10. sınıf, SayılarMAT.10.3.3

Bölünebilme kuralları

Bölünebilme

Kazanım: Bir doğal sayının belirli doğal sayılara bölümünden kalanlarına dair muhakeme yapabilme.

Tahtada aç Yazılı hazırla

Sorular ve çözümleri

Her sorunun altında adım adım çözüm var. Çoktan seçmelide doğru şık, çözümü açınca işaretlenir.

Zorluk

Cevap biçimi

Soru türü

Şekil

35 soru gösteriliyor

Soru 1KavramKısa cevap4 puanKolay

Tabloda beş sayının

{8}

ile bölümünden kalanlar verilmiştir. Tablodaki örüntünün her doğal sayıda sürdüğü bilinmektedir.Buna göre

{29\,157}

sayısının

{8}

ile bölümünden kalan kaçtır?

Çözümü göster

Cevap: $\displaystyle 5$

1
Tabloda ${1000}$ ve ${17\,000}$ sayılarının ${8}$ ile bölümünden kalanı ${0}$ 'dır; son üç basamağı ${150}$ olan ${150}$ , ${4150}$ ve ${63\,150}$ sayılarının kalanı ise hep ${6}$ 'dır.
2
Örüntü, ${1000}$ 'in katlarının kalanı değiştirmediğini gösterir: bir sayının ${8}$ ile bölümünden kalanı, son üç basamağının oluşturduğu sayının ${8}$ ile bölümünden kalanına eşittir.
3
${29\,157 = 29 \cdot 1000 + 157}$ olduğundan kalan, ${157}$ sayısının ${8}$ ile bölümünden kalanıdır: ${157 = 8 \cdot 19 + 5}$ .
4
Buna göre kalan ${5}$ olur.

Soru 2KavramÇoktan seçmeli5 puanOrta

Tabloda altı sayının

{2}

{3}

{6}

ile bölümünden kalanlar verilmiştir. Bir sayının

{2}

{3}

{6}

ile bölümünden kalanları sırasıyla

{k_2}

{k_3}

{k_6}

ile gösterilmektedir.Buna göre aşağıdaki varsayımlardan hangisi tablodaki bütün sayılar için doğrudur?

A $\displaystyle k_6 = k_2 + k_3$
B $\displaystyle k_6 = k_2 \cdot k_3$
C $\displaystyle k_6 - k_3 \in \{0, 3\}$
D $\displaystyle k_6 = 2 \cdot k_3$
E $\displaystyle k_6 = k_2 + 2 \cdot k_3$

Çözümü göster

CDoğru cevap

1
Tablodaki satırlarda ${k_6}$ sırasıyla ${0, 1, 2, 3, 4, 5}$ değerlerini alır; her varsayım bu altı satırda denenir.
2
${k_6 = k_2 + k_3}$ varsayımı ${25}$ satırında ${1 + 1 = 2}$ verir, kalan ise ${1}$ 'dir. ${k_6 = k_2 \cdot k_3}$ varsayımı ${38}$ satırında ${0 \cdot 2 = 0}$ verir, kalan ise ${2}$ 'dir.
3
${k_6 = 2 \cdot k_3}$ varsayımı ${25}$ satırında ${2}$ verir, kalan ise ${1}$ 'dir. ${k_6 = k_2 + 2 \cdot k_3}$ varsayımı ${38}$ satırında ${4}$ verir, kalan ise ${2}$ 'dir.
4
${k_6 - k_3}$ farkı ${42}$ , ${25}$ ve ${38}$ satırlarında ${0}$ ; ${51}$ , ${64}$ ve ${77}$ satırlarında ${3}$ olur.
5
Buna göre bütün satırlarda doğru olan varsayım ${k_6 - k_3 \in \{0, 3\}}$ olur.

Yanlış şıklar neden yanlış?

A)Yalnız 42 ve 38 satırlarında tutar; 25 için 1 + 1 = 2 olur, tablodaki kalan 1.
B)Yalnız 42 ve 25 satırlarında tutar; 38 için 0 · 2 = 0 olur, tablodaki kalan 2.
D)Yalnız 42 satırında tutar; 25 için 2 · 1 = 2 olur, tablodaki kalan 1.
E)Yalnız 42 ve 77 satırlarında tutar; 38 için 0 + 4 = 4 olur, tablodaki kalan 2.

Soru 3KavramÇoktan seçmeli5 puanOrta

Bir öğrenci

{10 = 9 + 1}

{100 = 99 + 1}

{1000 = 999 + 1}

eşitliklerini listelemiş ve bu sayıların her birinin

{9}

ile bölümünden kalanının

{1}

olduğunu görmüştür. Öğrenci bu örüntüden bir sayının

{9}

ile bölümünden kalanını rakamlarından bulan bir genellemeye ulaşmıştır.Buna göre

{3\,007\,005\,008}

sayısının

{9}

ile bölümünden kalan kaçtır?

A $\displaystyle 5$
B $\displaystyle 23$
C $\displaystyle 8$
D $\displaystyle 2$
E $\displaystyle 1$

Çözümü göster

ADoğru cevap

1
${10}$ , ${100}$ ve ${1000}$ sayılarının her biri ${9}$ 'un bir katından ${1}$ fazladır. Bu yüzden rakamı ${r}$ olan bir basamak, ${9}$ ile bölümde ${r}$ kadar kalan bırakır; bir sayının ${9}$ ile bölümünden kalanı, rakamları toplamının ${9}$ ile bölümünden kalanına eşittir.
2
${3\,007\,005\,008}$ sayısının sıfırdan farklı rakamları ${3}$ , ${7}$ , ${5}$ ve ${8}$ olduğundan rakamları toplamı ${3 + 7 + 5 + 8 = 23}$ olur.
3
${23 = 9 \cdot 2 + 5}$ olduğundan kalan ${5}$ olur.

Yanlış şıklar neden yanlış?

B)Rakamlar toplamı kalan sanılmış; kalan bölenden küçük olmalıdır.
C)Birler basamağındaki rakam alınmış; bu kural 10 ile bölümden kalan içindir.
D)Rakamlar toplamı 9 ile bölünürken kalan yerine bölüm yazılmış.
E)10, 100 ve 1000 sayılarının kalanı 1 olduğu için sayının kalanı da 1 sanılmış; rakamlar hesaba katılmamış.

