9. sınıf, Eşlik ve BenzerlikMAT.9.4.3

Benzer üçgenler

Benzer üçgenler Oluşturma

Kazanım: Bir üçgenden hareketle ona benzer üçgenler oluşturma ile ilgili yansıtma yapabilme.

Tahtada aç Yazılı hazırla

Sorular ve çözümleri

Her sorunun altında adım adım çözüm var. Çoktan seçmelide doğru şık, çözümü açınca işaretlenir.

Zorluk

Cevap biçimi

Soru türü

Şekil

28 soru gösteriliyor

Soru 1KavramÇoktan seçmeli5 puanOrta

Şekilde

{ABC}

üçgeni verilmiştir.

{K}

noktası

{[AB]}

kenarı,

{L}

noktası

{[AC]}

kenarı üzerinde seçilmiş ve bu iki nokta bir doğru parçasıyla birleştirilmiştir.Buna göre

{AKL}

üçgeninin

{ABC}

üçgenine benzer olmasını tek başına garanti eden bilgi aşağıdakilerden hangisidir?

A $\displaystyle \dfrac{|AK|}{|AB|} = \dfrac{|AL|}{|AC|}$
B $\displaystyle |AK| = |AL|$
C $\displaystyle \dfrac{|AK|}{|KB|} = \dfrac{|AL|}{|AC|}$
D $\displaystyle |KL| = |BC|$
E $\displaystyle \text{m}(A\widehat{K}L) = \text{m}(A\widehat{L}K)$

Çözümü göster

ADoğru cevap

1
${AKL}$ ile ${ABC}$ üçgenlerinin ${A}$ köşesindeki açısı aynı açıdır; yani bir açıları tanımı gereği eştir.
2
${[AK]}$ ile ${[AL]}$ , bu ortak açının kollarıdır; öyleyse ortak açı, oranlanacak iki kenarın arasındaki açıdır.
3
K.A.K. benzerliği bir açının eşitliğini ve o açıyı oluşturan kenarların orantılı olmasını ister. Açı zaten ortak olduğuna göre geriye tek koşul kalır: ${\dfrac{|AK|}{|AB|} = \dfrac{|AL|}{|AC|}}$

Yanlış şıklar neden yanlış?

B)İki uzunluğun eşit olması oran eşitliği vermez; bu bilgi ancak ${|AB| = |AC|}$ ise işe yarar ve öyle olduğu verilmemiştir.
C)Parça/parça oranı ile parça/bütün oranı karıştırılmış; benzerlik oranı iki tarafta da aynı türden yazılmalıdır (kılavuz, 1. yanılgı).
D)Benzerlik oranı 1 olurdu, yani üçgenler eş olurdu; bu ancak ${K}$ ile ${B}$ ve ${L}$ ile ${C}$ çakışırsa olur. Tek başına benzerlik vermez.
E)Bu eşitlik ${AKL}$ üçgeninin ikizkenar olduğunu söyler; ${ABC}$ ile ilgili hiçbir şey söylemez.

Soru 2KavramÇoktan seçmeli7 puanZor

Şekilde

{ABC}

üçgeninin

{[AB]}

kenarı 4,

{[AC]}

kenarı 6 eşit aralığa bölünmüş ve bölme noktaları işaretlenmiştir. Noktalar

{A}

köşesinden başlayarak

{[AB]}

üzerinde

{K}

{L}

{M}

;

{[AC]}

üzerinde

{N}

{P}

{R}

{S}

{T}

olarak adlandırılmıştır.Biri

{[AB]}

, öbürü

{[AC]}

üzerinde olmak üzere seçilen iki nokta bir doğru parçasıyla birleştirilerek

{ABC}

üçgenine benzer bir üçgen oluşturulmak isteniyor.Buna göre hangi iki nokta birleştirilmelidir?

A $\displaystyle K \text{ ile } N$
B $\displaystyle K \text{ ile } P$
C $\displaystyle L \text{ ile } R$
D $\displaystyle L \text{ ile } S$
E $\displaystyle M \text{ ile } T$

Çözümü göster

CDoğru cevap

1
Ortak köşe ${A}$ olduğundan, ${[AB]}$ üzerindeki bir ${X}$ ile ${[AC]}$ üzerindeki bir ${Y}$ için ${AXY \sim ABC}$ olması ${\dfrac{|AX|}{|AB|} = \dfrac{|AY|}{|AC|}}$ demektir; aradaki açı ${A}$ köşesindeki ortak açıdır (K.A.K.).
2
${[AB]}$ dört eşit aralığa bölündüğünden bu kenardaki oranlar ${\dfrac{1}{4}}$ , ${\dfrac{2}{4} = \dfrac{1}{2}}$ ve ${\dfrac{3}{4}}$ 'tür.
3
${[AC]}$ altı eşit aralığa bölündüğünden oradaki oranlar ${\dfrac{1}{6}}$ , ${\dfrac{2}{6}}$ , ${\dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2}}$ , ${\dfrac{4}{6}}$ ve ${\dfrac{5}{6}}$ 'tir.
4
İki listede ortak olan tek değer ${\dfrac{1}{2}}$ 'dir: ${[AB]}$ tarafında ${L}$ , ${[AC]}$ tarafında ${R}$ noktası. Öyleyse birleştirilecek nokta çifti ${L \text{ ile } R}$ olur.

Yanlış şıklar neden yanlış?

A)Noktalar sıra numarasıyla eşleştirilmiş; oranlar ${\dfrac{1}{4}}$ ve ${\dfrac{1}{6}}$ olup eşit değildir (kılavuz, 2. yanılgı).
B) ${\dfrac{1}{4}}$ ile ${\dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3}}$ eşit değildir.
D) ${\dfrac{2}{4} = \dfrac{1}{2}}$ ile ${\dfrac{4}{6} = \dfrac{2}{3}}$ eşit değildir; doğru noktanın bir komşusu seçilmiş.
E)Noktalar sondan eşleştirilmiş; ${\dfrac{3}{4}}$ ile ${\dfrac{5}{6}}$ eşit değildir.

