9. sınıf, Nicelikler ve DeğişimlerMAT.9.2.2

Mutlak değer fonksiyonu

Mutlak Değer Fonksiyonu ve Nitel Özellikleri

Kazanım: Gerçek sayılarda m(x) = ± |ax ± b| ± c (a, b, c ∈ℝ, a ≠ 0) şeklinde tanımlı mutlak değer fonksiyonlarının nitel özelliklerini incelemek için doğrusal fonksiyonlara bağlı analojik akıl yürütebilme.

Tahtada aç Yazılı hazırla

Sorular ve çözümleri

Her sorunun altında adım adım çözüm var. Çoktan seçmelide doğru şık, çözümü açınca işaretlenir.

Zorluk

Cevap biçimi

Soru türü

Şekil

46 soru gösteriliyor

Soru 1SözelKısa cevap4 puanKolay

Bir kuluçka makinesinin hedef sıcaklığı

{38}

°C'dir. Makinede ölçülen sıcaklığın hedeften sapma miktarını veren fonksiyon

{g(x) = |x - 38|}

biçimindedir.Buna göre ölçülen sıcaklık

{35}

°C iken sapma miktarı kaç °C'dir?

Çözümü göster

Cevap: $\displaystyle 3$

1
Sapma miktarı, ölçülen sıcaklık ile hedef sıcaklığın farkının mutlak değeridir.
2
${g(35) = |35 - 38| = |-3|}$ yazılır.
3
Sapma miktarı ${3}$ °C'dir.

Soru 2İşlemÇoktan seçmeli3 puanKolay

Gerçek sayılarda

{f(x) = |2x - 10|}

biçiminde tanımlı

{f}

fonksiyonunun sıfırı aşağıdakilerden hangisidir?

A $\displaystyle 5$
B $\displaystyle -5$
C $\displaystyle 10$
D $\displaystyle 0$
E $\displaystyle 20$

Çözümü göster

ADoğru cevap

1
Mutlak değer ancak içindeki ifade sıfır olduğunda sıfır olur.
2
${2x - 10 = 0}$ denklemi çözülür.
3
Fonksiyonun sıfırı ${5}$ 'tir.

Yanlış şıklar neden yanlış?

B)Mutlak değerin içindeki eksi işaretini cevaba taşımak
C)Sabit terimi doğrudan fonksiyonun sıfırı sanmak
D)Mutlak değerin sonucunun sıfır olmasıyla sıfırın kendisini karıştırmak
E)Sabit terimi katsayıya bölmek yerine çarpmak

Soru 3KavramKısa cevap4 puanKolay

Şekilde gerçek sayılarda tanımlı

{g}

mutlak değer fonksiyonunun grafiği verilmiştir.Buna göre

{g}

fonksiyonunun sıfırı kaçtır?

Çözümü göster

Cevap: $\displaystyle 4$

1
Fonksiyonun sıfırı, grafiğin ${x}$ eksenini kestiği noktanın apsisidir.
2
Grafikte ${V}$ biçimli eğrinin tepe noktası ${x}$ ekseni üzerindedir.
3
Fonksiyonun sıfırı ${4}$ 'tür.

Soru 4KavramÇoktan seçmeli3 puanKolay

Gerçek sayılarda

{h(x) = -|x|}

biçiminde tanımlı

{h}

fonksiyonunun görüntü kümesi aşağıdakilerden hangisidir?

A $\displaystyle [0, \infty)$
B $\displaystyle (-\infty, 0]$
C $\displaystyle (-\infty, 0)$
D $\displaystyle \mathbb{R}$
E $\displaystyle (0, \infty)$

Çözümü göster

BDoğru cevap

1
${|x|}$ ifadesi hiçbir zaman negatif olmaz ve en küçük değeri ${0}$ 'dır.
2
Başındaki eksi işareti bütün değerleri işaret değiştirtir, yani ${-|x| \le 0}$ olur.
3
${x = 0}$ için ${h(0) = 0}$ olduğundan uç nokta kümededir; görüntü kümesi ${(-\infty, 0]}$ 'dır.

Yanlış şıklar neden yanlış?

A)Baştaki eksi işaretini yok sayıp ${|x|}$ fonksiyonunun görüntü kümesini yazmak
C)Fonksiyonun ${x = 0}$ için ${0}$ değerini aldığını görmeyip uç noktayı dışarıda bırakmak
D)Tanım kümesi ile görüntü kümesini karıştırmak
E)Hem eksi işaretini yok saymak hem uç noktayı dışarıda bırakmak

Soru 5KavramÇoktan seçmeli3 puanKolay

Gerçek sayılarda

{f(x) = |x|}

biçiminde tanımlı fonksiyonun grafiği,

{y}

ekseni boyunca yukarı doğru

{4}

birim ötelenerek

{g}

fonksiyonunun grafiği elde ediliyor.Buna göre

{g(-3)}

kaçtır?

A $\displaystyle -1$
B $\displaystyle 1$
C $\displaystyle 7$
D $\displaystyle 3$
E $\displaystyle 12$

Çözümü göster

CDoğru cevap

1
Yukarı öteleme, fonksiyonun aldığı her değere ${4}$ eklemek demektir; ${g(x) = |x| + 4}$ olur.
2
${g(-3) = |-3| + 4 = 3 + 4}$ yazılır.
3
${g(-3) = 7}$ bulunur.

Yanlış şıklar neden yanlış?

A)Ötelemeyi aşağı yönde yapmak
B)Ötelemeyi mutlak değerin içine sokmak: ${|-3 + 4|}$
D)Ötelemeyi hiç uygulamayıp yalnız ${|-3|}$ hesaplamak
E)Öteleme miktarı ile fonksiyon değerini çarpmak

Soru 6KavramÇoktan seçmeli5 puanOrta

Şekilde gerçek sayılarda

{g(x) = |ax + b|}

biçiminde tanımlı

{g}

fonksiyonunun grafiği verilmiştir.Buna göre

{g}

fonksiyonu aşağıdakilerden hangisidir?

A $\displaystyle |2x + 6|$
B $\displaystyle |x - 3|$
C $\displaystyle |3x - 6|$
D $\displaystyle |2x - 6|$
E $\displaystyle |x - 6|$

Çözümü göster

Soru 7İşlemÇoktan seçmeli5 puanOrta

Gerçek sayılarda

{f(x) = |3x - 12| - 6}

biçiminde tanımlı

{f}

fonksiyonunun sıfırlarının toplamı kaçtır?

A $\displaystyle 2$
B $\displaystyle 6$
C $\displaystyle 4$
D $\displaystyle 12$
E $\displaystyle 8$

Çözümü göster

Soru 8SözelAçık uçlu15 puanZor

Bir serada sulama deposunun hedef su seviyesi

{6}

metredir. Ölçülen su seviyesinin hedef seviyeden sapma miktarını veren fonksiyon

{f}

olsun. Depodaki su seviyesi en az

{2}

, en çok

{9}

metre olabilmektedir.Şekilde

{f}

fonksiyonunun grafiği verilmiştir.Buna göre aşağıdaki soruları cevaplayınız.

a)
Bu fonksiyonun bağımsız değişkeni hangi niceliktir?(3 puan)
b)
Ölçülen su seviyesi ${3}$ metre iken sapma miktarı kaç metredir?(3 puan)
c)
${f}$ fonksiyonunun görüntü kümesini yazınız.(4 puan)
ç)
${f}$ fonksiyonu bire bir midir? Cevabınızı açıklayınız.(5 puan)

Çözümü göster

Soru 9KavramÇoktan seçmeli5 puanOrta

Şekilde

{[1, 8]}

aralığında tanımlı

{g}

fonksiyonunun grafiği verilmiştir.Buna göre

{g}

fonksiyonunun en büyük değeri kaçtır?

A $\displaystyle 8$
B $\displaystyle 0$
C $\displaystyle 6$
D $\displaystyle 4$
E $\displaystyle 1$

Çözümü göster

Soru 10KavramÇoktan seçmeli5 puanOrta

Gerçek sayılarda

{f(x) = |2x - 6| + 4}

biçiminde tanımlı

{f}

fonksiyonunun sıfırı ile ilgili aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

A $\displaystyle x = 3$
B $sıfırı yoktur$
C $\displaystyle x = -2$
D $\displaystyle x = 1 \text{ ve } x = 5$
E $\displaystyle x = 5$

Çözümü göster

Soru 11KavramKısa cevap6 puanOrta

Şekilde gerçek sayılarda tanımlı

{f}

doğrusal fonksiyonunun grafiği verilmiştir. Gerçek sayılarda

{g(x) = |f(x)|}

biçiminde tanımlı bir

{g}

fonksiyonu veriliyor.Buna göre

{g}

fonksiyonunun artan olduğu aralığı yazınız.