Soru 4KavramKısa cevap6 puanOrta

Tabloda beş sayının

{8}

{4}

{2}

ile bölümünden kalanlar verilmiştir. Tablodaki örüntünün,

{8}

ile bölümünden kalanı bilinen her doğal sayıda sürdüğü bilinmektedir.Buna göre

{8}

ile bölümünden kalanı

{7}

olan bir doğal sayının

{4}

ile bölümünden kalanı ile

{2}

ile bölümünden kalanının toplamı kaçtır?

Çözümü göster

Cevap: $\displaystyle 4$

1
Tablonun her satırında ${4}$ ile bölümden kalan, ${8}$ ile bölümden kalanın ${4}$ ile bölümünden kalanına eşittir: ${13}$ için ${5 = 4 \cdot 1 + 1}$ ve ${4}$ ile bölümden kalan ${1}$ 'dir.
2
Aynı biçimde ${2}$ ile bölümden kalan, ${8}$ ile bölümden kalanın ${2}$ ile bölümünden kalanıdır: ${99}$ için ${3 = 2 \cdot 1 + 1}$ ve ${2}$ ile bölümden kalan ${1}$ 'dir.
3
Varsayımın gerekçesi: ${8}$ sayısı ${4}$ 'ün ve ${2}$ 'nin katı olduğundan ${8q + k}$ biçimindeki sayıda ${8q}$ kısmı ${4}$ ile ve ${2}$ ile tam bölünür; kalan yalnız ${k}$ sayısından gelir.
4
${7 = 4 \cdot 1 + 3}$ ve ${7 = 2 \cdot 3 + 1}$ olduğundan kalanlar ${3}$ ve ${1}$ olur. Buna göre kalanların toplamı ${3 + 1 = 4}$ olur.

Soru 5KavramÇoktan seçmeli7 puanZor

Tabloda

{10}

'un katı olan yedi sayının

{4}

ile bölümünden kalanlar verilmiştir. Bir öğrenci tablodaki örüntüyü genelleyerek bir doğal sayının

{4}

ile bölümünden kalanını yalnız onlar basamağındaki ve birler basamağındaki rakamlardan bulmuştur.Beş basamaklı 6387A sayısının

{4}

ile bölümünden kalanı

{1}

'dir. A bir rakam olduğuna göre A'nın alabileceği değerlerin toplamı kaçtır?

A $\displaystyle 8$
B $\displaystyle 15$
C $\displaystyle 3$
D $\displaystyle 7$
E $\displaystyle 10$

Çözümü göster

EDoğru cevap

1
Tabloda ${100}$ ve ${700}$ gibi ${100}$ 'ün katlarının kalanı ${0}$ 'dır. ${10}$ , ${30}$ ve ${50}$ sayılarının kalanı ${2}$ ; ${20}$ ve ${40}$ sayılarının kalanı ${0}$ 'dır. Yani ${10a}$ sayısının ${4}$ ile bölümünden kalanı, ${2a}$ sayısının kalanına eşittir.
2
Genelleme: onlar basamağı ${a}$ , birler basamağı ${b}$ olan bir sayının ${4}$ ile bölümünden kalanı, ${2a + b}$ toplamının ${4}$ ile bölümünden kalanına eşittir.
3
6387A sayısında ${a = 7}$ olduğundan ${14 + A}$ toplamının kalanı ${1}$ olmalıdır. ${14 = 4 \cdot 3 + 2}$ olduğundan ${2 + A}$ toplamının kalanı ${1}$ olur; ${A}$ rakamı ${3}$ ya da ${7}$ olur.
4
Buna göre A'nın alabileceği değerlerin toplamı ${3 + 7 = 10}$ olur.

Yanlış şıklar neden yanlış?

A)Onlar ve birler basamağındaki rakamlar toplanmış; 7 + A toplamından A için 2 ve 6 bulunmuş.
B)Yalnız birler basamağına bakılmış; A için 1, 5 ve 9 bulunmuş.
C)Koşula uyan iki değerden yalnız küçüğü alınmış.
D)Koşula uyan iki değerden yalnız büyüğü alınmış.

Soru 6KavramÇoktan seçmeli7 puanZor

Bir öğrenci bölünebilme özelliklerinden yola çıkarak aşağıdaki varsayımlarda bulunmuştur.I.

{4}

ile bölümünden kalanı

{3}

olan her doğal sayının

{2}

ile bölümünden kalanı

{1}

'dir.II.

{5}

ile bölümünden kalanı

{4}

olan her doğal sayının

{10}

ile bölümünden kalanı

{4}

'tür.III.

{9}

ile bölümünden kalanı

{6}

olan her doğal sayının

{3}

ile bölümünden kalanı

{0}

'dır.Buna göre bu varsayımlardan hangileri her doğal sayı için doğrudur?

A $Yalnız I$
B $I ve III$
C $Yalnız III$
D $I ve II$
E $I, II ve III$

Çözümü göster

Soru 7KavramÇoktan seçmeli5 puanOrta

Bir öğrenci

{3}

{9}

ile bölümden kalan kurallarından yola çıkarak "Bir doğal sayının

{6}

ile bölümünden kalanı, rakamları toplamının

{6}

ile bölümünden kalanına eşittir." genellemesini yapmıştır. Öğrenci genellemesini tablodaki beş sayıyla sınamıştır. Tabloda her sayının rakamları toplamı ile sayının ve bu toplamın

{6}

ile bölümünden kalanları verilmiştir.Buna göre aşağıdaki sayılardan hangisi bu genellemenin yanlış olduğunu gösteren bir karşıt örnektir?

A $\displaystyle 48$
B $\displaystyle 64$
C $\displaystyle 206$
D $\displaystyle 57$
E $\displaystyle 314$

Çözümü göster

Soru 8KavramÇoktan seçmeli9 puanİleri

Bir öğrenci

{4}

ile bölümden kalan kuralını genelleyerek bir doğal sayının

{8}

ile bölümünden kalanını, son iki basamağının oluşturduğu sayının

{8}

ile bölümünden kalanı olarak bulmaktadır. Tabloda öğrencinin bu yöntemle beş sayı için bulduğu kalanlar verilmiştir.Buna göre öğrencinin yöntemi hangi sayılarda ve yalnız o sayılarda doğru kalanı verir?