Soru 3Yeni nesilÇoktan seçmeli10 puanİleri

Üçgensel bir tarlanın

{B}

köşesinden çıkan iki kenarı üzerine, ardışık kazıklar arasındaki uzaklıklar birbirine eşit olacak biçimde kazıklar çakılmıştır. Şekilde görüldüğü gibi

{[BA]}

kenarında 4,

{[BC]}

kenarında 6 aralık vardır; kazıklar

{B}

köşesinden başlayarak

{[BA]}

üzerinde

{D}

{E}

{F}

;

{[BC]}

üzerinde

{K}

{L}

{M}

{N}

{P}

olarak adlandırılmıştır.

{|AC| = 36}

metredir.Biri

{[BA]}

, öbürü

{[BC]}

üzerinde olmak üzere seçilen iki kazık arasına,

{ABC}

üçgenine benzer bir üçgen oluşturacak biçimde tel çekilecektir. Böylece telin uzunluğu ölçüm yapılmadan hesaplanabilecektir.I.

{E}

ile

{M}

II.

{F}

ile

{L}

III.

{D}

ile

{K}

Buna göre yukarıdaki kazık çiftlerinden hangileri bu işi yapar?

A $Yalnız I$
B $Yalnız II$
C $I ve II$
D $I ve III$
E $I, II ve III$

Çözümü göster

CDoğru cevap

1
Bütün aralıklar eşit uzunlukta olduğundan aralık uzunluğuna ${d}$ denirse ${|BA| = 4d}$ ve ${|BC| = 6d}$ olur.
2
${[BA]}$ üzerindeki bir ${X}$ ile ${[BC]}$ üzerindeki bir ${Y}$ için ${B}$ açısı her durumda ortaktır ve iki ayrı eşleşme kurulabilir: ${XBY \sim ABC}$ için ${\dfrac{|BX|}{|BA|} = \dfrac{|BY|}{|BC|}}$ , ${XBY \sim CBA}$ için ise ${\dfrac{|BX|}{|BC|} = \dfrac{|BY|}{|BA|}}$ olmalıdır.
3
I. ${\dfrac{|BE|}{|BA|} = \dfrac{2d}{4d} = \dfrac{1}{2}}$ ve ${\dfrac{|BM|}{|BC|} = \dfrac{3d}{6d} = \dfrac{1}{2}}$ ; eşit olduklarından ${EBM \sim ABC}$ 'dir. I doğrudur.
4
II. ${\dfrac{|BF|}{|BC|} = \dfrac{3d}{6d} = \dfrac{1}{2}}$ ve ${\dfrac{|BL|}{|BA|} = \dfrac{2d}{4d} = \dfrac{1}{2}}$ ; eşit olduklarından ${FBL \sim CBA}$ 'dır. II de doğrudur; burada kollar yer değiştirmiştir.
5
III. ${D}$ ile ${K}$ için oranlar düz yönde ${\dfrac{1}{4}}$ ile ${\dfrac{1}{6}}$ , ters yönde ${\dfrac{1}{6}}$ ile ${\dfrac{1}{4}}$ 'dir; hiçbiri eşit değildir, III yanlıştır.
6
Öyleyse bu işi yapan çiftler $I ve II$ 'dir. İki telin de benzerlik oranı ${\dfrac{1}{2}}$ olduğundan uzunlukları ${\dfrac{36}{2} = 18}$ metredir.

Yanlış şıklar neden yanlış?

A)Eşleşmenin yönünün değişebileceği görülmemiş; aralıklar iki kolda eşit uzunlukta olduğu için ters eşleşme de benzerlik verir (kılavuz, 3. yanılgı).
B)Düz eşleşme atlanmış; ${E}$ ile ${M}$ çifti zaten ${\dfrac{1}{2}}$ oranını iki kolda da sağlıyor.
D) ${D}$ ile ${K}$ için oranlar ${\dfrac{1}{4}}$ ve ${\dfrac{1}{6}}$ ; ters yönde de eşit olmadıkları için bu çift benzerlik vermez.
E)Her kazık çiftinin iş göreceği sanılmış; oysa yalnız oranı tutturan çiftler benzerlik verir.

Soru 4İşlemKısa cevap3 puanKolay

{ABC}

üçgeninde

{K}

noktası

{[AB]}

kenarı,

{L}

noktası

{[AC]}

kenarı üzerindedir ve

{\dfrac{|AK|}{|AB|} = \dfrac{|AL|}{|AC|} = \dfrac{2}{5}}

'dir.

{|BC| = 20}

cm olduğuna göre

{|KL|}

kaç cm'dir?

Çözümü göster

Cevap: $\displaystyle 8$

1
${A}$ köşesindeki açı iki üçgende de ortaktır ve bu açıyı oluşturan kenarların oranları eşittir; öyleyse ${AKL \sim ABC}$ olur (K.A.K.).
2
Benzerlik oranı ${\dfrac{2}{5}}$ olduğundan aynı oran karşılıklı ${[KL]}$ ve ${[BC]}$ kenarları için de geçerlidir: ${|KL| = 20 \cdot \dfrac{2}{5} = 8}$ cm bulunur.

Soru 5KavramÇoktan seçmeli5 puanOrta

Bir öğrenci

{ABC}

üçgenine benzer bir üçgen oluşturmak istiyor.

{[AB]}

kenarı üzerinde bir

{D}

noktası seçip

{D}

'den

{[BC]}

kenarına paralel bir doğru çiziyor; bu doğru

{[AC]}

kenarını

{E}

noktasında kesiyor. Şekilde hiçbir uzunluk verilmemiştir.Buna göre

{ADE}

üçgeninin

{ABC}

üçgenine benzer olduğu hangi gerekçeyle söylenebilir?

