanındaki açının sinüsüne bölünür.
Her kenar karşısındaki açıyla eşleşir: ${a}$ kenarı ${A}$ köşesinin karşısındadır. Yandaki açıyı kullanmak oranı bozar.
Kenarları ve karşı açıları aynı renkle boyatın: küçük harf kenar, aynı büyük harf karşı köşe. Oranı yazmadan önce renk eşleşmesini kontrol ettirin.
$\displaystyle \dfrac{a}{\sin A}$
Sinüs teoreminden bulunan açı her zaman tektir.
${\sin x = \sin(180^{\circ} - x)}$ olduğu için bir sinüs değeri bir dar, bir geniş açıya karşılık gelir. İki kenar ve birinin karşısındaki açı verilmişse bazen iki üçgen birden kurulabilir; açıların toplamı ${180^{\circ}}$ yi aşmıyorsa ikisi de geçerlidir.
Pergel çengelini yaptırın: aynı verilerle iki üçgen çizilen durumu tahtada gösterin, sonra açıların toplamına bakarak birini eleyen bir örnekle karşılaştırın.
Üç kenarı bilinen üçgende açı bulmak için sinüs teoremi yeterlidir.
Sinüs teoremi her oranda bir açı ister; üç kenar varken hiçbir açı bilinmez. Üç kenardan açıya kosinüs teoremi götürür.
Hangi verilerle hangi teoremin tek adımda işe yaradığını bir tabloya yazdırın: iki kenar ve aradaki açı, üç kenar, iki açı ve bir kenar.
$\displaystyle \cos A = \dfrac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{2bc}$
Kosinüs teoreminin dikmeyle ispatı geniş açılı üçgende çalışmaz.
Dikmenin ayağı kenarın uzantısına düşer ve parçalardan biri toplanacağına çıkarılır. Aynı adımlar uzantıyla yazılınca yine aynı bağıntıya varılır; teorem açıdan bağımsızdır.
İspatı önce dar açılı üçgende tahtaya yazın, sonra aynı satırları geniş açılı üçgende yeniden yazdırın ve yalnız hangi satırda işaretin değiştiğini buldurun.
En büyük açı her zaman geniş açıdır.
En büyük açı en uzun kenarın karşısındadır ama dar, dik ya da geniş olabilir. Hangisi olduğunu kosinüsün işareti söyler: ${b^{2} + c^{2}}$ ile ${a^{2}}$ karşılaştırılır.
Kenar üçlüleri verip (4, 5, 6), (3, 4, 5), (2, 3, 4) en büyük açının türünü kosinüsün işaretinden buldurun.
$\displaystyle \cos A < 0 \text{ ise } a^{2} > b^{2} + c^{2}$

Tahtada anlatım sırası9 adımı göster

1
Göl çengelinin verisini tahtaya yazın ve ölçekli çizimle 7 km'yi buldurun. Ardından A'dan ${[CB]}$ 'ye dikme indirip üçgeni iki dik üçgene bölün. Dikmenin ayağına H deyin.
Süreç bileşeni a: kosinüs teoreminin dikmeyle doğrulaması.
2
ACH dik üçgeninden ${|AH| = |CA| \cdot \sin C}$ ve ${|CH| = |CA| \cdot \cos C}$ yazdırın; buradan ${|HB| = |CB| - |CH|}$ olur. ABH dik üçgeninde Pisagor bağıntısını kurdurun.
$\displaystyle |AB|^{2} = |AH|^{2} + |HB|^{2}$
3
Sadeleştirince kosinüs teoremi çıkar. Sonucu göl verisiyle sınayın: 49, yani 7 km. Çizimin verdiği değerle karşılaştırın.
$\displaystyle c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2ab\cos C$
4
Açı ${90^{\circ}}$ olunca ne olur? Pisagor'un özel hâl olduğunu gösterin. Açı geniş olunca dikmenin ayağının uzantıya düştüğünü çizin ve aynı ispatı uzantıyla yeniden yazdırın.
Süreç bileşeni b: ispatı yeni duruma, geniş açılı üçgene uyarlama.
5
Kosinüs teoremini ters yönde kullanın: üç kenardan ${\cos A}$ . Kosinüsün işaretinden en büyük açının dar, dik ya da geniş olduğuna karar verdirin.
$\displaystyle \cos A = \dfrac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{2bc}$
6
Sinüs teoremine alanla geçin. 10.1.3'teki sinüslü alan bağıntısını üç köşe için yazdırın; üç ifade aynı alanı verdiği için eşittir. Her birini ${\dfrac{abc}{2}}$ 'ye bölünce sinüs teoremi çıkar.
$\displaystyle \dfrac{1}{2}bc\sin A = \dfrac{1}{2}ac\sin B = \dfrac{1}{2}ab\sin C$
Süreç bileşeni a: aynı teoremin ikinci bir ispatı.
7
Aynı teoremi dikmeyle de doğrulatın: C'den inen dikme ${b\sin A}$ ve ${a\sin B}$ olarak iki yoldan yazılır. İki ispatı yan yana koyup hangisinin hangi durumda daha kısa olduğunu tartıştırın.
$\displaystyle h_c = b\sin A = a\sin B$
8
Gözetleme kuleleri çengelini çözdürün. Sonra pergel çengeline geçin: iki kenar ve birinin karşısındaki açı verilince sinüs teoreminden gelen iki açıyı bulup hangisinin, ya da ikisinin birden geçerli olduğuna açıların toplamıyla karar verdirin.
Süreç bileşeni b: belirsiz durumda sonucu değerlendirme.
9
Dersi bir karar tablosuyla kapatın: verilenler (iki kenar ve aradaki açı, üç kenar, iki açı ve bir kenar, iki kenar ve karşı açı) ve her biri için kullanılacak teorem. Öğrenciler tabloyu doldursun.