A $Birler basamağı çift olanlarda$
B $Son iki basamağı 4 ile bölünenlerde$
C $Yüzler basamağı 0 olanlarda$
D $Yüzler basamağı çift olanlarda$
E $Çift sayılarda$

Çözümü göster

Soru 9KavramÇoktan seçmeli3 puanKolay

Bir öğrenci

{4}

ile bölümden kalana ilişkin genellemesini her doğal sayı için doğru olan bir önermeyle sunmak istemektedir.Buna göre bir doğal sayının

{4}

ile bölümünden kalanı, aşağıdakilerden hangisinin

{4}

ile bölümünden kalanına her zaman eşittir?

A $Birler basamağındaki rakamın$
B $Son iki basamağının oluşturduğu sayının$
C $Rakamları toplamının$
D $Son iki basamağındaki rakamların toplamının$
E $Onlar basamağındaki rakamın$

Çözümü göster

Soru 10KavramÇoktan seçmeli5 puanOrta

Aşağıda bölümden kalanlarla ilgili üç önerme verilmiştir.I. Bir doğal sayının

{10}

ile bölümünden kalanı,

{5}

ile bölümünden kalanından küçük olamaz.II.

{8}

ile bölümünden kalanı

{6}

olan bir doğal sayının son iki basamağının oluşturduğu sayı

{4}

ile tam bölünmez.III. Rakamları toplamının

{3}

ile bölümünden kalanı

{1}

olan her doğal sayının

{9}

ile bölümünden kalanı

{1}

'dir.Buna göre bu önermelerden hangileri doğrudur?

A $I ve II$
B $Yalnız I$
C $Yalnız II$
D $I ve III$
E $I, II ve III$

Çözümü göster

Soru 11İşlemÇoktan seçmeli7 puanZor

Bir doğal sayının

{4}

ile bölümünden kalanı, son iki basamağının oluşturduğu sayının

{4}

ile bölümünden kalanına eşittir. Bir doğal sayının

{9}

ile bölümünden kalanı ise rakamları toplamının

{9}

ile bölümünden kalanına eşittir.A ve B birer rakam olmak üzere, rakamları birbirinden farklı dört basamaklı 5A3B sayısının

{4}

ile bölümünden kalanı

{2}

{9}

ile bölümünden kalanı

{4}

'tür.Buna göre A'nın alabileceği değerlerin toplamı kaçtır?

A $\displaystyle 12$
B $\displaystyle 8$
C $\displaystyle 1$
D $\displaystyle 6$
E $\displaystyle 7$

Çözümü göster

Soru 12Yeni nesilAçık uçlu20 puanİleri

Tablodaki dört sayının her biri, yanındaki iki bölenin her birine ve bu bölenlerin çarpımına tam bölünmektedir. Bir öğrenci tablodan yola çıkarak "Bir doğal sayı iki doğal sayının her birine tam bölünüyorsa bu iki sayının çarpımına da tam bölünür." genellemesini yapmıştır.Aşağıdaki soruları cevaplayınız.

a)
Hem ${6}$ ile hem ${9}$ ile tam bölünüp ${54}$ ile tam bölünmeyen en küçük pozitif doğal sayıyı bulunuz.(5 puan)
b)
Tablodaki bölen çiftlerini ${6}$ ve ${9}$ çiftiyle karşılaştırarak genellemeyi her zaman doğru olan bir önerme olarak yeniden yazınız.(5 puan)
c)
${6}$ ile bölümünden kalanı ${1}$ , ${9}$ ile bölümünden kalanı ${4}$ olan doğal sayıların ${54}$ ile bölümünden kalanı kaç farklı değer alır? Bu sayıların ${18}$ ile bölümünden kalanı için ne söylenebilir?(5 puan)
ç)
Bir sayının ${3}$ ile bölümünden kalanı ${2}$ , ${8}$ ile bölümünden kalanı ${3}$ 'tür. Bu sayının ${24}$ ile bölümünden kalanını bulunuz ve ${3}$ ile ${8}$ sayılarının aralarında asal olmasının bu sonuca katkısını açıklayınız.(5 puan)

Çözümü göster

Soru 13İşlemKısa cevap4 puanKolay

Bir öğrenci

{7352}

sayısının

{9}

ile bölümünden kalanını bulmak için basamak çözümlemesini aşağıdaki gibi yapmıştır.

{7352 = 7 \cdot 1000 + 3 \cdot 100 + 5 \cdot 10 + 2}

{7352 = 9 \cdot (7 \cdot 111 + 3 \cdot 11 + 5) + (7 + 3 + 5 + 2)}

Buna göre

{7352}

sayısının

{9}

ile bölümünden kalan kaçtır?

Çözümü göster

Soru 14İşlemÇoktan seçmeli5 puanOrta

Rakamları soldan sağa

{a}

{b}

{c}

{d}

olan dört basamaklı bir sayı

{N = 1000a + 100b + 10c + d}

olsun. Bu sayı için basamak çözümlemesi aşağıdaki gibi yapılmıştır.

{N = 8 \cdot (125a + 12b + c) + (4b + 2c + d)}

A bir rakam olmak üzere, dört basamaklı 375A sayısının

{8}

ile bölümünden kalanı

{1}

'dir.Buna göre A kaçtır?

A $\displaystyle 7$
B $\displaystyle 5$
C $\displaystyle 3$
D $\displaystyle 9$
E $\displaystyle 2$

Çözümü göster

Soru 15İşlemÇoktan seçmeli5 puanOrta

Bir öğrenci

{2000}

sayısının

{36}

ile bölümünden kalanını kat ilişkisiyle bulmak için

{2000 = 36 \cdot 54 + 56}

eşitliğini yazmış ve kalanı

{56}

olarak belirlemiştir.Buna göre

{2000}

sayısının

{36}

ile bölümünden kalan kaçtır?