A $\displaystyle \text{A.A. — yöndeş açılar eş, } A \text{ açısı ortak}$
B $K.K.K. — paralel doğru üç kenarı da aynı oranda böler$
C $\displaystyle \text{K.A.K. — } |AD| \text{ ile } |AE| \text{ eşit olduğu için}$
D $Hiçbir uzunluk verilmediği için benzerlik söylenemez$
E $İki üçgen eştir, çünkü üç açıları da eşittir$

Çözümü göster

ADoğru cevap

1
${[DE] \mathrel{/\!\!/} [BC]}$ olduğundan ${[AB]}$ keseninde yöndeş açılar eştir: ${\text{m}(A\widehat{D}E) = \text{m}(A\widehat{B}C)}$
2
${A}$ köşesindeki açı iki üçgende de aynı açıdır.
3
İki açısı eş olan iki üçgen benzerdir; öyleyse ${ADE \sim ABC}$ 'dir ve gerekçe şudur: ${\text{A.A. — yöndeş açılar eş, } A \text{ açısı ortak}}$

Yanlış şıklar neden yanlış?

B)Paralel doğru ${[BC]}$ kenarını bölmez; üç kenar oranının eşitliği benzerliğin sonucudur, gerekçesi değildir.
C)Paralellik bu iki uzunluğun eşit olmasını gerektirmez; koşul uzunlukların eşitliği değil oranların eşitliğidir.
D)Bölümün en sık yanılgısı: benzerlik ölçüyle değil açı eşitliğiyle kurulur; A.A. koşulu hiçbir uzunluk istemez (kılavuz, 4. yanılgı).
E)A.A.A. eşlik vermez; üç açısı eşit sonsuz tane üçgen çizilebilir (MAT.9.4.2'nin ayırdığı satır).

Soru 6KavramÇoktan seçmeli5 puanOrta

Şekilde

{ABC}

üçgeninde

{K}

noktası

{[AB]}

{L}

noktası

{[AC]}

kenarı üzerindedir;

{|AK| = 4}

{|KB| = 2}

{|AL| = 6}

{|LC| = 3}

birimdir.Bir öğrenci şöyle diyor: "

{[KL]}

ile

{[BC]}

'nin paralel olduğu verilmediği için

{AKL}

üçgeninin

{ABC}

üçgenine benzer olduğunu söyleyemeyiz."Buna göre bu öğrencinin yargısı için aşağıdakilerden hangisi söylenebilir?

A $Yanlıştır; orantı K.A.K. benzerliğini verir, paralellik sonuçtur$
B $Doğrudur; paralellik verilmedikçe benzerlik kurulamaz$
C $Yanlıştır; üç kenar orantılı olduğundan K.K.K. benzerliği kurulur$
D $Doğrudur; iki kenarın oranı benzerlik için yetmez$
E $\displaystyle \text{Yanlıştır; } |AK| + |KB| = |AL| \text{ olduğundan üçgenler eştir}$

Çözümü göster

Soru 7KavramÇoktan seçmeli10 puanİleri

Şekilde

{ABC}

üçgeninde

{D}

noktası

{[BC]}

kenarı,

{E}

noktası

{[AC]}

kenarı üzerindedir.

{[AD]}

ile

{[BE]}

doğru parçaları

{F}

noktasında kesişmektedir.

{|DC| = 3 \cdot |BD|}

{|AE| = |EC|}

'dir.Buna göre

{\dfrac{|BF|}{|FE|}}

oranı kaçtır?

A $\displaystyle \dfrac{1}{3}$
B $\displaystyle \dfrac{1}{2}$
C $\displaystyle \dfrac{2}{3}$
D $\displaystyle 1$
E $\displaystyle \dfrac{3}{2}$

Çözümü göster

Soru 8KavramAçık uçlu10 puanZor

Şekilde

{ABC}

dik üçgeninde dik açı

{A}

köşesindedir.

{A}

köşesinden

{[BC]}

hipotenüsüne inen dikmenin ayağı

{H}

noktasıdır.

{|AB| = 15}

birim ve

{|AC| = 20}

birimdir.

a)
Şekilde oluşan üç üçgenin benzer olduğunu, köşelerin karşılıklı sırasına uyarak benzerlik gösterimiyle yazınız ve bu benzerliklerin hangi benzerlik koşuluna dayandığını belirtiniz.(5 puan)
b)
${|AH|}$ uzunluğunun kaç birim olduğunu bulunuz.(5 puan)

Çözümü göster

Soru 9İşlemKısa cevap3 puanKolay

{ABC}

dik üçgeninde dik açı

{A}

köşesindedir.

{A}

köşesinden

{[BC]}

hipotenüsüne inen dikmenin ayağı

{H}

noktasıdır;

{H}

noktasının ayırdığı

{HBA}

{HAC}

üçgenleri benzerdir.

{|BH| = 4}

birim ve

{|HC| = 9}

birim olduğuna göre

{|AH|}

kaç birimdir?

Çözümü göster

Soru 10SözelÇoktan seçmeli5 puanOrta

Bir öğrenci, bir ağacın boyunu ölçmek için ağaç ile kendisi arasındaki düz zemine bir ayna koyuyor ve aynada ağacın tepesini gördüğü yerde duruyor. Işığın aynaya geliş açısı ile aynadan ayrılış açısı eşittir.Şekilde ağacın dibi

{T}

, tepesi

{P}

; öğrencinin ayakları

{S}

, gözü

{G}

; ayna ise

{M}

noktasındadır. Ağaç ile öğrenci zemine diktir.

{|TM| = 480}

cm,

{|MS| = 240}

cm ve

{|SG| = 160}

cm'dir.Buna göre ağacın boyu kaç cm'dir?

A $\displaystyle 80$
B $\displaystyle 320$
C $\displaystyle 400$
D $\displaystyle 480$
E $\displaystyle 720$

Çözümü göster

Soru 11SözelÇoktan seçmeli5 puanOrta

Zemine dik bir duvara dayanmış bir merdivenin yandan görünüşü şekilde verilmiştir. Merdivenin yere değdiği nokta

{F}

, duvara değdiği nokta

{A}

'dır.Merdivenin basamakları birbirine eşit uzaklıktadır.