Çözümü göster

Soru 12SözelKısa cevap6 puanOrta

Bir yük asansörü

{30}

metre yükseklikteki bir balkondan eşya alıp zemine iniyor, hiç beklemeden aynı hızla balkona geri çıkıyor. Asansörün zemine inmesi

{10}

saniye sürmektedir. Asansörün yerden yüksekliğini zamana bağlı veren fonksiyon

{h(t) = |3t - 30|}

biçimindedir.Buna göre asansörün yerden yüksekliği ilk kez kaçıncı saniyede

{12}

metre olur?

Çözümü göster

Soru 13KavramÇoktan seçmeli5 puanOrta

Gerçek sayılarda

{g(x) = |x - 7|}

biçiminde tanımlı bir

{g}

fonksiyonu veriliyor.Birbirinden farklı

{a}

{b}

gerçek sayıları için

{g(a) = g(b)}

olduğuna göre

{a + b}

toplamı kaçtır?

A $\displaystyle 0$
B $\displaystyle 7$
C $\displaystyle 14$
D $\displaystyle 49$
E $\displaystyle -14$

Çözümü göster

Soru 14Yeni nesilKısa cevap6 puanOrta

Bir sulama deposunda hedeflenen su seviyesi

{60}

santimetredir. Tabloda beş ölçümün su seviyesi ve hedeften sapma miktarı verilmiştir. Sapma miktarlarından biri yanlış hesaplanmıştır.Buna göre yanlış hesaplanan sapma miktarının doğrusu kaçtır?

Çözümü göster

Soru 15KavramÇoktan seçmeli5 puanOrta

Şekilde gerçek sayılarda tanımlı

{g}

fonksiyonunun grafiği verilmiştir.Buna göre

{g}

fonksiyonunun görüntü kümesi aşağıdakilerden hangisidir?

A $\displaystyle [5, \infty)$
B $\displaystyle (-\infty, 5)$
C $\displaystyle [0, 5]$
D $\displaystyle (-\infty, 5]$
E $\displaystyle (-\infty, 2]$

Çözümü göster

Soru 16SözelÇoktan seçmeli7 puanZor

Elektrik devrelerinde kullanılan dirençler tam olarak istenen değerde üretilemediği için her direncin bir hata payı bulunur; bu pay yüzde olarak verilir. Bir firma

{400}

ohm

{\pm \%5}

değerinde dirençler üretmektedir. Üretilen bir direncin gerçek değeri

{x}

ohm olmak üzere hata miktarını veren fonksiyon

{f(x) = |x - 400|}

biçimindedir.Buna göre üretilen bir direncin gerçek değerinin bulunduğu aralık aşağıdakilerden hangisidir?

A $\displaystyle [395, 405]$
B $\displaystyle [360, 440]$
C $\displaystyle [380, 400]$
D $\displaystyle [400, 420]$
E $\displaystyle [380, 420]$

Çözümü göster

Soru 17KavramAçık uçlu20 puanİleri

Şekilde gerçek sayılarda tanımlı

{f}

doğrusal fonksiyonunun grafiği verilmiştir. Gerçek sayılarda

{g(x) = |f(x)| - 4}

biçiminde tanımlı bir

{g}

fonksiyonu veriliyor.Buna göre aşağıdaki soruları cevaplayınız.

a)
${f}$ fonksiyonunun cebirsel temsilini yazınız.(5 puan)
b)
${g}$ fonksiyonunun sıfırlarının toplamını bulunuz.(6 puan)
c)
${g}$ fonksiyonunun görüntü kümesini yazınız.(4 puan)
ç)
${g}$ fonksiyonu bire bir midir? Cevabınızı bir karşı örnekle açıklayınız.(5 puan)

Çözümü göster

Soru 18SözelÇoktan seçmeli7 puanZor

Bir sera otomasyonu iç sıcaklığı

{30}

°C hedefine göre izlemektedir. Ölçülen sıcaklık

{x}

olmak üzere sistem

{f(x) = |x - 30| - 7}

fonksiyonunu hesaplamakta ve bu fonksiyon pozitif değer aldığında alarm çalmaktadır.Buna göre alarmın çaldığı sıcaklık değerlerinin kümesi aşağıdakilerden hangisidir?

A $\displaystyle (-\infty, 23) \cup (37, \infty)$
B $\displaystyle (23, 37)$
C $\displaystyle [23, 37]$
D $\displaystyle (-\infty, 23] \cup [37, \infty)$
E $\displaystyle (37, \infty)$

Çözümü göster

Soru 19KavramÇoktan seçmeli7 puanZor

Şekilde

{a}

{b}

{c}

pozitif tam sayılar olmak üzere gerçek sayılarda

{g(x) = |ax + b| + c}

biçiminde tanımlı

{g}

fonksiyonunun grafiği verilmiştir.Buna göre

{a + b + c}

toplamı kaçtır?

A $\displaystyle 7$
B $\displaystyle 9$
C $\displaystyle 6$
D $\displaystyle 8$
E $\displaystyle 13$

Çözümü göster

Soru 20KavramÇoktan seçmeli7 puanZor

{a}

{c}

sıfırdan farklı gerçek sayılar,

{b}

bir gerçek sayı olmak üzere gerçek sayılarda

{f(x) = -|ax + b| + c}

biçiminde tanımlı bir

{f}

fonksiyonu veriliyor.I. Fonksiyonun en büyük değeri

{c}

'dir.II. Fonksiyon

{\left[-\frac{b}{a}, \infty\right)}

aralığında artandır.III.

{c < 0}

ise fonksiyonun sıfırı yoktur.Buna göre yukarıdaki ifadelerden hangileri her zaman doğrudur?

A $Yalnız I$
B $I ve II$
C $I ve III$
D $II ve III$
E $I, II ve III$

Çözümü göster

Soru 21Yeni nesilÇoktan seçmeli7 puanZor

Bir atölyede iki makinenin ayar değerine bağlı sapma miktarları ölçülmüştür. A makinesinin sapması

{f(x) = |x - 6|}

, B makinesinin sapması ise ayar değerinden bağımsız olup

{g(x) = 4}

ile verilmektedir. İki fonksiyonun grafikleri şekilde birlikte gösterilmiştir.Buna göre A makinesinin sapmasının B makinesinin sapmasından az olduğu ayar değerlerinin kümesi aşağıdakilerden hangisidir?

A $\displaystyle [2, 10]$
B $\displaystyle (-\infty, 2) \cup (10, \infty)$
C $\displaystyle (-\infty, 2)$
D $\displaystyle (2, 10)$
E $\displaystyle (0, 6)$

Çözümü göster

Soru 22Yeni nesilÇoktan seçmeli9 puanİleri

Bir atletizm pistinde Ali ile Berk aralarında

{360}

metre varken aynı anda aynı yönde koşmaya başlamıştır. Arkada bulunan Ali saniyede

{8}

metre, önde bulunan Berk saniyede

{5}

metre yol almaktadır. İkisi de

{240}

saniye boyunca sabit hızla koşmuştur. Aralarındaki mesafenin zamana bağlı değişimi şekildeki grafikle verilmiştir.Buna göre aralarındaki mesafenin

{90}

metre olduğu iki an arasında kaç saniye geçmiştir?

A $\displaystyle 90$
B $\displaystyle 150$
C $\displaystyle 120$
D $\displaystyle 240$
E $\displaystyle 60$

Çözümü göster

Soru 23Yeni nesilÇoktan seçmeli9 puanİleri

Şekilde doğrusal bir yol üzerindeki konumlar sayı doğrusuyla modellenmiştir. Can'ın evi

{O}

, kütüphane

{K}

, market ise

{M}

noktasındadır. Sayı doğrusunda

{1}

birimlik uzaklık

{50}

metreye karşılık gelmektedir.Can kütüphane ile market arasındaki yolda ilerlemekte, iki uç noktaya hiç varmamaktadır. Can'ın sayı doğrusu üzerindeki konumu

{x}

olmak üzere evine olan uzaklığını metre cinsinden veren fonksiyon

{f(x) = 50|x|}

biçimindedir.Buna göre

{f}

fonksiyonunun görüntü kümesi aşağıdakilerden hangisidir?