A $\displaystyle 20$
B $\displaystyle 56$
C $\displaystyle 16$
D $\displaystyle 2$
E $\displaystyle 0$

Çözümü göster

Soru 16Yeni nesilKısa cevap6 puanOrta

Bir depodaki kolinin üzerine yazılmış sayının yalnız son üç basamağı olan

{215}

okunabilmektedir. Sayının öteki basamakları silinmiştir ve sayının kaç basamaklı olduğu bilinmemektedir.Bir öğrenci bu sayının

{2}

{3}

{4}

{5}

{6}

{8}

{9}

{10}

ile bölümünden kalanlarını bulmak istemektedir. Kat ilişkisi sayının tamamını gerektirdiği için öğrenci yalnız bölünebilme kurallarını kullanmaktadır.Buna göre bu sekiz kalandan kaçı kesin olarak bulunabilir?

Çözümü göster

Soru 17KavramÇoktan seçmeli7 puanZor

Bir sınıfta kalan bulma yöntemlerinin kullanışlılığı tartışılırken aşağıdaki üç görüş ileri sürülmüştür.I. Bazı rakamları bilinmeyen 4A7B gibi bir sayının kalanı kat ilişkisiyle doğrudan bulunamaz; bölünebilme kuralıyla ise kalan, bilinmeyen rakamlara bağlı bir toplamla yazılabilir.II. Basamak çözümlemesiyle doğrulanan bir kalan kuralı, kalanı bulunacak her yeni sayı için yeniden çözümlenmelidir.III. Bölünebilme kurallarıyla bir sayının

{12}

ile bölümünden kalanı bulunurken hem

{3}

ile hem

{4}

ile bölümünden kalan gerekir.Buna göre bu görüşlerden hangileri doğrudur?

A $Yalnız I$
B $I ve III$
C $Yalnız III$
D $I ve II$
E $I, II ve III$

Çözümü göster

Soru 18Yeni nesilAçık uçlu20 puanİleri

Bir öğrenci tablodaki iki sayının

{4}

{9}

{36}

ile bölümünden kalanlarını bulmak istemektedir. Tabloda soru işareti, bulunacak kalanları göstermektedir. 51A8 sayısında A bir rakamdır ve bu sayı

{36}

ile tam bölünmektedir.Aşağıdaki soruları cevaplayınız.

a)
Bölünebilme kurallarını kullanarak ${9\,364\,518}$ sayısının ${4}$ ile ve ${9}$ ile bölümünden kalanlarını, sonra bu kalanlardan ${36}$ ile bölümünden kalanını bulunuz.(5 puan)
b)
Kat ilişkisinde sayı ${36 \cdot q + k}$ biçiminde yazılır; burada ${q}$ bölüm, ${k}$ kalandır. Aynı kalan bu yöntemle bulunursa ${q}$ bölümü kaç basamaklı olur?(4 puan)
c)
51A8 sayısının A rakamını bulunuz.(5 puan)
ç)
(a) ve (c) maddelerinde kullandığınız bölünebilme kurallarını kat ilişkisiyle karşılaştırınız. Hangi durumda hangi yöntemin daha kullanışlı olduğunu gerekçesiyle yazınız.(6 puan)

Çözümü göster

Soru 19Yeni nesilÇoktan seçmeli5 puanOrta

Bir müzede ziyaretçi kartlarının numaraları üç basamaklıdır. Kartların ön yüzünde numara yazmaz; arka yüzüne numaranın sırasıyla

{3}

{4}

{5}

ile bölümünden kalanları yazılır. Bir ziyaretçinin kartının arkasında sırasıyla

{2}

{1}

{4}

yazmaktadır. Görevli, kart numarasının

{400}

ile

{500}

arasında olduğunu bilmektedir.Buna göre kartın numarası kaçtır?

A $\displaystyle 429$
B $\displaystyle 29$
C $\displaystyle 509$
D $\displaystyle 464$
E $\displaystyle 449$

Çözümü göster

Soru 20SözelKısa cevap4 puanKolay

Bir reçel üreticisi kavanozlarını ikişerli kutulara koyduğunda

{1}

kavanoz, üçerli kutulara koyduğunda

{2}

kavanoz kutuların dışında kalmaktadır.Buna göre üretici aynı kavanozları altışarlı kutulara koyarsa kaç kavanoz kutuların dışında kalır?

Çözümü göster

Soru 21Yeni nesilÇoktan seçmeli7 puanZor

Bir pastanede günlük üretilen kurabiyeler kutulara konmaktadır. Kurabiyelerin hepsi

{8}

'li kutulara konmak istendiğinde

{5}

{10}

'lu kutulara konmak istendiğinde

{3}

{6}

'lı kutulara konmak istendiğinde

{1}

kurabiye kutuların dışında kalmaktadır. Günlük üretilen kurabiye sayısı

{200}

ile

{300}

arasındadır.Buna göre günlük üretilen kurabiye sayısı kaçtır?

A $\displaystyle 213$
B $\displaystyle 223$
C $\displaystyle 253$
D $\displaystyle 13$
E $\displaystyle 205$

Çözümü göster

Soru 22İşlemÇoktan seçmeli3 puanKolay

Bir doğal sayının

{15}

ile bölümünden kalanı

{13}

'tür.Buna göre bu sayının

{3}

ile bölümünden kalanı ile

{5}

ile bölümünden kalanının toplamı kaçtır?

A $\displaystyle 13$
B $\displaystyle 6$
C $\displaystyle 0$
D $\displaystyle 4$
E $\displaystyle 3$

Çözümü göster

Soru 23İşlemÇoktan seçmeli7 puanZor

{5}

ile

{8}

sayılarının

{1}

'den başka pozitif ortak böleni yoktur ve en küçük ortak katları (EKOK)

{40}

'tır. Bu yüzden bir doğal sayının

{40}

ile bölümünden kalanı

{k}

ise bu sayının

{5}

ile ve

{8}

ile bölümünden kalanları,

{k}

sayısının

{5}

ile ve

{8}

ile bölümünden kalanlarına eşittir.Bir doğal sayının

{5}

ile bölümünden kalanı

{3}

{8}

ile bölümünden kalanı

{6}

'dır.Buna göre bu sayının

{40}

ile bölümünden kalanı kaçtır?