{F}

noktasından sayıldığında 12. basamak

{A}

noktasıyla aynı yerdedir; 8. basamak ise

{K}

noktasıdır.

{A}

noktasının yerden yüksekliği 6 metredir.Buna göre

{K}

noktasının yerden yüksekliği kaç metredir?

A $\displaystyle 2$
B $\displaystyle 3$
C $\displaystyle 4$
D $\displaystyle 4{,}5$
E $\displaystyle 9$

Çözümü göster

Soru 12KavramAçık uçlu10 puanZor

Şekilde bir

{ABC}

üçgeni verilmiştir. İki öğrenciden, bu üçgene benzer ve kenar uzunlukları onunkinin

{\dfrac{3}{4}}

'ü olan bir üçgen oluşturmaları isteniyor. Öğrenciler şunları yapıyor:Birinci öğrenci:

{[AB]}

üzerinde

{|AK| = \dfrac{3}{4} \cdot |AB|}

olacak biçimde

{K}

{[AC]}

üzerinde

{|AL| = \dfrac{3}{4} \cdot |AC|}

olacak biçimde

{L}

noktasını işaretliyor ve

{[KL]}

'yi çiziyor.İkinci öğrenci:

{[AB]}

üzerinde

{|AK| = \dfrac{3}{4} \cdot |AB|}

olacak biçimde

{K}

noktasını işaretliyor ve

{K}

'den

{[BC]}

'ye paralel bir doğru çiziyor; bu doğru

{[AC]}

'yi

{L}

noktasında kesiyor.

a)
İki öğrencinin oluşturduğu üçgenlerin aynı üçgen olup olmadığına karar veriniz ve kararınızı gerekçelendiriniz.(6 puan)
b)
Her öğrencinin hangi benzerlik koşulunu kullandığını yazınız.(4 puan)

Çözümü göster

Soru 13İşlemKısa cevap4 puanKolay

Bir

{ABC}

üçgeninde

{[AB}

ışını üzerinde

{B}

noktasının ötesinde bir

{K}

noktası,

{[AC}

ışını üzerinde

{C}

noktasının ötesinde bir

{L}

noktası işaretleniyor. Noktalar

{|AK| = \dfrac{5}{2} \cdot |AB|}

{|AL| = \dfrac{5}{2} \cdot |AC|}

olacak biçimde seçilmiştir.

{|BC| = 14}

cm olduğuna göre

{|KL|}

kaç cm'dir?

Çözümü göster

Soru 14KavramÇoktan seçmeli5 puanOrta

Bir öğretmen iki öğrencisinden bir

{ABC}

üçgenine benzer bir üçgen oluşturmalarını istiyor. İki öğrenci de

{[AB]}

üzerinde bir

{K}

{[AC]}

üzerinde bir

{L}

noktası işaretleyip

{[KL]}

doğru parçasını çiziyor. Noktaları şöyle seçiyorlar:Birinci öğrenci:

{\dfrac{|AK|}{|AB|} = \dfrac{|AL|}{|AC|} = \dfrac{3}{5}}

İkinci öğrenci:

{\dfrac{|AK|}{|KB|} = \dfrac{|AL|}{|LC|} = \dfrac{3}{5}}

Buna göre iki öğrencinin oluşturduğu üçgenler için aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

A $Aynı noktaları işaretlemişlerdir$
B $Yalnız birincinin üçgeni benzerdir$
C $Yalnız ikincinin üçgeni benzerdir$
D $İkisi de benzer, oranları farklıdır$
E $İkisi de benzer, oranları eşittir$

Çözümü göster

Soru 15KavramAçık uçlu10 puanOrta

Şekilde bir

{ABC}

üçgeni verilmiştir. Bir öğrenciden, elinde yalnız ölçülü bir cetvel varken bu üçgene benzer ve kenar uzunlukları onunkinin

{\dfrac{2}{3}}

'si olan bir üçgen oluşturması isteniyor. Öğrenci cetvelle ölçtüğünde

{|AB| = 12}

cm ve

{|AC| = 18}

cm buluyor.Buna göre aşağıdaki soruları cevaplayınız.

a)
Öğrencinin yapacağı işlemleri sırayla numaralandırarak yazınız.(4 puan)
b)
Bu yapılışın hangi benzerlik koşuluna dayandığını gerekçesiyle birlikte yazınız.(3 puan)
c)
Öğrenci oluşturduğu üçgenin istenen üçgen olduğunu cetvelle nasıl doğrulayabilir? Açıklayınız.(3 puan)

Çözümü göster

Soru 16KavramÇoktan seçmeli5 puanOrta

Şekilde

{ABC}

üçgeni ile

{[AB]}

kenarı üzerindeki

{K}

{[AC]}

kenarı üzerindeki

{L}

noktaları verilmiştir. Noktalar

{\dfrac{|AK|}{|AB|} = \dfrac{|AL|}{|AC|} = k}

olacak biçimde seçilmekte ve

{[KL]}

çizilmektedir.Buna göre

{AKL}

üçgeninin

{ABC}

üçgenine eş olması için gereken

{k}

değeri ile bu durumda sağlanan eşlik koşulu aşağıdakilerden hangisidir?

A $\displaystyle k = 1\text{ ve A.A.A. koşulu}$
B $\displaystyle k = 1\text{ ve A.K.A. koşulu}$
C $\displaystyle k = 2\text{ ve K.A.K. koşulu}$
D $\displaystyle k = 1\text{ ve K.K.K. koşulu}$
E $\displaystyle k = 1\text{ ve K.A.K. koşulu}$

Çözümü göster

Soru 17KavramAçık uçlu15 puanZor

Bir

{ABC}

üçgeninin

{[AB]}

kenarı

{n}

eşit aralığa,

{[AC]}

kenarı

{m}

eşit aralığa bölünmüştür. Bölme noktaları her iki kenarda da

{A}

köşesinden başlanarak sayılmaktadır.