Ödev ve çalışma kâğıdı

Her antrenman tek bir beceriyi bol tekrarla çalıştırır. Hangisinden kaç kalem istediğini seç; kâğıt ve çözümlü cevap anahtarı tarayıcında hazırlanır.

Ödev kâğıdı oluştur

Her alıştırmadan kaç kalem istediğini seç. Kalemler hazır havuzdan rastgele gelir; iki sınıfa iki ayrı kâğıt verebilirsin. Çözümlü cevap anahtarı da hazır.

Alıştırmalar

Üç kenarı verilen ${ABC}$ üçgenlerinde kosinüs teoremi ${|BC|^{2} = |AB|^{2} + |AC|^{2} - 2 \cdot |AB| \cdot |AC| \cdot \cos \widehat{A}}$ ile istenen değeri bulunuz.
1. 1) ${|AB| = 7}$ , ${|AC| = 10}$ , ${|BC| = 4}$ , ${\cos \widehat{A} = \,?}$ = $\displaystyle \frac{19}{20}$
2. 2) ${\text{m}(\widehat{A}) = \,?}$ = $\displaystyle 60^{\circ}$
3. 3) ${|AB| = 9}$ , ${|AC| = 4}$ , ${|BC| = 9}$ , ${\cos \widehat{A} = \,?}$ = $\displaystyle \frac{2}{9}$
/ 40
${ABC}$ üçgenlerinde iki kenar ve aradaki açı verilmiştir. Kosinüs teoremi ${|BC|^{2} = |AB|^{2} + |AC|^{2} - 2 \cdot |AB| \cdot |AC| \cdot \cos \widehat{A}}$ ile üçüncü kenarı bulunuz.
1. 1) ${|AB| = 10}$ , ${|AC| = 6}$ , ${\text{m}(\widehat{A}) = 120^{\circ}}$ , ${|BC| = \,?}$ = $\displaystyle 14$
2. 2) ${x = \,?}$ = $\displaystyle 17$
3. 3) ${|AB| = 5}$ , ${|AC| = 3}$ , ${\cos \widehat{A} = \dfrac{3}{5}}$ , ${|BC| = \,?}$ = $\displaystyle 4$
/ 40
${ABC}$ üçgenlerinde sinüs teoremi $\dfrac{|BC|}{\sin \widehat{A}} = \dfrac{|AC|}{\sin \widehat{B}} = \dfrac{|AB|}{\sin \widehat{C}}$ ile istenen değeri bulunuz.
1. 1) ${\text{m}(\widehat{A}) = 45^{\circ}}$ , ${\text{m}(\widehat{B}) = 30^{\circ}}$ , ${|BC| = 8}$ , ${|AC| = \,?}$ = $\displaystyle 4 \sqrt{2}$
2. 2) ${x = \,?}$ = $\displaystyle \frac{10 \sqrt{3}}{3}$
3. 3) ${x = \,?}$ = $\displaystyle \sqrt{3}$
/ 40

Kâğıt başlığı

Çalışma boşluğu

Yok8 mm15 mm25 mm

Ad, sınıf, süre satırıCevap anahtarında kısa çözüm

0 kalem

İndirmek için en az bir kalem seç.

Kazanım künyesi

10. sınıf Sinüs ve kosinüs teoremleri için 42 çözümlü soru: soruları sayfada çöz, takıldığında adım adım çözümü aç; seçtiğin sorulardan test, yaprak test ya da yazılı kâğıdı hazırla ve cevap anahtarıyla PDF olarak indir; ödev için alıştırma (çalışma) kâğıdı çıkar; derste soruları akıllı tahtada tek tek aç; ders kılavuzunda derse giriş, kavram yanılgıları ve tahta akışı var. 1. dönem yazılısına ve ortak sınava hazırlıkta kullanılır.

Kod: MAT.10.1.4
Kapsadığı konular: sinüs teoremi, kosinüs teoremi, trigonometri
Dönem ve hafta: 1. dönem, 6. haftalar, 6 ders saati
Süreç bileşenleri: a)Üçgende sinüs ve kosinüs teoremlerine ilişkin farklı doğrulama veya ispatları kullanır.
b)Yapılan doğrulama veya ispatları yeni durumlara uyarlayarak değerlendirir.
Ders kitabında: 1. Tema — Geometrik Şekiller, 1.4 Sinüs ve Kosinüs Teoremleri

Sinüs ve kosinüs teoremleri

Sorular ve çözümleri

Ders kılavuzu

Derse giriş: çengel sorular

Benzetmeler

Sık yapılan yanlışlar

Ödev ve çalışma kâğıdı

Ödev kâğıdı oluştur

Test PDF'i

Test PDF'i hazırla

Kazanım künyesi