A $\displaystyle 9$
B $\displaystyle 18$
C $\displaystyle 38$
D $\displaystyle 30$
E $\displaystyle 14$

Çözümü göster

Soru 24Yeni nesilAçık uçlu20 puanİleri

Bir depoda rafların ürün sayıları doğrudan yazılmamakta; her rafın ürün sayısının

{8}

{9}

{72}

ile bölümünden kalanları tabloya kaydedilmektedir. Tabloda soru işareti silinmiş bir kaydı göstermektedir.

{8}

ile

{9}

sayılarının

{1}

'den başka pozitif ortak böleni yoktur ve en küçük ortak katları (EKOK)

{72}

'dir. Depo sorumlusu "

{8}

ile ve

{9}

ile bölümden kalanlar,

{72}

ile bölümden kalanı tek türlü belirler." önermesini kullanmaktadır.Aşağıdaki soruları cevaplayınız.

a)
A rafındaki ürün sayısının ${72}$ ile bölümünden kalanını bulunuz.(5 puan)
b)
B rafındaki ürün sayısının ${8}$ ile ve ${9}$ ile bölümünden kalanlarının toplamını bulunuz.(4 puan)
c)
C rafındaki ürün sayısı ${300}$ ile ${400}$ arasındadır. Bu sayı kaç farklı değer alabilir? Değerleri yazınız.(5 puan)
ç)
Depo sorumlusu önermeyi bilmeseydi (a) maddesinde ${0}$ ile ${71}$ arasındaki bütün sayıların ${8}$ ile ve ${9}$ ile bölümünden kalanlarına bakacaktı. Önermenin katkısını, denenen sayıların sayısını karşılaştırarak değerlendiriniz.(6 puan)

Çözümü göster

Soru 25Yeni nesilAçık uçlu10 puanOrta

Tabloda bir doğal sayının

{2}

{5}

{10}

ile bölümünden kalanlarının yazılacağı sütunlar vardır. Tablonun yalnız örnek satırı doludur; boş satırları siz doldurabilirsiniz.Aşağıdaki soruları cevaplayınız.

a)
Kendi seçtiğiniz beş doğal sayıyla tablonun boş satırlarını doldurunuz.(3 puan)
b)
Tablonuzdaki kalanlara bakarak bir doğal sayının ${2}$ , ${5}$ ve ${10}$ ile bölümünden kalanlarının sayının hangi kısmından bulunduğunu birer varsayım cümlesiyle yazınız. Üç varsayımın da neden doğru olduğunu bir cümleyle açıklayınız.(4 puan)
c)
Yazdığınız üç varsayımı, tablonuzda bulunmayan bir altıncı doğal sayıyla sınayınız.(3 puan)

Çözümü göster

Soru 26KavramKısa cevap6 puanOrta

Bir öğrenci bir doğal sayının

{10}

ile bölümünden kalanı ile

{5}

ile bölümünden kalanı arasındaki bağı araştırmaktadır. Bu iki kalandan biri ötekini her zaman belirler, tersi ise belirlemez.Buna göre hangi kalanın ötekini belirlediğini bir varsayım cümlesiyle yazınız ve ters yönün geçerli olmadığını iki örnekle gösteriniz.

Çözümü göster

Soru 27Yeni nesilKısa cevap6 puanOrta

Sayı doğrusunda üç sayı dolu daireyle işaretlenmiştir. Bu üç sayının,

{1}

'den büyük bir doğal sayıya bölümünden kalanları birbirine eşittir.Buna göre bu böleni, ortak kalanı ve aynı kuralla işaretlenecek sonraki iki sayıyı yazınız.

Çözümü göster

Soru 28KavramAçık uçlu10 puanOrta

Bir doğal sayının

{8}

ile bölümünden kalanı

{0}

{1}

{2}

{3}

{4}

{5}

{6}

ya da

{7}

olabilir.Aşağıdaki soruları cevaplayınız.

a)
Bu sekiz kalanın her biri için, ardışık olmayan birer doğal sayı seçiniz. Seçtiğiniz sayıları ve kalanlarını iki sütunlu bir tablo hâlinde yazınız.(4 puan)
b)
Ardışık sekiz doğal sayının ${8}$ ile bölümünden kalanları hakkında ne söylenebilir? Gözleminizi ardışık sekiz sayıyla gösterip bir cümleyle yazınız.(3 puan)
c)
Bir öğrenci "Bir doğal sayı ${1}$ artarsa ${8}$ ile bölümünden kalanı da ${1}$ artar." genellemesini yapmıştır. Bu genellemenin her zaman doğru olmadığını kendi listenizden bir karşıt örnekle gösteriniz ve genellemenin neden bozulduğunu yazınız.(3 puan)

Çözümü göster

Soru 29KavramAçık uçlu15 puanZor

Bir fuarda stantların kapı numarası iki basamaklıdır. Bir görevli iki stant numarası görmüştür; bu numaralardan biri, ötekinin rakamları yer değiştirilerek elde edilmiştir. Görevli bunun üzerine şu önermeyi kurmuştur:"Rakamları yer değiştirilen iki basamaklı iki doğal sayının farkı her zaman

{9}

'un katıdır."Aşağıdaki soruları cevaplayınız.

a)
Rakamları birbirinden farklı, iki basamaklı üç sayı seçip her biri için önermeyi sınayınız.(4 puan)
b)
Onlar basamağındaki rakamı ${a}$ , birler basamağındaki rakamı ${b}$ olan iki basamaklı bir sayıyı ve rakamları yer değiştirilmiş hâlini basamak çözümlemesiyle yazınız. Farkın her zaman ${9}$ 'un katı olduğunu cebirsel olarak doğrulayınız.(5 puan)
c)
Önermeyi kalan diliyle yeniden yazınız: rakamların yeri değiştiğinde sayının ${9}$ ile bölümünden kalanı nasıl değişir? Cevabınızı gerekçesiyle yazınız ve bir sayı çiftiyle gösteriniz.(6 puan)

Çözümü göster

Soru 30KavramAçık uçlu10 puanOrta

Rakamları birbirinden farklı, iki basamaklı bir doğal sayının rakamları yer değiştirilmektedir. Elde edilen sayı ile ilk sayının büyüğünden küçüğü çıkarıldığında bulunan fark her zaman

{9}

'un katıdır.Aşağıdaki soruları cevaplayınız.