A $\displaystyle (0, 300)$
B $\displaystyle [0, 200]$
C $\displaystyle [0, 300]$
D $\displaystyle [-300, 200]$
E $\displaystyle [0, 300)$

Çözümü göster

Soru 24Yeni nesilAçık uçlu20 puanİleri

Bir tohum paketleme makinesi her pakete hedef olarak

{8}

gram tohum koymaktadır. Makinenin hata payı en çok

{3}

gramdır; yani bir paketteki tohum kütlesi hedeften en çok

{3}

gram sapabilmektedir. Paketteki tohum kütlesi

{x}

gram olmak üzere hata payını gram cinsinden veren fonksiyon

{f}

olsun.Şekilde

{f}

fonksiyonunun grafiği verilmiştir.Buna göre aşağıdaki soruları cevaplayınız.

a)
Bir pakette ${6}$ gram tohum bulunduğuna göre hata payı kaç gramdır?(3 puan)
b)
${f}$ fonksiyonunun tanım kümesini yazınız.(4 puan)
c)
${f}$ fonksiyonunun görüntü kümesini yazınız.(4 puan)
ç)
${f}$ fonksiyonunun parçalı gösteriminde ${x < 8}$ için ${f(x)}$ ifadesinin eşitini yazınız.(5 puan)
d)
${f}$ fonksiyonu bire bir midir? Cevabınızı bir karşı örnekle açıklayınız.(4 puan)

Çözümü göster

Soru 25KavramÇoktan seçmeli3 puanKolay

Gerçek sayılarda

{f(x) = x}

{g(x) = |x|}

biçiminde tanımlı iki fonksiyon veriliyor.Buna göre bu iki fonksiyonun aşağıdaki özelliklerinden hangisi aynıdır?

A $Fonksiyonun sıfırı$
B $Görüntü kümesi$
C $Bire bir olması$
D $Artan olduğu aralık$
E $Azalan olduğu aralık$

Çözümü göster

Soru 26KavramKısa cevap4 puanKolay

Şekilde gerçek sayılarda tanımlı

{f(x) = x}

fonksiyonunun grafiği kesikli çizgiyle,

{g(x) = |x|}

fonksiyonunun grafiği düz çizgiyle aynı düzlemde verilmiştir.Buna göre

{f(x) = g(x)}

eşitliğini sağlayan

{x}

değerlerinin kümesini yazınız.

Çözümü göster

Soru 27KavramÇoktan seçmeli3 puanKolay

Gerçek sayılarda

{g(x) = |4x + 12|}

biçiminde tanımlı bir

{g}

fonksiyonu veriliyor.Buna göre

{g}

fonksiyonunun azalan olduğu aralık aşağıdakilerden hangisidir?

A $\displaystyle (-\infty, 3]$
B $\displaystyle (-\infty, -3]$
C $\displaystyle [-3, \infty)$
D $\displaystyle [3, \infty)$
E $\displaystyle (-\infty, -12]$

Çözümü göster

Soru 28KavramÇoktan seçmeli3 puanKolay

Gerçek sayılarda

{f(x) = 2x - 8}

{g(x) = |2x - 8|}

biçiminde tanımlı iki fonksiyon veriliyor. Bir öğrenci

{g}

fonksiyonunun işaret tablosunu yapmaktadır.Buna göre bu tabloda

{x = 4}

değerinin solundaki ve sağındaki aralıklarda sırasıyla hangi işaretler yazar?

A $eksi ve artı$
B $artı ve eksi$
C $artı ve artı$
D $eksi ve eksi$
E $artı ve sıfır$

Çözümü göster

Soru 29İşlemÇoktan seçmeli5 puanOrta

Gerçek sayılarda

{m(x) = -|3x - 12| + 5}

biçiminde tanımlı bir

{m}

fonksiyonu veriliyor.Buna göre

{x < 4}

için

{m(x)}

ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?

A $\displaystyle 3x - 7$
B $\displaystyle 17 - 3x$
C $\displaystyle -3x - 7$
D $\displaystyle 3x - 12$
E $\displaystyle 3x - 17$

Çözümü göster

Soru 30KavramÇoktan seçmeli5 puanOrta

Gerçek sayılarda

{m(x) = |2x + 6| - 1}

biçiminde tanımlı

{m}

fonksiyonunun parçalı gösterimi için bir öğrenci aşağıdaki adımları yazmıştır.1. adım: Mutlak değerin içini sıfır yapan değer

{2x + 6 = 0}

denkleminden

{x = -3}

bulunur.2. adım:

{x \ge -3}

için

{2x + 6 \ge 0}

olduğundan

{m(x) = 2x + 6 - 1 = 2x + 5}

olur.3. adım:

{x < -3}

için

{2x + 6 < 0}

olduğundan

{|2x + 6| = -(2x + 6)}

olur.4. adım: Buna göre

{x < -3}

için

{m(x) = -(2x + 6 - 1) = -2x - 5}

olur.Buna göre öğrencinin ilk hatalı adımı hangisidir?

A $1. adım$
B $2. adım$
C $3. adım$
D $4. adım$
E $Hatalı adım yok$

Çözümü göster

Soru 31İşlemKısa cevap6 puanOrta

Gerçek sayılarda

{r(x) = |4x + b| - 3}

biçiminde tanımlı bir

{r}

fonksiyonunun grafiği

{y}

eksenini

{5}

noktasında kesmektedir. Fonksiyonun kırılma noktasının apsisi pozitiftir.Buna göre

{b}

kaçtır?

Çözümü göster

Soru 32KavramKısa cevap8 puanZor

Şekilde gerçek sayılarda tanımlı

{f}

mutlak değer fonksiyonunun grafiği verilmiştir. Bu grafik

{y}

ekseni doğrultusunda

{k}

birim ötelenerek, yani

{g(x) = f(x) + k}

olacak biçimde,

{g}

fonksiyonunun grafiği elde ediliyor ve

{k}

bir tam sayıdır.

{g}

fonksiyonunun biri negatif biri pozitif olmak üzere iki sıfırı vardır.Buna göre

{k}

en çok kaç olabilir?

Çözümü göster

Soru 33KavramÇoktan seçmeli5 puanOrta

Bir

{f}

doğrusal fonksiyonu gerçek sayılarda tanımlıdır ve grafiği şekilde çizilmiştir. Bu fonksiyonun mutlak değeri alınarak gerçek sayılarda

{g(x) = |f(x)|}

kuralıyla yeni bir

{g}

fonksiyonu tanımlanıyor.Buna göre

{g}

fonksiyonunun grafiğinin

{y}

eksenini kestiği noktanın ordinatı kaçtır?

A $\displaystyle -6$
B $\displaystyle -2$
C $\displaystyle 2$
D $\displaystyle 6$
E $\displaystyle 3$

Çözümü göster

Soru 34SözelÇoktan seçmeli5 puanOrta

Bir kargo dronu depodan havalanıp doğrusal bir rota üzerinde teslimat noktasına gitmekte, orada hiç beklemeden aynı hızla depoya geri dönmektedir. Deponun ve teslimat noktasının rota üzerindeki yerleri şekilde gösterilmiştir. Dron saniyede

{20}

metre yol almaktadır. Havalanmasından

{t}

saniye sonra dronun depoya olan uzaklığı

{u(t)}

metredir.Buna göre

{0 \le t \le 60}

aralığında

{u(t)}

fonksiyonu aşağıdakilerden hangisidir?

A $\displaystyle |20t - 600|$
B $\displaystyle 600 - |20t - 600|$
C $\displaystyle |20t - 600| + 600$
D $\displaystyle |600 - 20t| - 600$
E $\displaystyle |20t| - 600$

Çözümü göster

Soru 35KavramÇoktan seçmeli5 puanOrta

Şekilde gerçek sayılarda

{g(x) = |x|}

{h(x) = -|x|}

biçiminde tanımlı iki fonksiyonun grafikleri aynı düzlemde verilmiştir.I. İki fonksiyonun görüntü kümesi aynıdır.II. İki fonksiyonun sıfırı aynıdır.III.

{(-\infty, 0]}

aralığında

{g}

fonksiyonu azalan,

{h}

fonksiyonu artandır.Buna göre yukarıdaki ifadelerden hangileri doğrudur?

A $Yalnız II$
B $Yalnız III$
C $I ve II$
D $II ve III$
E $I, II ve III$

Çözümü göster

Soru 36KavramÇoktan seçmeli5 puanOrta

Şekilde gerçek sayılarda tanımlı

{f}

doğrusal fonksiyonunun grafiği verilmiştir. Gerçek sayılarda

{g(x) = |f(x)|}

biçiminde tanımlı

{g}

fonksiyonunun grafiği,

{f}

fonksiyonunun grafiğinin bir parçasının

{x}

eksenine göre yansıması alınarak elde edilmektedir.Buna göre

{f}

fonksiyonunun grafiğinin hangi parçasının yansıması alınır?