{[AB]}

üzerindeki

{i}

. bölme noktası

{K}

{[AC]}

üzerindeki

{j}

. bölme noktası

{L}

ile gösteriliyor.Buna göre aşağıdaki soruları cevaplayınız.

a)
${AKL}$ üçgeninin ${ABC}$ üçgenine benzer olması için ${i}$ , ${j}$ , ${n}$ ve ${m}$ sayıları arasında bulunması gereken koşulu yazınız ve bu koşulun neden gerektiğini açıklayınız.(9 puan)
b)
${n = 6}$ ve ${m = 9}$ olduğunda bu koşulu sağlayan bütün ${(i, j)}$ ikililerini bulunuz.(6 puan)

Çözümü göster

Soru 18KavramÇoktan seçmeli5 puanOrta

Şekilde üç açısı da dar olan bir

{ABC}

üçgeni verilmiştir. Bir öğrenci bu üçgene benzer bir üçgen oluşturmak için aşağıdaki yolları düşünüyor.I.

{[AB]}

{[AC]}

kenarları üzerinde,

{A}

köşesinden olan uzunlukları orantılı olacak biçimde birer nokta seçip bu iki noktayı birleştirmekII.

{[BC]}

kenarına paralel bir doğru çizip bu doğrunun öbür iki kenarı kestiği noktaları kullanmakIII.

{[AB}

{[AC}

ışınları üzerinde,

{A}

köşesinden olan uzunlukları aynı oranda büyütülmüş birer nokta alıp bu iki noktayı birleştirmekIV.

{B}

köşesinden

{[AC]}

kenarına bir dikme indirip dikmenin ayırdığı iki üçgeni kullanmakBuna göre bu üçgende yukarıdaki yollardan hangisi

{ABC}

üçgenine benzer bir üçgen vermez?

A $Yalnız I$
B $Yalnız II$
C $Yalnız III$
D $Yalnız IV$
E $III ve IV$

Çözümü göster

Soru 19İşlemÇoktan seçmeli5 puanOrta

Bir

{ABC}

dik üçgeninde dik açı

{A}

köşesindedir.

{A}

köşesinden hipotenüse indirilen dikmenin ayağı

{H}

noktasıdır.Bu dikme hipotenüsü

{|BH| = 4}

birim ve

{|HC| = 12}

birim olan iki parçaya ayırdığına göre

{|AB|}

kaç birimdir?

A $\displaystyle 4\sqrt{3}$
B $\displaystyle 64$
C $\displaystyle 8$
D $\displaystyle 8\sqrt{3}$
E $\displaystyle 16$

Çözümü göster

Soru 20KavramÇoktan seçmeli5 puanOrta

Dik açısı

{A}

köşesinde olan bir

{ABC}

üçgeninde,

{A}

köşesinden hipotenüse indirilen dikmenin ayağı

{H}

noktasıdır. Bu dikme üçgeni iki küçük üçgene ayırır.Bir öğrenci, bu üçgenlerden

{C}

köşesini içereni ile

{ABC}

üçgeninin benzerliğini, karşılıklı köşeler aynı sırada olacak biçimde yazmak istiyor.Buna göre bu benzerlik aşağıdakilerden hangisinde doğru yazılmıştır?

A $\displaystyle \text{ABC}\ \sim \ \text{AHC}$
B $\displaystyle \text{ABC}\ \sim \ \text{HAC}$
C $\displaystyle \text{ABC}\ \sim \ \text{ACH}$
D $\displaystyle \text{ABC}\ \sim \ \text{HCA}$
E $\displaystyle \text{ABC}\ \sim \ \text{CAH}$

Çözümü göster

Soru 21İşlemKısa cevap4 puanKolay

Şekilde birim kareli bir zemin üzerinde

{ABC}

üçgeni verilmiştir.

{A}

köşesinden

{B}

köşesine gitmek için sağa

{8}

ve yukarı

{6}

birim,

{A}

köşesinden

{C}

köşesine gitmek için sağa

{6}

birim gidilmektedir.Bu üçgene benzer bir üçgen oluşturmak için

{[AB]}

kenarı üzerinde,

{A}

köşesinden sağa

{4}

ve yukarı

{3}

birim gidilerek

{K}

noktası işaretleniyor.

{L}

noktası ise

{[AC]}

kenarı üzerinde,

{AKL}

üçgeni

{ABC}

üçgenine benzer olacak biçimde seçilecektir.Buna göre

{L}

noktasına ulaşmak için

{A}

köşesinden sağa kaç birim gidilmelidir?

Çözümü göster

Soru 22KavramÇoktan seçmeli9 puanİleri

Şekilde

{ABC}

üçgeninde

{D}

noktası

{[BC]}

kenarı üzerindedir ve

{[AD]}

çizilmiştir; eşit uzunluklar şekilde aynı sayıda çentikle gösterilmiştir.

{D}

noktası

{\dfrac{|BD|}{|AB|} = \dfrac{|AB|}{|BC|}}

olacak biçimde seçilmiştir ve

{\text{m}(A\widehat{B}C) = 60^{\circ}}

'dir.Buna göre

{\text{m}(D\widehat{A}C)}

kaç derecedir?