a)
Bu farkın ${3}$ ile de her zaman tam bölündüğünü gösteriniz.(3 puan)
b)
Farkın ${4}$ ile her zaman tam bölünmediğini bir karşıt örnekle gösteriniz.(3 puan)
c)
Fark hangi bölenlerle her zaman tam bölünür? Cevabınızı bir cümleyle gerekçelendiriniz.(4 puan)

Çözümü göster

Soru 31Yeni nesilÇoktan seçmeli5 puanOrta

Bir öğrenci, bir doğal sayının bir bölenle bölümünden kalanını bulmak için sayının hangi kısmına bakmanın yeterli olduğunu gösteren bir karar şeması çizmiştir. Her çıktı, o bölenle bölümünden kalanı bulmaya yeten kısmı göstermektedir; son çıktı ise ilk üç koşulu sağlamayan bütün bölenler içindir. Şemadaki dört daldan yalnız biri yanlış bir çıktı vermektedir.Buna göre yanlış dal ve o dalın doğru çıktısı aşağıdakilerden hangisidir?

A $8 dalı: son üç basamak$
B $9 dalı: son üç basamak$
C $4 dalı: son üç basamak$
D $9 dalı: sayının tamamı$
E $Şemada yanlış dal yoktur$

Çözümü göster

Soru 32İşlemAçık uçlu15 puanZor

Bir doğal sayının bir bölenle bölümünden kalanı iki yöntemle bulunabilir. Basamak çözümlemesinde sayı, basamak değerlerinin toplamı olarak yazılır ve bölenle tam bölünen kısım ayrılır. Kat ilişkisinde ise sayı aşağıdaki gibi yazılır; burada

{b}

bölen,

{q}

bölüm ve

{k}

kalandır.

{n = b \cdot q + k}

{0 \leq k < b}

Kat ilişkisi sayının tamamının bölenle bölünmesini gerektirir.Aşağıdaki soruları

{283\,615}

sayısı için cevaplayınız.

a)
Bu sayının ${9}$ ile bölümünden kalanını iki yöntemden birini seçip bulunuz. Seçtiğiniz yöntemin adını yazınız.(6 puan)
b)
Aynı sayının ${6}$ ile bölümünden kalanını bulmak için hangi yöntemi seçersiniz? Seçtiğiniz yöntemi uygulayarak kalanı bulunuz.(5 puan)
c)
(a) maddesinde bulduğunuz kalanı, orada seçmediğiniz öteki yöntemle doğrulayınız.(4 puan)

Çözümü göster

Soru 33Yeni nesilKısa cevap6 puanOrta

Bir çiçek soğanı üreticisi soğanlarını torbalara koymaktadır. Tabloda iki torba büyüklüğü ve her birinde torbaların dışında kalan soğan sayısı verilmiştir. Üretici, aynı sayıda soğan için tablodaki iki koşulun da sağlanmasını istemektedir.Buna göre tablodaki iki koşulu birlikte sağlayan bir soğan sayısı var mıdır? Cevabınızı gerekçesiyle yazınız.

Çözümü göster

Soru 34Yeni nesilAçık uçlu20 puanİleri

Tabloda üç bölen çifti ve her çift için birer kalan çifti verilmiştir. Her satırda, verilen iki bölenle bölümünden kalanları yandaki iki sayı olan bir doğal sayı aranmaktadır. Tablonun son sütunu boştur.Aşağıdaki soruları cevaplayınız.

a)
Tablonun son sütununu doldurunuz: her satır için iki koşulu birlikte sağlayan bir doğal sayı var mıdır? Kararınızı neye dayandırdığınızı gösteriniz ve sayı bulunan satırlarda birer örnek yazınız.(4 puan)
b)
Sayı bulunmayan satırda böyle bir sayının neden olamayacağını gösteriniz.(3 puan)
c)
İki kalanın birlikte sağlanabilmesi için bölenler ve kalanlar arasında bulunması gereken koşulu bir cümleyle yazınız. Koşulu iki kat ilişkisinden çıkarınız.(5 puan)
ç)
Koşul sağlandığında, koşulları sağlayan iki sayının bölenlerin en küçük ortak katına bölümünden kalanlarının eşit olduğunu kat ilişkisiyle açıklayınız.(4 puan)
d)
Birinci satırın kalanlarından yalnız birini değiştirerek, iki koşulun birlikte sağlanamadığı bir kalan çifti yazınız. Yeni çiftin koşulu neden sağlamadığını gösteriniz.(4 puan)

Çözümü göster

Soru 35SözelÇoktan seçmeli5 puanOrta

Bir tuğla harmanında üretilen tuğlalar eşit sayıda tuğla içeren destelere ayrılmaktadır. Bir günde üretilen

{1465}

tuğla sırayla

{4}

'lük,

{6}

'lık,

{9}

'luk ve

{10}

'luk destelere ayrılmak istenmektedir. Her denemede tam desteler kurulur ve artan tuğlalar deste dışında kalır.Buna göre dört denemede artan tuğla sayılarının toplamı kaçtır?

A $\displaystyle 17$
B $\displaystyle 13$
C $\displaystyle 12$
D $\displaystyle 9$
E $\displaystyle 14$

Çözümü göster

Ders kılavuzu

Dersi açmak için çengel sorular, kavramı somutlaştıran benzetmeler ve öğrencilerin sık yaptığı yanlışlar.

Derse giriş: çengel sorular

Hangi gün?
Bugün salıysa 100 gün sonra hangi gün olur? Öğrenciler takvimi saymaya kalkar. 100'ün 7 ile bölümünden kalan 2'dir; salıdan 2 gün sonra perşembedir. Kalanın neden yettiğini konuşun: tam haftalar günü değiştirmez.
Rakamlar toplamının sırrı
Tahtaya rastgele uzun bir sayı yazın, ör. 731 254. Öğrencilere 9 ile bölümünden kalanı bölme yapmadan bulabileceğinizi söyleyin: rakamlar toplamı 22, 22'nin 9 ile bölümünden kalan 4. Sonra bölmeyi yaptırarak doğrulatın. Neden çalışıyor?
$\displaystyle 10 = 9 + 1,\ 100 = 99 + 1$
Son iki basamak yeter mi?
4 ile bölünebilmede neden yalnız son iki basamağa bakılır? 100 sayısı 4'e bölünür; bu yüzden yüzler ve daha büyük basamaklar kalanı değiştirmez. Aynı soruyu 8 için sorun: 1000 = 8·125.