A $\displaystyle (3, \infty)$
B $\displaystyle (-\infty, -6)$
C $\displaystyle \mathbb{R}$
D $\displaystyle (-6, 3)$
E $\displaystyle (-\infty, 3)$

Çözümü göster

Soru 37İşlemKısa cevap6 puanOrta

Gerçek sayılarda

{p(x) = |3x + k| - 2}

biçiminde tanımlı bir

{p}

fonksiyonunun kırılma noktasının apsisi

{-4}

ile

{-1}

arasındadır; uç değerler bu aralığa dâhil değildir.Buna göre

{k}

tam sayısının alabileceği değerlerin toplamı kaçtır?

Çözümü göster

Soru 38KavramÇoktan seçmeli7 puanZor

{p}

{r}

{s}

gerçek sayılar olmak üzere gerçek sayılarda

{f(x) = |2x + p|}

{g(x) = |2x + r|}

{h(x) = |2x + s|}

biçiminde tanımlı üç fonksiyon veriliyor. Bu fonksiyonların sıfırları sırasıyla

{x_1}

{x_2}

{x_3}

olmak üzere

{0 < x_1 < x_2 < x_3}

olmaktadır. Fonksiyonların grafiklerinin

{y}

eksenini kestiği noktaların ordinatları da sırasıyla

{y_1}

{y_2}

{y_3}

sayılarıdır.Buna göre aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

A $\displaystyle y_1 < y_2 < y_3$
B $\displaystyle y_3 < y_2 < y_1$
C $\displaystyle y_1 = y_2 = y_3$
D $\displaystyle y_1 < y_3 < y_2$
E $Sıralama belirlenemez$

Çözümü göster

Soru 39KavramÇoktan seçmeli5 puanOrta

Gerçek sayılarda tanımlı bir

{m}

fonksiyonu

{x < 3}

için

{m(x) = -2x + 1}

{x \ge 3}

için ise

{m(x) = 2x - 11}

değerini almaktadır.Buna göre

{m}

fonksiyonunun mutlak değerli tek bir ifadeyle gösterimi aşağıdakilerden hangisidir?

A $\displaystyle -|2x - 6| - 5$
B $\displaystyle |2x - 6| - 5$
C $\displaystyle |2x - 6| + 5$
D $\displaystyle |2x + 6| - 5$
E $\displaystyle |x - 3| - 5$

Çözümü göster

Soru 40Yeni nesilÇoktan seçmeli7 puanZor

Bir kargo merkezinde iki tartı bandı vardır. Birinci bant yalnız kütlesi şekilde koyu gösterilen kapalı aralıkta olan kutuları kabul etmektedir. İkinci bant ise kütlesi hedef değer olan

{10}

kilogramdan en çok

{4}

kilogram sapan kutuları kabul etmektedir. Her iki bandın da kabul ettiği kutuların kütlelerinin kümesi, bir kutunun kütlesi

{x}

kilogram olmak üzere

{|x - m| \le r}

eşitsizliğiyle yazılmaktadır.Buna göre

{m \cdot r}

çarpımı kaçtır?

A $\displaystyle 21$
B $\displaystyle 40$
C $\displaystyle 16$
D $\displaystyle 45$
E $\displaystyle 32$

Çözümü göster

Soru 41SözelAçık uçlu15 puanZor

Müzikte la sesinin uluslararası akort frekansı

{440}

hertzdir. Bir akort cihazı ölçtüğü frekansın bu hedeften sapmasını

{d(x) = |x - 440|}

fonksiyonuyla hesaplamaktadır; burada

{x}

ölçülen frekanstır ve hertz biriminden verilir. Bir tel akort edilirken cihazın yaptığı dört ölçüm şekildeki tabloda verilmiştir. Telin frekansı akort boyunca

{[430, 452]}

aralığının dışına çıkmamaktadır.Buna göre aşağıdaki soruları cevaplayınız.

a)
Tablodaki dört ölçüm içinde sapması en büyük olanın sapmasını bulunuz.(3 puan)
b)
${d}$ fonksiyonunun ${[430, 452]}$ aralığındaki en büyük değerini bulunuz.(4 puan)
c)
${d}$ fonksiyonunun ${[430, 452]}$ aralığında azalan olduğu aralığı yazınız.(4 puan)
ç)
Akordun kabul edilmesi için sapmanın en çok ${3}$ hertz olması istenmektedir. Kabul edilen frekansların kümesini yazınız.(4 puan)

Çözümü göster

Soru 42KavramÇoktan seçmeli5 puanOrta

{b}

{c}

pozitif gerçek sayılar olmak üzere gerçek sayılarda

{r(x) = |2x - b| - c}

biçiminde tanımlı bir

{r}

fonksiyonu veriliyor.I. Fonksiyonun sıfırlarının toplamı

{b}

sayısıdır.II.

{b < c}

ise fonksiyonun sıfırlarından yalnız biri negatiftir.III. Fonksiyonun grafiği

{y}

eksenini

{-b - c}

noktasında keser.Buna göre yukarıdaki ifadelerden hangileri doğrudur?

A $Yalnız I$
B $Yalnız III$
C $I ve II$
D $I ve III$
E $II ve III$

Çözümü göster

Soru 43Yeni nesilÇoktan seçmeli5 puanOrta

Bir cam atölyesinde üretilen beş levhanın kalınlığı şekildeki tabloda verilmiştir. Atölye bir hedef kalınlık

{m}

ve bir hata payı

{r}

belirleyip yalnız kalınlığı

{|x - m| \le r}

koşulunu sağlayan levhaları satışa çıkarmaktadır. Atölye, beş levhanın tamamı satışa çıkacak biçimde

{r}

değerini olabildiğince küçük seçmek istemektedir.Buna göre en küçük hata payı

{r}

kaç milimetredir?

A $\displaystyle 3$
B $\displaystyle 5$
C $\displaystyle 8$
D $\displaystyle 20$
E $\displaystyle 4$

Çözümü göster

Soru 44Yeni nesilAçık uçlu20 puanİleri

Bir gözlem istasyonunda üç uydu anteni vardır. Bir antenin yöneldiği açı

{x}

derece iken sinyal kaybını yüzde olarak veren fonksiyonlar şekildeki tabloda verilmiştir. Her antenin açısı

{[0, 90]}

aralığındadır.Buna göre aşağıdaki soruları cevaplayınız.

a)
A anteninin sinyal kaybının sıfır olduğu açıyı bulunuz.(4 puan)
b)
B anteninin ${[0, 90]}$ aralığındaki en küçük sinyal kaybını bulunuz.(4 puan)
c)
C anteninin döndürüleceği aralık ${[30, 90]}$ olarak sınırlandırılıyor. Bu sınırlamadan sonra ölçülen her sinyal kaybı değerinin antenin açısını tek biçimde belirlediğini açıklayınız.(7 puan)
ç)
A anteninin sinyal kaybının yüzde ${40}$ ve altında olduğu açıların kümesi ile C anteninin sinyal kaybının yüzde ${30}$ ve altında olduğu açıların kümesinin kesişimini yazınız.(5 puan)

Çözümü göster

Soru 45KavramAçık uçlu20 puanİleri

Şekilde, gerçek sayılarda tanımlı bir

{f}

doğrusal fonksiyonunun mutlak değeri alınarak elde edilen

{g}

fonksiyonunun grafiği verilmiştir; yani

{g(x) = |f(x)|}

eşitliği sağlanmaktadır. Grafikten kırılma noktası ile grafiğin

{y}

eksenini kestiği nokta okunabilmektedir.Buna göre aşağıdaki soruları cevaplayınız.

a)
${g}$ fonksiyonunun kuralını mutlak değerli tek bir ifadeyle yazınız.(4 puan)
b)
Bir öğrenci "Bu grafikten ${f}$ fonksiyonu tek biçimde belirlenir ve ${f(x) = 2x - 8}$ olur." diyor. Öğrencinin iddiasını değerlendiriniz.(6 puan)
c)
Gerçek sayılarda ${m(x) = -g(x) + 6}$ biçiminde tanımlı ${m}$ fonksiyonunun görüntü kümesini yazınız.(5 puan)
ç)
${m}$ fonksiyonunun azalan olduğu aralığı yazınız.(5 puan)

Çözümü göster

Soru 46KavramÇoktan seçmeli7 puanZor

Şekilde

{k}

{n}

{t}

gerçek sayılar olmak üzere gerçek sayılarda

{f(x) = |3x + k|}

{g(x) = |3x + n|}

{h(x) = |3x + t|}

biçiminde tanımlı üç fonksiyonun grafikleri aynı düzlemde verilmiştir. Eksenlerde sayılar gösterilmemiştir.Buna göre aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

A $\displaystyle k < 0 < n < t$
B $\displaystyle 0 < t < n < k$
C $\displaystyle n < t < 0 < k$
D $\displaystyle t < n < k < 0$
E $\displaystyle t < n < 0 < k$

Çözümü göster

Ders kılavuzu

Dersi açmak için çengel sorular, kavramı somutlaştıran benzetmeler ve öğrencilerin sık yaptığı yanlışlar.