A $\displaystyle 60$
B $\displaystyle 80$
C $\displaystyle 100$
D $\displaystyle 120$
E $\displaystyle 40$

Çözümü göster

Soru 23SözelAçık uçlu10 puanOrta

Pantograf, bir çizimin ölçekli kopyasını çıkarmak için kullanılan bir araçtır. Araçta masaya sabitlenen bir

{O}

noktası, asıl çizimi izleyen bir uç ve kopyayı çizen bir uç bulunur. Araç çalışırken

{O}

noktası ile iki uç her zaman aynı doğru üzerinde kalır; ayrıca kalem ucun

{O}

noktasına uzaklığının izleyen ucun

{O}

noktasına uzaklığına oranı hiç değişmez.Şekilde, izleyen uç asıl çizimde

{P}

noktasından

{K}

noktasına giderken kalem ucun kopyada

{Q}

noktasından

{L}

noktasına gidişi gösterilmiştir.Buna göre aşağıdaki soruları cevaplayınız.

a)
Kopyada çizilen ${[QL]}$ doğru parçasının uzunluğunun, asıl çizimdeki ${[PK]}$ doğru parçasının uzunluğunun ${\dfrac{|OQ|}{|OP|}}$ katı olduğunu benzerlikten yararlanarak açıklayınız.(6 puan)
b)
Bir öğrenci, çizimlerinin ${3}$ katı büyüklükte kopyasını elde etmek istiyor. ${|OP| = 16}$ cm olduğuna göre ${|OQ|}$ kaç cm olmalıdır?(4 puan)

Çözümü göster

Soru 24SözelÇoktan seçmeli5 puanOrta

Güneşli bir günde, düz bir zemin üzerinde zemine dik duran bir direk ile bir binanın gölgeleri aynı anda ölçülüyor. Şekilde direğin tepesi

{P}

, dibi

{T}

, gölgesinin ucu

{K}

; binanın tepesi

{R}

, dibi

{S}

, gölgesinin ucu

{L}

noktasıdır.Bir öğrenci, hiçbir uzunluk ölçmeden

{PTK}

üçgeni ile

{RSL}

üçgeninin benzer olduğunu söylüyor.Buna göre bu benzerlik hangi gerekçeyle açıklanabilir?

A $İki dik açının bulunması tek başına yeter$
B $Üç açısı eş olduğundan üçgenler eştir$
C $Ölçüler verilmedikçe benzerlik söylenemez$
D $Üç kenarın oranı eşit olduğundan K.K.K.$
E $Işınlar paralel olduğundan A.A. sağlanır$

Çözümü göster

Soru 25KavramÇoktan seçmeli7 puanZor

Şekilde

{ABC}

üçgeninin

{[BA}

{[CA}

ışınları

{A}

köşesinin öte yanına uzatılmış, uzantılar üzerinde

{K}

{L}

noktaları alınmış ve

{K}

ile

{L}

bir doğru parçasıyla birleştirilmiştir. Uzunluklar birim olarak şekilde verilmiştir.Buna göre

{|KL|}

kaç birimdir?

A $\displaystyle 20$
B $\displaystyle 30$
C $\displaystyle 14$
D $\displaystyle 10$
E $\displaystyle 5$

Çözümü göster

Soru 26Yeni nesilÇoktan seçmeli7 puanZor

Bir camcı, üçgen biçimli bir cam levhadan ona benzer daha küçük bir üçgen kesmek istiyor. Levhada

{|AB| = 24}

cm ve

{|AC| = 36}

cm'dir. Kesim,

{[AB]}

üzerindeki bir nokta ile

{[AC]}

üzerindeki bir nokta arasından yapılacak; kesilen üçgenin

{A}

köşesi levhanın

{A}

köşesiyle aynı olacaktır.Camcının defterindeki üç kesim önerisi için noktaların

{A}

köşesine uzaklıkları tabloda verilmiştir.Buna göre bu önerilerden hangileri levhaya benzer bir üçgen verir?

A $Yalnız I$
B $Yalnız II$
C $Yalnız III$
D $I ve II$
E $II ve III$

Çözümü göster

Soru 27KavramAçık uçlu15 puanZor

Şekilde bir

{ABC}

üçgeni ile kenar uzunlukları verilmiştir. İki öğrenciden bu üçgene benzer bir üçgen oluşturmaları isteniyor. İkisi de

{[AB]}

kenarı üzerinde,

{A}

köşesinden

{18}

cm uzağa birinci noktasını koyuyor.Birinci öğrenci ikinci noktasını

{[AC]}

kenarı üzerinde

{A}

köşesinden

{27}

cm uzağa koyuyor.İkinci öğrenci ikinci noktasını

{[AC]}

kenarı üzerinde

{A}

köşesinden

{18}

cm uzağa koyuyor ve "iki kenarda da aynı uzunluğu aldım, üçgen yine benzer olur" diyor.Her öğrenci işaretlediği iki noktayı birleştiriyor. Buna göre aşağıdaki soruları cevaplayınız.

a)
Hangi öğrencinin oluşturduğu üçgenin ${ABC}$ üçgenine benzer olduğuna karar veriniz ve kararınızı gerekçelendiriniz.(6 puan)
b)
İkinci öğrencinin "aynı uzunluğu aldım" gerekçesinin neden yeterli olmadığını, iki kenardaki oranları karşılaştırarak gösteriniz.(4 puan)
c)
İkinci öğrenci ${[AC]}$ kenarındaki noktasını değiştirmek istemiyor. Buna göre ${[AB]}$ kenarındaki noktasını ${A}$ köşesinden kaç cm uzağa koymalıdır?(5 puan)

Çözümü göster

Soru 28Yeni nesilÇoktan seçmeli7 puanZor

Bir öğrenci,

{ABC}

üçgenine benzer bir üçgen oluşturmak için

{[AB]}

kenarı üzerinde

{K}

{[AC]}

kenarı üzerinde

{L}

noktalarını işaretleyip

{[KL]}

doğru parçasını çiziyor. Sonra cetvelle bazı uzunlukları ölçüyor; ölçtüğü uzunluklar tabloda verilmiştir.Buna göre

{AKL}

üçgeninin

{ABC}

üçgenine benzer olup olmadığı için aşağıdakilerden hangisi söylenebilir?