Benzetmeler

Kalan
Paketlenmeyen fazla yumurtalara benzer. 6'lı kolilere dizilen 45 yumurtadan 3 tanesi dışarıda kalır. Kalan hep bölen sayısından küçüktür; 6 yumurta artarsa yeni bir koli dolar.
Kalanların toplamı
Saat kadranında toplama gibidir. 9 saat sonra ve ardından 5 saat sonra saat 14 ilerler, ama kadranda 2 ilerlemiş görünür. Toplamın kalanı kalanların toplamından bulunur.
Bölünebilme kuralı
Bir kapının anahtarıdır: her kapıya ayrı anahtar gerekir. 2, 5, 10 için son basamak; 4 için son iki, 8 için son üç basamak; 3 ve 9 için rakamlar toplamı. 6 kapısı ise 2 ve 3 anahtarını birlikte ister.

Sık yapılan yanlışlar

Rakamlar toplamı kuralı her bölen için geçerlidir.
Rakamlar toplamı yalnız 3 ve 9 için kalanı verir, çünkü 10, 100, 1000 sayılarının 3 ve 9 ile bölümünden kalan 1'dir. 4 ya da 8 için böyle değildir.
25 ve 52 sayılarının rakamlar toplamı aynıdır; 4 ile bölümlerinden kalanları karşılaştırtın.
8 ile bölünebilmede son iki basamağa bakılır.
100 sayısı 8'e bölünmez (kalan 4). Bu yüzden 8 için son üç basamağa bakılır; 1000 = 8·125.
312 ile 412 sayılarının son iki basamağı aynıdır; 8 ile bölümlerinden kalanları buldurun.
6 ile bölünebilme için 3 ile bölünmek yeter.
6 = 2·3 olduğu için sayı hem 2'ye hem 3'e bölünmelidir. 15 sayısı 3'e bölünür ama 6'ya bölünmez.
2 ve 3 kurallarını iki ayrı kutuya yazdırın; 6 için iki kutunun da işaretlenmesini isteyin.
12 ile bölünebilme için 2 ve 6 ile bölünmek yeter.
2 ile 6 aralarında asal değildir. 18 sayısı 2'ye de 6'ya da bölünür ama 12'ye bölünmez. Aralarında asal çarpanlar seçilir: 12 = 3·4.
Bir sayının 12 ile bölümünden kalanı 3 ve 4 ile kalanlardan buldurun.
$\displaystyle 12 = 3 \cdot 4,\ \ \text{EBOB}(3, 4) = 1$
Kalanlar toplanınca çıkan sayı doğrudan kalandır.
Kalanlar toplamı bölenden büyük olabilir; o zaman bir kez daha bölünür. Kalanlar 8 ve 5, bölen 9 ise toplamın kalanı 13 değil 4'tür.
Kalan bulunduktan sonra "kalan bölenden küçük mü?" sorusunu her seferinde sordurun.
Rakam sorusunda tek bir cevap vardır.
Koşulu birden çok rakam sağlayabilir. 3 ile bölünebilmede uygun rakamlar 3'er artar; 9 ile bölünmede 0 ve 9 birlikte uygun olabilir.
Rakam sorularında 0'dan 9'a kadar bütün rakamları tek tek sınatarak listeyi tamamlatın.

Tahtada anlatım sırası9 adımı göster

1
Gün çengelini anlatın; bölme işleminde bölünen = bölen · bölüm + kalan bağıntısını ve kalanın bölenden küçük olduğunu hatırlatın.
$\displaystyle a = b \cdot q + r,\ 0 \le r < b$
2
2, 5 ve 10 ile bölümden kalanı son basamaktan buldurun; nedenini 10'un katlarıyla açıklayın.
Süreç bileşeni a: varsayımda bulunur.
3
4 ve 8 için 100 ve 1000 sayılarının bölünebilirliğinden yola çıkarak son iki ve son üç basamak kuralını kurun.
4
Rakamlar toplamı çengelini yapın; 10, 100, 1000 sayılarının 9 ile bölümünden kalanın 1 olduğunu gösterip kuralı genelleyin.
$\displaystyle \overline{abc} = 99a + 9b + (a + b + c)$
Süreç bileşeni b: örüntüyü geneller.
5
Kuralları birkaç sayıda bölme işlemiyle sınatın; 4 için rakamlar toplamının neden çalışmadığını buldurun.
Süreç bileşeni c: genellemeyi örneklerle sınar.
6
6 ile kalanı 2 ve 3 ile kalanlardan bulun; ardından 12 = 3·4 ve 18 = 2·9 ile genişletin.
Süreç bileşeni d: EKOK'tan oluşan bölenlerle kalanı değerlendirir.
7
Kalan aritmetiği: toplamın ve çarpımın kalanının kalanlardan bulunduğunu birkaç örnekle gösterin ve önerme olarak yazdırın.
Süreç bileşeni ç: önerme sunar.
8
Bilinmeyen rakam soruları: kuralı rakam için bir koşula çevirin ve uygun bütün rakamları buldurun.
Süreç bileşeni e: doğrulama yöntemi seçer ve kullanır.
9
Hangi durumda bölme yapmanın, hangisinde kuralı kullanmanın daha kısa olduğunu tartıştırın.
Süreç bileşeni f: yöntemi kullanışlılık açısından değerlendirir.

Ödev ve çalışma kâğıdı

Her antrenman tek bir beceriyi bol tekrarla çalıştırır. Hangisinden kaç kalem istediğini seç; kâğıt ve çözümlü cevap anahtarı tarayıcında hazırlanır.

Ödev kâğıdı oluştur

Her alıştırmadan kaç kalem istediğini seç. Kalemler hazır havuzdan rastgele gelir; iki sınıfa iki ayrı kâğıt verebilirsin. Çözümlü cevap anahtarı da hazır.