Derse giriş: çengel sorular

Termostat neden 22 değil de 22 ± 1 der?
Bir klimanın ekranında 22 derece yazar ama oda hiçbir zaman tam 22 derece olmaz; 21 ile 23 arasında gezinir. Sınıfa sorun: cihazın ne kadar saptığını tek bir sayıyla nasıl yazarız? 21,4 derecede sapma 0,6; 22,7 derecede sapma 0,7. İkisinde de çıkarma işlemi var ama biri eksi çıkıyor. Sapmayı yazan şey farkın kendisi değil, farkın büyüklüğüdür. Bu bölümün tamamı tek bir fikrin üstünde durur: bir referans değerden ne kadar uzaklaşıldığı.
$\displaystyle g(x) = |x - 22|, \qquad g(21{,}4) = 0{,}6, \qquad g(22{,}7) = 0{,}7$
Aynı yöne giden iki bisikletli
İki arkadaş aralarında 300 metre varken aynı anda aynı yöne doğru yola çıkıyor. Arkadaki daha hızlı. Sınıfa sorun: aralarındaki mesafe hep azalır mı? Öğrencilerin çoğu evet der. Oysa arkadaki öne geçtikten sonra mesafe yeniden açılır. Mesafenin grafiği bir doğru değil, önce inen sonra çıkan bir V'dir. Kırılma noktası, tam yan yana geldikleri andır.
$\displaystyle f(t) = |300 - 4t|$
Paketin üstündeki 500 g ne kadar doğru?
Bir gıda paketinin üstünde 500 g yazar, altında küçük harflerle bir hata payı durur. Fabrika 495 gram da doldurabilir, 504 gram da. Sınıfa sorun: hangi dolum daha iyidir, 495 mi 504 mü? İkisi de 5 ve 4 gram sapmıştır, yani ikincisi daha iyidir. Kalite kontrolün baktığı sayı dolum miktarı değil, dolumun hedeften uzaklığıdır. Fabrikanın koyduğu kural bir eşitsizliktir: sapma en çok 5 gram.
$\displaystyle |x - 500| \le 5 \iff x \in [495, 505]$
Grafiğin altı nereye gitti?
Tahtaya bir doğru çizin ve x ekseninin altında kalan kısmını parmağınızla gösterin. Sonra kâğıdı x ekseni boyunca katlayın. Alta kalan kısım yukarı çıkar, üstteki kısım yerinde durur. Sınıfa sorun: katlanmış şeklin denklemi nedir? Cevap, doğrunun mutlak değeridir. Katlama tek bir şeyi değiştirmiştir: negatif değerlerin işaretini. Doğrunun x eksenini kestiği yer katlamadan etkilenmez; kırılma noktası tam oradadır.
$\displaystyle y = 2x - 6 \quad \longrightarrow \quad y = |2x - 6|$

Benzetmeler

Mutlak değer
Mutlak değer, yön bilmeyen bir kilometre sayacıdır. Arabayı ileri sürseniz de geri sürseniz de sayaç artar; sayaca göre 5 kilometre gitmekle 5 kilometre geri gelmek aynı şeydir. Bu yüzden mutlak değerin sonucu hiçbir zaman negatif olmaz. Ama sıfır olabilir: araba hiç hareket etmediyse sayaç sıfırdır. Bu ayrım önemlidir, çünkü öğrenci mutlak değerin sonucunu pozitif diye ezberler, oysa doğrusu negatif değildir.
Mutlak değer fonksiyonunun grafiği
Doğrunun grafiğini bir kâğıda çizip x ekseni boyunca katlayın. Alta kalan yarı yukarı çıkar ve V oluşur. Katlama çizginin kendisini değiştirmez, yalnız yerini değiştirir; bu yüzden V'nin iki kolu ana doğruyla aynı diklikte, ters işaretlidir. Katlama çizgisi x eksenidir ve kâğıt tam doğrunun ekseni kestiği yerden bükülür.
Dış işaret
Artı mutlak değer bir çadırdır: tepe noktası aşağıda, iki kol yukarı gider. Eksi mutlak değer bir vadidir: tepe noktası yukarıda, iki kol aşağı iner. Çadırın en alçak yeri vardır ama en yüksek yeri yoktur; vadinin en yüksek yeri vardır ama en alçak yeri yoktur. Dış işaret değişince nitel özellik tablosunun beş satırı birden yer değiştirir.
Sabit terim c ile öteleme
Çadırı bir asansöre koyup yukarı ya da aşağı taşımak gibidir. Çadırın biçimi hiç değişmez, kolların dikliği aynı kalır, tepe noktası yalnız yer değiştirir. Yalnız bir şey değişir: çadırı yukarı kaldırırsanız yer hizasına hiç değmez, aşağı indirirseniz yeri iki noktada keser. Fonksiyonun sıfır sayısı buradan gelir.
Kırılma noktası
Kırılma noktası, gidip dönen bir kuryenin döndüğü andır. Kurye hedefe yaklaşırken mesafe azalır, döndükten sonra artar; tam hedefe vardığı anda mesafe sıfırdır ve orada yön değişir. Fonksiyonun azalmayı bırakıp artmaya başladığı yer ile mesafenin sıfırlandığı yer aynı noktadır — mutlak değer fonksiyonunun bütün kişiliği bu tek noktada toplanır.