A $\displaystyle \text{Benzerdir, oran }\dfrac{2}{5}$
B $\displaystyle \text{Benzerdir, oran }\dfrac{2}{3}$
C $Benzer değildir$
D $Verilen ölçüler yeterli değildir$
E $\displaystyle \text{Benzerdir, oran }\dfrac{4}{3}$

Çözümü göster

Ders kılavuzu

Dersi açmak için çengel sorular, kavramı somutlaştıran benzetmeler ve öğrencilerin sık yaptığı yanlışlar.

Derse giriş: çengel sorular

Cam levhadan küçük üçgen
Bir camcı üçgen bir camdan, ona benzer daha küçük bir parça kesmek istiyor. Nereden kesmeli? Öğrencilere bir kâğıt üçgen verin ve benzer bir üçgen elde edecek tek bir düz kesim buldurun.
Fotokopi makinesi
Fotokopi makinesinde ${\%200}$ ayarı her uzunluğu iki katına çıkarır. Bir üçgeni bu ayarla çoğaltınca açılar ne olur, çevre ne olur? Önce tahmin, sonra ölçüm yaptırın.
Kum saati
Kum saatinin iki haznesi tepe tepeye iki üçgen gibidir. Üst ve alt kenarlar paralelse bu iki üçgen benzer midir? Hangi köşe hangisine karşılık gelir?

Benzetmeler

Tabana paralel kesim
Bir çatının üst katıdır: daha küçüktür ama eğimleri aynıdır; bu yüzden biçimi alttaki büyük üçgenle aynıdır.
Büyütme oranı
Fotokopi makinesinin oranıdır: her uzunluk aynı sayıyla çarpılır, açılar olduğu gibi kalır.
Kesişen iki doğru parçası
Kum saatidir: iki hazne tepe tepeye benzer üçgenlerdir; birinin üst kenarı öbürünün alt kenarıyla eşleşir.

Sık yapılan yanlışlar

${[DE] \mathrel{/\!\!/} [BC]}$ ise ${\dfrac{|AD|}{|DB|} = \dfrac{|DE|}{|BC|}}$ olur.
${[DE]}$ kenarı küçük üçgenin, ${[BC]}$ kenarı büyük üçgenin kenarıdır. Oranın öbür tarafı da iki üçgenin kenarları olmalı: ${\dfrac{|AD|}{|AB|}}$ . ${[DB]}$ hiçbir üçgenin kenarı değildir.
Küçük ve büyük üçgeni iki renkle boyatın; oranı yalnız aynı renkteki kenarlardan kurdurun.
$\displaystyle \dfrac{|AD|}{|AB|} = \dfrac{|AE|}{|AC|} = \dfrac{|DE|}{|BC|}$
Üçgen büyütülünce açıları da büyür.
Büyütme uzunlukları çarpar, açıları değiştirmez; benzer üçgenlerin açıları eşittir.
Büyütülmüş üçgenin açılarını açıölçerle ölçtürün.
${k}$ kat büyütmede çevre ${k^2}$ katına çıkar.
Her kenar ${k}$ katına çıktığı için kenarların toplamı da ${k}$ katına çıkar.
Kenarları sayıyla verilmiş bir üçgende iki çevreyi ayrı ayrı hesaplatın.
Kum saati biçiminde aynı taraftaki köşeler karşılıklıdır.
Kesişme noktasındaki açılar ters açılardır; paralel kenarlarda iç ters açılar eşittir. ${[AB] \mathrel{/\!\!/} [CD]}$ ise ${A}$ köşesi ${D}$ köşesiyle eşleşir.
Eşit açıları aynı renkle işaretletin ve eşlemeyi renklerden okutun.
Üçgenin içine çizilen her doğru parçası benzer bir üçgen oluşturur.
Doğru parçası bir kenara paralel değilse oluşan üçgenin açıları farklıdır; benzerlik olmaz.
Paralel olan ve olmayan iki kesim yaptırıp açıları karşılaştırtın.
${\dfrac{1}{3}}$ oranında küçültmede her kenardan ${3}$ çıkarılır.
Küçültme bölme işlemidir: her kenar ${3}$ 'e bölünür. Çıkarma yapılırsa biçim bozulur.
${9}$ , ${12}$ , ${15}$ kenarlarını iki yolla küçülttürüp sonuçları karşılaştırtın.

Tahtada anlatım sırası9 adımı göster

1
Daha önceki eşlik ve benzerlik koşullarını gözden geçirin: benzerlik için hangi bilgiler yetiyordu? Kısa bir liste yazdırın.
Süreç bileşeni a: eşlik ve benzerlik deneyimlerini gözden geçirir.
2
Cam levha çengeliyle kâğıt üçgenden tabana paralel bir parça kestirin. Kesilen üçgenin büyük üçgene neden benzer olduğunu gerekçesiyle söyletin (AA).
Süreç bileşeni b: deneyimlerine dayalı çıkarım yapar.
3
Oranı tahtaya yazın ve iki üçgeni iki renkle boyatın. ${[DB]}$ parçasının neden oranda yer almadığını tartıştırın.
$\displaystyle \dfrac{|AD|}{|AB|} = \dfrac{|AE|}{|AC|} = \dfrac{|DE|}{|BC|}$
4
Eksik uzunluğu buldurun: önce ${|DE|}$ , sonra ${|BC|}$ , en sonda ${|DB|}$ sorusu. Her soruda önce oranın hangi kenarlardan kurulduğunu söyletin.
5
Büyütme ve küçültme: kenarları ${3}$ , ${4}$ , ${5}$ olan üçgeni ${2}$ kat büyüttürün; kenarları, çevreyi ve açıları önceki hâliyle karşılaştırtın.
Süreç bileşeni b: çıkarım yapar.
6
Kum saati biçimini çizin: ${[AB] \mathrel{/\!\!/} [CD]}$ ve ${[AD]}$ ile ${[BC]}$ kesişiyor. Eşit açıları işaretletip eşlemeyi buldurun.
$\displaystyle \dfrac{|AB|}{|DC|} = \dfrac{|AE|}{|DE|} = \dfrac{|BE|}{|CE|}$
7
Paralel olmayan bir kesim yaptırıp oluşan üçgenin benzer olmadığını açılarla gösterin.
8
Farklı problem durumları: camcı, harita ve maket örneklerinde benzer üçgen oluşturmanın nasıl kullanıldığını tartıştırın.
Süreç bileşeni c: çıkarımları farklı problem durumlarında değerlendirir.
9
Kapanış: “Bir üçgene benzer üçgen oluşturmanın üç yolu” başlığıyla tahtaya paralel kesim, büyütme ve kum saati yöntemlerini öğrencilere yazdırın.