Alıştırmalar

6 = 2 · 3 ve 12 = 3 · 4 için önce iki ayrı kalanı bulunuz; ikisini birden sağlayan kalanı seçiniz.
1. 1)80151 sayısının 6 ile bölümünden kalan kaçtır?= $\displaystyle 3$
2. 2)46698 sayısının 12 ile bölümünden kalan kaçtır?= $\displaystyle 6$
3. 3)94434 sayısının 6 ile bölümünden kalan kaçtır?= $\displaystyle 0$
/ 40
3 ve 9 ile bölümden kalan için rakamları toplayınız; toplamın 3 ya da 9 ile bölümünden kalanı bulunuz.
1. 1)77890 sayısının 9 ile bölümünden kalan kaçtır?= $\displaystyle 4$
2. 2)53976 sayısının 3 ile bölümünden kalan kaçtır?= $\displaystyle 0$
3. 3)53657 sayısının 9 ile bölümünden kalan kaçtır?= $\displaystyle 8$
/ 40
2, 5 ve 10 için son basamağa; 4 için son iki, 8 için son üç basamağın oluşturduğu sayıya bakınız.
1. 1)53919 sayısının 4 ile bölümünden kalan kaçtır?= $\displaystyle 3$
2. 2)50368 sayısının 8 ile bölümünden kalan kaçtır?= $\displaystyle 0$
3. 3)81032 sayısının 5 ile bölümünden kalan kaçtır?= $\displaystyle 2$
/ 40
${a}$ bir rakamdır. Koşulu sağlayan bütün rakamları tek tek bulup toplayınız.
1. 1)Dört basamaklı 90a4 sayısı 3 ile tam bölünebildiğine göre ${a}$ rakamının alabileceği değerlerin toplamı kaçtır?= $\displaystyle 15$
2. 2)Dört basamaklı 518a sayısı 4 ile tam bölünebildiğine göre ${a}$ rakamının alabileceği değerlerin toplamı kaçtır?= $\displaystyle 12$
3. 3)Üç basamaklı 43a sayısı 6 ile tam bölünebildiğine göre ${a}$ rakamının alabileceği değerlerin toplamı kaçtır?= $\displaystyle 10$
/ 40
${a}$ bir rakamdır. 9 ile bölünebilmede rakamlar toplamı 9'un katı olmalıdır; kalan verilmişse rakamlar toplamının kalanı ona eşit olmalıdır.
1. 1)Dört basamaklı 9a87 sayısı 9 ile tam bölünebildiğine göre ${a}$ kaçtır?= $\displaystyle 3$
2. 2)Dört basamaklı 8a65 sayısının 9 ile bölümünden kalan 2 olduğuna göre ${a}$ kaçtır?= $\displaystyle 1$
3. 3)Dört basamaklı 8a21 sayısı 9 ile tam bölünebildiğine göre ${a}$ kaçtır?= $\displaystyle 7$
/ 40
Toplamın kalanı kalanların toplamından, çarpımın kalanı kalanların çarpımından bulunur; sonuç bölenden büyükse yeniden bölünüz.
1. 1) ${x}$ ve ${y}$ doğal sayılarının 9 ile bölümünden kalanlar sırasıyla 6 ve 7 ise ${x + y}$ toplamının 9 ile bölümünden kalan kaçtır?= $\displaystyle 4$
2. 2) ${x}$ ve ${y}$ doğal sayılarının 8 ile bölümünden kalanlar sırasıyla 1 ve 4 ise ${x \cdot y}$ çarpımının 8 ile bölümünden kalan kaçtır?= $\displaystyle 4$
3. 3) ${x}$ ve ${y}$ doğal sayılarının 8 ile bölümünden kalanlar sırasıyla 1 ve 6 ise ${x + y}$ toplamının 8 ile bölümünden kalan kaçtır?= $\displaystyle 7$
/ 40

Kâğıt başlığı

Çalışma boşluğu

Yok8 mm15 mm25 mm

Ad, sınıf, süre satırıCevap anahtarında kısa çözüm

0 kalem

İndirmek için en az bir kalem seç.

Kazanım künyesi

10. sınıf Bölünebilme kuralları için 35 çözümlü soru: soruları sayfada çöz, takıldığında adım adım çözümü aç; seçtiğin sorulardan test, yaprak test ya da yazılı kâğıdı hazırla ve cevap anahtarıyla PDF olarak indir; ödev için alıştırma (çalışma) kâğıdı çıkar; derste soruları akıllı tahtada tek tek aç; ders kılavuzunda derse giriş, kavram yanılgıları ve tahta akışı var. 1. dönem yazılısına ve ortak sınava hazırlıkta kullanılır.

Kod: MAT.10.3.3
Kapsadığı konular: bölünebilme, bölme ve bölünebilme
Dönem ve hafta: 1. dönem, 13, 14. haftalar, 8 ders saati
Süreç bileşenleri: a)2, 3, 4, 5, 6, 9 ve 10 ile bölünebilme özelliklerinden hareketle bir doğal sayının 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9 ve 10 ile bölümünden elde edilecek kalanlara ilişkin varsayımlarda bulunur.
b)Aynı sayı ile bölme işleminden elde edilecek kalanlara ilişkin farklı örneklerle ilgili örüntüleri listeleyerek varsayımlarına yönelik örüntüleri geneller.
c)Oluşturduğu genellemenin kendi varsayımını karşılayıp karşılamadığını örneklerle sınar.
ç)Ulaştığı sonuçlara yönelik matematiksel önermeleri doğrulayabileceği şekilde sunar.
d)Ulaştığı önermelerin katkısını bu sayıların en küçük ortak katlarından oluşan sayılara bölümünden kalanı bulma bağlamında değerlendirir.
e)Önermelere ilişkin matematiksel doğrulama yöntemlerini seçer ve kullanır.
f)Önermelere ilişkin uyguladığı matematiksel doğrulama yöntemini kullanışlılığı açısından değerlendirir.
Ders kitabında: 3. Tema — SAYILAR, 3.3 Bölünebilme

Bölünebilme kuralları

Sorular ve çözümleri

Ders kılavuzu

Derse giriş: çengel sorular

Benzetmeler

Sık yapılan yanlışlar

Ödev ve çalışma kâğıdı

Ödev kâğıdı oluştur

Test PDF'i

Test PDF'i hazırla

Kazanım künyesi