Sık yapılan yanlışlar

${|2x + 6|}$ fonksiyonunun sıfırı ${3}$ 'tür.
Öğrenci sabit terimi katsayıya bölüp işareti düşürüyor. Sıfır, mutlak değerin içini sıfır yapan değerdir: ${2x + 6 = 0}$ ise ${x = -3}$ . Kontrol tek satırdır: ${|2 \cdot 3 + 6| = 12 \ne 0}$ , ama ${|2 \cdot (-3) + 6| = 0}$ .
Sıfırı hiçbir zaman formülden okutmayın; her seferinde içi sıfıra eşitletin. Tahtaya "mutlak değerin içi ne zaman sıfır olur" cümlesini yazın ve orada bırakın. Formül ${-b/a}$ 'dır, eksi işareti formülün parçasıdır.
$\displaystyle 2x + 6 = 0 \Rightarrow x = -3$
Mutlak değer fonksiyonunun aldığı değerler her zaman pozitiftir.
Bir değer eksik bırakılıyor: sıfır. ${g(x) = |x|}$ fonksiyonu ${x = 0}$ için ${0}$ değerini alır ve sıfır ne pozitif ne negatiftir. Görüntü kümesi ${(0, \infty)}$ değil ${[0, \infty)}$ 'dur; köşeli parantez tam bu tek değeri içeri alır.
Cümleyi baştan doğru kurdurun: mutlak değer negatif değildir. Görüntü kümesini yazarken uç noktanın fonksiyon tarafından gerçekten alınıp alınmadığını sordurun; alınıyorsa parantez köşelidir.
$\displaystyle g(0) = |0| = 0 \Rightarrow \text{görüntü kümesi } [0, \infty)$
${-x}$ negatif bir sayıdır, bu yüzden ${|x| = -x}$ yazılamaz.
Eksi işareti ile negatiflik karıştırılıyor. ${x = -4}$ için ${-x = 4}$ 'tür, yani pozitiftir. Parçalı gösterimde ${x < 0}$ olan aralıkta ${-x}$ yazılır ve sonuç zaten pozitif çıkar: ${|-4| = -(-4) = 4}$ .
Bir sayı doğrusunda ${x}$ ve ${-x}$ 'i aynı anda işaretletin, ${x}$ 'i negatif bölgeden seçtirin. "Eksi işareti yönü çevirir, negatif yapmaz" cümlesini tahtada bırakın. Bu yanılgı kırılmadan parçalı gösterim öğretilemez.
$\displaystyle x = -4 \Rightarrow -x = 4 \Rightarrow |x| = -x = 4$
${h(x) = -|x|}$ fonksiyonunun görüntü kümesi ${[0, \infty)}$ 'dur.
Dış eksi işareti hesaba katılmıyor. ${|x|}$ negatif olmayan değerler alır; başına eksi gelince hepsi işaret değiştirir ve fonksiyon pozitif olmayan değerler alır. Görüntü kümesi ${(-\infty, 0]}$ 'dır ve fonksiyonun en büyük değeri ${0}$ 'dır.
İki grafiği aynı düzlemde çizdirin ve x eksenine göre simetrik olduklarını gösterin. Sonra nitel özellik tablosunun sekiz satırını yan yana doldurtun; hangi satırların döndüğünü öğrenci kendi bulsun.
$\displaystyle |x| \ge 0 \Rightarrow -|x| \le 0$
${g(x) = |2x - 6| + 4}$ fonksiyonunun sıfırı ${x = 3}$ 'tür.
Öğrenci yalnız mutlak değerin içine bakıyor, ${+4}$ 'ü unutuyor. ${g(3) = |0| + 4 = 4 \ne 0}$ . Aslında bu fonksiyonun hiç sıfırı yoktur: ${|2x - 6| \ge 0}$ olduğundan ${g(x) \ge 4}$ 'tür ve fonksiyon hiçbir zaman x eksenine değmez.
Çadırı yukarı kaldırma benzetmesini kullanın: yerden kalkan çadır yere değmez. Sıfır sorusunu her zaman ${g(x) = 0}$ denklemi olarak kurdurun, "içi sıfır yapan değer" kestirmesiyle değil.
$\displaystyle |2x - 6| \ge 0 \Rightarrow |2x - 6| + 4 \ge 4 > 0$
${g(x) = |2x - 6| - 4}$ fonksiyonunun bir tane sıfırı vardır.
Mutlak değerli denklemin iki kökü olduğu atlanıyor. ${|2x - 6| = 4}$ denklemi ${2x - 6 = 4}$ ve ${2x - 6 = -4}$ olmak üzere iki denklem demektir; kökler ${x = 5}$ ve ${x = 1}$ 'dir. Grafikte de çadır aşağı indiği için x eksenini iki noktada keser.
Sıfır sayısını çizimden saydırın: yukarı ötelenmiş çadır sıfır tane, yerinde duran bir tane, aşağı inen iki tane. Sonra aynı sonucu cebirsel olarak buldurun. Grafik ile cebirin aynı sayıyı vermesi öğrenciyi ikna eder.
$\displaystyle |2x - 6| = 4 \Rightarrow 2x - 6 = 4 \ \ \text{ya da} \ 2x - 6 = -4$
${g(x) = |x - 5|}$ fonksiyonunun minimum noktası ${0}$ 'dır.
Nokta ile değer karıştırılıyor. Minimum değer ${0}$ 'dır, ama minimum nokta bir sıralı ikilidir: ${(5, 0)}$ . Fonksiyon en küçük değerini ${x = 5}$ apsisinde alır. "Nerede" sorusunun cevabı apsis, "kaç" sorusunun cevabı ordinattır.
Soruyu her zaman iki parçaya bölerek sordurun: en küçük değeri kaçtır, bunu hangi x için alır. Aynı ayrım MAT.9.2.1'de de yapılmıştı; iki kazanımda üst üste gelmesi kalıcı olmasını sağlar.
$\displaystyle \text{minimum nokta } (5, 0), \qquad \text{minimum değer } 0$
${g(x) = |3x - 9|}$ fonksiyonu bire birdir.
Grafiğin bir fonksiyon olması bire bir olmasıyla karıştırılıyor. Bire birlik yatay okumadır: ${g(2) = 3}$ ve ${g(4) = 3}$ , yani iki farklı girdi aynı çıktıyı veriyor. Kırılma noktasının iki yanındaki simetri bunu kaçınılmaz yapar; hiçbir mutlak değer fonksiyonu gerçek sayıların tamamında bire bir değildir.
Grafiğe yatay bir cetvel dayatın ve iki kesim noktasını gösterin. Sonra sorun: bire bir olması için tanım kümesini nasıl daraltmalıyız? Cevap kırılma noktasının bir yanıdır ve bu, bağlamlı soruların ana malzemesidir.
$\displaystyle g(2) = |{-3}| = 3, \qquad g(4) = |3| = 3$
${|2x - 6|}$ grafiği için ${y = 2x - 6}$ doğrusunun tamamının x eksenine göre yansıması alınır.
Yansıma yalnız fonksiyonun negatif değer aldığı kısma uygulanır. Pozitif kısım zaten mutlak değerin içinden olduğu gibi çıkar. Tamamı yansıtılırsa elde edilen şey ${-|2x - 6|}$ olur, yani ters çevrilmiş bir vadi.
Çizim sırasını üç adıma bölün ve her adımı ayrı renkle çizdirin: doğruyu çiz, x ekseninin altındaki parçayı işaretle, yalnız o parçayı katla. İşaretleme adımı atlanırsa hata kaçınılmazdır.
$\displaystyle y = 2x - 6 < 0 \iff x < 3 \Rightarrow \text{yalnız } x < 3 \text{ katlanır}$
${g(x) = |x - 3|}$ grafiğinin kırılma noktası ${x = -3}$ 'tedir.
Yatay öteleme yönü ters okunuyor: içerideki eksi işareti grafiği sola değil sağa taşır. Sınama tek değerledir: ${g(3) = 0}$ olduğuna göre çadırın tepesi ${x = 3}$ 'tedir. Aynı yanılgı MAT.9.2.1'de de vardı; orada doğrunun üstünde göze çarpmıyordu, burada çadırın tepesinde apaçık görünür.
Öteleme yönünü ezberletmeyin, sıfır yerini hesaplatın. "Mutlak değerin içini sıfır yapan x nerede ise tepe oradadır" cümlesi hem ${|x-3|}$ hem ${|2x+8|}$ için çalışır.
$\displaystyle x - 3 = 0 \Rightarrow x = 3$
${|2x - 5| + 3}$ ile ${|2x - 5 + 3|}$ aynı fonksiyondur.
Dışarıdaki toplama mutlak değerin içine sokuluyor. İki fonksiyonu tek bir değerde karşılaştırmak yeter: ${x = 1}$ için birincisi ${|{-3}| + 3 = 6}$ , ikincisi ${|{-3} + 3| = 0}$ verir. Dışarıdaki ${+3}$ grafiği yukarı öteler, içerideki ${+3}$ ise sağa sola kaydırır.
İki fonksiyonu aynı düzlemde çizdirin. Dışarıdaki sayının çadırı yukarı taşıdığını, içerideki sayının tepeyi yana kaydırdığını görsel olarak ayırt ettirin. Mutlak değer bir parantezdir; parantezin dışı içine girmez.
$\displaystyle x = 1: \quad |2 - 5| + 3 = 6, \qquad |2 - 5 + 3| = 0$
${h(x) = -|x - 4|}$ fonksiyonu ${(-\infty, 4]}$ aralığında azalandır.
Artı mutlak değerin davranışı ezberden aktarılıyor. ${|x - 4|}$ o aralıkta azalır, ama başına eksi gelince yön döner: ${h}$ o aralıkta artandır. Sınama iki değerledir: ${h(0) = -4}$ , ${h(3) = -1}$ ve ${-4 < -1}$ .
Vadi benzetmesini kullanın: sol koldan yürüyen biri yukarı çıkar. Artan ve azalan aralıkları her zaman iki sayı deneyerek sınatın, dış işareti hesaba katarak.
$\displaystyle h(0) = -4 < h(3) = -1 \Rightarrow (-\infty, 4] \text{ üzerinde artan}$
${g(x) = |2x - 6|}$ fonksiyonunun işareti ${x < 3}$ için negatiftir.
MAT.9.2.1'in işaret tablosu alışkanlığı buraya taşınıyor: orada sıfırın iki yanında işaret değişiyordu. Mutlak değerde değişmez, çünkü fonksiyon hiçbir yerde negatif olamaz. Tablo sıfırın iki yanında da artı taşır, yalnız sıfır noktasında ${0}$ yazar.
İki işaret tablosunu alt alta çizdirin: ${y = 2x - 6}$ ve ${y = |2x - 6|}$ . Farkın tek satırda olduğunu gösterin. "İşaret tablosu ezberden değil görüntü kümesinden okunur" cümlesini bırakın.
$\displaystyle |2x - 6| \ge 0 \Rightarrow \text{işaret her yerde } +, \ x = 3 \text{ hariç}$
${|a| = |b|}$ ise ${a = b}$ 'dir.
Mutlak değer bilgi siler: işareti. Eşitlik yalnız ${a = b}$ değil ${a = -b}$ durumunda da sağlanır. ${|{-7}| = |7|}$ ama ${-7 \ne 7}$ . Bu, bire bir olmayışın cebirsel yüzüdür ve mutlak değerli denklemlerin neden iki kök verdiğini açıklar.
Karşı örneği öğrenciye buldurun, siz vermeyin. Sonra çıkarımı doğru biçimde yazdırın. Bu adım atlanırsa mutlak değerli denklemde ikinci kök hep unutulur.
$\displaystyle |a| = |b| \Rightarrow a = b \ \ \text{ya da} \ a = -b$
${g(x) = |2x - 6|}$ grafiği y eksenini ${-6}$ 'da keser.
Doğrunun sabit terimi olduğu gibi aktarılıyor. y kesişimi ${g(0)}$ 'dır: ${g(0) = |{-6}| = 6}$ . Katlama işlemi doğrunun y eksenini kestiği noktayı da katlar; negatifse yukarı çıkar.
y kesişimini her zaman ${g(0)}$ hesabıyla buldurun. Sabit terimi doğrudan okuma alışkanlığı doğrusal fonksiyonda işe yarıyordu; mutlak değerde yalnız işaret pozitifse yarar.
$\displaystyle g(0) = |2 \cdot 0 - 6| = |{-6}| = 6$
Mutlak değer fonksiyonunun maksimum değeri hiçbir zaman yoktur.
Kural gerçek sayıların tamamında doğrudur ama bağlamda tanım kümesi daralır. Sapma miktarını veren bir fonksiyon ${[16, 24]}$ aralığında tanımlıysa en büyük değerini uçlarda alır ve maksimum vardır. Kapalı bir aralıkta tanımlı olmak maksimumu doğurur; açık aralıkta yine doğmaz.
Aynı fonksiyonu iki kez sordurun: gerçek sayılarda ve bağlamın verdiği aralıkta. Uçların kapalı mı açık mı olduğunu bağlamdan okutun; bu, MAT.9.1.2'nin aralık dilinin buradaki karşılığıdır.
$\displaystyle g: [16, 24] \to [0, 4], \ g(x) = |x - 20| \Rightarrow \text{maksimum } 4$