Ödev ve çalışma kâğıdı

Her antrenman tek bir beceriyi bol tekrarla çalıştırır. Hangisinden kaç kalem istediğini seç; kâğıt ve çözümlü cevap anahtarı tarayıcında hazırlanır.

Ödev kâğıdı oluştur

Her alıştırmadan kaç kalem istediğini seç. Kalemler hazır havuzdan rastgele gelir; iki sınıfa iki ayrı kâğıt verebilirsin. Çözümlü cevap anahtarı da hazır.

Alıştırmalar

${[AB] \mathrel{/\!\!/} [CD]}$ ; ${[AD]}$ ile ${[BC]}$ , ${E}$ noktasında kesişiyor. ${ABE \sim DCE}$ : ${\dfrac{|AB|}{|DC|} = \dfrac{|AE|}{|DE|} = \dfrac{|BE|}{|CE|}}$ . Şekli kendiniz çiziniz.
1. 1) ${|AB| = 5}$ , ${|CD| = 6}$ ve ${|AE| = 20}$ ise ${|ED|}$ kaçtır?= $\displaystyle 24$
2. 2) ${|AB| = 4}$ , ${|AE| = 2}$ ve ${|ED| = 7}$ ise ${|CD|}$ kaçtır?= $\displaystyle 14$
3. 3) ${|AB| = 9}$ , ${|CD| = 21}$ ve ${|AD| = 10}$ ise ${|AE|}$ kaçtır?= $\displaystyle 3$
/ 40
Şekillerde ${[DE] \mathrel{/\!\!/} [BC]}$ 'dir. Paralel kesen, ${ABC}$ üçgenine benzer ${ADE}$ üçgenini oluşturur: ${\dfrac{|AD|}{|AB|} = \dfrac{|DE|}{|BC|}}$ .
1. 1) ${[DE] \mathrel{/\!\!/} [BC]}$ , ${|AD| = 4}$ , ${|DB| = 6}$ ve ${|BC| = 25}$ ise ${|DE|}$ kaçtır?= $\displaystyle 10$
2. 2) ${[DE] \mathrel{/\!\!/} [BC]}$ , ${|AD| = 8}$ , ${|DB| = 8}$ ve ${|DE| = 16}$ ise ${|BC|}$ kaçtır?= $\displaystyle 32$
3. 3) ${[DE] \mathrel{/\!\!/} [BC]}$ , ${|AD| = 4}$ , ${|DE| = 10}$ , ${|BC| = 20}$ ve ${|DB| = x}$ ise ${x}$ kaçtır?= $\displaystyle 4$
/ 40
Bir üçgeni ${k}$ katına büyütmek ya da küçültmek, her kenarını ${k}$ ile çarpmaktır. Oluşan üçgen ilkine benzerdir; açılar değişmez.
1. 1)Kenarları ${5}$ , ${6}$ ve ${8}$ cm olan bir üçgen ${3}$ katına büyütülüyor. Yeni üçgenin en uzun kenarı kaç cm olur?= $\displaystyle 24$
2. 2)Kenarları ${7}$ , ${8}$ ve ${9}$ cm olan bir üçgen ${3}$ katına büyütülüyor. Yeni üçgenin çevresi kaç cm olur?= $\displaystyle 72$
3. 3)Kenarları ${15}$ , ${18}$ ve ${27}$ cm olan bir üçgenin her kenarı ${3}$ sayısına bölünerek küçültülüyor. Yeni üçgenin en kısa kenarı kaç cm olur?= $\displaystyle 5$
/ 40

Kâğıt başlığı

Çalışma boşluğu

Yok8 mm15 mm25 mm

Ad, sınıf, süre satırıCevap anahtarında kısa çözüm

0 kalem

İndirmek için en az bir kalem seç.

Kazanım künyesi

9. sınıf Benzer üçgenler için 28 çözümlü soru: soruları sayfada çöz, takıldığında adım adım çözümü aç; seçtiğin sorulardan test, yaprak test ya da yazılı kâğıdı hazırla ve cevap anahtarıyla PDF olarak indir; ödev için alıştırma (çalışma) kâğıdı çıkar; derste soruları akıllı tahtada tek tek aç; ders kılavuzunda derse giriş, kavram yanılgıları ve tahta akışı var. 2. dönem yazılısına ve ortak sınava hazırlıkta kullanılır.

Kod: MAT.9.4.3
Kapsadığı konular: benzer üçgen çizimi, benzerlik oranı
Dönem ve hafta: 2. dönem, 20. haftalar, 4 ders saati
Süreç bileşenleri: a)Bir üçgene benzer üçgenler oluştururken eşlik ve benzerlik deneyimlerini gözden geçirir.
b)Deneyimlerine dayalı çıkarımlar yapar.
c)Bir üçgenden hareketle ona benzer üçgenler oluşturma ile ilgili ulaşılan çıkarımları farklı problem durumlarında değerlendirir.
Ders kitabında: 4. Tema — Eşlik ve Benzerlik, 4.3 Bir Üçgenden Hareketle Ona Benzer Üçgenler Oluşturma

Benzer üçgenler

Sorular ve çözümleri

Ders kılavuzu

Derse giriş: çengel sorular

Benzetmeler

Sık yapılan yanlışlar

Ödev ve çalışma kâğıdı

Ödev kâğıdı oluştur

Test PDF'i

Test PDF'i hazırla

Kazanım künyesi