Tahtada anlatım sırası14 adımı göster

1
Sayı doğrusuna başlangıç noktasının iki yanından beş nokta koydurun ve her birinin başlangıca uzaklığını yazdırın. Tabloyu iki sütun olarak doldurtun: noktanın sayısı ve uzaklığı. İkinci sütunun hiç negatif olmadığını öğrenci kendi görsün; siz yalnız bu gözlemi cümleye çevirin.
$\displaystyle -3 \to 3, \quad -1 \to 1, \quad 0 \to 0, \quad 2 \to 2, \quad 5 \to 5$
Kavram yanılgısı 2 burada, daha tanımdan önce önlenir.
2
Tablodaki eşleşmeyi fonksiyon olarak yazdırın ve referans fonksiyonun yanına koyun. İki grafiği aynı düzlemde çizdirin. Sorun: hangi yarısı aynı kaldı, hangi yarısı değişti? Cevap negatif bölgedir ve orada iki grafik x eksenine göre simetriktir.
$\displaystyle f(x) = x \qquad g(x) = |x|$
Kazanımın süreç bileşeni (a) birebir burada karşılanır.
3
Sekiz satırlık nitel özellik tablosunu ilk kez doldurtun: en geniş tanım kümesi, görüntü kümesi, sıfır, işaret, maksimum noktası, minimum noktası, bire birlik, artan ve azalan aralıklar. Bu tablo bölümün tek aracıdır ve dersin sonuna kadar beş kez doldurulacaktır; sekiz satırı tahtanın kenarında bırakın.
$\displaystyle g(x) = |x|: \ \mathbb{R} \to [0, \infty), \ \ \text{sıfır } 0, \ \ \text{min nokta } (0,0)$
Maksimum satırına 'yoktur' yazdırın; boş bırakılırsa unutuluyor.
4
Aynı tabloyu ${h(x) = -|x|}$ için ikinci kez doldurtun, ama önce tahmin ettirin: sizce hangi satırlar değişir? Tahminleri yazın, sonra doldurun, sonra karşılaştırın. Değişen satırlar görüntü kümesi, işaret, maksimum, minimum ve artan-azalan aralıklardır; değişmeyenler tanım kümesi, sıfır ve bire birliktir.
$\displaystyle h(x) = -|x|: \ \mathbb{R} \to (-\infty, 0], \ \ \text{maks nokta } (0,0)$
Kavram yanılgıları 4 ve 12 bu adımda birlikte kırılır.
5
Üç işaret tablosunu alt alta çizdirin: ${f(x) = x}$ , ${g(x) = |x|}$ ve ${h(x) = -|x|}$ . Birincide sıfırın iki yanında işaret değişiyor, ötekilerde değişmiyor. Farkın sebebini öğrenciye söyletin: görüntü kümesi.
$\displaystyle f: - \ | \ +, \qquad g: + \ | \ +, \qquad h: - \ | \ -$
Kavram yanılgısı 13 (2.1'den taşınan işaret alışkanlığı) burada önlenir.
6
Parçalı gösterimi grafikten okutun. Grafiğin sol kolu hangi doğrunun üstünde duruyor, sağ kolu hangisinin? Sol kol ${y = -x}$ , sağ kol ${y = x}$ . İki satırı alt alta yazdırın ve sınırın ${x = 0}$ olduğunu işaretletin.
$\displaystyle g(x) = -x, \ x < 0 \qquad g(x) = x, \ x \ge 0$
MAT.9.2.1'de kurulan parçalı gösterim dili burada hazır bulunur.
7
Şimdi doğruyu değiştirin. ${y = 2x - 6}$ çizdirin, x ekseninin altında kalan parçayı renkli kalemle işaretletin, sonra yalnız o parçayı katlatın. Üç adımı ayrı ayrı yaptırın; işaretleme adımı atlanırsa öğrenci tamamını yansıtıyor.
$\displaystyle y = 2x - 6 \ \longrightarrow \ y = |2x - 6|$
Kavram yanılgısı 9 tam bu adımda, elle yaparak kırılır.
8
Kırılma noktasının neden orada olduğunu sordurun. Katlama çizgisi x eksenidir; kâğıt doğrunun ekseni kestiği yerden bükülür. Yani kırılma noktasının apsisi, doğrunun sıfırıdır. Genel kuralı öğrenci yazsın: mutlak değerin içini sıfır yapan değer.
$\displaystyle ax + b = 0 \Rightarrow x = -\frac{b}{a}$
Kavram yanılgıları 1 ve 10 burada birlikte karşılanır.
9
${g(x) = |2x - 6|}$ için sekiz satırlık tabloyu üçüncü kez doldurtun ve parçalı gösterimini yazdırın. Sınır artık ${0}$ değil ${3}$ 'tür. y kesişimini de hesaplatın: ${g(0) = 6}$ , sabit terimin kendisi değil mutlak değeri.
$\displaystyle g(x) = -2x + 6, \ x < 3 \qquad g(x) = 2x - 6, \ x \ge 3$
Kavram yanılgısı 15 (y kesişimi) burada hesapla kırılır.
10
Çadırı yukarı taşıyın: ${|2x - 6| + 4}$ . Grafiği yeniden çizdirmeyin, mevcut çadırı dört birim yukarı kaydırtın. Sonra sıfırını sordurun. Cevap yoktur ve bunu grafikten görmek cebirden kolaydır: çadır yere değmiyor.
$\displaystyle |2x - 6| \ge 0 \Rightarrow |2x - 6| + 4 \ge 4$
Kavram yanılgısı 5.
11
Şimdi aşağı indirin: ${|2x - 6| - 4}$ . Çadır yeri iki noktada keser. Sıfırları önce grafikten saydırın, sonra cebirsel olarak buldurun. İki yolun aynı sayıyı vermesi, mutlak değerli denklemin neden iki kök verdiğini kalıcı kılar.
$\displaystyle |2x - 6| = 4 \Rightarrow x = 5 \ \ \text{ya da} \ x = 1$
Kavram yanılgıları 6 ve 14 burada birleşir.
12
Dış işaret ile ötelemeyi birlikte verin: ${-|2x - 6| + 5}$ . Önce vadi, sonra yukarı öteleme. Tabloyu dördüncü kez doldurtun. Bu adım kazanımın adındaki bütün işaret bileşimlerini kapatır; öğrenci artık dört ailenin hepsini görmüştür.
$\displaystyle -|2x - 6| + 5 \le 5, \qquad \text{maks nokta } (3, 5)$
Dış işaret ile içerideki işareti karıştıran öğrenciye bir değer hesaplatın.
13
Bağlama geçin: bir ölçümün hedeften sapması. Tabloyu ölçülen değer ve sapma sütunlarıyla doldurtun, fonksiyonu yazdırın, sonra tanım kümesini bağlamdan çıkartın. Gerçek sayılarda maksimum yoktu; kapalı bir aralıkta tanımlı olunca uçlarda doğar. Bunu öğrenciye söyletmeden geçmeyin.
$\displaystyle g: [16, 24] \to [0, 4], \qquad g(x) = |x - 20|$
Kavram yanılgısı 16; MAT.9.1.2'nin aralık dili burada geri gelir.
14
Kapanışı bire birlikle yapın. Grafiğe yatay bir cetvel dayatın, iki kesim noktasını gösterin, sonra sorun: tanım kümesini nasıl daraltırsak bire bir olur? Kırılma noktasının her bir yanı ayrı ayrı bire birdir. Bağlamdaki karşılığını da söyletin: aynı sapmayı veren iki farklı ölçüm vardır.
$\displaystyle g(18) = g(22) = 2 \Rightarrow \text{bire bir değil}$
Kavram yanılgısı 8; bağlamlı soruların ana malzemesi budur.

Ödev ve çalışma kâğıdı

Her antrenman tek bir beceriyi bol tekrarla çalıştırır. Hangisinden kaç kalem istediğini seç; kâğıt ve çözümlü cevap anahtarı tarayıcında hazırlanır.

Ödev kâğıdı oluştur

Her alıştırmadan kaç kalem istediğini seç. Kalemler hazır havuzdan rastgele gelir; iki sınıfa iki ayrı kâğıt verebilirsin. Çözümlü cevap anahtarı da hazır.

Alıştırmalar

Aşağıdaki fonksiyonlar için istenen değeri bulunuz.
1. 1) ${f(x) = 5x - 16}$ ve ${g(x) = |f(x)| + 4}$ ise ${g(8)}$ kaçtır?= $\displaystyle 28$
2. 2) ${f(x) = 7x - 23}$ ve ${g(x) = |f(x)| + 6}$ ise ${g(8)}$ kaçtır?= $\displaystyle 39$
3. 3) ${f(x) = 7x - 6}$ ve ${g(x) = |f(x)| + 5}$ ise ${g(4)}$ kaçtır?= $\displaystyle 27$
/ 40
Aşağıdaki fonksiyonların azalan olduğu aralığı yazınız.
1. 1) ${f(x) = -|2x - 52|}$ = $\displaystyle \left[26, \infty\right)$
2. 2) ${f(x) = -|4x - 44|}$ = $\displaystyle \left[11, \infty\right)$
3. 3) ${f(x) = -|5x - 10|}$ = $\displaystyle \left[2, \infty\right)$
/ 40
Aşağıdaki fonksiyonların artan olduğu aralığı yazınız.
1. 1) ${f(x) = |6x - 36|}$ = $\displaystyle \left[6, \infty\right)$
2. 2) ${f(x) = |2x - 28|}$ = $\displaystyle \left[14, \infty\right)$
3. 3) ${f(x) = |3x - 6|}$ = $\displaystyle \left[2, \infty\right)$
/ 40
Aşağıdaki fonksiyonların en küçük değerini bulunuz.
1. 1) ${f(x) = |4x - 25| - 11}$ = $\displaystyle -11$
2. 2) ${f(x) = |2x - 5| - 6}$ = $\displaystyle -6$
3. 3) ${f(x) = |3x - 7| - 8}$ = $\displaystyle -8$
/ 40
Aşağıdaki fonksiyonların negatif değer aldığı aralığı yazınız.
1. 1) ${f(x) = |2x - 18| - 10}$ = $\displaystyle \left(4, 14\right)$
2. 2) ${f(x) = |2x - 39| - 15}$ = $\displaystyle \left(12, 27\right)$
3. 3) ${f(x) = |4x - 14| - 6}$ = $\displaystyle \left(2, 5\right)$
/ 37
Aşağıdaki fonksiyonların görüntü kümesini aralık biçiminde yazınız.
1. 1) ${f(x) = -|6x + 2| + 4}$ = $\displaystyle \left(-\infty, 4\right]$
2. 2) ${f(x) = -|6x + 3| + 10}$ = $\displaystyle \left(-\infty, 10\right]$
3. 3) ${f(x) = -|2x + 6| + 10}$ = $\displaystyle \left(-\infty, 10\right]$
/ 40
Aşağıdaki fonksiyonların görüntü kümesini aralık biçiminde yazınız.
1. 1) ${f(x) = |4x + 5| + 4}$ = $\displaystyle \left[4, \infty\right)$
2. 2) ${f(x) = |8x + 10| + 5}$ = $\displaystyle \left[5, \infty\right)$
3. 3) ${f(x) = |4x + 5| + 11}$ = $\displaystyle \left[11, \infty\right)$
/ 40
Aşağıdaki denklemlerin köklerinin toplamını bulunuz.
1. 1) ${|2x - 41| = 19}$ = $\displaystyle 41$
2. 2) ${|3x - 45| = 18}$ = $\displaystyle 30$
3. 3) ${|3x - 24| = 15}$ = $\displaystyle 16$
/ 36
Aşağıdaki fonksiyonlar için istenen değeri bulunuz.
1. 1) ${f(x) = |6x - 24| + 9}$ ise ${f(7)}$ kaçtır?= $\displaystyle 27$
2. 2) ${f(x) = |7x - 20| + 4}$ ise ${f(3)}$ kaçtır?= $\displaystyle 5$
3. 3) ${f(x) = |5x - 17| + 2}$ ise ${f(7)}$ kaçtır?= $\displaystyle 20$
/ 40
Aşağıdaki fonksiyonların grafiğinin ${y}$ eksenini kestiği noktanın ordinatını bulunuz.
1. 1) ${f(x) = |8x - 16| + 3}$ = $\displaystyle 19$
2. 2) ${f(x) = |2x - 6| + 1}$ = $\displaystyle 7$
3. 3) ${f(x) = |4x - 10| + 5}$ = $\displaystyle 15$
/ 40
Aşağıdaki mutlak değer fonksiyonlarının sıfırını bulunuz.
1. 1) ${f(x) = |3x - 45|}$ = $\displaystyle 15$
2. 2) ${f(x) = |3x - 48|}$ = $\displaystyle 16$
3. 3) ${f(x) = |4x - 16|}$ = $\displaystyle 4$
/ 39
Aşağıdaki mutlak değer fonksiyonlarının sıfırını bulunuz.
1. 1) ${f(x) = |5x + 40|}$ = $\displaystyle -8$
2. 2) ${f(x) = |2x + 18|}$ = $\displaystyle -9$
3. 3) ${f(x) = |3x + 54|}$ = $\displaystyle -18$
/ 40

Kâğıt başlığı

Çalışma boşluğu

Yok8 mm15 mm25 mm

Ad, sınıf, süre satırıCevap anahtarında kısa çözüm

0 kalem

İndirmek için en az bir kalem seç.

Kazanım künyesi

9. sınıf Mutlak değer fonksiyonu için 46 çözümlü soru: soruları sayfada çöz, takıldığında adım adım çözümü aç; seçtiğin sorulardan test, yaprak test ya da yazılı kâğıdı hazırla ve cevap anahtarıyla PDF olarak indir; ödev için alıştırma (çalışma) kâğıdı çıkar; derste soruları akıllı tahtada tek tek aç; ders kılavuzunda derse giriş, kavram yanılgıları ve tahta akışı var. 1. dönem yazılısına ve ortak sınava hazırlıkta kullanılır.

Kod: MAT.9.2.2
Kapsadığı konular: mutlak değer, mutlak değer grafiği, mutlak değerli ifadeler
Dönem ve hafta: 1. dönem, 10, 11. haftalar, 8 ders saati
Süreç bileşenleri: a)Gerçek sayılarda f(x) = x şeklinde tanımlı doğrusal referans fonksiyon ile n(x) = ± |x| şeklinde tanımlı mutlak değer fonksiyonu arasındaki ve gerçek sayılarda tanımlı bir h doğrusal fonksiyonu ile m (x) = ± |h(x)| ± c (c ∈ℝ) şeklinde tanımlı mutlak değer fonksiyonu arasındaki cebirsel ve grafiksel benzerlikleri, farklılıkları gözlemler.
b)Gözlemlerinden yola çıkarak gerçek sayılarda m(x) = ± |ax ± b| ± c (a, b, c ∈ ℝ, a ≠ 0) şeklinde tanımlı mutlak değer fonksiyonunun nitel özelliklerini tespit eder.
c)Tespit ettiği nitel özelliklerinden hareketle gerçek sayılarda m(x) = ± |ax ± b| ± c (a, b, c ∈ ℝ, a ≠ 0) şeklinde tanımlı mutlak değer fonksiyonunun parçalı gösterimine yönelik çıkarımlarda bulunur
Ders kitabında: 2. Tema — Nicelikler ve Değişimler, 2.2 Gerçek Sayılarda Tanımlı Mutlak Değer Fonksiyonları ve Nitel Özellikleri

Mutlak değer fonksiyonu

Sorular ve çözümleri

Ders kılavuzu

Derse giriş: çengel sorular

Benzetmeler

Sık yapılan yanlışlar

Ödev ve çalışma kâğıdı

Ödev kâğıdı oluştur

Test PDF'i

Test PDF'i hazırla

Kazanım künyesi